2025北京北师大附中高二10月月考数学试题及答案

高中2025北京北师大附中高二10月月考数学2025.10.21一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.在空间直角坐标系中，已知点，，，若，则a的值为（）.A. B. C.5 D.63.直线和直线互相平行，则实数a的值为（）A. B.C.或 D.或4.如图，在平行六面体中，若，则（）A. B. C. D.5.与直线关于y轴对称的直线的方程为（）.A. B.C. D.6.正四棱锥的所有棱长均为2，则侧面与底面所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.“”是“坐标原点在圆的外部”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（）A.3 B. C.5 D.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.已知空间向量，，则__________，__________.10.设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为__________.11.两条直线与相交于第一象限，则实数a的取值范围是_________.12.如图，在三棱锥中，平面，则_______．13.已知直线l为圆的一条对称轴，且直线l经过点，则l的方程为__________.14.如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，动点P在直线DC上移动，对于下列四个结论：①存在唯一点P，使得；②三棱锥的体积不变；③平面截正方体所得截面形状是梯形或平行四边形；④的面积最小值为；则所有正确结论的序号是__________.三、解答题（共2小题，每小题15分，共30分）15.如图所示，已知为正方形ABCD的中心，且直线AB的方程为.（1）求点G到直线AB的距离；（2）求BC边所在的直线的方程；（3）求正方形ABCD外接圆的方程.16.如图，平面平面ABCD，，，，，E为PD中点.（1）求证：平面PBC；（2）求平面ABE与平面PAB所成角的余弦值；（3）求点D到平面ABE的距离.17.在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关．（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；①，；②，．（2）给定，，点集．（）求集合中与点相关的点的个数；（）若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值．

参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）12345678BDDAADBD二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.【答案】因为向量，，则，所以，.故答案为：；4.10.【答案】因为，所以线段的中点，且.所以与垂直的直线的斜率为，所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即.故答案为：11.【答案】解：由得∵两直线ax+y﹣4＝0与x﹣y﹣2＝0相交于第一象限∴解得：﹣1＜a＜2故答案为﹣1＜a＜212.【答案】因为平面，面，所以，所以，又，所以，.故答案为：.13.【答案】圆，即为，可知圆心为，半径，若直线l为圆的一条对称轴，可知直线l过圆心，且直线l经过点，则直线l的方程为，即.故答案为：.14.【答案】对于①：由平面平面，得，同理，若在线段上，设，所以，又，由得，存在唯一点使得；若在直线上，且在点左侧，设，则，所以，又，由，得，舍去；若在直线上，且在点右侧，设，则，所以，又，由，得，舍去，①正确；对于②：正方体中，平面，所以到平面的距离不变，即到平面的距离不变，而面积不变，因此三棱锥，即四面体的体积不变，②正确；对于③：过作平面，则为中点，连接，则，过作，则为中点，过作，则，连接，则平面；过作，则为中点，过作，则为中点，过作，则是靠近的三等分点，所以，连接，则五边形是平面截正方体所得，③错误；对于④：以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图，正方体棱长为，则，设，则，，又，，所以，设到直线的距离为，则，若在线段上，则，由二次函数性质知时，递减，所以，又不变，所以的面积最小为；若直线上，且在左侧，则，由二次函数性质知，时，无最小值；若直线上，且在右侧，则，由二次函数性质知，时，在时，取得最小，且此时，又不变，所以的面积最小为，④错误；故答案为：①②.三、解答题（共2小题，每小题15分，共30分）15.【答案】（1）因为，且直线AB的方程为，所以点G到直线AB的距离.（2）因为直线BC垂直于直线AB，且直线AB的方程为，设直线BC的方程为，因为为正方形ABCD的中心，则点G到直线BC的距离，解得或，结合图形可知：不合题意，即，所以直线BC的方程为.（3）由题意可知：正方形ABCD外接圆圆心为，半径为，所以正方形ABCD外接圆方程为.16.【答案】（1）取PC的中点F，连接，BF，因为E是PD的中点，则，，又因为，，则，，可知四边形是平行四边形，则，且平面，平面，所以平面.（2）在平面内过点B作垂直于AB，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，可得，，且，以B为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，可得，，设平面ABE的法向量为，则，取，则，，可得，又因为平面的一个法向量为设平面ABE与平面所成角为，且为锐角，则，故平面ABE与平面所成角的余弦值为.（3）由（2）可知：，平面ABE的法向量为，所以点D到平面ABE的距离.17.【答案】若点，相关，则，，而，不妨设，则由定义可知，化简变形可得，（1）对于①，；对应坐标取绝对值，代入可知成立，因此相关；②对应坐标取绝对值，代入可知，因此不相关.（2）（）在第一象限内，，可知且，有个点；同理可知，在第二象限、第三象限、第四象限也各有个点.在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件；在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条