广东省紫金县2026届高一下数学期末学业水平测试试题含解析

广东省紫金县2026届高一下数学期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在ΔABC中，已知BC=2AC，B∈[πA．[π4C．[π42．的值等于（）A． B． C． D．3．如图，在中，，是边上的高，平面，则图中直角三角形的个数是（）A． B． C． D．4．在中，内角所对的边分别为，且，则（）A． B． C． D．5．若，，则与向量同向的单位向量是（）A． B． C． D．6．设为正数，为的等差中项，为的等比中项，则与的大小关为()A． B． C． D．7．将函数（其中）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则不可能等于（）A．0 B． C． D．8．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则（）A． B． C． D．9．在中，，则（）A． B． C． D．10．函数的图象大致为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某公司租地建仓库，每月土地占用费（万元）与仓库到车站的距离（公里）成反比.而每月库存货物的运费（万元）与仓库到车站的距离（公里）成正比.如果在距车站公里处建仓库，这两项费用和分别为万元和万元，由于地理位置原因.仓库距离车站不超过公里.那么要使这两项费用之和最小，最少的费用为_____万元.12．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件.13．已知为直线，为平面，下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的序号是______．14．平面四边形如图所示，其中为锐角三角形，，，则_______.15．如图，已知，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量_______（用，表示向量）16．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表所示（单位：人）.参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230若从该班随机选l名同学，则该同学至少参加上述一个社团的概率为__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重（kg）数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图（如图所示）．已知第三组[60，65）的人数为1．根据一般标准，高二男生体重超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求体重在[60，65）内的频率，并补全频率分布直方图；（2）用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人？（3）根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数．18．求下列各式的值：（1）求的值；（2）已知，，且，，求的值.19．已知，，，求.20．已知是圆的直径，垂直圆所在的平面,是圆上任一点．求证:平面⊥平面.21．设，若存在，使得，且对任意，均有（即是一个公差为的等差数列），则称数列是一个长度为的“弱等差数列”.（1）判断下列数列是否为“弱等差数列”，并说明理由.①1，3，5，7，9，11；②2，，，，.（2）证明：若，则数列为“弱等差数列”.（3）对任意给定的正整数，若，是否总存在正整数，使得等比数列：是一个长度为的“弱等差数列”？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

由BC=2AC，根据正弦定理可得：sinA=2sinB，由角【详解】由于在ΔABC中，有BC=2AC，根据正弦定理可得由于B∈[π6,π4]由于在三角形中，A∈0,π，由正弦函数的图像可得：A∈[故答案选D【点睛】本题考查正弦定理在三角形中的应用，以及三角函数图像的应用，属于中档题．2、D【解析】

利用诱导公式先化简，再利用差角的余弦公式化简得解.【详解】由题得原式=.故选D【点睛】本题主要考查诱导公式和差角的余弦公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3、C【解析】

根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形．【详解】①平面，,都是直角三角形；②是直角三角形；③是直角三角形；④由得平面，可知：也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是个，故选C．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．4、C【解析】

根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sinA，进而利用二倍角余弦公式得到结果.【详解】∵．∴sinAcosB＝4sinCcosA﹣sinBcosA即sinAcosB+sinBcosA＝4cosAsinC∴sinC＝4cosAsinC∵1＜C＜π，sinC≠1．∴1＝4cosA，即cosA，那么．故选C【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．5、A【解析】

先求出的坐标，然后即可算出【详解】因为，所以所以与向量同向的单位向量是故选：A【点睛】本题考查的是向量的坐标运算，属于基础题6、B【解析】

由等差中项及等比中项的运算可得，，再结合即可得解.【详解】解：因为为正数，为的等差中项，为的等比中项，则，，又，当且仅当时取等号，又，所以，故选：B.【点睛】本题考查了等差中项及等比中项的运算，重点考查了重要不等式的应用，属基础题.7、D【解析】由题意，所以，因此，从而，可知不可能等于．8、A【解析】

由正弦定理可得，再结合求解即可.【详解】解：由，又，则，由，则，故选：A.【点睛】本题考查了正弦定理，属基础题.9、B【解析】

根据向量的三角形法则进行转化求解即可．【详解】∵，∴，又则故选：B【点睛】本题考查向量加减混合运算及其几何意义，灵活应用向量运算的三角形法则即可求解，属于基础题.10、C【解析】

利用函数的性质逐个排除即可求解.【详解】函数的定义域为，故排除A、B.令又，即函数为奇函数，所以函数的图像关于原点对称，排除D故选：C【点睛】本题考查了函数图像的识别，同时考查了函数的性质，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、8.2【解析】

设仓库与车站距离为公里，可得出、关于的函数关系式，然后利用双勾函数的单调性求出的最小值.【详解】设仓库与车站距离为公里，由已知，.费用之和，求中，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，所以，当时，取得最小值万元，故答案为：.【点睛】本题考查利用双勾函数求最值，解题的关键就是根据题意建立函数关系式，再利用基本不等式求最值时，若等号取不到时，可利用相应的双勾函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12、1【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为1．点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N．13、③④【解析】

①和②均可以找到不符合题意的位置关系，则①和②错误；根据线面垂直性质定理和空间中的平行垂直关系可知③和④正确.【详解】若，此时或，①错误；若，此时或异面，②错误；由线面垂直的性质定理可知，若，则，③正确；两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线必垂直于该平面，可知④正确本题正确结果：③④【点睛】本题考查空间中的平行与垂直关系相关命题的判断，考查学生对于平行与垂直的判定和性质的掌握情况.14、．【解析】

由二倍角公式求出，然后用余弦定理求得，再由余弦定理求．【详解】由题意，在中，，在中，，即，解得，或．若，则，，不合题意，舍去，所以．故答案为：．【点睛】本题考查余弦的二倍角公式，考查余弦定理．掌握余弦定理是解题关键．15、【解析】

先求得，然后根据中位线的性质，求得.【详解】依题意，由于分别是线段的中点，故.【点睛】本小题主要考查平面向量减法运算，考查三角形中位线，属于基础题.16、【解析】

直接利用公式得到答案.【详解】至少参加上述一个社团的人数为15故答案为【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)三段人数分别为3，2，1(3)【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图的性质能求出求出体重在[60，65）内的频率，由此能补全的频率分布直方图；（2）设男生总人数为n，由，可得n=1000，从而体重超过65kg的总人数300，由此能求出各组应分别抽取的人数；（3）利用频率分布直方图能估计高二男生的体重的中位数与平均数试题解析：（1）体重在内的频率补全的频率分布直方图如图所示.（2）设男生总人数为，由，可得体重超过的总人数为在的人数为，应抽取的人数为，在的人数为，应抽取的人数为，在的人数为，应抽取的人数为.所以在，，三段人数分别为3，2，1.（3）中位数为60kg，平均数为(kg)考点：1.众数、中位数、平均数；2.分层抽样方法；3.频率分布直方图18、（1）（2）【解析】

（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简即可．（2）利用配凑把打开即可．【详解】解：（1）原式（2），，又，，，，【点睛】本题主要考查了二倍角公式，两角和与差的正切的应用．辅助角公式．19、11【解析】

根据题设条件，结合三角数的基本关系式，分别求得，和，再利用两角和的正切的公式，进行化简、运算，即可求解.【详解】由，由，可得又由，所以，由，得，可得，所以，即.【点睛】本题主要考查了两角和与差的正切函数的化简、求值问题，其中解答中熟记两角和与差的正切公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.20、证明见解析【解析】

先证直线平面，再证平面⊥平面.【详解】证明:∵是圆的直径，是圆上任一点，，，平面，平面，，又，平面，又平面，平面⊥平面.【点睛】本题考查圆周角及线面垂直判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查垂直关系的简单证明.21、（1）①是，②不是,理由见解析（2）证明见解析（3）存在，证明见解析【解析】

（1）①举出符合条件的具体例子即可；②反证法推出矛盾；

（2）根据题意找出符合条件的为等差数列即可；

（3）首先，根据，将公差表示出来，计算任意相邻两项的差值可以发现不大于．那么用裂项相消的方法表示出，结合相邻两项差值不大于可以得到，接下来，只需证明存在满足条件的即可．用和公差表示出，并展开可以发现多项式的最高次项为，而已知，因此在足够大时显然成立．结论得证.【详解】解：（1）数列①：1，3，5，7，9，11是“弱等差数列”

取分别为1，3，5，7，9，11，13即可；

数列②2，，，，不是“弱等差数列”

否则，若数列②为“弱等差数列”，则存在实数构成等差数列，设公差为，

，

，又与矛盾，所以数列②2，，，，不是“弱等差数列”；

（2）证明：设，

令，