2025北京十四中高二12月月考数学试题及答案

高中2025北京十四中高二12月月考数学注意事项：1．本试卷共三页，共23道小题，满分150分.考试时间120分钟.2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题用28铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5．答题不得使用任何涂改工具.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知直线l经过两点，，那么直线l的斜率为（）A. B. C. D.32.双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B. C. D.4.如图，过边长为的正方形的顶点A作线段平面，若，则平面与平面所成的二面角的大小是（）A. B. C. D.5.有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法?（）A.8 B.12 C.16 D.106.已知向量，，，则下列结论正确的是（）A.向量与向量的夹角为B.C.向量在向量上的投影向量为D.向量与向量、不共面7.已知圆与圆外切，则直线与圆的位置关系是（）A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相离8.已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（）A. B. C. D.9.在平面直角坐标系中，已知点，若点为圆上的动点，则的最大值为（）A.3 B. C. D.10.如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为底面上一动点，则下列说法正确的是（）A.存在点Q，使得BQ平面B.在棱上存在点Q，使得平面C.在线段上存在点，使得直线与所成的角为D.存在点，使得三棱锥的体积为2第二部分（非选择题共110分）二、填空题共8小题，每小题5分，共25分.11.过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是__________．12.用组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为_________.13.某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状.由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为_____cm.14.已知曲线与轴交点为，与抛物线交于、两点，则_____，的面积为_____.15.数学史上，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为“卡西尼曲线”．卡西尼是法国天文学家，他在1675年研究土星及其卫星的运行规律时，发现了这种类型的曲线，为纪念他对土星研究的贡献，美欧在1997年合作发射的土星探测器就是以他的名字命名的．设卡西尼曲线的两定点为和，常数为．则给出下列四个结论．①曲线一定过原点；②曲线一定关于坐标轴对称；③当且仅当时，曲线上存在到距离相等的点；④曲线上存在点使得的面积大于．其中，所有正确结论的序号是_______．三、解答题共5小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.从男女共名志愿者中，选出人参加社会实践活动．（1）共有多少种不同的选择方法?（2）若要求选出的三人中既有男生又有女生，求共有多少种选择方法?（3）若要求选出的名志愿者中有男女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法?17.如图，在直三棱柱中，.（1）证明：直线平面；（2）求二面角的余弦值.18.已知以点为圆心的圆与直线相切．（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l过点且与圆C交于AB两点，劣弧AB所对圆周角为，求直线l的方程；（3）从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，满足，求点P的轨迹方程．19.已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆C上，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设为椭圆C的左右顶点，P为椭圆C上异于的任一点，M为中点，求证：直线与直线的斜率之积为定值；（3）若椭圆C的右焦点为F，过的直线l与椭圆C交于D，E，求证：直线与直线关于直线对称．20.如图，四棱锥中，平面，，．为的中点，点在上，且．（1）求点到平面的距离；（2）在棱上，是否存在点，使得四点共面?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．（3）设平面与平面的交线为，求直线与直线所成角大小．21.已知椭圆的一个顶点为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交于点、，当时，求直线的方程．

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.题号12345678910答案CBBBBBCACD第二部分（非选择题共110分）二、填空题共8小题，每小题5分，共25分.11.【答案】由解得，直线的斜率为，故过且垂直于直线的直线方程为：，即.故答案为：12.【答案】由题,百位不能为0,且个位为奇数.当百位为其中一个时,奇数的个数为个.当百位为其中一个时,奇数的个数为.故共有个奇数.故答案为：13.【答案】以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：由题意，，所以，因双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的方程为，又点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线方程为，因为斧高12cm，令，得，所以，解得，所以，所以.故答案为：.14.【答案】在曲线的方程中，令，解得，即点，如下图所示：易知抛物线的焦点为，曲线的方程可化为，则，，所以，，则，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，，故答案为：；.15.【答案】设，由，可得：，对于①，将代入上式，可得：，即当时，曲线才过原点，故①错误；对于②，将x换为，y不变，代入方程，可得方程不变，则图象关于y轴对称；将y换为，x不变，可得方程不变，则图象关于x轴对称，故②正确；对于③，到距离相等的点在直线上，将代入曲线方程，解得，方程有解当且仅当，即，故③正确；对于④，，故④错误．故答案为：②③．三、解答题共5小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）从男女共名志愿者中，选出人参加社会实践活动，其方法数为种；（2）若选的三人都是男生，有种选法，若选的三人都是女生，有种选法，所以既有男生又有女生的选法有种；（3）根据题意，分步进行分析：①从名男志愿者和名女志愿者中选出男女，选择方法数共有种，②安排选出的人分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，有种情况，故不同选派方法数为种．17.【答案】（1）在直三棱柱中，平面平面，所以.又，平面，所以平面，又平面，所以.由，得四边形为正方形，所以.又，平面，所以平面.（2）因为平面，所以两两互相垂直，故以为原点，的方向分别为轴､轴､轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则.所以.设平面的法向量为，则，即，令，则，于是.由（1）可知：是平面的一个法向量.因为，由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.18.【答案】（1）已知圆的圆心，且圆与直线相切，可得：圆的半径，综上可得：圆C的方程为：，（2）根据题意，其圆心为，半径为，已知劣弧所对的圆周角为，则所对的圆心角为，由此可知，设圆心到直线的距离为，因此可得：，解得：.当直线l的斜率不存在时，其方程为，联立方程：，解得：或，此时直线l与圆C的交点为，，符合题意；当直线l的斜率存在时，设其方程为，即，则圆心C到直线l的距离，解得，所以直线l的方程为，综上，直线l的方程为或；（3）如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则，所以为直角三角形，即．设，由（1）知，，因为，所以，化简得点P的轨迹方程为．19.【答案】（1）由椭圆对称性，得，在椭圆上，则，椭圆的离心率，解得：，∴椭圆的标准方程：；（2）由（1）知.设，则，即.由题可知，则，且斜率存在.因为，得：.即直线与直线的斜率之积为定值.（3）当直线l斜率不存在时，直线l与椭圆没有交点，不合题意；所以设直线，设，联立得：，整理得：，则，且.则，得：，即.如图，因为直线垂直于轴，所以，即直线和直线与直线的夹角相等.故直线与直线关于直线对称．20.【答案】（1）过作的垂线交于点，因为平面，所以，如图建立空间直角坐标系，则，因为为的中点，所以，所以，所以，设平面的法向量为，则，，令，则，于是，易知向量为，设点到平面的距离为，所以．所以点到平面的距离为，（2）设，所以．因为四点共面，所以，所以，从而．所以在棱上，存在点，使得四点共面，此时．（3），轴垂直平面，可得平面的一个法向量，设直线的方向向量为，平面与平面的交线为，所以，令得：