2025北京房山中学高二（下）检测一数学试题及答案

高中2025北京房山中学高二（下）检测一数学试卷共4页，共150分.考试时间90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一、选择题：（每小题5分，共50分）1.数列，3，，，…，则是这个数列的第（）A.8项 B.7项 C.6项 D.5项2.设数列的前项和为，则的值为（）A. B. C. D.3.已知函数，且，则（）A. B. C. D.4.若等比数列满足，且公比，则A. B. C. D.5.下列求导运算正确的是A. B.C. D.6.等差数列的前项和为，前项积为，已知，，则（）A.有最小值，有最小值 B.有最大值，有最大值C.有最小值，有最大值 D.有最大值，有最小值7.已知曲线在处的切线方程是，则与分别为A.5， B.，5 C.，0 D.0，8.若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.9.设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.已知函数满足，，则函数在处的瞬时变化率为（）A. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共30分）11.在等差数列中，已知，则该数列前5项和_______．12.已知函数，则______；______.13.我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是______.14.已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列.则该等比数列的公比为______.15.无穷数列的前n项和记为．若是递增数列，而是递减数列，则数列的通项公式可以为____．16.过原点作曲线的切线，则切点坐标为________，切线方程为________.三、解答题（共70分.要求有必要的解题步骤）17.已知函数.（1）求这个函数的导数；（2）求曲线在点处的切线方程.18.已知等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）等比数列的前项和为，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足的的最大值.条件①：；条件②：；条件③：.19.已知数列满足，，（1）计算，，，并推测的通项公式；（2）证明你所得到的结论.20.在数列中，，.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和公式.21.设和是两个等差数列，记（，2，3，…），其中表示，，…这s个数中最小的数.（1）若，，求证：不是等差数列；（2）若，，证明：是等差数列；（3）证明：或者对任意实数M，存在正整数m，当时，；或者存在正整数m，使得，，，…是等差数列.

参考答案一、选择题：（每小题5分，共50分）1.【答案】C【详解】解：数列，3，，，，可化为：数列，，，，，则数列的通项公式为：，当时，则，解得：，故是这个数列的第6项.故选：C．【点睛】本题考查的知识点是数列的函数特性，数列的通项公式，其中根据已知归纳总结出数列的通项公式，是解答的关键．2.【答案】A【详解】由于数列的前项和，所以，，所以.故选：A3.【答案】B【详解】，，解得：.故选：B.4.【答案】C【详解】试题分析：方法一：根据观察，数列可以为，即，那么.方法二：对于，又，则.方法三：对于，解方程可得，，那么通项，可知，，则.故选C.考点：1等比数列的基本性质;2等比数列的通项公式.5.【答案】A【详解】由题意，常数的导数为0，可得是正确的，所以A是正确的；根据导数的运算公式，可得，，，所以B、C、D是错误的，故选A.【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记导数的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.【答案】C【详解】依题意，由解得，，所以等差数列的前项和满足：最小，无最大值.，……，……所以时：，且为递减数列.故有最大值，没有最小值.故选：C7.【答案】D【详解】由题意得f（5）=﹣5+5=0，f′（5）=﹣1．故选D．【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．8.【答案】D【详解】若，则可得：，故选项A错误；若，则可得：，故选项B错误；若，则可得：，故选项C错误；不妨设的首项为，公差为，则有：则有：，故选项D正确故选：D9.【答案】C【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.10.【答案】C【详解】，在处的瞬时变化率为.故选：C.二、填空题（每小题5分，共30分）11.【答案】15【详解】∵，∴．故答案为：1512.【答案】①.②.【详解】，；.故答案为：；.13.【答案】【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为，则，解得所以第二天织布的尺数为.故答案为：.14.【答案】2【详解】设，则，，又，，成等比数列，则，又，则，则公比为.故答案为：215.【答案】

（答案不唯一）.【详解】因为是递减数列，可以考虑，而是递增数列，可以构造.故答案为：（答案不唯一）.16.【答案】①.（e，1）②.x-ey=0【详解】设切点坐标为：，因为，所以，因为切线过原点，所以切线的斜率为：，解得，，所以切点坐标为：，切线方程为：，即x-ey=0，故答案为：；x-ey=0.三、解答题（共70分.要求有必要的解题步骤）17.【答案】（1）（2）【小问1详解】；【小问2详解】由（1），，又，则切线方程满足.18.【答案】（1）（2）【小问1详解】设等差数列的公差为，，，，.【小问2详解】由（1）知：，设等比数列的公比为若选①②：，，，，，为递增数列，，，满足的的最大值为；若选①③：，，又，，，为递增数列，，，满足的的最大值为；若选②③：，或，又，，，为递增数列，，，满足的的最大值为.19.【答案】（1）；（2）证明见解析.【小问1详解】由题，；；.则推测；【小问2详解】证明：.当时，结论显然成立；假设成立，则，则.即成立时，也成立，又时，结论成立，则结论对所有正整数均成立，则.20.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【小问1详解】，又，数列是以为首项，为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）得：，.【小问3详解】由（2）得：.21.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；【小问