五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(新疆专用)12：找规律、新定义、动点问题与图形变换（教师版）

专题12找规律、新定义、动点问题与图形变换（解析版）考点1找规律与新定义1．（2022·新疆·中考真题）将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行第5个数是（

）A．98 B．100 C．102 D．104【答案】B【详解】观察数字的变化可知：第n行有n个偶数，因为第1行的第1个数是：；第2行的第1个数是：；第3行的第1个数是：；…所以第n行的第1个数是：，所以第10行第1个数是：，所以第10行第5个数是：．故选：B．2．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则．【答案】15【详解】解：∵，∴当时，；当时，，当时，，当时，，∴当时，，当时，，∴，，∴，∵不含项，∴，∴，设，则：，∴，∵均为的整数幂，为偶数，∴，∴，∴，∴；故答案为：15．考点2动点问题与图形变换3．（2021·新疆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，．点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿运动，当点P与点D重合时停止运动．设运动的时间为（单位：s），的面积为S（单位：），则S随t变化的函数图象大致为（

）【答案】D【详解】当点P在AB上运动时,S==6t，0≤t≤4；当点P在BC上运动时,S==24，4＜t≤7；点P在CD上运动,S=，7＜t≤11，故选D．【点睛】本题考查了矩形中的动点面积函数图像问题，正确进行分类，清楚函数图像的性质是解题的关键．4．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为．

【答案】【详解】解：，∴对称轴为，如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，

当时，，∴，当时，，解得，，∴，，在y轴上取点，连接，，，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵抛物线对称轴为，∴，∴，当E、C、F三点共线时，最小，设直线解析式为，∴，解得，∴，当时，，∴当最小时，C的坐标为，故答案为：．5．（2023·新疆·中考真题）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为．

【答案】/【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，

∵在中，，，，∴，∴，在中，∵将沿折叠得到，当点恰好落在上时，∴又∴∴∴设，∴在中，∴解得：（负整数）故答案为：．6．（2022·新疆·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心将绕点D顺时针旋转与恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若，则．【答案】【详解】连接DQ，∵绕点D顺时针旋转与完全重合，∴DF=DE，∠EDF=90°，，∴∠DFQ=∠DEQ=45°，∠ADF=∠CDE，∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAQ=∠BAQ=45°，∴∠DFQ=∠DAQ=45°，∴∠DFQ、∠DAQ是同一个圆内弦DQ所对的圆周角，即点A、F、Q、D在同一个圆上（四点共圆），∴∠FDQ=∠FAQ=45°，∠AQF=∠ADF，∴∠EDQ=90°-45°=45°，∠DQE=180°-∠EDQ-∠DEQ=90°，∴FQ=DQ=EQ，∵A、B、C、D是正方形顶点，∴AC、BD互相垂直平分，∵点Q在对角线AC上，∴BQ=DQ，∴BQ=DQ=FQ=EQ，∵∠AQF=∠ADF，∠ADF=∠CDE，∴∠AQF=∠CDE，∵∠FAQ=∠PED=45°，∴，∴，∴，∵BQ=DQ=FQ=EQ，∠DQE=90°，∴，∴，∴，故答案为：．7．（2021·新疆·中考真题）如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将按逆时针方向旋转得，连接EF，分别交BD，CD于点M，N．若，则．【答案】【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA=1，．∵△DAE绕点D逆时针旋转得到△DCF，∴CF=AE，DF=DE，∠EDF=∠ADC=90°．设AE=CF=2x，DN=5x，则BE=1-2x，CN=1-5x，BF=1+2x．∵AB∥DC，∴．∴．∴．整理得，．解得，，（不合题意，舍去）．∴．∴．过点E作EP⊥BD于点P，如图所示，设DP=y，则．∵，∴．解得，．∴．∴在Rt△DEP中，．即．故答案为：8．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）如图1，是等边三角形，点D在边上，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线匀速运动，到达点A后停止，连接，设点P的运动时间为，为，当动点P沿匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示，有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；④动点P沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】解：由图知当动点P沿匀速运动到点C时，，作于点E，是等边三角形，点D在边上，，，，∴，∴，∴.故①正确；当时，，,，是等边三角形，∴，∴.故②正确；当时，且时，最小，，，∴，∴最小为，即y能取到，故③错误；动点P沿匀速运动时，∵，∴，由①知：，由，∴，当时，过D作，由③可知：，，则，∴，∴，，故④错误；综上所述，正确的有①②．故选：B．9．（2025·乌鲁木齐经开区·学业水平监测）如图1，在中，连接，，．动点从点出发，沿边匀速运动．运动到点停止．过点作交边于点，连接，．设，，与的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：延长至，使，连接，连接交于，，，，四边形是平行四边形，，，，，四边形是平行四边形，，，四边形是平行四边形，，，，，四边形是矩形，，当、、三点共线时，最小，即最小，当运动到时，最小，由图得：当时，，此时与重合，与重合，，，，，，，，，，，当时，，函数图象最低点坐标为，故选：B．10．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵，∴，，，归纳类推得：（其中为正整数），∴，∴，故选：D．11．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图1，在正方形中，，分别为边，上的动点，且．设，两点之间的距离为，的面积为，与的函数关系图象如图所示．已知点的横坐标为，则点的纵坐标为(

)A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由图可知，当时，，此时点与重合，点与重合，，解得，如图，在延长线上取一点，使，，，，，，，，，，即，，，，当时，则，，设，则，在中，，，解得，，，即，点的纵坐标为，故选：B．12．（2025·乌鲁木齐水磨沟区·一模）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（）A．2 B．3 C． D．【答案】C【详解】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，故，当点P运动到中点时，的长为，故选C．13．（2025·乌鲁木齐一中·一模）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：如图所示，设交于点，∵菱形，，∴又∵，∴是等边三角形，∵，，∴∴∴当时，重合部分为，如图所示，依题意，为等边三角形，运动时间为，则，∴当时，如图所示，依题意，，则∴∴∵∴当时，当时，同理可得，当时，同理可得，综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线；故选：D．14．（2025·乌鲁木齐兵一·模拟预测）在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接、，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】作A（0，2）关于x轴的对称点A’（0，-2）过A’作A’E∥x轴且A’E=CD=2，故E（2，-2）连接BE交x轴与D点过A’作A’C∥DE交x轴于点C，∴四边形CDEA’为平行四边形，此时AC+BD最短等于BE的长，即AC+BD=A’C+BD=DE+BD=BE==故选B．15．（2025·乌鲁木齐·三月学业水平测试）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上的一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则下列结论中:①；②；③tan∠EAF=；④正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【详解】解：∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，CE＝BE＝1，∵AF⊥DE，∴∠DAF+∠ADN＝∠ADN+∠CDE＝90°，∴∠DAN＝∠EDC，在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（ASA），∴DF＝CE＝1，∵AB∥DF，∴△ABM∽△FDM，∴，∴S△ABM＝4S△FDM；故①正确；根据题意可知：AF＝DE＝AE＝，∵×AD×DF＝×AF×DN，∴DN＝，∴EN＝，AN＝，∴tan∠EAF＝，故③正确，作PH⊥AN于H．∵BE∥AD，∴，∴PA＝，∵PH∥EN，∴，∴AH＝，∴PH=∴PN＝，故②正确，∵PN≠DN，∴∠DPN≠∠PDE，∴△PMN与△DPE不相似，故④错误．故选A．16．（2025·吐鲁番市·三模）如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：通过已知可得到第6、7、8行的从左到右第一个数分别为∴第7、8行的从左到右第二个数分别为：，∴第8行从左到右的第三个数为：故选：B．17．（2025·吐鲁番市·一模）如图，等边的边长为，动点P从点A出发，以每秒的速度，沿A→B→C→A的方向运动，当点P回到点A时运动停止．设运动时间为x（秒），，则y关于x的函数的图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：如图，过C作CD⊥AB于点D，则cm，cm，当点P在AB上时，，cm，cm，∴，该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线；当时，即点P在线段BC上时，cm；则，∴该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为；当时，即点P在线段CA上，此时，cm，则，∴该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为直线；故选：C．18．（2025·喀什地区·二模）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有：故选C．19．（2025·和田地区·三模）如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形与交于点与交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积等于正方形面积的四分之一；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【详解】解：①∵四边形是正方形∴，，，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴∴，∴，故结论①正确；②设与相交于点T，如图1所示：∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴在中，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，故结论②正确；③∵，∴，∴，∵，∴故结论③正确；④过点O作于点H，如图2所示：∵是等腰直角三角形，∴由勾股定理得：∵，，，∴，∴∵，，∴是等腰直角三角形，∴，在中，由勾股定理得：∴即，故结论④正确，综上所述：正确结论的序号是①②③④．故选：D．20．（2025·伊宁市·九年级阶段性质量抽测）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】①当时，∵正方形的边长为，∴；②当时，，所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，故选A．21．（2025·乌鲁木齐市十三中·三模）如图，∠AOB=30°，OA=4，D为OA的中点，点P是射线OB上的一个动点，连结AP，DP，将△ADP沿DP折叠，折叠后得到△DPA'，当△DPA'与△ODP的重叠部分的面积恰好为△ODP面积的一半时，OP的长为．【答案】2或/2或2【详解】解：①若PA′与为OA交于点F，连接A′O，如图．∵点D是AO的中点，∴OD=AD=2．由折叠可得A′D=AD=2，由题可得S△DFP=S△ODP=S△ADP=S△A′DP，∴DF=OD=OF，PF=A′P=A′F．∴四边形A′DPO是平行四边形，∴OP=A′D=2；②若DA′与BO交于点G，连接AA′，交DP与H，如图．同理可得GP=OP=OG，DG=DA′=×2=1．∵OD=AD，∴DG=AP=1，∴AP=2，过点A作AC⊥OB于点C，∵∠AOB=30°，OA=4，∴AC=2，∴点P与点C重合，∴OP=OC=2．故答案为：2或2．22．（2025·乌鲁木齐·五月学业测试）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是．【答案】【详解】解：如图，取中点，连接并延长，交于，∴是的中位线，∴且，∴点的运动轨迹是线段，如图，连接，，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，∴，∴的最小值为，由勾股定理得，，故答案是：．23．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，当时，的值为．【答案】0，4或【详解】解：如图，以点为圆心，长为半径画圆，交于点，交于点，过点作交于点，根据题意，结合图形可知，，由图2点可得，假设长为，由勾股定理得，即解得,∴，根据等面积法可得，由勾股定理得，根据垂径定理得，即此时；，结合图形可得此时；当点与点重合时，,此时；综上，或或，故答案为：0，4或．24．（2025·乌鲁木齐·九年级适应性测试）如图，等边三角形中，，、分别是边、上的动点，且，则的最小值为．【答案】【详解】解：取中点，中点，作，使，作，交延长线于点，点是中点，点是中点，，，，，又等边三角形，，，又，，，，当点在线段上时取最小值，长度为线段的长，，，，，，，故答案为：．25．（2025·乌鲁木齐市一中·模拟预测）榫卯被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，是中国传统木艺的灵魂．下图结构为固定榫槽的连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当连接结构数分别有1个和2个时，总长度如图所示，则当有n个连接结构时，总长度为．

【答案】/【详解】解：当连接结构数为1时，总长度为，当连接结构数为2时，总长度为，则每增加1个连接结构，总长度增加，结合图可知，每个连接结构的长度为，∴当连接结构数为1时，总长度为，当连接结构数为2时，总长度为，当连接结构数为n时，总长度为，故答案为：．26．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，将菱形沿对角线对折，点D与点B重合，，，G，H分别是，上的点，P，Q为上两点，沿裁剪并展开，要使展开图是相邻两边长比为的矩形，则矩形的面积为．【答案】或【详解】解：∵四边形为菱形，，，如图，当展开图是相邻两边长比为的矩形时，有两种情况满足．①，设，则，，即，，此时展开图矩形的边长分别为和4，面积为，②，设，则，，即，，此时展开图矩形的边长分别为2和，面积为．综上所述，矩形的面积为或．故答案为：或．27．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为s．【答案】或或【详解】解：由题可知是边上的中线，所以不会出现，则可分两种情况讨论：①当时，如图，过作，交延长线于点，，设，则，∴，在中，，即，解得（舍去）或，∴此时；②当时，且在线段上，如图，过作于点，设，则，∴，在中，，即，解得或（舍去），∴，∴，此时；③当时，且在线段延长线上，如图，过作于点，设，则，∴，在中，，即，解得（舍去）或，即此时与重合，∴，∴，此时；综上，的值为或或；故答案为：或或．28．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，是等边三角形，，是边上的高，点为上的一动点，以为边作等边，连接，，则的最小值为．【答案】【详解】解：是等边三角形，是边上的高，，，，，是等边三角形，，，，，，，，如图，作点关于的对称点，连接，交的延长线，连接，此时的值最小，最小值为的长，，，，是等边三角形，，，，，的最小值为，故答案为：．29．（2015·乌鲁木齐一中·二模）如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是．

【答案】﹣1，4，，【详解】解：设点P的坐标为，

则点Q为，点B为（0，3），当点P在点Q上方时，BQ==a，PQ=﹣a2+2a+5﹣（﹣a+3）=﹣a2+a+2，∵PQ=BQ，∴a=﹣a2+a+2，整理得：a2﹣3a﹣4=0，解得：a=﹣1或a=4，当点P在点Q下方时，BQ==a，PQ=﹣a+3﹣（﹣a2+2a+5）=a2﹣a﹣2，∵PQ=BQ，∴a=a2﹣a﹣2，整理得：a2﹣8a﹣4=0，解得：a=4+2或a=4﹣2．综上所述，a的值为：﹣1，4，4+2，4﹣2．故答案为﹣1，4，4+2，4﹣2．30．（2025·乌鲁木齐·九年级三月学业测试）如图，将边长为的等边沿射线平移得到，点，分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时，．

【答案】或/8或4【详解】解：如图，当时，

∵，∴是斜边上的中线，∴，∴，∴，故将向右平移个单位即可，∴；如图，当时，

∵，是等边三角形，点，分别为，的中点，∴，∴，∴，∵为的中点，，∴，∴在中，，，∴，∴，∵点是线段的中点，∴，故将向右平移个单位即可，∴；故答案为：或．31．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在中，，，为边上一动点（点除外），以为一边作正方形，连接，则；中，边上的高为；；当面积取最大值时，长为，以上结论正确的有．（写序号）【答案】【详解】解：过作于点，分别过作，交延长线于点，∴，∵，，∴，∴，∴，故正确；∵，∴，∴，故正确；如图，过作于点，连接，当点与点重合时，即三点共线时，∵为中点，∴，∴，故不一定正确；∵，，∴，∴，∴，∴，，设，则，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，当时，即时，面积取最大值，此时，故正确；综上可知：正确，故答案为：．32．（2025·新疆吐鲁番·三模）如图，在等边三角形中，点P，Q

分别是，边上的动点（都不与线段端点重合），且，、相交于点．下列四个结论：①若，则；②若，，则；③；④若，则的最小值为，其中正确的是．【答案】①③④【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，如图，过P作交于D，∴，，∴，，∴，∴，∴；故①正确；过B作于E，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，或，故②错误；在等边中，，，在与中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．故③正确；以为边作等边三角形，连接，交于点，如图所示，∴，，∵，∴，∴点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形的中心M，设于圆M交点，即为的最小值，∵，，∴垂直平分，∴，∴，在中，，∴，，∴，

∴，

即的最小值为，故④正确．综上：正确的有①③④．故答案为：①③④．33．（2025·新疆吐鲁番·二模）如图，E，F是正方形的边上的点，且，P是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是．

【答案】【详解】解：如图所示，在上截取，过点H作交于G，连接，连接交于，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴；∵，∴，∴，∴，∴当H、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，∴当有最小值时，点P与点重合，∵，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．

34．（2025·吐鲁番市·一模）如图，AB是的直径，M、N是异于A，B的两点，C是一动点，的角平分线交于点D，的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则E，C两点的运动路径长的比是．【答案】【详解】解：如图，连接EB．设OA=r．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵E是△ACB的内心，∴∠AEB=135°，作等腰Rt△ADB，AD=DB，∠ADB=90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，∵∠MON=2∠GDF，设∠GDF=α，则∠MON=2α，：=：=，故答案为：．35．（2025·新疆昌吉·一模）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为．【答案】5【详解】解：，，．，．，．，，，设，则，整理得，由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，设抛物线的解析式为，抛物线过点，，解得，，，．故答案为∶5．36．（2025·喀什地区·四月学业测试）如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为处．若，，则的长为．【答案】/【详解】解：连接交于点，如图，在中，，，，由勾股定理，得，点是边的中点，，，，将沿着折叠，使点落在边的中点处，，，，，又，，，，，，即，，解得，，在中，由勾股定理，得．故答案为：．37．（2025·喀什地区·三模）如图，矩形中，点G，E分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若