2026年高考数学复习系列（全国）专题7.7 空间角与空间距离问题（讲义）（试题版）

专题7.7空间角与空间距离问题（举一反三复习讲义）

【全国通用】

1、空间角与空间距离问题

空间角与空间距离问题是高考的重点、热点内容，属于高考的必考核心

内容之一。从近三年的高考情况来看，空间角与空间距离问题一般以解答题

形式为主，每年必考，试题难度中等，解答题中第一小问一般考查空间线、

命题规律面位置关系的证明；空间角与点、线、面距离问题通常在解答题的第二小问

考查；有时在选择题、多选题中也会涉及，难度一般。

分析近几年命题趋势更注重动态几何问题和向量法的综合应用，如通过翻折

情境分析空间角的变化，需灵活求解；备考时需强化坐标系建立技巧、法向

量求解步骤及空间角公式的熟练应用，同时注重向量运算的严谨性，避免因

计算失误失分。

考点2023年2024年2025年

新课标I卷：第18题，

12分新课标I卷：第17题，

高考真题新课标Ⅱ卷：第20题，15分

12分新课标Ⅱ卷：第17题，全国一卷：第17题，

统计空间角与空全国甲卷（理数）：15分15分

间距离问题第18题，12分全国甲卷（文数）：全国二卷：第17题，

全国乙卷（理数）：第19题，12分15分

第9题，5分全国甲卷（理数）：

全国乙卷（理数）：第19题，12分

第19题，12分

预测在2026年全国卷高考数学中，空间角与空间距离问题的考情将继

2026年续维持稳定态势。大概率在解答题中考查，每年必考，解答题中第一小问一

般考查空间线、面位置关系的证明；空间角与点、线、面距离问题通常在解

命题预测答题的第二小问考查，试题难度中等；核心考点是空间角与空间距离的求解，

侧重考查数学运算能力和空间想象能力，要学会灵活求解。

知识点1用向量法求空间角

1．用向量法求异面直线所成角的一般步骤：

(1)建立空间直角坐标系；

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对

值.

2．向量法求直线与平面所成角的主要方法:

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就

是斜线和平面所成的角.

3．向量法求二面角的解题思路:

用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大

小.

知识点2几何法求空间角

1．几何法求异面直线所成的角

(1)求异面直线所成角一般步骤：

①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；

②证明：证明所作的角是异面直线所成的角；

③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；

④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线

所成的角.�

(2)可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：

①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；

②中位线平移法；

③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).

2．几何法求线面角

(1)垂线法求线面角(也称直接法)：

①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α做垂线，确定垂足

O；

②连结斜足与垂足为斜线AB在面α上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；

③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形.

(2)公式法求线面角(也称等体积法)：

用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.

公式为：，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长.

3．几何法求二面角�

作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点

作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可

得二面角的平面角.

知识点3用空间向量研究距离问题

1．距离问题

(1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量

在直线l上的投影向量为，则点P到直线l�的距离为(如图)．

(2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的

�

距离为(如图)．

2．向量法求点到直线距离的步骤：

(1)根据图形求出直线的单位方向向量v.

(2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量.

(3)垂线段长度.

3．求点到平面的距离的常用方法

(1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点

P到平面α的距离.

(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求.

(3)等体积法.

(4)向量法：设平面α的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为.

�

【方法技巧与总结】

1．异面直线所成角的范围是；直线与平面所成角的范围是；二面角的范围是；两个平

面夹角的范围是.

【题型1求异面直线所成的角】

【例1】（2026·重庆·一模）正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为

（）𝐴�−�1�1�1𝐴=��1𝐴1��1

A．B．

151

−4−4

C．D．

151

【变式1-14】（2026·河北·模拟预测）如图，是圆4O的直径，垂直于圆O所在的平面，，

P是弧的中点，则异面直线与所成角𝐴的大小为（）𝐴𝐴=𝐴=2

𝐴𝐴��

A．B．C．D．

ππππ

6432

【变式1-2】（2025·福建三明·模拟预测）在直三棱柱中，，，，

分别是，的中点，则直线与直线所�成��角−的�余1�弦1�值1（�）�⊥����1=2𝐴=2���

��1�1�1�1����

A．B．C．D．

313213525

1313515

【变式1-3】（2025·甘肃白银·三模）如图，在长方体中，

11111

，则异面直线和夹角的余弦�值��为�（−�）���𝐴=��=3,��=2,��=

21

3��,�1�=3�1�1�1���

A．B．C．D．

67526

3999

【题型2求线面角】

【例2】（2026·重庆·模拟预测）已知正方体，过点且与垂直的平面为，则与平

面所成角的余弦值为（）𝐴𝐴−�1�1�1�1��1����1

�

A．B．C．D．

13622

3333

【变式2-1】（2025·青海西宁·模拟预测）在直三棱柱中，，，为线

3

𝐴�−�1�1�1𝐴⊥��𝐴=��=2��1�

段的中点，点在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值为（）

1

����1�1�1�=3�1�1�����1�1

A．B．C．D．

1231

【变式2-62】（2026·陕西西安6·模拟预测）在矩形6中，，3，为的中点，将沿

翻折至，使得平面平面，得到𝐴如�图�所示�的�四=棱2锥𝐴=4�．𝐴△𝐴���

△������⊥�𝐴��−�𝐴�

(1)证明：；

(2)求直线��与⊥平��面所成角的正弦值．

���𝐴

【变式2-3】（2026·湖南湘潭·二模）如图，在四棱锥中，平面，，是以

为斜边的等腰直角三角形．�−𝐴𝐴𝐴⊥𝐴���//𝐴△�����

(1)证明：平面平面．

(2)若，���⊥，且�直��线�与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．

��=5𝐴=4��𝐴�45°��𝐴�

【题型3求二面角】

【例3】（2026·河南南阳·模拟预测）如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，AC，BD

1111

交于点O，P为的中点，.𝐴𝐴−����

�1�1��⊥��,𝐴=22

(1)证明：平面平面；

(2)若为�等��边�三⊥角形，��求�平1�面1PCD与平面夹角的余弦值.

△���1𝐴�1�1

【变式3-1】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在三棱柱中，，分别为，的中点.

𝐴�−�1�1�1���1���

(1)若点在线段上，且，求证：平面；

11

(2)若���，��=3��，��//，�求��平面与平面的夹角.

��=��=2��=��1=��1=22�1�⊥��𝐴����1�1

【变式3-2】（2026·江西上饶·一模）在平面四边形中，，，，

∘∘

将沿翻折至，满足．𝐴𝐴𝐴=��=𝐴=2∠𝐴�=30∠�𝐴=120

△�𝐴��△�����⊥𝐴

(1)证明：平面平面；

(2)求平面与��平�面⊥�的�夹�角的余弦值．

𝐴�𝐴�

【变式3-3】（2026·山东泰安·一模）如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别为的

中点.�−𝐴𝐴𝐴𝐴�,�𝐴,��

(1)证明：平面；

(2)若平面��//平面���，求平面与平面夹角的余弦值.

°

�𝐴⊥𝐴𝐴,��=��=5,𝐴=2,∠�𝐴=60����𝐴

【题型4求点到直线距离、异面直线距离】

【例4】（2026·江西萍乡·一模）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线

的距离为（）𝐴𝐴−�1�1�1�1��1�1�

�1�

A．B．C．D．

103102565

【变式4-11】0（2025·广东江门1·0模拟预测）如图，把边5长为4的正方形纸片5沿着对角线折成直二面角，

分别为的中点，则点到直线的距离为（）𝐴𝐴��

�,�𝐴,�����

A．2B．C．D．

3366

3622

【变式4-2】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面ABC，，

，M，N分别为PC，AB的中点．�−𝐴���⊥𝐴⊥����=𝐴=

��=2

(1)求异面直线PC与AB间的距离；

(2)求二面角的余弦值．

�−��−�

【变式4-3】（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥中，平面平面是边长为2的

等边三角形，，．�−𝐴����⊥𝐴�,△���

∘

𝐴=22∠���=45

(1)证明：；

��⊥��

(2)若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离．

5

���𝐴��10�𝐴

【题型5求点面距、面面距】

【例5】（2026·广东湛江·一模）如图，正方体的棱长为4，其中，点F为

的中点，则点C到平面的距离为（）𝐴𝐴−�1�1�1�1�1�=3��1�1�1

���

A．B．C．D．

45851621417

【变式5-15】（2025·甘肃甘南5·模拟预测）在棱长为2的1正方体17中，，分别为棱，

的中点，为棱上的一点，且2，则点𝐴到�平�面−�1�1�的1�距1离为�（�）��1��1

��1�1�1�=�0<�<2��1��

A．B．C．D．

25513

【变式5-25】（25-26高二上·新5疆巴音郭楞·月考）如5图所示，在直三棱柱3中，

，点E在线段上，且，D、F、G分别为𝐴�−�的1�中1�点1.∠𝐴�=90°,��=

2,��1=4��1𝐴1=1��1,�1�1,�1�1

(1)求证：平面EGF平面ABD；

(2)求平面EGF与平/面/ABD的距离.

【变式5-3】（2026·湖北宜昌·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平

面平面．�−𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴⊥��

���⊥𝐴𝐴

(1)求证：平面；

��⊥𝐴𝐴

(2)若，，四棱锥的体积为，求点到平面的距离．

1

𝐴=1��=2���−𝐴𝐴3����

【题型6空间角中的探索性问题】

【例6】（2026·重庆·模拟预测）如图1，在中，､两点分别为（靠近）､（靠近）

∘

的三等分点，.现将沿△折𝐴起�得到四∠�棱=锥90,��，在图2中𝐴�.���

��=��=2△𝐴����−��𝐴��=29

(1)求证：平面；

𝐴⊥��𝐴

(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，

3��

������𝐴�5��

请说明理由.

【变式6-1】（2026·河北·一模）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面

为等腰梯形，，且�．−𝐴��𝐴⊥��,△𝐴�𝐴��

𝐴//��𝐴=4,��=��=2

(1)求．

��

(2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存

30��

在，请说明��理由．���𝐴��10��

【变式6-2】（2026·湖南邵阳·一模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，

，，,平面，�为−棱𝐴�上�的点．𝐴𝐴𝐴⊥𝐴𝐴//

��𝐴=𝐴=2𝐴=��=1��⊥𝐴����

(1)当为棱的中点时，证明：平面；

�����//�𝐴

(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若

3

不存在，��请说明理由．�������3�

【变式6-3】（2026·河北·模拟预测）如图，多面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，四边形ABCD为直

角梯形，，，，，．

𝐴//𝐴𝐴⊥𝐴��⊥𝐴𝐴=𝐴=��=1𝐴=2

(1)求三棱锥的外接球球心的位置．

(2)线段CD上�−是�否�存�在一点M，使得二面角为直二面角？若存在，求出点M的位置；若不存在，

请说明理由．�−��−�

【题型7空间距离中的探索性问题】

【例7】（2025·湖南邵阳·二模）如图，在三棱柱中，平面平面，，

，，，为线段𝐴�上−一�1点�1，�1且��1．�1�⊥𝐴�𝐴=��=2

��=22∠���1=60°�1�⊥��1���1��=���1

(1)证明：平面；

�1�⊥𝐴�1

(2)是否存在实数，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

45

�����15�

【变式7-1】（2025·湖南岳阳·一模）如图，在四棱锥中，平面底面，底面

为平行四边形，为边的中�点−，𝐴𝐴.�𝐴⊥𝐴𝐴,��=��𝐴𝐴

π

��=23,𝐴=6,���∠�𝐴=4

(1)求证：；

��⊥��

(2)已知二面角的平面角等于，则在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存

π3

�−��−�3𝐴�����4

在，指出点的位置；若不存在，说明理由.

�

【变式7-2】（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面

，是的中点.�−𝐴𝐴��⊥𝐴𝐴,𝐴//��,��=

2,𝐴=1��=1,𝐴=2,���

(1)求证：平面；

(2)若��.//�𝐴

①求平𝐴面⊥𝐴与平面夹角的正弦值；

�𝐴�𝐴

②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理

��

���������

由.

【变式7-3】（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，

�−𝐴𝐴���⊥𝐴𝐴𝐴⊥��

∥，，为棱的中点.

1

𝐴��𝐴=2𝐴=𝐴=1���

(1)证明：平面；

(2)若��/，/�𝐴，

（i）求��二=面角5��=1的正弦值；

�−��−�

（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明

6

理由.�������4��

考点一空间角与空间距离问题

一、单选题

1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面

角为，则直线CD与△平�面�A�BC所成角的正切值为（）△𝐴�

�−𝐴−�150°

A．B．C．D．

1232

二、解答5题555

2．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，．

�−𝐴𝐴��⊥𝐴𝐴𝐴⊥𝐴,��//𝐴

(1)证明：平面平面；

(2)设�𝐴⊥�𝐴，且点，，，均在球的球面上．

（i）证��明=：�点�=在平2面,��=2,内𝐴；=1+3�����

（ⅱ）求直线�与所�成�角𝐴的余弦值．

����

3．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E

在AB上，，.将四边𝐴形𝐴沿𝐴//翻𝐴折,至∠�四�边�=形90°，使得面与面

′′′′

EFCB所成�的�二//面𝐴角为𝐴=．3𝐴,𝐴=2𝐴�𝐴����𝐴��𝐴�

60°

(1)证明：平面；

′′

(2)求面��与//面𝐴�所成的二面角的正弦值．

′′′

�𝐴�𝐴�

4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．

�−𝐴𝐴��⊥��=��=2��=1,𝐴=3

(1)若，证明：平面；

𝐴⊥��𝐴//���

(2)若，且二面角的正弦值为，求．

42

𝐴⊥���−𝐴−�7𝐴

5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，

°

，点E，F满足，，将沿𝐴EF=翻8折�至�=3�，�使=得53∠𝐴�．=90

°21

∠�𝐴=30��=5����=2��△���△�����=43

(1)证明：；

(2)求平面�P�C⊥D�与�平面PBF所成的二面角的正弦值．

6．（2024·全国甲卷·高考真题）