平方差公式的运用课件2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学7年级下册1.3.2平方差公式的运用第一章

整式的乘除1.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简便运算；(重点)2.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.(难点)1.问：平方差公式是怎样的？(a+

b)(a−b)=a2−b2.2.利用平方差公式计算：(1)(2x

+7b)(2x

–7b)；

(2)(－m

+3n)(m

+3n).

4x2－49b29n2－m2

探究点一

平方差公式的几何验证如图①，边长为

a

的大正方形中有一个边长为

b

的小正方形.(1)

请表示图①

中阴影部分的面积.ab图①a2−b2(2)

小颖将阴影部分拼成了一个长方形

(如图②

)，这个长方形的长和宽分别是多少?你能表示出它的面积吗?ab

图②

中长：a

+b，

宽：a

−b，

面积：(a+b)(a−b).比较(1)和(2)的计算结果，你能验证平方差公式吗?(a＋b)(a－b)＝a²－b²图②探究点一

平方差公式的几何验证还有其他的几何方法解释吗？aba+ba-baa-b

baabba-b

算一算！探究点一

平方差公式的几何验证例1

用平方差公式进行计算：(1)103×97；

(2)118×122.解：103×97=(100＋3)(100－3)=1002－32=10000－9=9991.解：118×122=(120－2)(120＋2)=1202－22=14400－4=14396.注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用.探究点二

平方差公式的运用解：(1)原式＝(50+1)(50－1)＝502－12＝2500－1＝2499.(1)51×49；(2)13.2×12.8.1.利用平方差公式计算：(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96.【练一练】探究点二

平方差公式的运用例2

计算：(1)a2(a+b)(a

-

b)+a2b2；

(2)(2x

-

5)(2x+5)

-

2x(2x

-

3).解：(1)原式=a2(a2

-

b2)+a2b2

=a4

-

a2b2+a2b2=a4.(2)原式

=(2x)2

-

25

-

(4x2

-

6x)=4x2

-

25

-

4x2+6x=6x

-

25.探究点二

平方差公式的运用

解：原式＝(9x2－16)－(6x2+5x－6)＝3x2－5x－10.(3x+4)(3x-

4)-

(2x+3)(3x-

2).2.利用平方差公式计算：【练一练】探究点二

平方差公式的运用(a+

1)(a−1)=a2

−

1(1)计算下列各式，并观察他们的共同特点：7×9=

11×13=

79×81=______

8×8=

12×12=

80×80=______631436399641446400

【观察·思考】(2)观察上述算式及其结果，你发现了什么规律?(3)请用字母表示你发现的规律。探究点二

平方差公式的运用例3

王大伯家把一块边长为

a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为

a2，

改变边长后面积为

(a＋4)(a－4)＝a2－16.

因为

a2＞a2－16，所以

李大妈吃亏了.探究点二

平方差公式的运用平方差公式文字描述几何验证两数和与这两数差的积，等于它们的平方差(a+b)(a－b)=a2－b2多项式乘多项式(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd符号表示c=a，d=-b1.

计算(300－1)(300＋1)的结果是(

B

)A.89998B.89999C.89996D.99991B2.

如图①，在边长为

a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分剪拼成如图②所示的长方形.通过计算剪拼前后阴影部分的面积，可以验证的等式是（

A

）AA.(a＋b)(a－b)＝a2－b2B.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C.(a－b)2＝a2－2ab＋b2D.

a(a－b)＝a2－ab3.

若(x＋1)(x－1)－x2＝x，则x＝

⁠.4.

有三个连续的偶数，中间一个是a，则它们的积

是

⁠.－1

a3－4a

5.

用平方差公式进行计算：(1)999×1001＋1；

(2)1232－124×122；1000000.解：(1)原式＝(1000－1)(1000＋1)＋1

＝10002－12＋1＝1000000.

(2)原式＝1232－(123＋1)(123－1)

＝1232－1232＋12＝1.

(2)原式＝3(4a2－1)－4a2＋8a＝12a2－3－4a2＋8a＝8a2＋8a－3.返回C2．[2025重庆巴渝学校期中]如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是(

)A．(m＋n)(m－n)＝m2－n2B．(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2

C．(m－n)2＝m2－2mn＋n2D．(m＋n)2＝(m－n)2＋4mnC返回3.

对于任意有理数a，b，现用“☆”定义一种运算：a☆b＝a2－b2.根据这个定义，代数式x☆(x－y)可以化简为(

)A．2xy＋y2

B．－2xy＋y2C．2xy－y2

D．x2返回【点拨】x☆(x－y)＝x2－(x－y)2＝x2－(x2－2xy＋y2)＝2xy－y2.故选C.C4．要使等式(x－y)2＋M＝(x＋y)2成立，整式M应是(

)A．2xy

B．4xy

C．－4xy

D．－2xyB返回5．若(2x－ky)2＝4x2＋12xy＋9y2，则k的值为________．返回－3返回6.若将多项式4a2－2a＋1加上一个单项式成为一个多项式的平方，则这个单项式可以是_________________．(只要写出符合条件的一个即可)－2a(答案不唯一)【解】(2a－3b)2＝(2a)2－2·2a·3b＋(3b)2＝4a2