2025北京日坛中学高二10月月考数学试题及答案

高中2025北京日坛中学高二10月月考数学2025.10命题人：高二数学备课组时间：120分钟满分：150分一、选择题，共10小题，每小题5分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.2.已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（）A.1 B.2 C.3 D.43.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）．A. B.C. D.4.圆的圆心到直线的距离为（）A. B. C. D.5.若过原点的直线与圆切于第二象限,则直线的方程是A. B. C. D.6.如果直线与直线平行，那么等于（）A. B. C.1 D.7.已知直线与，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为16，则椭圆的方程为A. B.C. D.9.直线与圆交于，两点，若，则的取值范围为（）A. B.C. D.10.已知点，若过点的直线交圆于，两点，是圆上一动点，则下列命题中正确的个数为（）①的最小值为②到的距离的最大值为③的最小值为④的最大值为A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题，共6小题，每小题5分，共30分.11.已知，，则______.12.长方体中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．13.若直线与直线之间的距离为，则实数的值为________；14.已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于，两点，则______.15.若方程表示曲线.（1）若曲线是圆，则的值是______.（2）若曲线是椭圆，则的取值范围是______.16.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.则下列结论中正确的有___________.

①当向运动时，二面角的大小不变②二面角的最小值为③当向运动时，总成立④在方向上的投影向量为三、解答题，共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.根据下列条件分别写出直线的方程.（1）经过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程；（2）已知点，，求线段的垂直平分线的方程；（3）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.18.已知点，，线段是圆的直径.（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.19.根据下列条件求椭圆的标准方程.（1）焦点在轴上，过点，离心率；（2）一个焦点为，过点；（3）短轴长为2，离心率.20.如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小；（3）在线段上是否存在一点，使直线与直线所成的角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.21.如图，正方体的棱长为，为的中点，点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题.条件①：；条件②：；条件③：平面.（1）求证：为的中点；（2）求直线与平面所成角的大小；（3）求点到平面的距离.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

参考答案一、选择题，共10小题，每小题5分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.12345678910BCACBAADDC二、填空题，共6小题，每小题5分，共30分.11.【答案】向量，，则，所以.故答案为：12.【答案】分析：连接，就是异面直线与所成角，在中，由余弦定理可得结果.详解：由题知，连接，异面直线与所成角，即为与所成角，在中，；在中，；在中，，故由余弦定理，中，，故答案为：.点睛：本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到，异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.13.【答案】直线，即与直线之间的距离为，则，解得或，经验证，符合题意，所以实数的值为或.故答案为：或14.【答案】由椭圆，可得，所以椭圆的右焦点，则过右焦点与轴垂直的直线方程为，将代入椭圆的方程，可得，即，即或，所以.故答案为：.15.【答案】（1）若方程表示圆，则，解得.（2）若方程表示椭圆，即表示椭圆，则或者.解得或，所以的取值范围为.故答案为：（1）；（2）.16.【答案】建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，因为在上，且，故可设，，，所以，.对于①，连接，平面即为平面，而平面即为平面，故当向运动时，二面角的大小不变，①对；对于②，设平面的法向量为，又，所以，所以取，则，所以是平面的一个法向量，又平面的一个法向量为，所以，设二面角的平面角为，则为锐角，故，因为，故，所以，当且仅当时取最大值，此时取最小值，②对；对于③，因为，故不恒为零，③错；对于④，因为，，所以，故在方向上的投影向量为，④对.故答案为：①②④.三、解答题，共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.【答案】（1）联立，解得，即，设该直线方程为，则有，即，故该直线方程为；（2），则线段的垂直平分线的斜率，又中点为，则该直线方程为，即；（3）当该直线过原点时，设为，则有，解得，则该直线为，即；当该直线不过原点时，设为，则有，解得，即该直线为；综上，该直线方程为或.18.【答案】（1）已知点，，线段是圆M的直径，则圆心的坐标为，∴半径，∴圆的方程为；（2）由(1)可知圆的圆心，半径为.设为中点，则，，则.当的斜率不存在时，的方程为，此时，符合题意；当的斜率存在时，设的方程为，即kx－y＋2＝0，则，解得，故直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.19.【答案】（1）因为椭圆的焦点在轴上，可设其标准方程为，因为椭圆过点，离心率，则有，解得，故椭圆的标准方程为.（2）因椭圆的一个焦点在轴上，且，可设椭圆的标准方程为，由点在椭圆上，代入可得又，联立解得，故椭圆的标准方程为.（3）由题意知，联立解得故当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为；当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为，故椭圆的标准方程为或.20.【答案】（1）∵平面，，∴平面，∴，，又四边形是正方形，∴，故，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，∵，∴，，，，，，∵，，分别为，，的中点，∴，，，，平面的一个法向量为，又∵，∴，又∵平面，∴平面.（2），，设为平面的一个法向量，则，即，取，得，，，设为平面的一个法向量，则，即，取得，∴，∴平面与平面所成锐二面角的大小为.（3）假设在线段上存在一点，使直线与直线所成角为，设，其中，由，则，又∵，，∴，∵直线与直线所成角为，，∴，即，解得，∴，，∴在线段上存在一点，使直线与直线所成角为，此时.21.【答案】（1）证明：选条件①：由，根据正方体的对称性，此时点为上的任意一点，所以不成立；选条件②：．连接，在正方体中，由平面，因为平面，所以，又因为，，所以，因为平面，所以