2025北京首师大附中高二12月月考数学试题及答案

高中2025北京首都师大附中高二12月月考数学2025年12月一､选择题共9小题，每小题3分，共27分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.公比为2的等比数列{}的各项都是正数，且=16，则=A.1 B.2 C.4 D.82.已知抛物线的焦点为F，点在该抛物线上，且P的横坐标为4，则（）A.2 B.3 C.4 D.53.已知等差数列的前项和为，且，若，，成等比数列，则（）A.3 B.4 C.5 D.64.两位射击运动员在射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲79785491074乙85787610677用，分别表示甲､乙两名运动员10次射击成绩的平均数，用，分别表示甲､乙两名运动员10次射击成绩的标准差，则有（）A.， B.，C.， D.，5.已知数列满足，且，则（）A.1023 B.1535 C.1538 D.20476.“序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数（如1258），在两位的“序数”中任取一个数比56大的概率是A. B. C. D.7.在等比数列中，，记，则数列（）A.无最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项C.有最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项8.如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，，则双曲线的方程近似为（）（参考数据：，，）A. B. C. D.9.首项为正数的数列满足，给出下列四个结论：①存在和，使得是等比数列；②若且是奇数，则为奇数；③若且，则存在使得；④若且，则是递减数列.所有正确结论的序号是（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④二､填空题共6小题，每小题4分，共24分.10.200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示.则时速在的汽车大约有______辆.11.某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这500名同学编号为001，002，…500，假设从第1行第8列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为_________.12.设数列满足，且，则数列的前8项的和为______.13.如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图，他在这10场比赛中得分的分位数为______分.14.若公差为的无穷等差数列的前项和为，则下列说法：（1）若，则数列有最大项；（2）若数列有最大项，则；（3）若数列是递增数列，则对任意都有；（4）若对任意都有，则数列是递增数列；其中正确的是______.（选序号）.15.三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.三､解答题共4小题，共49分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知等差数列的前项和为，，（1）求数列的通项公式；（2）若等比数列满足，且公比，求数列的前项和．17.已知椭圆的左､右焦点坐标分别是，离心率是，直线与椭圆交于不同的两点，，以线段为直径作圆，圆心为.（1）求椭圆的方程；（2）若圆与轴相切，求圆心的坐标；（3）已知点，求椭圆上的点到点距离的最小值.18.已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的离心率和短轴长；（2）已知点，直线和直线分别与轴交于，，与轴交于，，若，求直线的斜率.19.已知无穷数列，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“严格数列”.（1）已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“数列”，并说明理由；（2）证明：数列为“数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”；（3）已知数列为“严格数列”，且对任意的，，，.求数列的最小项的最大值.

参考答案一､选择题共9小题，每小题3分，共27分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.题号123456789答案ADCCBACAB二､填空题共6小题，每小题4分，共24分.10.【答案】由图可知，时速在的汽车大约有辆.故答案为：11.【答案】由题意知，从第1行第8列的数字开始，被抽到的同学的编号依次为：，所以第5个被抽到的同学的编号为350.故答案为：35012.【答案】因为，所以，所以，所以.故答案为：13.【答案】根据茎叶图将比赛得分从小到大排列：，因为，所以这组数据的分位数是.故答案为：914.【答案】解：由等差数列的求和公式可得对于（1）若，由二次函数的性质可得数列有最大项，故正确；对于（2）数列-1，-1，-1，...-1，有最大项，有，故不正确；对于（3）若数列是递增数列，则对应的抛物线开口向上，但不一定有任意均有，故错误；对于（4）若对任意都有，则对应的抛物线开口向上，，可得数列是递增数列，故正确；故答案为：（1）（4）15.【答案】试题分析：作图可得中点的纵坐标比中点的纵坐标大，所以Q1，Q2，Q3中最大的是，分别作关于原点的对称点，比较直线的斜率（即为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数），可得最大，所以p1，p2，p3中最大的是三､解答题共4小题，共49分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）设的公差为，则，解得，∴；（2）因为，，所以，，由题可得，所以，∴.17.【答案】（1）因为椭圆的左右焦点分别为，所以，又离心率，所以，所以，所以椭圆的方程为：；（2）设分别位于轴的左右两侧，若，则，由，解得，此时圆心；若，则，由，解得，此时圆心，所以圆心的坐标为或.（3）设为椭圆上任意一点，则，，当时，.18.【答案】（1），，，，短轴长为；（2）当直线的斜率为0时，直线的方程为，，，，直线的方程为，，，直线的方程为，，此时点和重合，点和重合，，，，，，满足题意，此时直线的斜率为；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设，联立，消去，得到，整理得，，或，直线的方程为的斜率为，或，且，，在上，，，，，，，，，，，直线的方程为，设，，则，设，，则，同理得到，，，，，，，，，，，，，，或，或，或，，；综上可知，直线的斜率为或.19.【答案】（1）由于为等差数列，所以，为等比数列，，任意的，都有，故，所以数列是为“数列”，任意的，都有，故，所以数列不是为“数列”，（2）先证明必要性：因为为“数列”，所以对任意的，都有，即，所以对任意的，，，当时，有，所以，又，所以，又，故，即，故，再证明充分性：对于任意的，，，当时，有，即，对于任