二次根式的乘法与除法课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

19.2二次根式的乘法与除法

二次根式的乘法与除法（第1课时）二次根式都有哪些性质？（1）双重非负性：(a≥0)；（2）

＝a(a≥0)；（3）＝|a|＝

类比整式、分式，我们学习了二次根式的概念，接下来也要学习二次根式的运算．根据算术平方根的意义，当a取某个非负实数时，

也是一个实数，我们从这类实数的运算出发学习二次根式的运算．先来研究二次根式的乘法．（3）＝______，＝______．（2）＝______，＝______；2066204242（1）＝______，＝______；探究计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．＝＝＝新知一般地，二次根式的乘法法则是(a≥0，b≥0)．（1）(a≥0，b≥0，c≥0)．（2）(a≥0，b≥0)．

例1计算：（1）；（2）；（3）

；

（4）

．解：（1）；

（2）；

（3）；(a≥0，b≥0)

＝

解：（4）

＝

＝

．

二次根式相乘时，把被开方数和各个根号外面的乘数分别相乘，将乘数相乘的积作为积的乘数，把被开方数相乘的积作为积的被开方数．逆用二次根式的乘法法则把(a≥0，b≥0)反过来，就得到

(a≥0，b≥0)，利用它可以进行二次根式的化简．

例2化简：（1）；解：（1）；

例2化简：（2）；解：（2）；在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．

例2化简：（3）．解：（3）．被开方数（式）化成乘积形式“”这样的错误．在逆用二次根式的乘法法则时，要注意以下两点：（1）注意公式中被开方数的范围；（2）注意被开方数一定是乘积的形式，不要出现

例3计算：（1）；解：（1）；被开方数中开得尽方的因数或因式，被开方后可以移到根号的外面解：（2）（2）；

例3计算：化简时，根号外的乘数可先相乘；（3）．

例3计算：本章中根号下含有字母的二次根式的运算都是选学内容．解：（3）．二次根式的乘法

(a≥0，b≥0)

(a≥0，b≥0)二次根式的乘法与除法（第2课时）

1．二次根式的乘法法则：___________________________．

2．积的算术平方根的性质：_________________________．(a≥0，b≥0)(a≥0，b≥0)（2）＝___________，＝___________；

（1）＝___________，＝___________；

（3）＝___________，＝___________．探究

计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？＝＝＝

一般地，二次根式的除法法则是(a≥0，b＞0)．

文字语言：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．二次根式的除法法则

例1计算：（1）；（2）．

解：（1）；

（2）．二次根式除法法则的逆运用把(a≥0，b＞0)反过来，就得到(a≥0，b＞0)，利用它可以进行二次根式的化简．

文字语言：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0．例如，计算时，应写为．

例2化简：（1）；（2）；

解：（1）；

（2）；

例2化简：（3）．

解：（3）

．

解：因为

S＝ab，所以

例3设长方形的面积为

S，相邻两边长分别为

a，b．已知

S＝

，b＝

，求

a．

．二次根式化简的结果中被开方数不含分母例1、例2、例3中各小题的最后结果是，

，

，

，

等，观察这些式子中的二次根式，可以发现这些式子有什么特点？（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．

例4计算：（1）；

解：（1）解法1：．解法2：．去掉分母中的根号（2）；

例4计算：

解：（2）．（3）．

例4计算：

解：（3）．

例5

在二次根式，，，中，最简二次根式是____________．解析：

，的被开方数含有分母，不是最简二次根式；

，被开方数中含能开得尽平方的因数，不是最简二次根式；

是最简二次根式．活动

纸张规格的奥秘书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，下面两表给出了两种常用纸张的规格（单位：mm×mm）：A型宽×长A5148×210A4210×297A3297×420A2420×594A1594×841B型宽×长B5182×257B4257×364B3364×515B2515×728B1728×1030活动

纸张规格的奥秘（1）使用计算器求出各规格纸张长与宽的比值，你有什么发现？各规格纸张的长与宽的比有什么关系？测量教科书与课外读物的长与宽，看一看它们的长与宽的比是否也有类似确定的关系．A型宽×长A5148×210A4210×297A3297×420A2420×594A1594×841B型宽×长B5182×257B4257×364B3364×515B2515×728B1728×1030长与宽的比值1.4191.4141.4141.4141.416长与宽的比值1.4121.4161.4151.4141.415活动

纸张规格的奥秘（1）使用计算器求出各规格纸张长与宽的比值，你有什么发现？各规格纸张的长与宽的比有什么关系？测量教科书与课外读物的长与宽，看一看它们的长与宽的比是否也有类似确定的关系．

解：（1）发现各规格纸张长与宽的比值都接近

．同一种类型纸张长与宽的比大致相等．

对于教科书与课外读物，通常也是按照类似纸张规格比例设计的，长与宽的比值也接近

．

活动

纸张规格的奥秘（2）如图1，长方形纸片ABCD的长与宽的比值为

．

①如图2，若E，F分别是长边AD，BC的中点，将纸片ABCD沿直线EF对折，得到的长方形ABFE是否仍为“长与宽的比值为

的长方形”？为什么？

解：（2）①是．理由：设长方形ABCD的宽AB＝a，则长BC＝

，折叠后AB＝a，BF＝

，则

．活动

纸张规格的奥秘（2）如图1，长方形纸片ABCD的长与宽的比值为

．

②按如图3所示的方式折叠纸片ABCD，长方形GHID是否仍为“长与宽的比值为

的长方形”？为什么？

点拨：设AB＝DC＝b，则AD＝BC＝

．

由折叠性质知GD＝

．

DI＝

．

．

二次根式的除法与最简二次根式二次根式的除法法则逆用二次根式的除法法则最简二次根式二次根式的乘法与除法（第3课时）

1．二次根式的乘法法则：___________________________．

2．二次根式的除法法则：_________________________．(a≥0，b≥0)(a≥0，b＞0)

3．最简二次根式需要满足的条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式．类型一、二次根式的乘除混合运算

1．计算：（1）；解：（1）原式．类型一、二次根式的乘除混合运算

1．计算：（2）．解：（2）原式．归纳（1）带分数要化成假分数；（2）要注意确定最后结果的符号；（3）最后结果一般要化为最简二次根式或整式；（4）在二次根式的乘除混合运算中，有理数的运算法则同样适用．二次根式的乘除混合运算中的四点注意类型二、利用二次根式的乘除法比较二次根式的大小

2．比较大小：（1）与；解：（1）∵

∴，即．类型二、利用二次根式的乘除法比较二次根式的大小

2．比较大小：（2）与；解：（2）∵

∴，∴，即．类型二、利用二次根式的乘除法比较二次根式的大小

2．比较大小：（3）与．解：（3）∵，∴．归纳（1）归根法：先将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大．（2）平方法：若两个二次根式同号，也可以先将两个二次根式分别平方，再根据实数比较大小的方法比较即可．二次根式比较大小有“三招”归纳二次根式比较大小有“三招”（3）作商法：