2025北京北师大实验中学高二12月月考数学试题及答案

高中2025北京北师大实验中学高二12月月考数学考生须知1.本试卷共6页，共3道大题，21道小题，答题卡共4页，满分150分2.在试卷和答题卡上准确填写班级､姓名､学号.3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.2.已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2),若(a+b)⊥c,则x等于()A.4 B.-4 C. D.-63.圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A.－ B.－C. D.24.双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.5.“”是“圆与轴相切”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=A.2 B.3C.4 D.87.如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（）A.1 B. C. D.8.从甲､乙､丙､丁､戊5个人中选1名组长1名副组长，但甲不能当副组长，不同的选法种数是（）A.6 B.10 C.16 D.209.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为A.2 B.3 C.6 D.810.点是正方体的底面内（包括边界）的动点.给出下列三个结论：①满足的点有且只有个；②满足的点有且只有个；③满足平面的点的轨迹是线段.则上述结论正确的个数是（）A. B. C. D.二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.的展开式中的系数为_______________.12.若直线与垂直，则________.13.设椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上且，若为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为__________.14.正方体的棱长为2，M，N，E，F分别是，，，的中点，则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为______，CE和该截面所成角的正弦值为_______．15.关于曲线，给出下列四个结论：①曲线既关于原点对称，又关于直线对称；②曲线是封闭图形，且该封闭图形的面积大于；③曲线不是封闭图形，且它与圆有公共点；④曲线与曲线恰有四个公共点，且这四点恰为某正方形的四个顶点.其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题（本大题共小题，共分）16.如图，正方体的棱长为为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17.现有6本不同的书，分给甲乙丙三人.按以下要求，各有几种分法？（用数字作答）（1）甲得1本，乙得1本，丙得4本；（2）一人得1本，一人得1本，一人得4本；（3）平均分给甲､乙､丙三人；（4）一人得1本，一人2本，另外一人3本.18.如图，在四棱锥中，平面，，点为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值；（3）若线段与平面交于点，求的值.19.已知过原点的动直线与圆交于不同的两点.（1）求圆的圆心坐标和半径；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）若直线与曲线有公共点，直接写出的取值范围.20.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆C上，且.（1）求椭圆C的标准方程；（2）椭圆C上的两点P，Q关于原点O对称，点R在椭圆C上，且直线PR与圆2相切，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.21.对于，定义曲线.（1）求曲线与直线的公共点的坐标；（2）记为曲线被轴所截得的线段长度与被轴所截得的线段长度之和，求当变化时，的最小值；（3）设坐标原点为，若对于任意，曲线上均存在不同两点，使得，且，求的取值范围.

参考答案一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案ABABADACCC二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.【答案】的展开式的通项为：，令，可得的展开式中的系数为.故答案为：36.12.【答案】因为直线与垂直，所以，化简整理得，解得或，故答案为：0或113.【答案】因为，且为等腰直角三角形，所以，所以，由椭圆的定义可知，，整理得，即该椭圆的离心率为.故答案为：14.【答案】如图，取的中点G，BC的中点P，CD的中点H，连接GM，GN，FH，PE，PH，PF，∵，，，，∴平面平面PEFH，∴过且与MN平行的平面截正方体所得截面为四边形PEFH，∵PE＝2，，四边形PEFH是矩形，∴过且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积；以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则E（1，2，0），F（0，1，0），H（0，1，2），，，，，设平面PEFH的法向量为，则，取x＝1，得，设和平面PEFH所成角为θ，则，∴CE和该截面所成角的正弦值为．故答案为：，15.【答案】若点在曲线上，则满足，将点代入得，故曲线关于原点对称；点关于直线的对称点是，代入得，故曲线关于直线对称；①正确；因为，所以，所以，故曲线是无界的，不是封闭图形，②错误；联立曲线与圆的方程可得，化简得，解得，对应的，所以曲线与圆有公共点，③正确；联立曲线与曲线的方程得，化简得，解得，所以，对应的，所以曲线与曲线恰有四个公共点，坐标为.由于，所以，所以这四个公共点不是正方形的四个顶点，④错误；故答案为：①③.三､解答题（本大题共小题，共分）16.【答案】（1）连接与交于点，连接，因为四边形为正方形，所以为的中点，又因为为中点，所以，因为平面平面所以平面（2）因为为正方体，所以如图建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为所以，令，则所以，设直线与平面所成角为，所以17.【答案】（1）（1）甲､乙､丙依次选书，得；（2）在（1）的基础上，得4本书的可以是甲､乙､丙三人的任何一个，共；（3）甲､乙､丙依次选书，得；（4）先把书分三堆，再分给三个人：.18.【答案】（1）取的中点，连接，因为，，所以，又因为，所以四边形是平行四边形.因为，所以四边形是正方形，则，所以，得到，所以.因为平面，平面，所以，又，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）因为平面，所以，则两两垂直，如图建立空间直角坐标系.则，所以.设平面的一个法向量为，所以所以，即，令，则，所以，又因为平面的一个法向量为，所以，由已知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.（3）取中点，连接，又为的中点，所以且，而，所以，所以为平行四边形连接，则线段与平面的交点，即为它们的交点，又因为为平行四边形，则，所以.19.【答案】（1）圆由得.∴圆心坐标为，半径为2.（2）设，可知，，即，整理可得：.联立，消去y得，解得，即两圆交点的横坐标为.因为是线段的中点，所以点在圆的内部，故可得：横坐标的取值范围为.如图：所以轨迹方程为（3）因为直线与曲线有公共点，所以圆到直线的距离，，，解得.当时，联立与，消去y得，解得，当时，同理可得.即直线与曲线C相切时的切点的横坐标为，如图：所以直线与曲线有公共点，的取值范围是20.【答案】（1）设椭圆的半焦距为c，由点在椭圆C上，可得，又由，解得，所以，所以椭圆C的标准方程为.（2）①当直线PR的斜率不存在时，可得直线PR的方程为或，若直线RP：，直线，可得，则，所以，即，若直线RP：时，由对称性，同理可得.②当直线PR斜率存在时，设直线PR的方程为，因为直线PR与圆O：相切，所以圆心O到直线PR的距离为，即，设，则，联立，整理得，则，且，所以，因为，，所以.所以.综上所述，的值为定值1.21.【答案】（1）曲线，两边平方整理得，联立方程，解得