实践与探索课件2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

16.5实践与探索今天数学王国搞了个家庭Party，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”.x+y=5座位1：二元一次方程到我这里来座位2：一次函数到我这里来这是怎么回事？x+y=5应该坐在哪里呢？16.5.1

一次函数与二元一次方程(组)的关系1.理解一次函数与二元一次方程(组)之间的联系，能运用它们之间的联系解决一些简单问题活动1：1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升．两个气球都上升了1h．(1)请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔y(m)与气球上升时间x(min)的函数关系．解：(1)气球上升时间x满足0≤x≤60.对于2号气球，y关于x的函数解析式为y＝0.5x＋15.对于1号气球，y关于x的函数解析式为y＝x＋5.h1h21号2号思考1：从式子（数）角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？一次函数二元一次方程一次函数

y=0.5x+15二元一次方程

y-0.5x=15二元一次方程

y=0.5x+15用方程观点看用函数观点看从式子（数）角度看：思考2：从形的角度看，二元一次方程与一次函数有什么关系？由函数图象的定义可知：直线y=0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y=0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解15105-5510Oxyy=0.5x+15从数的角度看：就是求自变量为何值时，要使得两个一次函数y=x+5，y=0.5x+15的函数值相等，求出的函数值即为方程组自变量的值．解方程组y=x+5

y=0.5x+15气球1海拔高度：y=x+5气球2海拔高度：y=0.5x+15活动1：1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升．两个气球都上升了1h．(2)什么时刻，1号气球的高度赶上2号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究.h1h21号2号二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标．思考3：从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？2520151051020y=x+5y=0.5x+15155OxyA（20,25）活动2：利用一次函数的图象，求解二元一次方程组

的解.探究分析：由前面探索的经验得出，两个函数图象的

，同时满足这两个图象的方程，表明

是联立两个图象方程组成的方程组的

.交点坐标解交点坐标-1-2-3123443021-1-2-4-3-4解：分别在同一坐标系中作出它们的图象，即方程组的解为得到它们交点的坐标(2,-1)，-5一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标（x,y）都是这个二元一次方程的解.方程组的解

对应两条直线交点的坐标(-2，3)2.利用图象解方程组：解二元一次方程组

求对应两条直线交点的坐标一次函数与二元一次方程（组）的关系一次函数二元一次方程1.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l1、l2如图，他解的这个方程组是()D解析：由图象知l1、l2

的x的系数都应为负数，排除A、C.又l1、l2的交点为(2,－2)，代入验证可知只有D符合．(-1，-4)2.利用图象解方程组：3.下图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）．根据图象解答下列问题：（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；所以轮船行驶过程的函数解析式为y=20x．可解得k=20．代入上式，得8k=160,由图象知：当x=8时，y=160．解:(1)设表示轮船行驶过程的函数解析式为y=kx(k≠0),设表示快艇行驶过程的函数解析式为y=ax＋b(a≠0),

所以快艇行驶过程的函数解析式为y=40x－80．a=40b=-80解得2a+b=06a+b=160得代入上式，由图象知：当x=2时，y=0；当x=6时，y=160．3.下图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）．根据图象解答下列问题：（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；3.下图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）．根据图象解答下列问题：（2）轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？由图象可知，轮船在8小时内行驶了160千米，快艇在4小时内行驶了160千米，所以轮船的速度是160÷8=20（千米/时），快艇的速度是160÷4=40（千米/时）．16.5.2

一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系，能解决相关问题探究一：一次函数与一元一次方程问题1下面方程有什么异同点？（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．32121-2Oxy-1-13y=2x+12x+1=0的解2x+1=-1的解2x+1=3的解相同点：这3个方程的等号左边都是2x＋1.

不同点：等号右边分别是3,0,－1.从函数的角度看，解这3个方程相当于在一次函数y＝2x＋1的函数值分别为3,0，－1时，求自变量x的值.或者说，在直线y＝2x＋1上取纵坐标分别为3，0,－1的点，看它们的横坐标分别为多少.交流讨论：能否用函数y=2x+1解释下列方程的求解？用函数的观点看，解一元一次方程ax+b=k就是求当函数（y=ax+b）值为k时对应的自变量的值．任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，求自变量x的值.求一元一次方程kx+b=0的解．求一元一次方程kx+b=0的解．一次函数y=kx+b中，y=0时x的值．从“函数值”看从“函数图象”看求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标．1.直线y=2x+20与x轴交点坐标为（____,_____），这说明方程2x＋20＝0的解是x=_____.-100-102.若方程kx＋2＝0的解是x=5，则直线y=kx＋2与x轴交点坐标为（____,_____）.50探究二：一次函数与一元一次不等式活动2.先画出函数y=x+3的图象，再结合图象解答下列问题.32112345-4-3-2Oxy-1-14y=x+3(1)x取什么值时，函数值y始终等于零？由图象可知，当x=-2时，函数值y始终等于零(2)x取什么值时，函数值y始终大于零？函数值y>0，即当x>-2时，y始终大于零(3)x取什么值时，函数值y始终小于零？函数值y<0，即当x<-2时，y始终小于零32112345-4-3-2Oxy-1-14y=x+3思考：从函数的角度如何对解不等式

x+3＞0和

x+3<0进行解释？不等式x+3＞0的解集就是直线y=x+3在x轴上方部分的x的取值范围.不等式x+3<0的解集就是直线y=x+3在x轴下方部分的x的取值范围说一说：借助图象，分析从函数的角度如何对解这三个不等式进行解释？尝试把你得到的结论推广到一般情形.（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1．32121-2Oxy-1-13y=3x+2y=2y=0y=-1不等式ax+b＞c的解集就是使函数y=ax+b的函数值大于c的对应的自变量取值范围；不等式ax+b＜c的解集就是使函数y=ax+b的函数值小于c的对应的自变量取值范围．以x为未知数的一元一次不等式能变形为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0)的形式，解一元一次不等式相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值大于(小于)0时，求自变量x的取值范围.  求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集

求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集

y=kx+b的值大于(或小于)0时，x的取值范围从“函数值”看从“函数图象”看确定直线y=kx+b在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围

3.如图1，已知直线y=kx+b与x轴交于点(-4,0)，则当y>0时，x的取值范围是（）A.x>-4B.x>0C.x<-4D.x<0C一次函数与一元一次方程、一元一次不等式一次函数与一元一次方程解一元一次方程

对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.一次函数与一元一次不等式解一元一次不等式

对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围

.

C1.已知方程x＋b＝0的解是x＝－2，下列可能为直线y＝x＋b的图象的是(

)2.一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10的解集是（）A.x<5B.x>5C.x>-5D.x>25B3.利用图象解不等式(1)2x－5＞－x＋1，(2)2x－5＜－x＋1．(2)2x－5＜－x＋1的解集是y1＜y2时x的取值范围为x＜2．(1)2x－5＞－x＋1的解集是y1＞y2时x的取值范围为x＞2；两条直线的交点坐标是(2,－1)，由图可知：在直角坐标系中画出这两条直线，如图所示．解：设y1=2x－5，y2=－x＋1，4.如图，直线y=kx+b经过点A（-1，-2）和点B（-2，0），直线y=2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集是什么？BxAyO故答案为：−2＜x＜−1．即不等式2x＜kx＋b＜0的解集为：−2＜x＜−1．又因为B（−2，0），此时自变量x的取值范围是−2＜x＜−1．解不等式2x＜kx＋b＜0的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分，根据题意得到y＝kx＋b与y＝2x的交点为A（-1，-2），16.5.3

一次函数、反比例函数的实际应用1.能分析实际问题中变量之间的关系，建立一次函数、反比例函数模型解决问题探究一：一次函数的应用

t(℃)-40-20-10010204060V()998.3999.2999.610001000.31000.71001.61002.3能否据此寻求V和t之间的函数关系式？分析：在平面直角坐标系中描出这些数值所对应的点,我们发现,这些点大致位于同一条直线上,可知V

和t

之间近似地符合一次函数关系.我们可以用一条直线去尽可能地与这些点相贴近,求出近似的函数关系式.如图所示的就是一条这样的直线,较接近的点可考虑取(10，1000.3)和(60，1002.3).也可以将直线稍稍挪动一下,换上其他适当的两点,试一试.我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的表达式.但是现实生活中的数量关系是错综复杂的,在实践中得到一些变量的对应值,有时很难精确地判断它们有怎样的函数关系,需要我们根据经验分析,进行近似计算和修正,列出比较接近的函数表达式.问题：庐陵某公司将“庐陵山耕”农副产品运往杭州市场进行销售．记汽车的行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时)．根据经验，v、t的一组对应值如下表：v/(千米/小时)7580859095t/小时4.003.753.533.333.16(1)根据表中的数据，求出平均速度v(千米/小时)关于行驶时间t(小时)的函数表达式；探究二：反比例函数的应用解：(1)根据表中的数据，可画出v关于t的函数图象(如右图所示)，∵当v＝75时，t＝4，∴k＝4×75＝300，根据图象形状，选择反比例函数模型进行试实验．设v关于t的函数表达式为v＝，

将点(3.75，80)、(3.53，85)、(3.33，90)、(3.16，95)的坐标代入v＝

验证均满足．∴v与t的函数表达式是v＝

(t≥3)．∴v＝.v/(千米/小时)7580859095t/小时4.003.753.533.333.16v/(千米/小时)7580859095t/小时4.003.753.533.333.16(2)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由；(2)∵10－7.5＝2.5，∴当t＝2.5时，代入该函数表达式得v＝120>100.∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场．v与t的函数表达式是v＝

(t≥3)．(汽车行驶速度不超过100千米/小时)“探究一”“探究二”中是如何确定两个变量间的函数关系的？请说说你的想法.建立两个变量之间的函数模型，可以通过四个步骤完成：（4）应用这个函数模型解决问题.（3）进行检验；（2）观察这些点的特征，确定选用的函数形式，并根据已知数据求出具体的函数表达式(一般采用待定系数法)；（1）将实验得到的数据在直角坐标系中描出；世界上大部分国家都使用摄氏温度(℃)计量法，但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度(ºF)计量法．两种计量法之间有如下的对应关系：x/℃01020304050y/ºF32506886104122(1)在平面直线坐标系中描出相应的点，观察点的分布情况，猜想y与x之间的函数关系；解：(1)如图所示，以表中对应值为坐标的点大致分布在一条直线上，据此，可猜想：y与x之间的函数关系为一次函数；(2)确定y与x之间的函数表达式，并加以检验；解：设y＝kx＋b，把(0，32)和(10，50)代入得解得所以y与x之间的函数表达式为经检验，点(20，68)，(30，86)，(40，104)，(50，122)的坐标均能满足上述表达式，世界上大部分国家都使用摄氏温度(℃)计量法，但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度(ºF)计量法．两种计量法之间有如下的对应关系：x/℃01020304050y/ºF32506886104122(3)华氏0度时的温度应是多少摄氏度？解：(3)当y＝0时，解得∴华氏0度时的温度应是

摄氏度；(4)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？(4)把y＝x代入得