2025北京顺义一中高二12月月考数学试题及答案

高中2025北京顺义一中高二12月月考数学（考试时间120分钟满分150分）2025年12月一、单选题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知向量a=(−1,2,1)，b=(3,x,1)，且a⊥b，那么|A.10 B.23 C.2．直线与圆相交所得的弦长为（

）A．1 B． C． D．23．甲、乙两个袋子中分别装有标号为1，2，3，4的4个球，这些球除标号不同外没有其他差别.分别从两个袋子中随机摸出一个球，则摸出的两个小球的标号相同的概率是（

）A． B． C． D．4.过点且与直线平行的直线与轴、轴分别交于、两点，则下列结论错误的是（

）A．直线的方程为 B．C．原点到直线的距离为 D．线段的中点在直线上5．与椭圆共焦点且过的双曲线方程为（

）A． B． C． D．6．从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（

）A． B． C． D．7．已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（

）A．B．C．D．8.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则(

)A.两人都中靶的概率为0.12 B.两人都不中靶的概率为0.42C.恰有一人中靶的概率为0.46 D.至少一人中靶的概率为0.749．某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（

）A．直方图中x的值为0.004B．在被抽取的学生中，成绩在区间[60，70）的学生数为10C．估计全校学生的平均成绩不低于80分D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分10.正方体ABCD−A1B1C1D1，P是线段BD1(不含端点)上的点．记直线PC与直线AB所成角为α，直线PC与平面A.β<γ<α B.α<β<γ C.γ<β<α D.γ<α<β二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分.11．数列满足，，，则.12.样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是

，第75百分位数是

．13．已知O为坐标原点，在抛物线上存在两点E，F，使得是边长为4的正三角形，则．14．如图，，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为．15．在直角坐标系中，为坐标原点，曲线的方程是，为上的任意一点．给出下面四个命题：①曲线上的点关于轴，轴对称；

②曲线上两点间的最大距离为；③的取值范围为；

④曲线围成的图形的面积小于．则以上命题中正确的序号有.解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.(本小题13分)某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查，调查结果如下表：阅读名著的本数12345男生人数31213女生人数13312(1)试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数；(2)若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率；(3)试比较该班男生阅读名著本数的方差s12与女生阅读名著本数的方差s22的大小17.(本小题14分)如图，在正方体中，正方体的棱长为2，为的中点．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求到平面的距离．18.(本小题14分)已知直线与圆相交于不同两点，.(1)求实数的取值范围(2)是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19.(本小题14分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(4,4)，F是抛物线C的焦点，直线AF交抛物线C于另一点B，(Ⅰ)求抛物线C的方程和焦点F的坐标;(Ⅱ)抛物线C的准线l上是否存在点N使AN⊥BN，若存在请求出N点坐标，若不存在请说明理由．20.(本小题15分)已知椭圆经过和两点，点为椭圆C的右顶点，点P为椭圆C上位于第一象限的点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N．(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)比较的面积与的面积的大小，并说明理由．21.(本小题15分定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记|MN|的最大值为m，|MN|的最小值为n，若m=2n，则称N为圆C的“黄金点”;若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“E−F”的“钻石点”.已知圆A:(x+1)2+(y+1)2=(1)求点P所在曲线的方程．(2)已知圆B:(x−2)2+(y−2)2=1，(ⅰ)求直线PQ的方程．(ⅱ)若圆H是以线段PQ为直径的圆，直线l:y=kx+13与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分∠IWJ?若存在，求出点W的坐标

参考答案一、单选题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C

【解答】解：因为a=(−1,2,1)，b=(3,x,1)，且所以−1×3+2x+1×1=0，即x=1，所以b=(3,1,1)所以|b故选C．2．【答案】D【详解】圆可化为，则圆心为，半径为，因圆心在直线上，则弦长为.故选：D3．【答案】B【分析】根据古典概型概率计算方法，求出事件概率.【详解】分别从两个袋子中随机摸出一个球，共有16种情况，小球标号相同的有4种，则摸出的两个小球的标号相同的概率是.故选：B.4．【答案】D【详解】依题意，设直线的方程为，由直线过点，得，解得，直线，由时，得点，由时，得点.对于A，直线的方程为，A正确；对于B，因，则，B正确；对于C，原点到直线的距离为，C正确；对于D，线段的中点不在直线上，D错误.故选：D5．【答案】C【分析】根据椭圆方程可得焦点坐标，设双曲线方程为，根据题意列式求解即可.【详解】由椭圆方程可知，即焦点坐标为，设双曲线方程为，则，解得，所以双曲线方程为.故选：C.6．【答案】B【分析】先列举出从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，共有10种取法，再求出取出的三条线段能构成一个三角形的情况有2种，根据古典概型的概率公式即可.【详解】从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，可能的情况有：共有10种可能，其中，能构成三角形的只有共2种可能，故这三条线段能构成一个三角形的概率为故选:7．【答案】A【分析】根据双曲线渐近线的斜率求得直线的斜率的取值范围.【详解】双曲线的渐近线方程为，斜率为，依题意，点，分别在双曲线的左支和右支上，所以直线的斜率的取值范围是.故选：A8.【答案】C

【解答】解：设事件A为“甲中靶”，设事件B为“乙中靶”，这两个事件相互独立，对于A，都中靶的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42，故A错误；对于B，两人都不中靶的概率为P(A−B对于C，恰好有一人中靶的概率为P(A)P(B−)+P(对于D，至少一人中靶，其对立事件为两人都不中靶，故至少一人中靶的概率为1−P(A−B故选：C．9．【答案】C【详解】由得，A错；成绩在区间[60，70）的频率为，人数为，B错；平均成绩为，C正确；低于90分的频率为，设样本数据的80%分位数约为分，则，解得，D错．故选：C．10.【答案】A

【解析】本题考查异面直线所成的角、线面角、面面角的求法，属中档题．建立空间直角坐标系，设P点为BD1中点，故通过空间向量可求得直线PC与直线AB所成角α的正弦值、直线PC与平面ABC所成角β的正弦值、二面角P−BC−A的平面角【解答】解：设正方形ABCD边长为2，以D点为原点，DA为x轴，DC为轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，设P点为BD1中点，故可得P(1,1,1)，C(0,2,0)，故可得PC=(−1,1,−1),因为直线PC与直线AB所成角为α，直线PC与平面ABC所成角为β，二面角P−BC−A的平面角为γ，故可得cosα=因为平面ABC一个法向量n1=(0,0,2)，设面PBC的一个法向量m=(x,y,z)由PC·m=0BC·故可得面PBC的一个法向量m=(0,1,1)因为cos故可得二面角P−BC−A的平面角为45°，即sinγ=因为6故可得β<γ<α，故选A．二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分.11．【答案】20【分析】根据递推关系即可求解.【详解】由，得，，，故答案为：2012.【答案】5；7；

【解答】解：样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，从小到大排列为：0，1，2，3，4，6，6，7，8，9，∵10×50%=5，∴该组数据的第50百分位数是4+62∵10×75%=7.5，第75百分位数是7．故答案为：5；7．13．【答案】【详解】根据抛物线的对称性可知：由为等边三角形，所以关于坐标轴对称，由,，所以,将代入可得，故答案为：14．【答案】【详解】解：连接，因为是圆的直径，所以，即，因为是等边三角形，所以所以所以在中，由双曲线的定义得即所以双曲线的离心率为故答案为：15．【答案】①③【详解】对于①,设在曲线的方程上,因为也在曲线的方程上,也在曲线的方程上,所以曲线上的点关于轴，轴对称;故①正确对于③,又因为曲线的方程是,所以,即得,得,所以,故③正确对于④当时,曲线的方程为,曲线与轴交点与轴交点,曲线上的点关于轴对称可以得到曲线的大致图像,曲线围成的图形的面积大于,故④错误;对于②,如图及曲线的对称性可知,曲线上两点间的最大距离为,故②错误;故答案为:①③解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】解：(1)女生阅读名著的平均本数为x=(2)设事件A={从阅读5本名著的学生中任取2人，其中男生和女生各1人}．男生阅读5本名著的3人分别记为a1,a2,a3从阅读5本名著的5名学生中任取2人，共有10个结果，分别是：a1,a2，a1,a3，a2,a3，b1其中男生和女生各1人共有6个结果，分别是：a1,b1，a1,b2，则P(A)=6(3)男生阅读名著的平均本数为3×1+1×2+2×3+1×4+3×510则ss所以s17.【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系，则,（2）因为正方体的棱长为2，∴，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，∴，设直线与平面所成角为，则|＝||＝，故直线与平面所成角的正弦值为．（3）∵，∴由（2）知，平面所的法向量为，∴平面，所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离，18.【详解】（1）圆的圆心，半径，圆心到直线的距离∵直线与圆相交于不同两点，，∴，即，解得或所以实数的取值范围为.（2）∵为圆上的点，∴AB的垂直平分线过圆心，∴直线PC与直线垂直，，∴解得，19.【答案】解：(Ⅰ)由抛物线y2=2px(p>0)经过点得16=8p，即p=2，所以抛物线C的方程为y2焦点F的坐标为(1,0)．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，抛物线C的方程为y2=4x，焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为所以直线AF的斜率为kAF所以直线AF的方程为y=4解方程组y=4得x即A，B两点的坐标分别为(4,4)，(1设准线l上存在点N使AN⊥BN，且N点坐标为(−1,y则NA·即(5,4−y即254即(y0−因此，点N的坐标为(−1,所以抛物线C的准线l上存在点N使AN⊥BN，且N点坐标为(−1,20.【答案】(1)，离心率；(2)相等，理由见解析【分析】（1）根据求椭圆方程，以及离心率；（2）首先设点的坐标，再利用坐标分别表示两个三角形的面积，做差后，即可比较大小.【详解】（1）由题意可知，，，所以椭圆方程为，离心率；（2）设直线，令，得，直线，令，得，所以，所以

21.【答案】解：(1)因为P为圆A的“黄金点”，所以|PA|+33所以点P的轨迹是以A为圆心，3故点P所在曲线的方程为(x+1)

(2)(i)因为P为圆B的“黄金点”，所以|PB|=3，即点P在圆(x−2)则P是圆(x+1)2+(y+1因为P，Q均为圆“A−B”的“钻石点”，所