《高等数学（第2版）》高职全套教学课件

（第2版）高等数学函数、极限与连续第1章第1章

函数、极限与连续第2章1元函数微分学第3章1元函数积分学第4章

常微分方程第5章

线性代数第6章

概率论与数理统计初步第7章Mathematica数学实验第8章

数学建模简介全套可编辑PPT课件目录函数1.1极限的计算1.3极限的概念1.2无穷小量与无穷大量1.4函数的连续性1.5学习目标知识目标:理解函数的概念,掌握基本初等函数的图像和性质;理解复合函数和初等函数的相关知识;掌握极限的概念及其运算方法;了解函数的连续性概念.素质目标:建立数形结合的数学思想,体会数与形的统一之美,领悟数学与自然的和谐美;学会用函数语言描述事物之间的各种关系,通过学习函数,理解事物相互联系与相互制约的辩证唯物主义观点;理解极限的思想方法,学会运用极限思想分析和解决问题.能力目标:能够运用函数的概念、图像和性质解决实际问题;能够对复合函数进行分解与组合;能够求解数列和函数的极限.1.1函数1.1.1集合、区间与邻域集合是现代数学中的一个重要概念.集合就是指具有某些共同属性的对象的全体,构成集合的每一个对象称为集合的元素.集合具有确定性、互异性、无序性,即集合的元素是确定的、互不相同的,并且不考虑排列顺序.由数组成的集合称为数集.1.1.1集合、区间与邻域

开区间

闭区间

半开半闭区间(有限区间)1.1.1集合、区间与邻域

无限区间1.1.1集合、区间与邻域

1.1.2函数的概念定义1定义域与对应法则是函数的两个基本要素,当定义域与对应法则都确定后函数就确定了.只有定义域与对应法则都相同的两个函数才是相同的函数.1.1.2函数的概念例1

1.1.2函数的概念函数符号函数分段函数

在自变量不同的取值范围内用不同的解析式来表示的函数称为分段函数.它的定义域是各段自变量取值集合的并集.求分段函数的函数值时,应把自变量的值代入相应取值范围的解析式进行计算.

1.1.2函数的概念例2

注意(1)函数定义域一般表示成集合或区间的形式;(2)分段函数的图像是分析函数的重要依据,要求学生重点掌握.一个停车场第1小时收费5元,以后每小时收费3元,每天最多收费15元,不足1h按1h计算.试求停车费用与时间的函数关系,并说明其实际意义.1.1.2函数的概念例3

由此可以看出:为了节省费用,应尽量控制在整数小时内停车.由于一天的最高停车费用不超过15元,因此当停车时间超过3h后,可不急于取车.1.1.3函数的性质

1.1.3函数的性质

1631.1.4反函数16

定义2

1.1.4反函数

例4

1.1.5基本初等函数在中学阶段,我们已经学习了幂函数、指数函数和对数函数.它们的图像和主要性质如表1-1所示.函数图像主要性质1.1.5基本初等函数函数图像主要性质1.1.5基本初等函数

正弦函数余弦函数正切函数

余切函数正割函数余割函数

1.1.5基本初等函数

函数图像定义域周期奇偶性有界性(值域)单调性奇函数偶函数1.1.5基本初等函数函数图像定义域周期奇偶性有界性(值域)单调性奇函数奇函数1.1.5基本初等函数由于三角函数是周期函数,因此根据反函数的定义,三角函数在其定义域上不存在反函数.但如果将其定义域限制在适当的区间内,则可以定义反函数,具体如表1-3所示.函数定义域值域图像性质1.1.5基本初等函数函数定义域值域图像性质1.1.5基本初等函数25定义3

1.1.6复合函数定义4

1.1.6复合函数例5

由基本初等函数与常数经过有限次四则运算和有限次复合运算所构成,并且能够用一个式子表示的函数,称为初等函数.同步训练1-1

同步训练1-1

9.某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本为25元.因为在生产过程中,平均每生产一件产品有0.5m³污水排出,所以为了净化环境,工厂设计了两种方案对污水进行处理,并准备实施.方案1:工厂污水先净化处理后再排出.每处理1m³污水所用原料费为2元,并且每月排污设备损耗费为30000元.方案2:工厂将污水排到污水厂统一处理,每处理1m³需付14元的排污费.

同步训练1-11.2极限的概念1.2极限的概念中国是一个数学大国,拥有悠久的历史文化和辉煌的数学成就.秦汉时期的数学简牍与古埃及纸草书、古巴比伦数学泥板、古希腊数学文献以及古印度的《绳法经》并称为世界五大古文明的数学经典.我国的《九章算术》中提出了负数的概念以及“正负术”(正数和负数的加减运算法则),比印度和欧洲建立负数概念分别早约800年和1600年.祖冲之在圆周率计算方面的成就使中国领先西方约1000年.杨辉三角的发现早于其他国家400多年,“中国剩余定理”比高斯创用的同类方法早500多年.我国古代数学家刘徽在注解《九章算术》时提出了“割圆术”——用圆的内接正多边形逐步逼近的方法求圆的面积.他指出:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”这正体现了极限思想的雏形.极限是高等数学中的一个重要概念,导数、积分等概念都是在极限的基础上建立的.因此,学习和掌握极限的思想与方法具有十分重要的意义.思考:《庄子·天下篇》中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”意思是一尺长的木棒,每天截去一半,将永远也截不完.你能用数学的语言对此加以表达吗?1.2.1数列的极限

两种情形一种另一种

1.2.1数列的极限

定义1

1.2.1数列的极限例1

结论：

1.2.2函数的极限

1.2.2函数的极限

定义2

1.2.2函数的极限例2

1.2.2函数的极限

1.2.2函数的极限

定义3

1.2.2函数的极限例3

1.2.2函数的极限1.2.2函数的极限

定义4

1.2.2函数的极限例4

例5

同步训练1-2

1.3极限的计算1.3.1极限的四则运算法则

法则1

法则2

法则3

法则4

1.3.1极限的四则运算法则例1

例2

1.3.1极限的四则运算法则例3

例4

1.3.2两个重要极限

1.3.2两个重要极限例5

例6

例7

1.3.2两个重要极限

1.3.2两个重要极限例8

例9

例10

1.3.2两个重要极限

1.3.2两个重要极限

从上面的推导可以看出,在年利率一定的条件下,随着复利期数趋于无穷,虽然利息逐步增多,但本利和并不会无限增长,而是趋近于一个极限值.早在1683年,瑞士数学家雅各布·伯努利在研究连续复利问题时就意识到需要通过极限思想加以解决.

同步训练1-3同步训练1-3

1.4无穷小量与无穷大量1.4.1无穷小量1.无穷小量的定义定义1

1.4.1无穷小量2.无穷小的性质性质1性质2性质3010203有限个无穷小的代数和是无穷小.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.有限个无穷小的乘积是无穷小.1.4.1无穷小量

例1

注意

两个无穷小的商不一定是无穷小,它可能是无穷小,也可能是无穷大、常数,甚至也可能极限并不存在.1.4.1无穷小量3.函数极限与无穷小的关系定理1在同一个自变量的变化过程中,具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之,如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是该函数的极限.

1.4.2无穷大量1.无穷大量的定义定义2

1.4.2无穷大量2.无穷小与无穷大的关系定理2

例2

1.4.2无穷大量

例3

1.4.2无穷大量

例4

1.4.3无穷小的比较

定义3

1.4.4等价无穷小的性质及应用定理3(等价无穷小代换定理)

1.4.4等价无穷小的性质及应用

1.4.4等价无穷小的性质及应用

例5

例6

1.4.4等价无穷小的性质及应用

例7

例8

1.4.4等价无穷小的性质及应用

注意

利用等价无穷小代换定理求极限时,只有当分子或分母为函数的连乘积时,各个乘积因式才可以分别用它们的等价无穷小代换,而对于函数的和或差时,通常不允许分别用等价无穷小代换,否则将会导致结果错误.

同步训练1-41.5函数的连续性1.5.1函数的增量定义1

1.5.1函数的增量

例1

首先观察图1-12和图1-13.

定义2

例2

定义3

例3

例4

1.左连续与右连续的概念

1.5.4函数的间断点

1.5.4函数的间断点

1.5.4函数的间断点

1.5.4函数的间断点

1.5.4函数的间断点

例5

1.5.5初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内每一点处都是连续的.定理1

定理2

由以上两个定理可知,一切初等函数在其定义域内都是连续的.在确定分段函数的连续性时,应着重讨论分界点处是否连续.1.5.5初等函数的连续性关于初等函数的连续性,有以下两个重要结论.(2)

(1)

1.5.5初等函数的连续性

例6

例7

1.5.6闭区间上连续函数的性质1.最大值与最小值性质定理3

注意

对于在开区间上连续的函数或在闭区间上有间断点的函数,其最大值与最小值不一定存在.1.5.6闭区间上连续函数的性质

1.5.6闭区间上连续函数的性质2.介值定理定理4

1.5.6闭区间上连续函数的性质

1.5.6闭区间上连续函数的性质

同步训练1-5

同步训练1-5数学文化聚焦数学文化聚焦美丽的Koch雪花1904年,瑞典科学家科克(Koch)描述了一段奇特而又有趣的事件:将一个边长为a的正三角形的每条边三等分,以中间三分之一为一段向外再做正三角形,小三角形在三条边上的出现使得原三角形变成了一个六角形,六角形共有12条边,再在这12条边上用与上述相同的方法,即可构造出一个新的48边形.如此做下去,其边缘越来越精细,看上去就像美丽的雪花,称为Koch雪花,如图1-24所示.下面探讨最终Koch雪花的面积与其边缘Koch曲线的周长.数学文化聚焦

数学文化聚焦

数学家简介数学家简介中国古代杰出数学家——刘徽在数学中,极限的概念和思想具有极其重要的地位.极限方法是微积分中的基本方法,是人们从有限认识无限、从近似认识精确、从量变认识质变的一种数学思想方法.早在1000多年前,我国古代杰出的数学家刘徽便运用一种名为“割圆术”的方法,推导出了圆面积的精确公式,并给出了较为科学的圆周率计算方法.这种“割圆术”所体现的数学思想,正是本章所学习的极限思想,即通过无限逼近的方式研究变量的变化趋势.刘徽是我国魏晋时期著名的数学家.他自幼博览群书,熟读《九章算术》,并对其中的问题进行了深入研究.在钻研过程中,刘徽发现该书存在一些错误,有些题目解法过于简略,部分答案仅为近似值,部分巧妙的方法缺乏理论依据,严重影响了进一步的学习与研究.于是,刘徽下定决心对《九章算术》进行系统的校订和注释.经过努力,他最终完成了这一工作,从理论上完善了中国古代的数学体系,使《九章算术》成为一部较为规范的数学教科书.数学家简介书中提出了一个历代中外数学家共同关心的问题:如何计算圆的面积?有一次,刘徽看到石匠在加工方石,将其四角凿去变为八角形,再将每个角削去后变成十六边形.如此反复凿削,最终形成一个光滑的圆柱体,如图1-25所示.刘徽受到启发,认识到:圆形可以通过多边形逼近而得,体现了“以直代曲”的思想.刘徽的具体做法是:先作一个圆的内接正六边形,再将每条边所对的弧继续平分,构造出正十二边形,然后构造正二十四边形……随着边数的不断增加,内接正多边形愈加接近于圆,其面积和周长也越来越逼近于圆的面积与周长.这就是著名的“割圆术”.刘徽在描述这一方法时写道:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”这句话简明扼要地概括了割圆术的实质,也即今日极限思想的核心内涵.数学家简介

数学家简介这套方法被刘徽写入《海岛算经》.此书与《九章算术注》一同被译为多种语言,传播至世界各地,展现了中华文明在古代数学上的卓越成就.刘徽是中华民族的骄傲,是中国传统数学理论体系的奠基者之一.他注释的《九章算术》对中国古代数学的发展产生了持续1000余年的深远影响,是东方数学的经典典范之一.他的贡献不仅深刻影响了中国古代数学的发展,也在世界数学史上占据了崇高的地位,与古希腊数学家欧几里得(约公元前330—公元前275)所著《几何原本》并列,被视为中西古代数学思想的双峰对峙.谢谢聆听！（第2版）高等数学一元函数微分学第2章目录导数的概念2.1微分中值定理与洛必达法则2.3导数的计算2.2函数的单调性与极值2.4函数的最大值与最小值2.5平面曲线的弯曲问题2.6微分及其在近似计算中的应用2.7学习目标知识目标:理解导数和微分的概念;掌握导数的几何意义,一阶、二阶导数的物理意义;掌握导数和微分的运算(包括基本求导公式、基本微分公式、导数和微分的四则运算法则、复合函数求导法则、微分形式的不变性、隐函数求导法则等);掌握洛必达法则及其应用;理解函数的单调性与曲线的凹凸性;理解函数的极值和最值.素质目标:通过一元函数微分学概念的学习,感知和体会数学的奥秘;通过一元函数微分学的计算,培养逻辑思维和缜密思维的习惯;通过一元函数微分学的应用,提升分析问题和解决问题的能力素养.能力目标:能熟练计算函数的导数与微分;会求曲线的切线方程与法线方程;会利用导数判断函数的单调性和曲线的凹凸性;会求函数的极值与最值.2.1导数的概念2.1.1导数的定义

2.1.1导数的定义

2.1.1导数的定义

2.1.1导数的定义

2.1.1导数的定义

定义12.1.1导数的定义定义1导数的定义式

2.1.1导数的定义

定义2

2.1.1导数的定义

1）求函数的增量

2）算比值

3）取极限由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数通常可分为以下三个步骤．

2.1.1导数的定义例1

2.1.1导数的定义例2

2.1.2导数的几何意义

切线方程法线方程

2.1.2导数的几何意义

例3

2.1.3可导与连续的关系定理

例4

2.1.4高阶导数1.高阶导数的概念二阶导数

三阶导数

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.2.1.4高阶导数例5

例6

2.1.4高阶导数

同步训练2-1

2.2导数的计算2.2.1函数和、差、积、商的求导法则

定理1

注意

上述法则(1)(2)可以推广到有限个可导函数的情形.2.2.1函数和、差、积、商的求导法则

一种另一种

2.2.1函数和、差、积、商的求导法则例1

例2

2.2.1函数和、差、积、商的求导法则例3

2.2.1函数和、差、积、商的求导法则

例42.2.1函数和、差、积、商的求导法则

2.2.2复合函数的求导法则定理2

定理2表明:复合函数的导数等于外层函数对中间变量的导数乘以内层函数对自变量的导数.上述法则可以推广到有限次复合函数的情形.

2.2.2复合函数的求导法则例6

例7

注意

复合函数求导的关键在于:将复合函数分解为基本初等函数或基本初等函数的和、差、积、商的形式,默记中间变量,然后“由外向内,逐层求导”.例5

2.2.3隐函数的导数显函数隐函数

2.2.3隐函数的导数例8

2.2.3隐函数的导数例10

例9

2.2.3隐函数的导数利用隐函数求导法则还可以得出反三角函数的求导公式,具体如下.反正弦函数反余弦函数

反正切函数反余切函数

2.2.4初等函数的导数1.基本初等函数的导数公式2.2.4初等函数的导数

1

2

3

4

2.初等函数的和、差、积、商的求导法则2.2.4初等函数的导数

3.复合函数的求导法则同步训练2-2

2.3微分中值定理与洛必达法则2.3.1微分中值定理1.罗尔(Rolle)中值定理

2.3.1微分中值定理

例1

2.3.1微分中值定理2.拉格朗日(Lagrange)中值定理

2.3.1微分中值定理由拉格朗日中值定理可以得出以下两个重要推论.推论1

推论2

例2

2.3.1微分中值定理

3.柯西(Cauchy)中值定理注意

由定理的条件与结论可知,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形,而拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g(x)=x时的特殊形式,柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推广.

2.3.1微分中值定理例3

2.3.2洛必达法则

2.3.2洛必达法则

(1)

(2)

(3)2.3.2洛必达法则

例4

2.3.2洛必达法则

例5

例6

例7

2.3.2洛必达法则

(1)

(2)

(3)www.islide.cc1582.3.2洛必达法则

例8

例9

2.3.2洛必达法则]3.其他类型的未定式

1.4.1无穷小量

例10

同步训练2-32.4函数的单调性与极值2.4.1函数的单调性思考:函数的单调性与函数导数的符号有关系吗?

2.4.1函数的单调性

2.4.1函数的单调性定理1(函数单调性的判定定理)

2.4.1函数的单调性例1

注意

由例1可知,有些函数在其定义区间上不是单调的,导数为零的点将定义区间分成若干个子区间,函数在这些子区间上是单调的.划分函数定义区间的分界点除了导数为零的点,还有导数不存在的点.2.4.1函数的单调性综上所述,确定函数单调性的一般步骤如下.

(1)确定函数的定义域.

2.4.1函数的单调性例2

2.4.1函数的单调性例3

2.4.1函数的单调性例4

2.4.2函数的极值

定义1极大值与极大值点极小值与极小值点函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．2.4.1函数的单调性关于函数的极值,说明如下.(1)函数的极值是局部性的概念,极值点对于其邻近点的函数值而言是最大或最小的,但这并不意味着它在函数整个定义域内是最大或最小的.(2)函数的极大值不一定比极小值大,如图2-5所示.(3)函数的极值点一定出现在区间的内部.图2-52.4.2函数的极值

定义2图2-5由图2-5可以看出,对于可导函数,在函数取得极值时,曲线的切线是水平的,即在极值点处导数为零;但是导数为零的点不一定都是极值点.结论：驻点和导数不存在的点都可能是极值点.2.4.2函数的极值定理2(极值存在的第一判别法)

（1）（2）

（3）

(1)确定函数的定义域(2)求函数的导数,并求出驻点和导数不存在的点.(3)考察每个子区间内导数的符号,确定极值点.(4)求出极值点处的函数值,即为极值.2.4.2函数的极值由定理2可得,求函数极值的一般步骤如下.2.4.2函数的极值例5

2.4.2函数的极值例6

2.4.2函数的极值定理3(极值存在的第二充分条件)

2.4.2函数的极值例7

同步训练2-42.5函数的最大值与最小值2.5.1函数在连续区间上的最大值与最小值求点求值

比较

(2)求出函数在这些驻点、导数不存在的点及端点处的函数值.

2.5.1函数在连续区间上的最大值与最小值例1

2.5.1函数在连续区间上的最大值与最小值

说明2.5.2实际问题中的最大值与最小值例2

用一块边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒.在铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形(见图2-6),然后将四边折起做成无盖的方盒(见图2-7).问:截去的小正方形的边长为多少时,做成的铁盒的容积最大?

2.5.2实际问题中的最大值与最小值例3

旅行社为某旅游团包飞机去旅游,其中包机费为15000元.旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅游团人数在30人或以下,飞机票每张收费900元;若旅游团人数多于30人,则给予优惠,每多1人,每张机票减少10元;旅游团人数最多为75人.问:旅游团人数为多少时,旅行社可获得的利润最大?

2.5.2实际问题中的最大值与最小值例4

同步训练2-5

2.6平面曲线的弯曲问题

2.6.1曲线的凹凸性定义1定理

2.6.1曲线的凹凸性

2.6.1曲线的凹凸性例1

例2

2.6.1曲线的凹凸性

例3

2.6.1曲线的凹凸性

2.6.1曲线的凹凸性例4

2.6.2曲线的渐近线

水平渐近线

垂直渐近线2.6.2曲线的渐近线

例1

2.6.2曲线的渐近线

2.6.2曲线的渐近线2.6.3曲率1.曲率的概念及计算公式

2.6.3曲率

例6已知圆的半径为R,求:(1)圆上任一段弧的平均曲率;(2)圆上任一点处的曲率.

2.6.3曲率

2.6.3曲率

通过上述例子,我们发现直接利用曲率定义计算一般曲线某点的曲率较为不便.根据曲率的定义及导数的几何意义(见图2-12),可以导出曲率的计算公式.2.6.3曲率例7

例8

2.6.3曲率2.曲率圆与曲率半径

2.6.3曲率

例9

同步训练2-6

2.7微分及其在近似计算中的应用2.7.1微分的概念

1.微分的定义2.7.1微分的概念

2.7.1微分的概念

2.7.1微分的概念例1

例2

2.7.1微分的概念2.微分的几何意义

2.7.2微分的基本公式和运算法则

1.微分的基本公式2.7.2微分的基本公式和运算法则

(1)

(2)

(3)

(4)

2．函数和、差、积、商的微分运算法则2.7.2微分的基本公式和运算法则3.复合函数的微分(微分形式的不变性)

2.7.2微分的基本公式和运算法则例3

例4

例5

2.7.3微分的应用

1.函数值的近似计算2.7.3微分的应用例6

例7

2.7.3微分的应用

常用公式

2.7.3微分的应用

2.7.3微分的应用例8

例9

2.7.3微分的应用例10

同步训练2-7数学文化聚焦数学文化聚焦中国古典数学时期数学是中国古代科学中的重要学科,经历了三次发展高潮,即两汉时期、魏晋南北朝时期及宋元时期,其中宋元时期达到了中国古典数学的顶峰.据史料记载,春秋战国时期中国已出现严格的十进制值算筹记数法.现存公元前3世纪的刀币上亦可见此记数法.《孙子算经》记载:“凡算之法,先识其位,一从十横,百立千僵,千十相望,万百相当.”这种十进制值记数法是中国古代数学对人类文明的重要贡献.几何方面,西安半坡遗址出土的陶器上有用圆点组成的等边三角形图案,半坡遗址的房屋基址多为圆形和方形.为绘制圆形、作方、确定平直,人们创造了规、矩、准、绳等测量和作图工具.据《史记·夏本纪》载,夏禹治水时“左准绳,右规矩”,准绳用于确定铅垂方向,规是圆规,矩是直角尺,这体现了中国早期几何学的应用.从春秋战国时期《考工记》中亦可见与手工业制作相关的实用几何知识.数学文化聚焦两汉时期,数学沿实用和算法方向发展,取得显著成就.《周髀算经》为现存最早的数学著作,内容涉及分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用.书中“勾广三,股修四,径隅五”即为勾股定理特例,其一般形式为“以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,得邪至日”,总结自天文测量.《九章算术》为中国古代最重要的数学著作,标志着古代数学体系的形成.书中收录了246个与生产生活相关的应用问题.算术成就包括分数运算、比例和盈不足算法;代数方面有一次方程组、负数、开方术;几何方面以实用几何为主,如面积、体积计算及勾股定理的应用.魏晋南北朝时期,数学研究趋向论证,以注释《周髀算经》和《九章算术》为多.赵爽为此开先河,刘徽及祖冲之父子为代表.刘徽是古典数学理论奠基者,其“出入相补原理”为中国古代特有推理方法,在《九章算术注》和《海岛算经》中应用证明重要结论.他提出割圆术,计算圆周率.数学文化聚焦祖冲之继承并发展刘徽思想,将圆周率计算精确至3.1415926与3.1415927之间,并得出“密率”和“约率”两个近似分数.“密率”至1573年才由德国数学家奥托获得.祖冲之基于刘徽工作,提出球体积计算公式,应用“出入相补原理”和“祖氏原理”———“幂势既同,则积不容异”,即两个等高立体若水平截面面积相等,则体积相等.该原理西方称“卡瓦列里原理”,1653年由意大利数学家卡瓦列里独立提出,对微积分发展有重要影响.宋元时期,商业繁荣和手工业兴盛,各种技术的进步也推动数学发展.代表人物有杨辉、秦九韶、李冶和朱世杰,被称为宋元四大家.突出成就是高次方程数值求解,继承并发展了《九章算术》的开方术,天元术、正负开方术、大衍总数术、四元术均居世界领先地位.秦九韶的《数书九章》收录了21个高次方程,最高10次.大衍总数术为《孙子算经》中物不知数算法的推广.朱世杰的《四元玉鉴》详细记载了四元高次方程组的解法,是宋元数学集大成之作.数学家简介数学家简介微积分学在中国的最早传播者———李善兰李善兰(1811—1882),原名李心兰,字竟芳,号秋纫,浙江海宁人,清代数学家.天资聪颖,勤奋好学,9岁时偶然发现父亲书架上的中国古代数学名著《九章算术》,读后感到新奇有趣,自此迷上数学;14岁自学读懂欧几里得的《几何原本》前六卷.在《九章算术》的基础上,他又吸收了《几何原本》的新思想,数学造诣逐渐精深.后来,作为州县生员赴杭州参加乡试,购入李冶的《测圆海镜》和戴震的《勾股割圆记》,深入研读后数学水平进一步提高.李善兰曾任苏州府幕僚,1868年受清政府谕召赴北京任同文馆数学教授,期间审定《同文馆算学课艺》《同文馆珠算金踌针》等数学教材,培养了大批数学人才,被誉为中国近代数学教育的先驱.执教期间,他在尖锥求积术、三角函数与对数的幂级数展开、高阶等差级数求和等方面有深入研究.素数论领域,他提出了判别素数的重要法则.对二项式定理系数恒等式的研究尤为杰出,归纳总结出以其名字命名的“李善兰恒等式”.其数学成果集中体现于自编刊刻的《则古昔斋算学》,收录其13种数学著作.数学家简介李善兰不仅数学研究造诣深厚,还在代数学与微积分学传播方面贡献卓著.1852年至1859年间,他与英国传教士伟烈亚力合作,翻译出版《几何原本》后九卷、《代微积拾级》十八卷、《谈天》十八卷.此外,他还与伟烈亚力、傅兰雅合译牛顿著作《自然哲学的数学原理》若干卷.这些工作与华蘅芳、夏鸾翔等人对西方数学的研究,共同构成了继徐光启之后中国第二次系统引进西方数学的重大贡献,对中国近代数学发展起到积极推动作用.李善兰多部译著为中国首部代数学、解析几何学、微积分学著作,如《代数学》《代微积拾级》.虽不通外语,由伟烈亚力口译,他笔述翻译内容,但非简单抄录整理,而是基于对微积分等内容的深入理解及对中国传统数学的继承进行再创造.他创设的许多数学术语沿用至今,如“变量”“微分”“积分”“代数学”“数学”“数轴”“曲率”“极大”“极小”“无穷”“根”“方程式”等.李善兰是爱国忧民、具有科学救国思想的知识分子,一生翻译大量西方科技著作,将近代科学中天文学、植物细胞学等前沿成果引入中国,为促进中国近代科学发展作出卓越贡献.谢谢聆听！（第2版）高等数学一元函数积分学第3章目录不定积分的概念3.1不定积分的分部积分法3.3不定积分的换元积分法3.2定积分的概念与性质3.4定积分的计算3.5无穷区间上的广义积分3.6定积分的几何应用3.7定积分的物理应用3.8学习目标知识目标:理解不定积分的概念、性质及基本积分公式;掌握定积分的概念与性质;掌握微积分学基本定理;理解定积分在几何和物理中的应用.素质目标:培养学生洞察研究对象本质的能力,掌握数学知识间的逻辑结构,提出合理猜想,形成恰当推理;掌握定积分概念中的数学思想与方法,培养解决问题时的联想能力和思维灵活性;培养应用数学解决实际问题的意识,提升数学应用能力.能力目标:明确微分与积分的互逆关系;掌握不定积分的计算方法;能够运用定积分所蕴含的数学思想和方法解决实际问题.3.1导数的概念3.1.1原函数与不定积分的概念

3.1.1原函数与不定积分的概念定义1定义1

3.1.1原函数与不定积分的概念

3.1.1原函数与不定积分的概念定义1定义2

结论：显然,求已知函数的不定积分,归结为求出它的一个原函数,再加上任意常数C.3.1.1原函数与不定积分的概念例1

例2

3.1.1原函数与不定积分的概念

先积分后微分先微分后积分从不定积分的概念可知,“求不定积分”和“求导数(或微分)”互为逆运算,即有3.1.1原函数与不定积分的概念例3

3.1.2不定积分的几何意义

积分曲线

3.1.3基本积分公式序号基本公式基本积分公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）由于不定积分是微分的逆运算,因此由导数的基本公式可得出相应的基本积分公式(见表3-1)3.1.3基本积分公式序号基本公式基本积分公式（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）3.1.3基本积分公式例4

3.1.4积分的基本运算法则

法则1

法则23.1.4积分的基本运算法则例5

在求不定积分时,可以直接按基本积分公式和运算法则求出结果.有时被积函数需要经过适当的恒等变形(包括代数、三角变形),再运用基本公式和法则求出,这种求解不定积分的方法称为直接积分法.3.1.4积分的基本运算法则例6

例7

3.1.4积分的基本运算法则例8

例9

3.1.4积分的基本运算法则例10

同步训练3-1

同步训练3-1

3.2不定积分的换元积分法3.2.1第一类换元积分法利用直接积分法所能求出的不定积分是有限的,因此必须进一步研究不定积分的求解方法.本节将复合函数的微分法“反用”于不定积分的计算,借助中间变量的代换,得到求解复合函数不定积分的方法,称为换元积分法.两类第一类换元积分法第二类换元积分法

3.2.1第一类换元积分法例1

3.2.1第一类换元积分法例2

例3

3.2.1第一类换元积分法(2)(1)从例2、例3可以看出,求积分时经常需要用到下面两个微分性质.

3.2.1第一类换元积分法例4

例5

3.2.1第一类换元积分法06

05

04

03

02

01

在凑微分时,要灵活运用微分公式.现将一些常用的微分公式列举如下3.2.1第一类换元积分法12

11

10

09

08

07

3.2.1第一类换元积分法例6

例7

3.2.1第一类换元积分法例8

例9

3.2.1第一类换元积分法

3.2.2第二类换元积分法例10

3.2.2第二类换元积分法例11

3.2.2第二类换元积分法例12

3.2.2第二类换元积分法(2)(1)

(3)

三角代换

同步训练3-23.3不定积分的分部积分法3.3不定积分的分部积分法

分部积分法步骤

3.3不定积分的分部积分法例1

3.3不定积分的分部积分法例2

例3

3.3不定积分的分部积分法例4

例5

3.3不定积分的分部积分法例6

例7

3.3不定积分的分部积分法例8

3.3不定积分的分部积分法例9

同步训练3-23.4定积分的概念与性质3.4.1定积分的概念

3.4.1定积分的概念我们知道,矩形的面积为底×高,且矩形的高是不变的.而计算曲边梯形面积的困难之处在于它的高是变化的.如果沿着底边对曲边梯形进行分割,得到若干个小曲边梯形(见图3-4),若分割得足够细,就可以将小曲边梯形近似看作矩形,对所有的小矩形的面积求和,就可以得到曲边梯形面积的近似值.显然,分割越细,近似程度就越高.令分割无限细密,近似程度无限提高,最终达到曲边梯形面积的精确值.3.4.1定积分的概念将上述方法归纳为分割、近似、求和、取极限.

3.4.1定积分的概念

3.4.1定积分的概念思考:

问题2

求变速直线运动的路程.

3.4.1定积分的概念

3.4.1定积分的概念

定义1

3.4.1定积分的概念+++++

3.4.1定积分的概念例1

3.4.2定积分的几何意义

3.4.2定积分的几何意义

3.4.3定积分的性质

3.4.3定积分的性质

3.4.3定积分的性质例2

例3

同步训练3-4

同步训练3-4

3.5定积分的计算3.5.1微积分基本定理

3.5.1微积分基本定理定理1

例1

3.5.1微积分基本定理定理2

3.5.1微积分基本定理例2

例3

3.5.2定积分的换元积分法与分部积分法

1.定积分的换元积分法注意:

这里没有引入新的积分变量,因此积分的上下限没有变化.这种换元法对应着不定积分的凑微分法.若引入新的积分变量,则积分上下限需要相应变化.3.5.2定积分的换元积分法与分部积分法例4

例5

3.5.2定积分的换元积分法与分部积分法

注意:

在定积分的第二类换元积分法中,引入了新的积分变量,因此积分的上下限也相应发生了变化.3.5.2定积分的换元积分法与分部积分法例6

例7

3.5.2定积分的换元积分法与分部积分法

2.定积分的分部积分法3.5.2定积分的换元积分法与分部积分法例8

例9

同步训练3-53.6无穷区间上的广义积分3.6无穷区间上的广义积分

3.6无穷区间上的广义积分例1

3.6无穷区间上的广义积分例2

例3

例4

3.6无穷区间上的广义积分例5

3.6无穷区间上的广义积分例6

同步训练3-6

3.7定积分的几何应用3.7.1定积分的微元法

3.7.1定积分的微元法(1)分割和近似

(2)求和与取极限求区间[a,b]上某个量W的积分表达式时,常采用“分割、近似、求和、取极限”的方法,通过定积分求解.具体步骤如下.3.7.2平面图形面积的计算

1

2

3

1.直角坐标的情形

3.7.2平面图形面积的计算

3.7.2平面图形面积的计算例1

3.7.2平面图形面积的计算例2

3.7.2平面图形面积的计算例3

3.7.2平面图形面积的计算

3.7.2平面图形面积的计算

1

2

3

2.极坐标的情形

3.7.2平面图形面积的计算例4

3.7.3立体图形体积的计算1.已知平行截面面积的立体体积的计算

3.7.3立体图形体积的计算例5

3.7.3立体图形体积的计算

3.7.3立体图形体积的计算2.旋转体体积的计算

3.7.3立体图形体积的计算

例6求旋转椭球体的体积,即由椭圆绕其对称轴旋转而成的立体的体积.

3.7.4曲线弧长的计算

3.7.4曲线弧长的计算

3.7.4曲线弧长的计算例7

例8

例9

同步训练3-7

3.8定积分的物理应用3.8.1变力沿直线做功的计算

3.8.1变力沿直线做功的计算例1

3.8.1变力沿直线做功的计算例2

3.8.2水压力的计算

如果平面薄板垂直放置在液体中,由于薄板各处深度不同,压强也随之变化,薄板一侧所受的压力不均匀.此时,压力不能简单用上述公式计算,需要采用定积分的微元法解决.具体方法为:将薄板分割成若干微小部分,每一部分在液体中的深度近似相同,计算每部分的压力微元,最后对所有微元压力积分,得到薄板一侧所受的总压力.下文将通过实例进一步说明此方法的应用.3.8.2水压力的计算例3设半径为R的圆形水闸门,水面与闸顶齐,求闸门所受的总压力.

同步训练3-8

数学文化聚焦数学文化聚焦微积分的发展微积分的创立初衷是为解决17世纪科学领域的一系列重要问题,如已知物体的加速度,如何求其速度和位移;如何求函数的极值;如何计算由曲线围成的面积、由曲面围成的体积,以及物体的重心和引力等问题.数学家们对这些问题的研究,开启了数学分析这一庞大分支的序幕.英国数学家艾萨克·牛顿和德国数学家莱布尼茨在总结和发展了此前几百年间众多前人的工作基础上,独立建立了微积分体系.他们的最大贡献是将两个表面上看似毫不相关的问题联系起来:一个是切线问题(微分学的核心),另一个是求积问题(积分学的核心).他们最初基于直观的无穷小量概念来发展微积分,因此早期微积分也被称为无穷小分析.牛顿的微积分研究主要从运动学角度出发,强调变化率和瞬时速度的分析;而莱布尼茨则侧重几何学表达和符号体系的构建,奠定了现代积分符号“∫”的基础.尽管二人奠基了微积分,但当时缺乏严格的理论基础.19世纪,法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯基于极限理论对微积分进行了严格的数学基础重建,奠定了现代微积分的严密理论框架.19世纪后半叶,德国数学家康托尔发展了实数理论,进一步强化了极限和连续性的基础,为微积分提供了更加坚实的数学基础.数学文化聚焦微积分的形成和发展始终与实际应用紧密结合.它不仅是数学史上继欧氏几何之后最伟大的发明,也极大推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学及经济学等自然科学和社会科学的发展.例如,牛顿利用微积分工具推导了经典力学的基本定律,奠定了物理学的基础.英国人口学家马尔萨斯运用微积分建立了著名的人口指数增长模型,尽管该模型的假设较为理想化,忽略了人口增长的复杂影响因素.19世纪中叶,荷兰生物数学家韦尔霍斯特提出了阻滞增长模型(逻辑斯蒂模型),更准确地描述了人口和物种数量的增长规律,且在社会经济领域也有广泛应用.经济学中的道格拉斯生产函数和经济订货批量模型等经典数学模型亦依赖于微积分方法.现今,微积分虽然仍作为高等数学的基础内容,但其各个分支已发展为独立的数学领域.例如,研究含有未知函数及其导数的方程解法的微分方程学,及研究曲线与曲面的弯曲、扭转等性质的微分几何学,都是微积分理论的重要分支.微积分的发展历程反映了人类认识过程的演进:从最初的直观感性认识,逐步迈向抽象的理性思维.这一过程体现了认识的相对性和历史局限性.随着科学技术和数学理论的不断进步,人类对自然规律的认识将不断深化,探索永无止境.数学家简介数学家简介中国现代数学之父———华罗庚华罗庚,江苏金坛县(今金坛区)人(1910—1985),国际著名数学大师,中国科学院院士,是中国解析数论、矩阵几何、典型群、自守函数论等领域的奠基人和开拓者.他为中国数学的发展做出了卓越贡献,被誉为“中国现代数学之父”,并被列为“芝加哥科学技术博物馆当今世界88位数学伟人”之一.美国著名数学史家贝特曼曾评价“华罗庚是中国的爱因斯坦”.1925年,华罗庚初中毕业后,因家境贫寒未能继续高中学业,便开始自学数学.起初,他仅有《代数》《集合》和《微积分》三本书.凭着坚定的信念和努力,他19岁时发表了关于代数方程解法的论文,受到科学家熊庆来的关注.1930年,时任清华大学数学系主任的熊庆来在学术期刊上发现了华罗庚的名字,了解到他的自学经历和数学才华后,破除常规,破格录取了这位仅有初中文化程度的青年进入清华大学.1931年起,华罗庚边工作边学习,用一年半时间完成了数学系的全部课程.他还自学英语、法语和德语,并在国外期刊发表了三篇论文,随后被聘为助教.数学家简介1936年,华罗庚赴英国剑桥大学深造.两年间,他攻克了多项数学难题,一篇关于高斯的论文使他在国际数学界声名鹊起.抗战期间,他回国,在昆明的简陋环境中完成了《堆垒数论》.1946年9月,华罗庚应邀赴普林斯顿大学讲学,1948年被美国伊利诺伊大学聘为终身教授.中华人民共和国成立后,他放弃优厚的海外待遇,克服重重困难回国,投身中国数学事业.1950年3月抵达北京,先后任清华大学数学系主任、中国科学院数学研究所所长等职.1956年,他主持筹建中国科学院计算数学研究所.1958年,任中国科学技术大学副校长兼数学系主任.回国后数年间,华罗庚发表了大量数学成果,其中《典型域上的多元复变函数论》于1957年获1956年度科学奖金一等奖,并出版了中、俄、英文版专著.1957年出版《数论导引》,1963年与学生万哲先合著《典型群》.华罗庚热衷于数学交流,早在西南联合大学期间便组织代数讨论班.受伯乐的知遇恩情影响,他极为重视人才培养.其发现和培养陈景润的故事成为数学界佳话.在他的关怀和指导下,陈景润从厦门大学调至中国科学院数学研究所,最终在攻克哥德巴赫猜想方面取得世界领先成果.万哲先、陆启铿、王元、潘承洞、段学复等数学家也均在华罗庚悉心培养下成长.因病左腿残疾,华罗庚走路时左腿需先画大圆圈,右腿再迈一小步.他幽默称之为“圆与切线的运动”.面对困境,他誓言“我要用健全的头脑代替不健全的双腿”,凭此顽强精神,从初中文凭的青年成长为享誉世界的数学大师.华罗庚,这位“人民的数学家”,毕生奉献于数学事业.1985年6月12日,因心脏病突发,于日本东京逝世.国际数学界以他名字命名的成果包括“华氏定理”“怀依-华不等式”“华氏不等式”“普劳威尔-加当华定理”“华氏算子”“华-王方法”等.谢谢聆听！（第2版）高等数学常微分方程第4章目录微分方程的概念4.1二阶常系数非齐次线性微分方程4.3一阶微分方程4.2二阶常系数齐次线性微分方程4.4学习目标知识目标:理解微分方程的基本概念;掌握可分离变量方程的解法;掌握一阶、二阶线性齐次微分方程的解法;掌握一阶、二阶线性非齐次微分方程的解法.素质目标:训练学生用“数学语言”准确、简洁地刻画和描述现实生活,将实际问题转化为微分方程模型;培养学生运用数学思维进行思考,提升发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力;培养学生大胆假设与猜想,并通过严格推理求证,提升数学素养.能力目标:掌握可分离变量的微分方程、一阶线性齐次微分方程的解法;理解一阶、二阶线性非齐次微分方程的结构;能够根据实际问题建立微分方程模型并进行求解.4.1微分方程的概念4.1微分方程的概念

4.1微分方程的概念

4.1微分方程的概念

含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程.若未知函数为一元函数,则称该微分方程为常微分方程.微分方程中出现的各阶导数的最高阶数称为微分方程的阶.定义1如果某函数代入微分方程后,使方程两边恒成立,则称该函数为该微分方程的解.定义24.1微分方程的概念定义1

一阶微分二阶微分同步训练4-1

同步训练4-1

4.2一阶微分方程4.2.1可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程

4.2.1可分离变量的微分方程例1

例2

4.2.1可分离变量的微分方程例3

4.2.2一阶线性微分方程一阶线性微分方程

（1）（2）

4.2.2一阶线性微分方程

一阶微分方程

不是一阶线性微分方程4.2.2一阶线性微分方程

首先讨论对应的齐次方程4.2.2一阶线性微分方程

下面再来讨论非齐次方程4.2.2一阶线性微分方程

4.2.2一阶线性微分方程

(1)求出对应齐次方程的通解.

(2)

(3)4.2.2一阶线性微分方程例4

4.2.2一阶线性微分方程例5

同步训练4-2

同步训练4-2

同步训练4-2

4.3二阶常系数齐次线性微分方程4.3二阶常系数齐次线性微分方程

定理

4.3二阶常系数齐次线性微分方程

4.3二阶常系数齐次线性微分方程

4.3二阶常系数齐次线性微分方程

例1

4.3二阶常系数齐次线性微分方程

例2

4.3二阶常系数齐次线性微分方程

例3

4.3二阶常系数齐次线性微分方程(2)(1)

(3)根据特征根的情况,写出方程的通解,具体见表4-1.解二阶常系数齐次线性微分方程的通解步骤4.3二阶常系数齐次线性微分方程表4-1同步训练4-3

同步训练4-3

同步训练4-3

4.4二阶常系数非齐次线性微分方程4.4二阶常系数非齐次线性微分方程

定理1定理(非齐次线性微分方程的解的结构定理)

4.4.1多项式自由项的特解例1

4.4.1多项式自由项的特解例2

4.4.2多项式与指数函数乘积型的特解

4.4.2多项式与指数函数乘积型的特解

4.4.2多项式与指数函数乘积型的特解例3

4.4.2多项式与指数函数乘积型的特解例4

4.4.3右端为三角函数的非齐次项例5

(1)

(2)

(3)4.4.3右端为三角函数的非齐次项4.4.3右端为三角函数的非齐次项f(x)的形式表4-2

同步训练4-4

同步训练4-4数学文化聚焦数学文化聚焦大学数学重在介绍思想在大学教授数学时,我们应该教给学生什么?毫无疑问,应介绍数学的重要成果、优美的方法、巧妙的技巧及广泛的应用.但我认为,最重要的是介绍数学的思想.数学最具吸引力、最迷人、最有力量,也是最本质的,正是其思想.能否很好地将数学思想传递给学生,依赖于多方面因素,如课程设计、教材编写、教学方式等.关于这些,许多教师已有很好的具体建议,此处不再赘述.因此,我想简单谈一点:数学思想不可能像填鸭式那样强行灌输给学生.较好地介绍数学思想,要求是双向的———既需要教师善于讲授,也需要学生有兴趣并愿意思考.因此,我认为培养学生兴趣,让他们学会思考,是十分关键的.从笛卡尔(Descartes)的名言“我思,故我在”可见,思考的重要性是不容置疑的.孔子曾言:“学而不思则罔,思而不学则殆.”不思考,就不是真正意义上的学习.科学的学习方法必然离不开思考.学习科学知识而不用科学的学习方法,岂非可笑?著名科学家牛顿被问及发现万有引力定律数学文化聚焦的秘诀时,回答极为简洁:“Bythinkingonitcontinually.”这简单回答却道出了真理:几乎所有伟大发现都归功于持续不断的思考能力.因此,在大学里,一定要给予学生充分时间思考,培养其善于思考的能力.爱因斯坦说:“Imaginationismoreimportantthanknowledge.”人若不思考,头脑便会生锈,又何谈想象力?兴趣是学习最有效的动力.数学家韦尔斯(AndrewWiles)十年磨一剑攻克费尔马大定理,正是从小便迷上了这一数学难题.物理学家弗里希(O.R.Frisch)说:“科学家必定怀有孩童般的好奇心.要成为成功的科学家,必须保持孩提时的天性.”思考与兴趣是学习的两个极其重要的因素.它们本身既有趣,也值得我们深入思考.数学家简介数学家简介著名数学家———丘成桐丘成桐,1949年出生于广东汕头,原籍广东省梅州市蕉岭县.1966年,丘成桐以优异成绩考入香港中文大学数学系,不到四年便提前修完本科课程.随后,他被著名数学家、美国加州大学伯克利分校的陈省身教授破格录取为研究生.数学既奇妙又深奥,即使是立志在数学领域有所成就的青年,能坚持到底并取得成果的也凤毛麟角.丘成桐正是这样一颗耀眼的晨星.在陈省身教授的指导下,他于1971年获得博士学位.之后曾在纽约州立大学斯托尼布鲁克分校和斯坦福大学等高校任教.1976年,年仅27岁的丘成桐成功证明了世界级数学难题“卡拉比猜想”,一举成名,开启了微分几何的新纪元.1978年,他应邀在芬兰召开的国际数学大会上做了题为《微分几何中偏微分方程的作用》的报告,该报告代表了20世纪80年代微分几何研究的主流方向.此后,他又解决了“正质量猜想”等多项重大数学难题.1981年,32岁的丘成桐荣获美国数学学会颁发的维布伦奖,这是微分几何领数学家简介域的最高奖项;1982年,他获得了数学界的最高荣誉——菲尔兹奖,成为首位获此殊荣的华裔学者;1994年获得克拉福德奖;2010年获得沃尔夫数学奖,该奖项在阿贝尔奖设立前,被视为最接近诺贝尔奖的国际数学大奖.有人评价丘成桐的学术成就“一个人抵得过哈佛半个数学系”.尽管外界盛赞他的天赋,丘成桐本人却不喜欢“天才”一词,他在自传中写道:“恐怕很多人都把‘天才’浪漫化了,以为他们能无中生有,创造奇迹,提出常人想不到的方法,或者完成惊人的数学证明……我的经验是,解决数学难题需要艰辛的努力,没有捷径可走,除非问题本身比较简单.作为世界知名的华人数学家,丘成桐一直关心中国教育事业.1979年,应中国科学院副院长华罗庚邀请,他首次回国进行学术访问.初回祖国,他感慨万千,曾在自传中回忆:“那是自孩提时离开后已无记忆的国度,我却心潮澎湃,不禁俯身触摸地上的泥土,仿佛要与这片父辈生长的土地重新建立联系.”此后数十年,他几乎每年都在国内高校和科研机构访问数月,关注中国数学的发展.丘成桐曾表示:“我一生只有两个心愿,一个是成为伟大的数学家,另一个是提升祖国的数学,使其领导世界数学.”40年来,他在清华大学、浙江大学、东南大学等多所高校建立数学研究中心,筹建北京雁栖湖应用数学研究院,培养青年才俊,担任主任却不取任何薪酬.这位享誉世界的数学家,自幼热爱数学,心系祖国,为培养中国数学领军人才奋斗终身.在海外任教期间,他指导的博士多为中国学子,其中许多已成为国际知名学者.如今,他受聘为清华大学讲席教授,依托丘成桐数学科学中心和求真书院,继续实现“振兴中国基础学问”的夙愿.正如他在自传序言中所言:“承父母训诲,以诚以敬,一生未敢偏离初志;法古今贤人,成不朽事业,兴中国基础学问也.谢谢聆听！（第2版）高等数学线性代数第5章目录行列式的概念5.1矩阵概念及线性方程组的矩阵表示法5.3行列式的性质与克莱姆法则5.2矩阵的运算与逆矩阵5.4矩阵的初等变换、秩与逆矩阵求解5.5线性方程组5.6学习目标知识目标:熟练掌握行列式的概念及性质,掌握利用克莱姆法则求解线性方程组的方法;熟练掌握矩阵的概念及基本运算,能够将线性方程组表示为矩阵方程;掌握逆矩阵的概念,熟练掌握初等行变换与矩阵可逆的充要条件,能够利用初等行变换求解逆矩阵;理解矩阵的秩的概念,掌握求矩阵秩的方法;掌握线性方程组的多种求解方法.能力目标:能将实际问题中的相关数据转化为矩阵形式,并利用矩阵工具进行数据分析与处理;具备一定的数学语言表达能力与分析问题的缜密思维能力;能够利用行列式与矩阵的知识熟练判定线性方程组解的存在性,并正确求解;能够借助计算工具或数学软件进行矩阵运算及线性方程组的求解;综合运用线性代数知识解决实际问题,提升数学建模与应用能力.学习目标素质目标:培养数学理论与实际问题相结合的意识,提升学生的数学应用能力与解决问题的成就感;鼓励学生阅读相关数学书籍,拓宽知识视野,增强数学文化素养;通过学习典型数学案例,提高学生构建数学模型的能力;借助阅读数学家高斯的生平故事,启发智慧,养成勤于思考、善于发现规律、动脑解决问题的优秀学习习惯.5.1行列式的概念5.1.1二阶、三阶行列式

5.1.1二阶、三阶行列式定义1

定义15.1.1二阶、三阶行列式

5.1.1二阶、三阶行列式例1

5.1.1二阶、三阶行列式定义2

5.1.1二阶、三阶行列式

5.1.1二阶、三阶行列式例2

例3

定义3

定义4

5.1.2n阶行列式对于高阶行列式的计算,有如下结论.定理2

行列式中任一行(或一列)的各元素与另一行(或另一列)对应元素的代数余子式乘积之和为零.定理1定理15.1.2n阶行列式例4

5.1.2n阶行列式

(1)上三角形行列式.

(2)下三角形行列式.

(3)对角行列式.以下是几种常见的特殊形状行列式及其计算结果.

同步训练5-15.2行列式的性质与克莱姆法则5.2.1行列式的性质

性质10102

性质25.2.1行列式的性质性质3

推论

若行列式中有两行(或两列)元素对应成比例,则该行列式的值为零.5.2.1行列式的性质性质4

5.2.1行列式的性质

05性质5

5.2.1行列式的性质例1

5.2.1行列式的性质例2

5.2.2克莱姆法则

定义]

5.2.2克莱姆法则

5.2.1行列式的性质例3

5.2.1行列式的性质例4

同步训练5-2

同步训练5-2

5.3矩阵概念及线性方程组的矩阵表示法5.3.1矩阵的概念

5.3.1矩阵的概念定义1

5.3.1矩阵的概念

（1）零矩阵

（2）单位矩阵

（3）对角矩阵5.3.1矩阵的概念

（4）三角矩阵

（5）行矩阵与列矩阵5.3.1矩阵的概念

(6)阶梯矩阵.(7)行数与列数相同的两个矩阵称为同型矩阵.5.3.1矩阵的概念定义2

5.3.2线性方程组的矩阵表示法1.矩阵的乘法

5.3.2线性方程组的矩阵表示法

(1)AB≠BA(交换律不成立)(2)A≠O,B≠O,但AB可以等于O.

5.3.2线性方程组的矩阵表示法

(3)当AC=AD时,C可以不等于D(消去律不成立)

5.3.2线性方程组的矩阵表示法

(1)

(2)

(5)

(3)

(4)

矩阵乘法满足下列运算律(设运算都是可行的).5.3.2线性方程组的矩阵表示法2.方阵的幂

5.3.2线性方程组的矩阵表示法例1四个工厂均能生产甲、乙、丙三种产品,其单位成本如表5-1所示.现要生产甲种产品600件,乙种产品500件,丙种产品200件,问由哪个工厂生产成本最低?

工厂编号产

品甲乙丙13562248345544375.3.2线性方程组的矩阵表示法例2三个位于不同地区的水果生产基地,今年的水果产量和销售价格如表5-2所示,如何求得各基地的年产值?

产

地水果产量/t产值/万元苹果梨桃基地121814095基地2345220114基地3186188225销售价格/(万元·t-1)0.280.260