2025北京和平街一中高二10月月考数学试题及答案

高中2025北京和平街一中高二10月月考数学一、单选题1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.2.已知向量，，则（）A. B. C. D.3.已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（）A. B. C. D.4.如图，直线，，，的斜率分别为，，，，则（）A. B.C. D.5.两条平行直线和间的距离为，则a，d分别为（）A.， B.，C.， D.，6.已知平面的法向量，且点，，则点P到平面的距离为（）A. B. C.2 D.47.直线经过点和以为端点的线段相交，直线斜率的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知两个不共线的向量，与平面共面，向量v是直线l的一个方向向量，则“存在两个实数x,y，使”是“l//”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.10.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（）A. B. C.3 D.6二、填空题11.已知，则______.12.过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是__________.13.已知点，点是直线上的动点，则的最小值为___________.14.将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，且点与点重合，则的值是______．15.已知，，三点，点在平面内，是平面外一点，，则___________.，与的夹角为___________.16.如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是________．①直线平面②三棱锥的体积为定值③异面直线AP与所成角的取值范围是④直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、解答题17.已知向量，.（1）求;（2）求;（3）若，求的值.18.已知的顶点为，，，求：（1）边所在直线的方程；（2）边上的高所在直线的方程．19.已知直线．（1）求证：直线恒过定点；（2）当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程；（3）当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程；20.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PB的中点，______．从①；②平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题的横线中，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分．（1）求证：四边形ABCD是直角梯形．（2）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．（3）在棱PB上是否存在一点F，使得平面PCD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．21.对于平面直角坐标系中的两点，现定义由点到点的“折线距离”为.（1）已知，求；（2）已知点，点是直线上的一个动点，求的最小值；（3）对平面上给定的两个不同的点，是否存在点，同时满足①②.若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明.

参考答案一、单选题题号12345678910答案BABDDBDBAD二、填空题11.【答案】由题设.故答案为：12.【答案】联立，解得，即交点坐标为.

因为所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率为，所以所求的直线方程是：，即.

故答案为：.13.【答案】解：依题意点到直线的距离，所以的最小值为；故答案为：14.【答案】点与点关于折痕对称，两点的中点坐标为，两点确定直线的斜率为，则折痕所在直线的斜率为2，所以折痕所在直线的方程为：，即，由点与点关于对称，得到点与点也关于对称，则，解得，所以.故答案为：.15.【答案】∵四点共面，又，∴，可得.故，，则，，∴，，，∴，由，∴.故答案为：1，.16.【答案】对于①，连接，，，，平面，平面，平面，平面，，同理，，，平面，平面，直线平面，故①正确；对于②，∥，平面，平面，∥平面，点在线段上运动，点到平面的距离为定值，又的面积为定值，利用等体积法知三棱锥的体积为定值，故②正确；对于③，∥，异面直线与所成的角即为与所成的角，当点位于点时，与所成的角为，当点位于的中点时，，，此时，与所成的角为，异面直线与所成角的取值范围是，故③错误；对于④，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，则，，，，，，设平面的法向量，则，即，令，得，所以，直线与平面所成角的正弦值为：，当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故④正确.故答案为：①②④三、解答题17.【答案】（1）由题意，.（2）由，，得，则.（3）由，得，则，即，解得.18.【答案】（1）因为，，所以边所在直线的方程为，即.（2）由（1）可知：直线的斜率，则高的斜率，所以高所在直线的方程，即.19.【答案】（1）由直线可改写为，联立，可得，将点代入原直线方程，显然成立，故直线恒过定点，得证.（2）当原点到直线的距离最大，即点到点的距离，此时，由，则，故，整理得.（3）由题设，令是关于的对称点，则，可得，故，由题意，反射光线过和原点，所以反射光线所在直线方程为.20.【答案】（1）解：选择①：证明：平面，平面，，，因为，，，，，，平面，平面，平面，，，，四边形是直角梯形．选择②：证明：平面，平面，，，，，，，，，平面，平面，平面，，，四边形是直角梯形．（2）解：过作的垂线交于点，平面，，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，2，，，2，，，0，，，，，为的中点，，，，，，，，2，，，2，，设平面的法向量为，，，则，令，得，1，，设直线与平面所成角为，则，．直线与平面所成角的正弦值为．（3）解：设，则，，，，，，，，平面，，，解得．故存在点F，且．21.【答案】（1）.（2）因为点为直线上的动点，故可设点的坐标为，则.当且仅当时等号成立，故的最小值为，此时点坐标为.（3）注意到点与点不同，下面分三种情况讨论.若，则，由条件②得，即，所以由条件①得.所以，所以，所以.因此，所求的点