2025北京牛栏山一中高二3月月考数学试题及答案

高中2025北京牛栏山一中高二3月月考数学2025.03第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知，则的值为（）A.3 B.4 C.5 D.62.甲、乙、丙、丁四名学生代表高二（1）班参加校运动会4×100米接力比赛，则他们的出场顺序的方案数可以表示为（）A. B. C. D.3.若，且，则等于（）A.4 B.2.4 C.0.96 D.0.244.展开式中第四项的系数为80，则等于（）A.8 B.4 C.2 D.5.对于的展开式，下列说法正确的是（）A.的展开式中共有6项.B.展开式中的第四项与的展开式中的第四项不同.C.的展开式中奇数项与偶数项的系数相等.D.的展开式中系数为有理数的项共有四项.6.一场元旦联欢晚会上有3个舞蹈节目，4个歌曲节目，2个语言类节目；则3个舞蹈类节目两两不相邻的节目安排种类数为（）A. B. C. D.7.春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒2》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶、小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为（）A.120 B.36 C.24 D.68.盒子中共有3个红球和5个黄球，从中随机取出3个球，则取出的红球多于黄球的概率为（）A. B. C. D.9.北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为（）A.60 B.90 C.150 D.24010.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，且，则下列说法正确的是（）A.点的轨迹为圆.B.点到原点的最短距离为1.C.点的轨迹所围成的图形的面积为6.D.点的轨迹是一个正方形.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上.11.已知离散型随机变量的分布列如下表，则________.012312.若事件，相互独立，其中，，则________.13.二十四节气是中国古代用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的智慧结晶.春、夏、秋、冬每个季节各包含六个节气.李华同学计划从中随机选取2个节气开展知识讲座，则两个节气恰好在同一季节的概率为________；若已知选取的2个节气均属于春季，则其中包含“立春”的概率为________.（“立春”是春季的六个节气之一.）14.的展开式中含项的系数为________；展开式中各项的系数和为________.15.若曲线上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，下列方程的曲线有“自公切线”的是________.①；②；③；④.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知二项式的展开式中，各项二项式系数之和为64.（1）求的值及展开式中的常数项；（2）求展开式中所有项的系数和；（3）求展开式中二项式系数最大的项.17.“猜灯谜”是我国传统节日元宵节的特色活动.某公司组织猜灯谜比赛，根据谜底不同分为“字谜”、“事谜”、“物谜”三种类型，每个人每类灯谜只能猜一个.小张猜对“字谜”、“事谜”、“物谜”的概率分别为、、，假设每类灯谜猜对与否互不影响.（1）求小张恰好猜对一类灯谜的概率；（只列式不化简）（2）求小张至少猜对一个灯谜的概率.（只列式不化简）18.某高中为了解学生日常运动情况，从该校学生中随机抽取100名学生作为样本，统计他们一周之内总运动时间，将结果按下图所示分组，得到样本学生一周内总运动时间的频率分布直方图，假设以频率估计概率.（1）求的值，并计算样本中学生一周内总运动时间在小时的人数；（2）从该校学生中随机抽取5人，其中一周内运动总时间在小时的人数记为，求；（只列式不化简）（3）记为样本中所有学生一周内总运动时间的平均值，从样本中随机挑选一名学生，记为该名学生一周内总运动时间，比较与的大小.（结论不要求证明）19.小型热带鱼具有颜色好看，小巧耐活，繁殖能力强等特点，深受大众喜爱.张先生在家里的鱼缸中养殖了3条孔雀鱼、5条虎皮鱼和7条斑马鱼.（1）从鱼缸中随机捞出2条鱼，求两条鱼种类不同的概率；（2）从鱼缸中随机捞出2条鱼，记其中孔雀鱼数量为，虎皮鱼数量为，设，求的分布列及其期望；（3）若张先生又从市场购买了孔雀鱼、虎皮鱼和斑马鱼各3条并投入鱼缸，此时从鱼缸中随机捞出2条鱼，记其中孔雀鱼数量减去虎皮鱼数量之差为，比较（2）中与的大小（结论不要求证明）.20.已知椭圆，点.（1）求椭圆的离心率和短轴长；（2）设直线与椭圆有两个不同的交点，，且，求实数的取值范围.21.如图，设是由个实数组成的2行列数表，其中表示数表中第行第列的实数，满足：，且.……记为所有这样的数表组成的集合.对于任意，记，；记为的一个子集，定义“变换”为：对于任意，若，则令，不变；若，则令，不变.数表A经过“变换”所得新数表记为.（1）对如下数表A，直接写出一个集合，使其满足；240204（2）证明：对于任意，存在集合满足；（3）证明：对于任意，存在集合满足且.

参考答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【详解】，化简得：，解得：或（舍去）.故选：B2.【答案】A【详解】任意四个同学都可以跑四个位置，所以可以安排顺序，故选：A3.【答案】D【详解】因为，所以，解得，所以，故选：D4.【答案】C【详解】，所以，解得，故选：C5.【答案】D【详解】由，可知展开式共7项，故A错误；展开式中的第四项为，的展开式中的第四项为，相同，故B错误；因为展开式的通项公式为，所以第一项的系数为8，第二项的系数为，不相等，故C错误；展开式的通项公式为，当系数为有理数时，，共四项，故D正确.故选：D6.【答案】A【详解】先安排好除3个舞蹈节目外其余6个节目，再插空法安排3个舞蹈节目，共有种不同的安排方法，故选：A7.【答案】B【详解】爷爷、奶奶、小明三人相邻有种排法，再把爷爷、奶奶、小明三人视作一个元素，与爸爸、妈妈全排列，有种排法，根据分步乘法计数原理，可知共有种不同的坐法，故选：B8.【答案】D【详解】取出的红球多于黄球的事件为：取出3红球，取出2红球1黄球两个互斥事件，所以取出的红球多于黄球的概率，故选：D9.【答案】C【详解】依题意5名同学参加三个项目比赛，每个项目至少有一名同学先分组再排列，5人分为：1,1,3，则有种；5人分为：1,2,2，则有种，所以一共有种方法；故选：C.10.【答案】C【详解】设P点坐标为，则由已知条件可得，整理得．又因为，所以P点坐标对应轨迹方程为．，且时，方程为；，且时，方程为；，且时，方程为；，且时，方程为．P点对应的轨迹如图所示：，且，所以P点的轨迹为菱形．AD错误；原点到：的距离即AB边上的高为，故B错误；轨迹图形是平行四边形，面积为，C正确．故选：C．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上.11.【答案】【详解】由分布列性质可知，，解得，故答案为：12.【答案】【详解】因为，所以，由题意相互独立，所以,所以，故答案为：13.【答案】①.②.【详解】从24个节气中任选2个节气的所有情况有种，则两个节气恰好在同一季节的情况有,故两个节气恰好在同一季节的概率为，若已知选取的2个节气均属于春季有种情况，则其中包含“立春”的概率为，故答案为：，14.【答案】①.12②.81【详解】根据组合的知识，4个因式中选出2个提供，剩余两个因式选一个提供，剩下的因式提供，即可得出，故其系数为，令，可得各项系数和为；故答案为：12；8115.【答案】②④【详解】，当，则，当，则，表示的图形如下（实线部分），所以①没有“自公切线”.函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，该函数的一条自公切线为，故此函数有“自公切线”，即②有“自公切线”；③，即，则，假设有“自公切线”，设切点分别为，，且，所以切线的斜率，解得：，则，故，化简得：，无解，所以③没有“自公切线”.④，当，则，当，则，表示的图形如下（实线部分），由于两圆相交，有公切线，所以④有“自公切线”.故答案为：②④三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1），常数项为60（2）1（3）【小问1详解】由题意可得解得，所以该二项式为，则通项公式为：．令，解得，所以该二项式的展开式中的常数项为．【小问2详解】取，故展开式中所有项的系数和，【小问3详解】由于，故展开式中二项式系数最大为，故二项式系数最大的项为．17.【答案】（1）（2）【小问1详解】设小张猜对“字谜”、“事谜”、"物谜“分别为事件，则，且事件相互独立.设小张恰好猜对一类灯谜为事件D，则.【小问2详解】(2)设小张至少猜对一个灯谜为事件E，则.18.【答案】（1）0.04，40（2）（3）【小问1详解】由频率分布直方图可知，，解得，样本中学生一周内总运动时间在小时的频率为，所以人数为.【小问2详解】若用样本频率来估计总体概率，则学生一周内总运动时间落在区间[4.6)的概率，今从该校学生中随机抽取5人，记其中一周总运动时间在[4,6)的人数为则,所以.【小问3详解】因为为样本中所有学生一周内总运动时间的平均值，若从这100人当中再随机抽取1人，记其一周运动时间为Y，则由于是从同一个样本中取值，所以.19.【答案】（1）（2）期望为，分布列见解析（3）【小问1详解】鱼缸中一共有15条鱼，从中任选两条，总情况有,故从鱼缸中随机捞出2条鱼，两条鱼种类相同的概率为，故两条鱼种类不同的概率为【小问2详解】其中孔雀鱼数量为，虎皮鱼数量为，当时，则或，此时概率,当时，则，此时概率,当时，则，此时概率,当时，则，此时概率,当时，则，此时概率,故的分布列为012【小问3详解】记其中孔雀鱼数量为，虎皮鱼数量为，设，则当时，则或，此时概率,当时，则，此时概率,当时，则，此时概率,当时，则，此时概率,当时，则，此时概率,故的分布列为012，故故20.【答案】（1）离心率为，短轴长为，（2）【小问1详解】依题意得，故，进而故离心率为，短轴长为，【小问2详解】由得.因为直线与椭圆有两个交点，所以，即（*），设，，则，所以，所以线段的中点．易知,直线的斜率，由，得，所以，解得将代入到（*）中，得，即，且解得，综上所述，实数的取值范围是．21.【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【小问1详解】当时满足条件，变换后的数表为240000S=2+4+0=6，T=0+0+0=0，S+T=6，符合题意；当时,变换后的数表为000204，符合题意；当时,变换后的数表为200004，不符合题意；当时,变换后的数表为040204，不符合题意；当时,变换后的数表为000200，不符合题意；当时,变换后的数表为040200，符合题意；当时,变换后的数表为200000，不符合题意；当时,变换后的数表为240004，不符合题意；以上任意符合题意的集合都可以作为集合，即.【小问2详解】证明：因为，且.,定义,即将列中第一行的数大于等于第二行的数的列的列数构成集合，则变换后每一列中只剩一个不超过2的数，，符合题意.这就证明了对于任意，存在集合满足；【小问3详解】每一列的数对可能为(0,4),(4,0),(1,3),(3,1),(2,2),(1,2),(2,1),对于(0,4),(1,3