辽宁省名校联盟2025-2026学年高三下3月模拟考试数学试卷（含答案）

本试卷满分150分，考试时间120分钟。1.复数z=3+4i的共轭复数的虚部为A.4B.一4C.4i2.已知集合A={x|logz(x—1)≤1},B={xla²—4x+3<0},则AUB=A.[1,2]B.(1,3)C.[1,3]D.[一∞,1]U(3,+∞)3.样本数据2,3,5,8,9,10,12,14,15,18的25%分位数为A.4B.56.已知双曲线的一条渐近线方程为l:y=√3x,直线x—√3y=0与EA.3B.2√3C.3√2D.4A.(一∞,2)B.(一∞,3)C.(1,2)D.(1,3)数学第1页(共4页)8.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例引入数列1,1,2,3,5,8,…,该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即an+2=an+1+an(n∈N"),故此数列称为斐波那契数列，其通项公式为aₙ=,则关于x的不等式2x+9<log/z[(1+√5)—(1—√5)=]<2x+14的正整数解的个数为二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知正实数a,b满足a+b=2,则A.ab的最大值为1B的最小值为2+√310.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是A.若acosB=bcosA,则△ABC为等腰三角形B.若a=2,b=3,A=30°,则满足条件的三角形有且仅有1个11.如图①,在直角梯形P₁P₂P₃C中，P₁C//P₂P₃,P₁P₂⊥P₁C,P₁C=5,P₁P₂=4,A,B分别为合为一点P,得到如图②所示的三棱锥P-ABC,则B.三棱锥P-ABC的体积为C.点P到底面ABC的距离为①②D.二面角P-AB-C的正切值为4√5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=xlnx—2x+3的单调递减区间为13.在(3x-1)⁴(x+2)⁵的展开式中，x的系数为.(用数字作答)为△PF₁F₂的内心，O为坐标原点，记直线OP,OI的斜率分别为k₁,k₂,离心率为数学第2页(共4页)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)(1)求数列{an),{b}的通项公式；16.(15分)(2)求PB与平面NBD所成角的正弦值.17.(15分)盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求.商家为了在电商平台对某款盲盒进行促为：,商家会以3:2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货.(2)小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X,求随机变量X的数学期望和方差；(3)现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到区分出6个盲盒中的“隐藏款”为止，记取出盲盒的个数为Y,求随机变量Y的分布列和数学期望.数学第3页(共4页)18.(17分)已知对任意平面向量AB=(x,y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AF=(zcosθA(1,—2),点B(1+√2,2√2-2),把点B绕点A沿逆时针方向旋转后得到点F.(1)求点F的坐标；(2)抛物线W的顶点为坐标原点O,焦点为F,过点D(0,-1)的直线l交抛物线W于M,N两点.(i)当直线l的方向向量是a=(4,5)时，求经过M,N,A三点的圆的圆心T的坐标；19.(17分)已知函数f(x)=-sinx+xcosx+ax³,f(x)的导函数为f(x).数学第4页(共4页)参考答案及解析1.B【解析】z的共轭复数为z=3—4i,所以虚部为一4.2.C【解析】集合A=(1,3),集合B=(1,3),所以AUB=[1,3].故选C项.3.B【解析】10×0.25=2.5,根据定义，应取第3个数√4+2×1+1=√7.故选C项.6.D【解析】记坐标原点为0,不妨设M在第一象限，显然MN的倾斜角为,l的倾斜角为,故∠POM=.又PQ⊥PM,PQ⊥NQ,由对称性易得四边形2|OPI·|PM|=2|OM|²cos∠POM·s48.B【解析】由斐波那契数列的通项公式得+14,即2n+9<2[log₂2"+log₂(√5an)]<2n+14,即<log₂(√5an)<7,所以,经验证13,21,34,55符合.故选B项.ab≤1,当且仅当a=b=1时取等号，所以ab的最大值2ab=4—2ab,由ab≤1得a²+b²≥2,时取等号，所以a²+b²的最小值为2,D项正确.故选作CH⊥AB,,因为CH<a<b,所以满足条件B∈(0,π),所以sinA>sinB,由正弦定理得a>b,则·数学·考答案及解析4,当且仅当tanA=tanB时等号成立，所以tanC=所求范围为,D项错误.故选AC项.PC=P,所以PA⊥平面PBC,则PA⊥BC,A项正确；=P₃B=x,CH=P₁P₂=4,故P₃H=3,BH=x-3,P₂H=P₁C=P₂B+BH=x+x—3=5,所以x=4,又P到平面ABC的距离为d,则,所以P到底面ABC的距离为,C项错误；D项，如图，过P作PO⊥平面ABC于0,过P作PG⊥AB于G,连接OG,因为AB⊥PG,AB⊥PO,PO∩PG=P,所以AB⊥平面PGO,所以AB⊥OG,所以∠PGO为二面角P-AB-C的平面角.在Rt△PAB中12.(0,e)(或[0,e]均可)【解析】f(x)的定义域为(0,13.—304【解析】①(3x-1)⁴=1,(x+2)⁵取x项得Cx¹2⁴=80x,乘积系数为80;②(3x-1)⁴取x项得C³(3x)¹(一1)³=-12x,(x+2)⁵取常数项得Cx⁰2⁵=32,乘积系数为一384.将以上结果相加得—304.作PF₁,PF₂,F₁F₂的垂线，垂足分别为M,N,H,设内心I的横坐标为exo,则,所以,又3k₁=4k₂,(2分)(3分)(4分)(5分)(6分)(7分)(10分)所以AD=CD=2√2,因为M,N分别为PB,PC的中点，(12分)(13分)(2分)·数学·考答案及解析1)²+(y。+2)²,所以(7分)(y。—4)²,所以(8分)所以圆心T的坐标为(9分)所以(11分)代人D(0,-1)得mn=1,所以(12分)所以(13分)(14分)则(一x-4y)m²+(2—2y)m+(x+4)=0,故直线NQ过定点(一4,1).(17分)-cosx+cosx-xsinx=-xsinx,(1分)9(3分)故切线方程为化简为(4分)舍去.(5分)令F(x)=3ax-sinx,x≥0,F'(x)=3a-c当,x≥0时，F(x)≥0,所以F(x)在[0,+∞]上单调递增，(7分)所以f(x)在[0,+∞]上单调递增，所以f(x)≥f(0)=0成立.(8分)所以3xo∈(0,π),使M(x₀)=0,F(x)≤F(0)=0,所以f(x)≤0在x∈[0,x。]时成所以f(x)在[0,xo]上单调递减，所以f(xo)<f(0)=0,不符合题意，舍去.(10分)x>0与y=sinx,x>0仅有两个交点，所以(12分)4不妨设x₁<x₂所以4因为a>0,所以3ax₁<3ax₂,所以sinx₁<sinx₂,(14分)又sinx₂=sin(所以x₁+x₂>3π.(17分)(3分)所以MN为△(3分)所以MNLAD,(4分)为平行四边形，所以四边形AMND(4分)为平行四边形，又因为DNC平面PAB,AMC平面PAB,所以DN//平面PAB.(6分)标系，A(0,0,0),B(4,0,0),P(0,0,2),C(0,4,0),D(一2,2,0),N(0,2,1),(8分)PB=(4,0,—2),NB=(4,—2,—1),DN=(2,0,1).(10分)设平面NBD的法向量为n=(x,y,z),不妨设x=1,则z=-2,y=3,所以n=(1,3,—2).(13分)设PB与平面NBD所成角为θ,所以PB与平面NBD所成角的正弦值为(15分)(3分)(2)由题意得(3)Y的可能取值为2,3,4,5,(4分)(5分)(6分)(7分)(8分)(前2次中有1次抽出“隐藏款”,第3次抽出“隐藏款”)(9分)(前4次都抽出“常规款”或前3次中有1次抽出“隐藏(前4次中有1次抽出“隐藏款”,第5次抽出“隐藏款”则Y的分布列为Y2345P(13分)设F(x,y),则AF=(x—1,y+2)=(-1,3),所以点F的坐标为(0,1).(3分)(2)(i)解：由题意得抛物线W:x²=4y,直线l的方程联立得x²一5x+4=0,(4分)不妨设),N(4,4),(5分)设M,N,A三点所在圆的圆心为T(xo,yo),题号题型