2025北京人大附中高二（下）统练三数学试题及答案

高中2025北京人大附中高二（下）统练三数学2025.5.19一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分）1.下列式子错误的是（）A. B.C. D.2.若函数的导函数的图象如图所示，则的极小值点是（）A. B.0 C.1 D.23.曲线在点处的切线的倾斜角等于（）A. B. C. D.4.对图中个区域涂色，有种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都使用），要求每个区域涂种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（）A.种 B.种 C.种 D.种5.用0，1，2，3，4组成无重复数字的三位偶数有（）A.24个 B.30个 C.40个 D.48个6.5人排成一排，其中甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻的排法共有（）A.12种 B.24种 C.36种 D.48种7.已知数列满足，则数列的第2024项为（）A. B. C. D.8.已知等差数列的公差为，集合，若，则（）A. B.0 C.1 D.9.已知函数（a为常数），则（）A.为奇函数 B.为偶函数C.为增函数 D.为减函数10.已知函数，数列满足，.给出下列四个结论，其中正确的是（）A.若，则有4个不同的可能取值B.若，则C.对于任意，存在正整数，使得D.对于任意大于2的正整数，存在，使得二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.若，则_______；_______.12.数列已知数列中，等比数列的公比满足且，则__．13.已知数列的前n项和为且，则_____________．14.已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，若M，N关于x轴对称，则实数a的最小值是__________．15.已知函数.给出下列四个结论：①存在实数a，使函数的值域是；②存在实数a，使得有最小值；③对任意实数a，至少存在两个零点；④存在，有，使得；其中所有正确结论的序号是______.三、解答题（共3题，满分35分）16.将4个编号为的小球放入4个编号为的盒子中．（1）有多少种放法？（2）恰好有一个空盒，有多少种放法？（3）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？17.某商场在“五一”劳动节期间，要对某商品进行调价，已知该商品的每日销售量y（单位：）与销售价格x（单位：百元/）满足，其中，该商品的成本为1百元/．（1）将该商场每日销售该商品所获利润表示为销售价格x的函数；（2）当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多少？（参考数据：）18.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.四、附加题（选做，共1题，满分15分）19.已知数列满足：，，.（1）若，证明：为常数列，并求的通项公式；（2）将随机填入的方格表中，证明：对任意某行，不存在其它的行或列，使其各自所有数之和相等；（3）将所有任意两项的算术平均数按从小到大的顺序排列，得到的新数列的前项和为，证明：.

参考答案一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分）1.【答案】A【分析】根据基本导数法则求出各选项的正确导数值，逐一验证各选项的正确性.【详解】选项A:，故A错；选项B:，故B对；选项C：，故C对；选项D:，故D对.故选：A.2.【答案】D【分析】根据极值点的定义即可结合导函数的图象求解.【详解】根据极小值点的定义可知，极小值点导数左负右正，故只有当时，函数取得极小值，故极小值点为2.故选：D3.【答案】C【分析】利用导函数定义求得导函数，根据切线的几何意义以及倾斜角的定义，可得答案.【详解】，所以.又切线的倾斜角的范围为，所以所求倾斜角为.故选：C4.【答案】B【分析】先涂区域，有种选择，再涂区域、、、，各有种选择，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】先涂区域，有种选择，再涂区域、、、，各有种选择，故不同的涂色方法有种.故选：B.5.【答案】B【分析】根据题意，分在个位与不在个位种情况讨论，分别求出每一种情况的三位偶数的个数，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，分种情况讨论：

①在个位，在剩下的个数字中任选个，安排在百位、个位，有种选法，

②不在个位，需要在、中选个，个位有种选法，不能在首位，则首位有种选法，则十位有种选法，此时有种选法，

则一共可以组成个无重复数字的三位偶数.

故选：B．6.【答案】B【分析】根据题意，假设5人中除甲乙丙之外的两人为、，分3步进行分析：①，用捆绑法分析甲乙，将甲乙看成一个整体，②，将、全排列，③，在3个空位中任选2个，安排甲乙整体与丙，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，假设5人中除甲乙丙之外的两人为、，分3步进行分析：①，将甲乙看成一个整体，考虑2人的顺序，有种情况，②，将、全排列，有种情况，排好后有3个空位，③，在3个空位中任选2个，安排甲乙整体与丙，有种情况，则满足题意的排法有种；故选：．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．7.【答案】B【分析】由得，又由得,由累加法即可得，最后利用等比数列前项和公式即可求解.【详解】由得，又由得，所以，将上式相加得.故选：B.8.【答案】B【分析】先写出等差数列的通项公式，然后根据三角函数的周期性和已知集合的元素个数来分析的取值情况，进而求出的值.【详解】根据已知条件，等差数列的通项公式为：.根据三角函数的性质，.这说明数列的周期为3.因为集合，即有三个不同的值.设时，；时，；时，.根据三角函数两角和公式可得：..则故选：B.9.【答案】B【分析】通过对函数进行相应的运算，结合奇偶性的定义判断奇偶性；对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性.【详解】对于A，首先求：已知，若为奇函数，则恒成立，即恒成立.因为恒成立，所以，解得，所以为奇函数，选项A错误.对于B，接着求：已知，若为偶函数，则恒成立，即恒成立.因为不恒为，所以，解得，所以为偶函数，选项B正确.对于C，D，对求导得.当时，，，所以，则为增函数.当时，令，即，则，，解得.当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以选项C、D错误.故选：B.10.【答案】D【分析】对A，由已知得，若，分别对分类讨论即可判断；对B，若，求得即可判断；对C，当时，计算可判断；对D，，进而可得，可判断．【详解】对于A，，所以，若，当时，，解得．当时，则，解得，当时，则，解得；当时，，解得，当时，则，解得，当时，则，解得（舍去）；综上可得：可以取3个不同的值：7，，，故A错误；对于B，，则数列是周期为5的数列，若，因，则，，，，，故B错误；对于C，当时，，，，所以不存在正整数，，故C错误．对于D，先考虑数列的周期性，对于，则，，，，，要使是周期数列，则有，解得，从而存在，使得数列是周期数列，周期为，从而要使周期为，只需，即即可，故D正确．故选：D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.【答案】①.1②.【分析】赋值令可得；先令，再令，之后作差可得.【详解】令可得；令可得，令可得，两式相减可得.故答案为：1；.12.【答案】【分析】由题知，进而得，再根据等比数列求和公式求解即可.【详解】解:,所以，，所以故答案为：13.【答案】【分析】利用错位相减法求解即可.【详解】因为，所以①，则②，，得所以，故答案为：.14.【答案】【分析】由题意可知关于轴对称的图象与函数的图象有交点，即方程在上有解，设，即在上有零点，求导得到的单调性和最值，进而列出不等式求出的取值范围即可．【详解】由题意知存在，关于轴对称，即关于轴对称的图象与函数的图象有交点，即方程在上有解，设，即与轴有交点，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，因为，所以的最小值为，所以，所以，解得，所以实数的最小值是．故答案为：．【点睛】思路点睛：将函数的点对称问题转换为函数的零点或方程的根的问题，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．15.【答案】②④【分析】根据二次函数的性质，结合指数函数的性质即可判断①；根据时，根据二次函数的性质，结合函数性质即可判断②，根据即可判断③，构造，利用导数求解函数的单调性即可判断④.【详解】当时，当时，为开口向上的二次函数，，故此时的值域为的子集，而时，，且当时，，故此时值域不可能为，当时，当时，为开口向下的二次函数，，故此时的值域为的子集，而时，，故此时值域不可能为，当时，值域为，不为，因此值域不可能为，故①错误；当时，当时，为开口向上的二次函数，，故此时，当时，，综上可得时，，故②正确，当时，当时，，此时在单调递减，此时只有一个零点，当时，，此时无零点，故当时，只有一个零点，故③错误，当时，，若，则，所以，令（），则，故在上单调递增，故，故当时，此时在上有实数根，因此存在，使得，④正确，故答案为：②④【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．三、解答题（共3题，满分35分）16.【答案】（1）256（种）（2）144（种）（3）12（种）【分析】（1）根据分步乘法计数原理即可求解；（2）方法1先分组再分配即可；方法2先取4个球中的两个“捆”在一起，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，最后利用分步乘法计数原理即可求解；（3）方法1先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个，利用组合数即可求解；方法2恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步计数原理即可求解，【小问1详解】每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法．【小问2详解】（方法1）先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有种投放方法，故共有（种）放法．（方法2）先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，所以共有（种）放法．【小问3详解】（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有（种）放法．（方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法，由分步计数原理得，共有（种）放法．17.【答案】（1），（）（2）当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小.【分析】（1）根据“利润销售量单位利润”可列出函数关系.（2）求导，分析函数的单调性，进而可得函数的最大、最小值.【小问1详解】由题意：，（）.【小问2详解】因为，（）.设，（）.则，因为，所以.所以函数在上单调递增.又，，又当时，，所以，所以在上单调递减；当时，，所以，所以在上单调递增.又，，.所以当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小.18.【答案】（1）在上为减函数，在上为增函数（2）.【分析】（1）求导可得，可求单调区间；（2）分离变量，可得，令，求得的最大值即可.【小问1详解】函数的定义域为，当时，，所以，当时，，在上为减函数，当时，，在上为增函数，综上所述：在上为减函数，在上为增函数；【小问2详解】若，不等式恒成立，则对均成立，所以令，则，令，显然为上的减函数，又，所以，，则在上为增函数，当时，，则在上为减函数，所以，所以，所以，所以实数的取值范围为.四、附加题（选做，共1题，满分15分）19.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）构造常数列，则得到；（2）设，，再证明两者不等即可；（3）通过放缩计算得，则【小问1详解】由题意得，