2025北京育才学校高二6月月考数学试题及答案

高中2025北京育才学校高二6月月考数学一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.若，则（）A. B. C. D.2.数列满足且，则的值是（）A. B.4 C.1 D.3.某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为.则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为（）A. B. C. D.4.在等比数列中，已知，，则的值为（）A. B.4 C. D.5.某次考试学生甲还有四道单选题不会做，假设每道题选对的概率均为，则四道题中恰好做对2道的概率是（）A. B. C. D.6.数列的通项公式为，当达到最小时，n等于（）A.27 B.26 C.25 D.247.函数的示意图是A.B.C.D.8.若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（）A. B. C. D.9.数列的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，则在图中位于（）A.第31行第38列 B.第31行第39列C.第32行第38列 D.第32行第39列10.已知函数存在零点a，函数存在零点b，且，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.）11.若，则____.12.等差数列－2，1，4，……的前10项和为______.13.若函数在处的切线与直线平行，则________．14.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是_____________．15.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.当时，是上的增函数B.当时，直线与的图象没有公共点C.当时，的单调递减区间为D.当有一个极值点为时，的极大值为三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最值和最值点.17.已知在等差数列中，，．（1）求的通项公式；（2）若是等比数列，且，，求数列的前n项和．18.已知函数.（1）当时，求曲线的在点处的切线方程；（2）若函数在定义域上恰有一个零点，求a的取值范围.19.某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测，检测结果如下表：产品等级一等品二等品三等品样本数量（件）503020（1）若从流水线上随机抽取2件产品，估计2件产品中恰有1件一等品、1件二等品的概率；（2）若从流水线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中一等品的件数，为这3件产品的利润总额．①求X的分布列；②直接写出Y的数学期望．20.已知函数．（1）证明：在上单调递减；（2）若函数（为的导函数），且单调递增，求实数a的取值范围．21.已知函数.（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围.

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.【答案】B【分析】直接利用余弦函数的导数公式求解即可.【详解】因为，所以，故选B.2.【答案】C【分析】由递推关系，判断数列是公差为的等差数列，结合等差数列通项公式求结论.【详解】根据题意，由于，可知数列是公差为的等差数列，又，所以数列的通项公式为，所以，故选：C．3.【答案】D【分析】根据条件概率公式直接可得解.【详解】设事件为当天下雨，事件为当天刮风，则，，则已知刮风的条件下，也下雨的概率，故选：D.4.【答案】B【分析】利用等比中项性质列式求解【详解】等比数列中，.故选：B.5.【答案】C【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式列式计算即得.【详解】依题意，四道题中恰好做对2道的概率.故选：C6.【答案】D【分析】数列前项和最小值求法：满足不等式的，即为取得最小值的.【详解】由，所以，所以数列的前n项和

达到最小值时的.故选：D7.【答案】C【分析】当时，可得，排除；根据单调性排除，从而可得结果.【详解】由函数，当时，可得，排除，当时，可得，时，．当x从时，越来越大，递增，可得函数的值变大，排除，故选C．8.【答案】D【分析】求得的导函数，通过方程根的情况判断选项A；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项B；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项C；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项D.【详解】选项A：，则，由，可得则在处的切线的斜率为1.选项B：，则，由，可得则在处的切线的斜率为1选项C：，则，由，可得则在处的切线的斜率为1选项D：，则，则，则不存在斜率为1的切线故选：D9.【答案】D【分析】根据条件得到三角形形状第行的总项数是首项为，公差为的等差数列，从而求三角形形状第一行第一项到第行最后一项的总项数，即可得到第行最后一项，即可判断在图中位置.【详解】因为数列的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，则三角形形状第行的总项数是首项为，公差为的等差数列，即第行的总项数，所以三角形形状第一行第一项到第行最后一项的总项数为，则第行最后一项为，因为，所以在图中位于第行的列.故选：D.10.【答案】D【分析】先求出函数的零点，再把问题转化为方程在上有解，构造函数，利用导数法研究单调性，求出值域即可求出实数m的取值范围.【详解】因为，所以，则函数单调递增，又，所以函数的零点，由，得，解得，函数存在零点b，即方程在上有解，令，则，所以函数在上单调递增，因为，当且无限趋向于时，无限趋向于负无穷，则函数在上的值域为，所以实数m的取值范围是.故选：D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.）11.【答案】【分析】求导代入计算可得结果.【详解】由可得，∴，故答案为：12.【答案】【分析】求出等差数列的首项与公差，利用等差数列求和公式求解即可.【详解】等差数列－2，1，4，……的首项公差则该数列的前10项和，故答案为：13.【答案】0【分析】根据斜率相等，结合切点处的导数值即可求解.【详解】由题意可得，所以，解得，故答案为：014.【答案】【分析】函数在区间上单调递增，则在上恒成立，然后利用分离参数法即可得出答案.【详解】解：，因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，又在上递减，所以，所以的取值范围是.故答案为：.15.【答案】ABC【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断AC选项；计算得出，可判断B选项；利用函数的极值、极值点与导数的关系可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，则，当时，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，且不恒为零，所以，当时，是上的增函数，A对；对于B选项，当时，，因此，当时，直线与的图象没有公共点，B对；对于C选项，当时，对于方程，，由，可得，解得，因此，当时，的单调递减区间为，C对；对于D选项，当有一个极值点为时，，解得，则，，令，可得或，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的极大值为，D错.故选：ABC.三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为.（2）的最大值为，最大值点为；最小值为，最小值点为.【分析】（1）利用导数求函数的单调性即可.（2）利用导数即可求出函数在所给区间上的单调性及最值、最值点.【小问1详解】已知，，.令，或，，则的单调增区间为，单调减区间为.【小问2详解】因为，所以在上单调递增，在上单调递减.随变化如下表单调递增单调递减单调递增则函数的最大值为，最大值点为；最小值为，最小值点为.17.【答案】（1）（2）【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程组求得，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）求得，，得出数列是等比数列的公比，求得，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，由，可得，解得，所以．【小问2详解】解：由（1）可知，，则，，因为是等比数列，所以公比为，所以，所以．所以．18.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用导函数求得切线斜率为1，再利用点斜式即可求得切线方程.（2）利用零点的定义，构造函数，将问题转化为求直线与函数的图象只有一个交点求解.【小问1详解】当时，，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为：，即.【小问2详解】函数的定义域为，由，得，令，依题意直线与函数的图象只有一个交点，，由，得；由，得，函数在上递增，函数值集合为，在上递减，函数值集合为，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，观察图象，当且仅当或时，直线与函数的图象只有一个交点，所以a的取值范围是.19.【答案】（1）（2）①分布列略；②【分析】（1）利用乘法公式得出所求概率；（2）①由得出X的分布列；②先得出Y的分布列，进而得出数学期望．【小问1详解】记表示“第件产品是一等品”；记表示“第件产品是二等品”；记C表示“2件产品中恰有1件一等品、1件二等品”；此时，易知，则；【小问2详解】①若从流水线上随机抽取3件产品，则的所有可能取值为，此时；；；；所以的分布列如下：0123②由①可得，的分布列如下：则.20.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）令，对求导，得到的单调性，证明，即可得到，即可证明在上单调递减；（2）由题意可得在恒成立，分离参数可得，令，证明即可得出答案.【小问1详解】由题可知的定义域为，．令，则，．令，得，令，得．故在上单调递增，在上单调递减，故．所以对任意恒成立，所以在上单调递减．【小问2详解】由题可知，则．因为单调递增，所以，即．令，则，．当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，所以，则，解得．所以a的取值范围为．21.【答案】（Ⅰ）极大值1，无极小值；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）求导，列出随x的变化，和的情况表，进而求得极值；（Ⅱ）令（），求导，由得，则，进而得出函数的单调性，