《经济数学（第四版）》高职全套教学课件

第一章函数、极限与连续MATH第1章

函数、极限与连续第2章

一元函数微分学及应用第3章

一元函数积分学及应用第4章

多元函数微分学及应用第5章

线性代数初步第6章

概率论初步第7章

数理统计初步全套可编辑PPT课件1函数的概念及初等函数2经济管理中常见的函数3极限的概念及运算4函数的连续性与间断点学CONTENTS5MATLAB软件简介6函数、极限与连续运算实验本章小结4函数的连续性与间断点学CONTENTSMATH第一节函数的概念及初等函数学习目标1.理解函数的概念,了解分段函数.能熟练地求函数的定义域和对应法则.2.了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性).3.熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形.4.理解复合函数、初等函数的概念.学习目标现实世界中,存在着各种各样不停变化着的量,它们之间相互依存,相互联系.例如,某商品的市场需求量是受该商品的价格影响的,它随价格的变动而变化.反之,该商品的价格也会受市场需求量的影响.函数就是对各种变量之间的相互依存关系的一种抽象.微积分学的研究对象是函数.函数概念是数学中的一个基本而重要的概念.第一节函数的概念及初等函数

一、函数【案例1.2】(人民币整存整取定期存款利率)我国2011年7月7日实行的人民币整存整取定期储蓄存期与年利率如下表1.1:这张表格确定了存期与年利率这两个变量之间的对应关系.根据不同的存期可以知道整存整取定期储蓄的年利率.第一节函数的概念及初等函数【案例1.3】(股票曲线)股票在某天的价格和成交量随时间的变化常用图形表示,图1.1为某一股票在某天的走势图.从股票曲线,我们可以看出这只股票当天的价格和成交量随时间的波动情况.第一节函数的概念及初等函数

第一节函数的概念及初等函数

第一节函数的概念及初等函数2.函数的表示法表示函数的主要方法有三种表格法图形法解析法（公式法）231表示函数的方法第一节函数的概念及初等函数

(2)表格法用表格形式表示函数的方法叫作表格法.它是将自变量所取的值和对应的函数值列成表格,其优点是直观、精确.如案例1.2人民币整存整取定期储蓄存期与年利率的关系.(3)图形法用图形表示函数的方法叫作图形法.其优点是直观形象,且可看到函数的变化趋势.如案例1.3某一股票在某天的走势图.第一节函数的概念及初等函数

第一节函数的概念及初等函数

第一节函数的概念及初等函数163

第一节函数的概念及初等函数

第一节函数的概念及初等函数4.分段函数【案例1.4】(国内寄信函的收费标准)表1.2为国内寄信函的收费标准.试求邮资与信函的函数关系式.第一节函数的概念及初等函数

第一节函数的概念及初等函数

第一节函数的概念及初等函数

第一节函数的概念及初等函数【例1.3】一旅馆有200间房间,如果定价不超过100元/间,则可全部出租.若每间定价每高出10元,则会少出租4间.设每间房出租后的服务成本费为20元,试建立旅馆一天的利润与房价间的函数关系.

第一节函数的概念及初等函数

第一节函数的概念及初等函数

第一节函数的概念及初等函数

第一节函数的概念及初等函数

第一节函数的概念及初等函数

第一节函数的概念及初等函数

第一节函数的概念及初等函数

1.基本初等函数常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数,以上六类函数统称为基本初等函数,表1.3给出了它们的表达式、定义域、值域、图像和特性.第一节函数的概念及初等函数二、初等函数第一节函数的概念及初等函数第一节函数的概念及初等函数第一节函数的概念及初等函数第一节函数的概念及初等函数第一节函数的概念及初等函数第一节函数的概念及初等函数

第一节函数的概念及初等函数为解决实际问题,我们常常要把问题量化,找出问题中变量的关系,建立数学模型,即确定目标函数,再利用相关的数学知识解决这些问题.第一节函数的概念及初等函数三、函数关系式的建立

第一节函数的概念及初等函数【例1.5】

我们知道,当个人的月收入超过一定金额时,应向国家交纳个人所得税,收入越高,国家征收的个人所得税的比例也越高,即“高收入,高税收”.我国现行的税收制度(见表1.4)是2007年12月29日通过的《修改<中华人民共和国个人所得税法>的决定》,并从2008年3月1日起施行.规定月收入超过2000元为应纳税所得额(表中仅保留了原表中前2级的税率)个人所得税一般在工资中直接扣发.若某单位所有人的月收入都不超过4000元,请建立月收入与纳税金额之间的函数关系.第一节函数的概念及初等函数

习题1.1

习题1.1

习题1.1

MATH第二节经济管理中常见的函数学习目标1.了解常用经济函数的概念.2.会建立实际问题中的经济函数关系式.在经济贸易和经济建设中,经常遇到函数之间的关系问题,本节重点介绍经济学中常用的一些函数.第二节经济管理中常见的函数

一、需求函数与供给函数第二节经济管理中常见的函数

第二节经济管理中常见的函数

第二节经济管理中常见的函数

第二节经济管理中常见的函数

第二节经济管理中常见的函数

二、成本、收入和利润函数第二节经济管理中常见的函数

第二节经济管理中常见的函数

第二节经济管理中常见的函数

第二节经济管理中常见的函数

第二节经济管理中常见的函数

习题1.2

习题1.2

习题1.2

MATH第三节极限的概念及运算学习目标1.了解极限的概念,知道函数极限的描述性定义,会求左右极限.2.了解无穷小量的概念,了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系,以及无穷小量的比较等关系.3.掌握极限的四则运算法则.4.掌握两个重要极限.5.掌握一些常用的求极限的方法.学习目标十九世纪以前,人们用朴素的极限思想计算了圆的面积或某些不规则物体的体积等.十九世纪之后,柯西以物体运动为背景,结合几何直观,引入了极限概念.后来,维尔斯特拉斯给出了形式化的数学语言描述.极限概念的创立,是微积分严格化的关键.它奠定了微积分学的基础.它也是研究经济变量变化趋势,预测经济变量未来走向的基础.第三节极限的概念及运算

一、数列的极限【案例1.7】战国时期著名哲学家庄子在《庄子·天下篇》一书中记载着惠施的一段话“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.

第三节极限的概念及运算

【案例1.8】(圆面积的计算)我国古代魏末晋初的杰出数学家刘徽(约225—295年)创造了“割圆术”,成功地推算出圆周率和圆的面积.下面介绍一下“割圆术”求圆面积的作法和思路:

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

由定理1.3可知,数列有界是数列收敛的必要条件,而不是充分条件.有界数列未必收敛.但无界数列必发散.上述数列极限的两个性质对以下函数极限同样成立.第三节极限的概念及运算

二、函数的极限

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算三、无穷小与无穷大1.无穷小【案例1.13】(洗涤效果)在用洗衣机清洗衣物时,清洗次数越多,衣物上残留的污渍就越少.当洗涤次数无限增大时,衣物上的污渍趋于零.在对许多事物进行研究时,常遇到事物数量的变化趋势为零.

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

定理证明从略.无穷小的代数性质.性质1.有限个无穷小之和仍是无穷小.性质2.有界变量与无穷小之积仍是无穷小.性质3.常数与无穷小之积是无穷小.性质4.有限个无穷小之积是无穷小.第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

定理证明从略.据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.第三节极限的概念及运算4.无穷小的比较根据无穷小的代数性质,我们知道,在同一过程中的两个无穷小的和差及乘积仍为无穷小,但它们的商却不一定是无穷小.

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

这个性质表明:求两个无穷小之比的极限时,分子及分母都可用等价无穷小来代替,这往往可使计算简化.第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算四、极限的运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算2.复合函数的极限法则

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算3.两个重要极限对这两个重要极限我们不作证明,仅用列表法来给出函数的变化趋势.

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算【例1.36】四家银行按不同方式(年、半年、月、连续)计算本利和,假设在每个银行存入1000元,年利率为8%,试问5年后本利和各为多少?

第三节极限的概念及运算5.永续年金

第三节极限的概念及运算

第三节极限的概念及运算【例1.37】某学校要建立一项永久性的奖学金,每年发放一次,奖金为1000元,若以年复利率5%计算,现需存入银行多少钱?.

习题1.3

3.在下列各题中,指出哪些是无穷小,哪些是无穷大?

习题1.34.计算下列各极限:

5.计算下列各极限:6.计算下列各极限:

习题1.37.计算下列各极限:

8.计算下列各极限:

习题1.39.一笔10万元的房屋贷款,还贷期限是5年.如果贷款利率为6%的年复利,采用每月偿还等额本息的还贷方法,每月需还银行多少钱?10.某企业计划建立一项永久性的奖励基金,每年年终发放一次,奖金为10万元,若以年复利率4%计算,现需存入银行多少钱?MATH第四节函数的连续性与间断点学习目标1.了解函数连续性的定义,会求函数的连续区间.2.了解函数间断点的概念,会判别函数间断点的类型.3.知道闭区间上连续函数的几个性质.学习目标在稳定的社会经济系统中,许多经济量都是连续变化的.例如,人口数量、国民收入、价格指数等都可以看作是时间的函数,显然,在很短的时间内,这些经济量的改变将是很小的.这些现象在函数关系上的反映,就是函数的连续性.函数的连续性是与函数的极限密切相关的重要概念,这个概念的建立为进一步深入地研究函数的微分和积分及其应用打下了基础.第四节函数的连续性与间断点一、函数的连续性

第四节函数的连续性与间断点

第四节函数的连续性与间断点

第四节函数的连续性与间断点

注意:一切初等函数在其定义区间内都是连续的.第四节函数的连续性与间断点二、函数的间断点

第四节函数的连续性与间断点

第四节函数的连续性与间断点

第四节函数的连续性与间断点

第四节函数的连续性与间断点

第四节函数的连续性与间断点

第四节函数的连续性与间断点三、闭区间上连续函数的性质在闭区间上连续函数具有一些重要的性质,下面我们将不加证明地予以介绍.定理1.9(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值.定理证明从略.图1.10给出了该定理的几何直观图形.第四节函数的连续性与间断点

注意:如果函数在开区间内连续,或函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值.

第四节函数的连续性与间断点第四节函数的连续性与间断点

第四节函数的连续性与间断点第四节函数的连续性与间断点

第四节函数的连续性与间断点

习题1.4

5.求下列函数的连续区间.习题1.46.求下列极限.

7.求下列函数的间断点并判断其类型.8.一个停车场第一个小时(或不到一小时)收费3元,以后每小时(或不到整时)收费2元,每天最多收费10元.讨论此函数的间断点,并说明其实际意义.

MATH第五节MATLAB软件简介学习目标本节首先介绍MATLAB程序设计与应用的基础知识,包括MATLAB的操作界面,MATLAB语言的各种基本要素、MATLAB基本运算符以及MATLAB函数等,然后进行函数、极限与连续运算实验.第五节MATLAB软件简介一、MATLAB基础知识介绍MATLAB是MATrixLABoratory的缩写,是由美国MathWorks公司于1982年推出的一套高性能数值计算的可视化软件,不但可以解决数值计算问题,还可以解决符号演算问题,并且能够绘制函数图形.具有语言简单易学易用,代码短小高效,计算功能强大,绘图方便,可扩展性强等特点.已广泛地应用于教学和科研领域.MATLAB安装成功后,开始/程序/MATLAB菜单项(或双击桌面上的MATLAB图标快捷键)即可打开MATLAB界面(如图1.14所示).若要退出,单击右上关闭按钮便可.第五节MATLAB软件简介第五节MATLAB软件简介在图1.14中,第一栏为MATLAB标题栏,第二栏为菜单栏,第三栏为工具栏.工具栏中,除了一般的Windows程序通用按钮之外,有1个仿真程序启动按钮,另外,在最右端还有一个当前目录窗口.在工具栏下面是命令编辑区,利用菜单栏中的“View菜单”中的命令可打开或关闭多个窗口.图1.14已打开多个窗口.1)命令窗口(CommandWindow).在该窗口输入命令,回车实现计算或绘图等功能.符号“≫”表示等待用户输入.在命令窗口利用功能键,可使操作简便快捷.一些常用的功能键如表1.9所示.第五节MATLAB软件简介第五节MATLAB软件简介2)工作空间窗口(WorkSpace).运行MATLAB命令时所产生的变量都被加入到工作空间,该窗口可以显示变量的名称、数值、尺寸、最小值和最大值等,并用不同的图标表示数据类型,并可对变量及其赋值进行修改.3)命令历史窗口(CommandHistory).该窗口显示所有执行过的命令,当选定某个命令后可以直接双击或按F9键执行该命令.4)当前目录窗口(CurrentDriectory).显示当前目录下的文件信息.5)帮助导航(?).单击可以打开帮助浏览器MATLAB是一种交互式语言,输入命令即给出运算结果.当命令窗口出现提示符≫时,表示MATLAB已准备好,可以输入命令、变量或运行函数.第五节MATLAB软件简介二、MATLAB基本运算1.算术运算符MATLAB中提供的常用算术运算符如表1.10所示.【说明】/与\这两种符号对数值操作时,作用相同,如1/2与2\1,其结果都是0.5;但对矩阵操作时,它们却表达了两种完全不同的操作.第五节MATLAB软件简介

正如上面运算结果所示,在默认情况下,MATLAB显示小数点后4位小数,可以利用format命令改变显示格式,以e为例,常用的格式如表1.11所示.第五节MATLAB软件简介第五节MATLAB软件简介2.MATLAB变量1)变量赋值形式MATLAB语句由表达式和变量组成,变量赋值通常有两种形式:变量=表达式

表达式其中,“=”为赋值符号,将右边表达式的值赋给左边变量.当不指定输出变量时,MATLAB将表达式的值赋给临时变量ans.同一行可以有多个表达式,用分号(不显示结果)或逗号(显示结果)分隔.2)变量命名规则(1)变量名必须以字母开头,后面可跟字母、数字或下划线.例如x,y1,z_2.(2)变量名区分字母的大小写.例如a与A是两个不同的变量.(3)变量名不能超过63个字符.第五节MATLAB软件简介在MATLAB中,一些常用的特殊变量如表1.12所示.第五节MATLAB软件简介

第五节MATLAB软件简介4)数组(向量)的建立数组建立的常用方式有两种:①在方括号中依次输入元素,中间用逗号或空格分开.②利用符号“:”建立等差数组.例如这里建立了一个1×5的数组a,在工作空间窗口能看到a的信息.若要使用其中某个元素,可在括号中输入列号(即第几个元素),例如取第2个元素第五节MATLAB软件简介用符号“:”建立等差数组的格式:x=初值:步长:终值例如建立一个1至6,公差(步长)为1的等差数组:步长为1时可省略,步长也可以为负数.第五节MATLAB软件简介5)数组的运算利用MATLAB运算符与函数可以快速完成对数组元素的运算.数组元素的乘除与乘幂运算必须在运算符前加点,称为“点”运算,如表1.13所示.第五节MATLAB软件简介

第五节MATLAB软件简介3.符号变量MATLAB不仅能做数值运算,也能进行符号运算.MATLAB的符号运算是通过符号工具箱(SymbolicMathToolbox)来实现的.1)符号变量与符号表达式首先可以利用syms命令定义一个或多个符号变量,进而建立所需的符号表达式(符号变量).在建立多个符号变量,可依次输入,中间用空格分开.第五节MATLAB软件简介

第五节MATLAB软件简介2)符号变量的替换符号工具箱提供的替换命令subs如表1.14所示.表中的old是符号变量;new可以是符号变量,也可以是数值变量.利用替换命令可以方便地计算函数数值.第五节MATLAB软件简介4.字符变量在MATLAB中用单引号括起来的一串字符称为字符串,字符串赋给变量,就构成字符变量.例如第五节MATLAB软件简介5.常用函数MATLAB具有大量内部函数,用户只要输入相应的函数名就能直接调用,非常方便.常用的函数如表1.15所示.第五节MATLAB软件简介函数的调用格式为函数(变量)

输入时要注意函数名后带括号;计算数值的方法可以有多种,例如命令3^0.5与sqrt(3)所产生的效果是相同的.MATH第六节函数、极限与连续运算实验第六节函数、极限与连续运算实验(1)会利用MATLAB求函数极限.(2)会利用MATLAB作函数图形.(3)会利用MATLAB判断函数的连续性.一、实验目的(1)利用MATLAB求极限在MATLAB符号工具箱中求极限的指令是limit,其调用格式如表1.16所示.二、实验指导第六节函数、极限与连续运算实验第六节函数、极限与连续运算实验【例1.48】

求下列函数的极限.

第六节函数、极限与连续运算实验

第六节函数、极限与连续运算实验解(1)输入:≫fplot('x+sin(x)',[-5,5])按“回车”键,出现如图1.16所示窗口.第六节函数、极限与连续运算实验解(2)输入:≫fplot('x^2*exp(-x^2)',[-6,6])按“回车”键,出现如图1.17所示窗口.第六节函数、极限与连续运算实验

第六节函数、极限与连续运算实验

实验训练题(一)1.利用MATLAB计算下列各极限.

本章小结1.基本概念函数、基本初等函数、初等函数、分段函数、常用的经济函数.数列的极限、函数的极限、函数的左(右)极限、无穷小、无穷大.函数的连续性、函数的间断点、闭区间上连续函数的性质.2.基本知识(1)函数①基本初等函数常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数.②初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成,并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.本章小结

本章小结

⑥连续复利⑦永续年金本章小结

谢谢您的聆听MATH第二章一元函数微分学及应用MATH1导数的概念及运算2微分的概念及运算3导数的应用—边际分析与弹性分析4导数的应用—函数的性态分析CONTENTS5导数的应用—最优化问题与洛必达法则6导数运算实验本章小结4导数的应用—函数的性态分析CONTENTS学习目标在日常生活中，我们会遇到以下变化率问题:某变速直线运动物体路程关于时间的变化率——速度，某种细菌数量关于时间的变化率，某公司总成本关于产量的变化率等等.这些问题的解决需要用到导数和微分等方面的知识.下面我们予以一一介绍.MATH第一节导数的概念及运算学习目标1.理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性的关系.2.掌握导数的四则运算法则和基本初等函数的导数公式.3.掌握复合函数求导法则.4.掌握隐函数的求导方法以及函数的对数求导法.5.了解高阶导数的概念，会求简单函数的二阶导数.第一节导数的概念及运算

一、导数的概念图2.1

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算

图2.2上面的例子从抽象的数量关系来看，可归结为考察当自变量的改变量趋于0时，函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，这种特定的极限称为函数的导数.第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算图2.3

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算4.可导与连续的关系

第一节导数的概念及运算二、求导法则对于一些简单的函数可以利用定义去求导数，但是对于比较复杂的函数，需要推导出一些基本公式与运算法则，以简化求导计算.

1.导数的四则运算法则第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算

注意：在某些求导运算中，能避免使用除法求导法则的应该尽量避免.第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算2.反函数的导数

第一节导数的概念及运算

【例2.11】

求指数函数的导数.第一节导数的概念及运算

【例2.12】

求反三角函数的导数第一节导数的概念及运算3.复合函数的导数

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算4.基本导数公式总结

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算5.隐函数的导数

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算6.对数求导法在求导的四则运算法则中,乘、除运算法则很繁杂,计算容易出错.我们可以利用对数函数的性质将乘、除的求导运算转化为加、减的求导运算.第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算三、高阶导数

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算

习题2.1

习题2.1

习题2.1

MATH第二节微分的概念及运算学习目标1.理解函数的微分概念,了解微分的几何意义.2.掌握微分的运算.3.会利用微分进行一些简单的近似计算第二节微分的概念及运算一、微分的概念

第二节微分的概念及运算

第二节微分的概念及运算

第二节微分的概念及运算

第二节微分的概念及运算

第二节微分的概念及运算二、微分的几何意义

图2.5第二节微分的概念及运算三、微分运算法则

第二节微分的概念及运算

第二节微分的概念及运算四、一阶微分的形式不变性

第二节微分的概念及运算

第二节微分的概念及运算五、微分在近似计算方面的应用

第二节微分的概念及运算

第二节微分的概念及运算

第二节微分的概念及运算

第二节微分的概念及运算

习题2.2

习题2.2

MATH第三节导数的应用—边际分析与弹性分析学习目标1.了解边际函数的概念,会用导数关系（函数的变化率）进行描述.2.了解经济函数的弹性概念,会用导数关系（函数的相对变化率）进行描述.在研究经济问题时常会涉及经济变量的导数和变化率问题，在经济上对这些导数有特殊的称呼，如边际、弹性、增长率等等.本节主要讨论一元经济函数的边际和弹性问题.第三节导数的应用—边际分析与弹性分析一、边际分析在经济学理论中，通常用“边际”来描述函数的变化率.简单介绍如下.

经济函数常常有如下特征：一是自变量（如销售量、产量等）的取值范围是正整数；二是自变量的取值很大，以千、万,甚至百万计数.第三节导数的应用—边际分析与弹性分析

1.边际成本

第三节导数的应用—边际分析与弹性分析

第三节导数的应用—边际分析与弹性分析

第三节导数的应用—边际分析与弹性分析

2.边际收入

第三节导数的应用—边际分析与弹性分析3.边际利润

第三节导数的应用—边际分析与弹性分析

第三节导数的应用—边际分析与弹性分析

第三节导数的应用—边际分析与弹性分析二、弹性分析

第三节导数的应用—边际分析与弹性分析

第三节导数的应用—边际分析与弹性分析

第三节导数的应用—边际分析与弹性分析

第三节导数的应用—边际分析与弹性分析

第三节导数的应用—边际分析与弹性分析

第三节导数的应用—边际分析与弹性分析

【例2.38】

设某商品因原材料紧缺，拟用提价的方式降低20%的销售量.假设该商品的需求弹性系数在2—2.5之间，问应提价多少？习题3.3

习题3.3

MATH第四节导数的应用—函数的性态分析学习目标1.理解函数的极值的概念，掌握利用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法.2.了解曲线的凹凸和拐点的概念，掌握求曲线凹凸区间和拐点的方法.3.了解曲线的水平渐近线和铅直渐近线的概念，掌握绘制函数图形的主要步骤.为了进一步研究经济函数，可利用导数对函数的一些特性进行分析，为此引进函数的增减性、函数的单调性极值、曲线的凹凸性、拐点等概念.第四节导数的应用—函数的性态分析一、函数的单调性

图2.6第四节导数的应用—函数的性态分析

第四节导数的应用—函数的性态分析

注意：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性，利用导数等于零的点和不可导点，可作为单调区间的分界点.图2.7第四节导数的应用—函数的性态分析

图2.8第四节导数的应用—函数的性态分析

图2.9第四节导数的应用—函数的性态分析

图2.10第四节导数的应用—函数的性态分析

第四节导数的应用—函数的性态分析二、函数的极值

第四节导数的应用—函数的性态分析

图2.11第四节导数的应用—函数的性态分析

第四节导数的应用—函数的性态分析

第四节导数的应用—函数的性态分析

图2.12是极值点情形图2.13不是极值点情形第四节导数的应用—函数的性态分析

极大值极小值

第四节导数的应用—函数的性态分析

极大值极小值

第四节导数的应用—函数的性态分析

第四节导数的应用—函数的性态分析

图2.14

第四节导数的应用—函数的性态分析三、曲线凹凸性与拐点如何研究曲线的弯曲方向？从几何上看到，在有的曲线弧上，如果任取两点，则连接这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方（图2.15），而有的曲线弧却正好相反（图2.16）.曲线的这种性质就是曲线的凹凸性.图2.15图形上任意弧段位于所张弦的下方图2.16图形上任意弧段位于所张弦的上方第四节导数的应用—函数的性态分析

第四节导数的应用—函数的性态分析

第四节导数的应用—函数的性态分析定义2.10

连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.

注意：拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.第四节导数的应用—函数的性态分析

凹的凸的凹的

第四节导数的应用—函数的性态分析解当x≠0时,y'=13x-23,y″=-29x-53,则x=0是不可导点,y',y″均不存在.但在(-∞,0)内,y″>0,曲线在(-∞,0]上是凹的;在(0,+∞)内,y″<0,曲线在[0,+∞)上是凸的.所以点(0,0)是曲线y=3x的拐点.【例2.48】

求曲线y=3x的拐点第四节导数的应用—函数的性态分析四、曲线的渐近线

1.铅直渐近线（垂直于x轴的渐近线）

图2.17第四节导数的应用—函数的性态分析2.水平渐近线(平行于x轴的渐近线)

图2.18第四节导数的应用—函数的性态分析

第四节导数的应用—函数的性态分析五、函数图形的描绘利用导数描绘函数图形的一般步骤如下：第一步：

第二步：

第四节导数的应用—函数的性态分析第三步：

第五步：

第四步：确定曲线的渐近线；第四节导数的应用—函数的性态分析

不存在不存在间断点第四节导数的应用—函数的性态分析

图2.19第四节导数的应用—函数的性态分析

图2.20第四节导数的应用—函数的性态分析列表确定函数单调区间，凹凸区间及极值点与拐点：不存在不存在间断点

习题2.4

习题2.4

MATH第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则学习目标

在经济生活中，常会需要解决“投入最少”、“成本最低”、“效益最好”等问题，数学上称这样的问题为最优化问题.这类问题通常可以转化为数学上的求函数的最大值或最小值问题.第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则一、函数的最大值与最小值问题

注意：如果区间内只有一个极值，则这个极值就是最值（最大值或最小值）（1）求函数的驻点和不可导点；（2）求区间端点及驻点和不可导点的函数值，比较大小，最大者就是最大值，最小者就是最小值.第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则

图2.21第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则

【例2.53】

某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去.当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入？第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则二、经济生活中的最优化问题

1.最大利润问题第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则

第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则

【例2.55】

某商店每天向工厂按出厂价每件3元购进一批商品零售，若零售价定为每件4元，估计销售量为400件，若一件售价每降低0.05元，则可多销售40件，问每件售价应定为多少和从工厂购进多少件时，才可获得最大利润？最大利润为多少元？表2.1进货的增加量与售价的降低量第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则

第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则在生产实际中，经常遇到这样的问题：在既定的生产规模条件下，如何生产能使成本最低，利润最大？2.成本最低问题第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则

第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则3.最大收入问题

【例2.57】

一家工厂生产一种成套的电器维修工具，厂家规定，订购套数不超过300套，每套售价400元；若订购套数超过300套时，每超过一套可以少付1元.问怎样的订购数量，才能使工厂销售收入最大？第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则

第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则假设一个商场需要从外面购进制成品进行销售.每次进货都需要支付与进货量无关的订购费（例如运送费）.另外，为了不使销售中断，他还需贮存一定数量的制成品，贮存费（保管费）需按件支付.商场现在考虑的问题是如何使总费用最低.很明显，如果制成品的订购费用高而贮存费用低，应选择订购次数少一点而贮存得多一些.但是，应如何安排订购批量和订购次数才能使订购费加贮存费最少呢？在经济管理中，把订购费用与保管费用之和（即总费用）最小时的批量称为最优（经济）订购批量，订购次数称为最优订购次数，订购周期称为最优订购周期.注：平均库存量为批量的一半.4.库存管理问题第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则

【例2.58】

某商场每月需某种商品2500件，每件的成本价为150元，每件的库存费用为150×16%元/年，而每次的订货费为100元，问每批进货多少件时，每月这两项费用之和最低?第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则三、洛必达法则

1.最大利润问题第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则

（1）

（2）

（3）

第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则

第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则

第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则

第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则

第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则

注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则

第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则

第五节导数的应用—最优化问题与洛必达法则

习题2.5

习题2.5

习题2.5

习题2.5

MATH第六节导数运算实验（1）会利用MATLAB求函数的导数.（2）会利用MATLAB求函数的极值.第六节导数运算实验一、实验目的二、实验指导在MATLAB符号工具箱中求导数的指令是diff，其调用格式如表2.2：表2.2导数运算符命令功能备注diff（y，'x'，n）函数y关于自变量x的n阶导数如果是对一元函数求导，x可省略，直接用diff（y，n）指令即可；如果是一阶导数，则n可以省略，直接用diff（y，'x'）或diff（y）即可.第六节导数运算实验求函数的极值可以用fminbnd命令求数值解，其调用格式如表2.3：表2.3

fminbnd命令命令功能[x，fv]=fminbnd（f，a，b）求一元函数f在区间（a，b）内的极小值，f为字符串，输出x为极小值点，fv为极小值.第六节导数运算实验

序号MATLAB输入命令MATLAB输出结果（1）syms

x

yy=x*exp（x^2）；diff（y）ans=

exp（x^2）+2*x^2*exp（x^2）syms

xdiff（x*exp（x^2））第六节导数运算实验序号MATLAB输入命令MATLAB输出结果（2）syms

x

yy=log（x）/x^2；diff（y，x，2）ans=

-5/x^4+6*log（x）/x^4（3）syms

xy=x^2*atan（x）；dy=diff（y）；subs（dy，x，3）ans=

8.3943（续表）第六节导数运算实验

MATLAB输入命令MATLAB输出结果f='x^2+5*x'；[x，fv]=fminbnd（f，-3，1）x=

-2.5000fv=

-6.2500

MATLAB输入命令MATLAB输出结果f='x^2+5*x'；[x，fv]=fminbnd（f，1，2）x=

1.0001fv=

6.0005第六节导数运算实验【例2.69】

用一块边长为24cm的正方形铁皮，在其四角各截去一块面积相等的小正方形，做成无盖的铁盒.问截去的小正方形边长为多少时，做出的铁盒容积最大？

MATLAB输入命令MATLAB输出结果f='-x*（24-2*x）^2'；fminbnd（f，0，12）ans=

4.0000

实验训练题（二）

本章小结

本章小结2.导数基本公式与求导法则（1）基本初等函数的导数公式（16个）.（2）导数的四则运算法则.（3）复合函数求导法则，隐函数求导法则，对数求导法.

本章小结

本章小结6.函数的性态分析（1）利用一阶导数的符号判定函数的单调性.（2）利用一阶导数或二阶导数的符号判定函数极值.（3）利用二阶导数的符号判定曲线的凹凸性及曲线的拐点.（4）函数图形的描绘:根据函数的定义域、奇偶性、渐近线、单调性、极值、凹凸性及拐点，列表讨论并作出函数图形.7.最优化问题（1）最值应用问题：首先根据题意，建立数学模型；然后求出函数驻点，若在所考虑的定义域内驻点唯一，则函数在该驻点处取得最值.（2）经济生活中的最优化问题：最大利润、成本最低、最大收入、库存管理等.本章小结

谢谢您的聆听MATH第三章一元函数积分学及应用MATH1不定积分的概念与性质2基本积分法3不定积分在经济管理中的应用4定积分的概念与性质CONTENTS5定积分的计算6反常积分7定积分的几何应用8定积分在经济管理中的应用9积分运算实验CONTENTS本章小结学习目标积分是微积分的基本内容之一，它包括不定积分和定积分两部分.它们在理论和实践上都是极为重要的数学工具.本章主要介绍不定积分和定积分的概念、性质、常用的积分方法和它们在几何、经济管理方面的应用.MATH第一节不定积分的概念与性质学习目标1.理解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的几何意义和性质.2.掌握不定积分基本公式，会用直接积分法求不定积分.微分学的一个基本问题是：给定一个函数，怎样求它的导数.本节将讨论它的相反问题，即寻找一个可导函数，使得它的导数等于已知函数.这在经济分析和其它领域中都有着广泛的应用.第一节不定积分的概念与性质一、原函数

第一节不定积分的概念与性质

第一节不定积分的概念与性质

第一节不定积分的概念与性质

（1）

（2）

第一节不定积分的概念与性质二、不定积分的概念

第一节不定积分的概念与性质

第一节不定积分的概念与性质三、不定积分的几何意义

图3.1第一节不定积分的概念与性质

第一节不定积分的概念与性质四、基本积分公式由于在不定积分的定义中并没有给出计算不定积分的具体方法，因而只能根据“求不定积分是求导数的逆运算”这一基本关系来求不定积分.根据基本导数公式，即可得到如下常用的不定积分基本公式：

第一节不定积分的概念与性质这些积分公式是计算不定积分的基础，对学习本课程十分重要，必须牢牢记住.

第一节不定积分的概念与性质五、不定积分的性质根据不定积分的定义，不难推出不定积分具有以下性质：1.积分与微分运算的互逆性质

第一节不定积分的概念与性质2.不定积分的运算性质

第一节不定积分的概念与性质

注意：遇到多项积分时，不需要对每个积分都加任意常数，只需要待各项积分都计算结束后，总的加一个任意常数就可以了.第一节不定积分的概念与性质

第一节不定积分的概念与性质

第一节不定积分的概念与性质

习题3.1

习题3.1

MATH第二节基本积分法学习目标1.了解不定积分中变量代换的基本思想.2.熟练掌握第一类换元法.3.掌握第二类换元法.4.了解分部积分法的基本思想，会用分部积分公式求一些简单的不定积分.学习目标利用不定积分的基本积分公式和性质可以计算一些简单函数的积分，但要计算一些结构较复杂的函数的积分，仅用上述方法是不够的.所以需要引进更多的计算方法和技巧.本节将介绍两种常用的积分方法：换元积分法和分部积分法.第二节基本积分法一、换元积分法换元积分法通常分为两类，即第一类换元法和第二类换元法.这两种积分法的基本思想是一致的，就是把复合函数求导法则反过来应用于求不定积分，通过适当的变量替换，把某些不定积分化成基本积分公式中所具有的形式后再计算出结果，只是在具体步骤上有所不同.第二节基本积分法1.第一类换元法（凑微分法）

第二节基本积分法

第二节基本积分法

第二节基本积分法

第二节基本积分法

第二节基本积分法

第二节基本积分法从上述几例可知，运用凑微分法求不定积分，必须熟悉基本积分公式.为了更好地掌握此法，我们归纳出一些常用的凑微分公式如下：

第二节基本积分法为了有效地凑出微分，有时需将被积函数进行恒等变形.

第二节基本积分法

第二节基本积分法

第二节基本积分法

第二节基本积分法

第二节基本积分法

第二节基本积分法

第二节基本积分法2.第二类换元法第一类换元法主要是进行适当的凑微分后，能根据积分基本公式进行计算，但是并不是所有的被积函数都能够凑成功.如被积函数含根式就会给不定积分的求解带来困难，这时可以考虑对不定积分作变量代换，使得新不定积分的被积函数不再含根式.第二节基本积分法

第二节基本积分法

第二类换元法常常用来求某些含根式的不定积分，通过变量替换去掉根式.下面举例说明此法的应用.

第二节基本积分法

（1）

第二节基本积分法

（2）

第二节基本积分法

图3.2第二节基本积分法

图3.3第二节基本积分法

图3.4第二节基本积分法

第二节基本积分法在利用第二类换元法解决被积函数中带有根式的某些积分时，常用的变量替换可总结如下：

①②③④

⑤

其中①、②两种称为根式代换，③、④、⑤三种类型称为三角代换.第二节基本积分法

第二节基本积分法

第二类换元法并不仅仅适用上述的几种形式，它也是非常灵活的方法，应根据所给被积函数在积分时的困难所在，选择适当的变量替换，转化成便于求积分的形式，请看下面的例子.第二节基本积分法

第二节基本积分法

第二节基本积分法二、分部积分法

第二节基本积分法

第二节基本积分法

第二节基本积分法

第二节基本积分法

第二节基本积分法

第二节基本积分法

第二节基本积分法

第二节基本积分法

到目前为止，我们已经学习了求不定积分的三种最基本的方法，记住方法本身固然重要，但更重要的是要能够灵活地运用它们求解不同类型的题目.同时，还应注意到某些不定积分的求解需将几种方法结合在一起应用，才能凑效.第二节基本积分法

习题3.2

习题3.2

习题3.2

习题3.2

习题3.2

MATH第三节不定积分在经济管理中的应用学习目标1.了解常微分方程、方程的阶、解、通解、特解、初始条件和初值问题等概念.2.掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法.3.能用一阶微分方程求解一些简单的经济问题.学习目标在经济管理的许多问题中，往往需要求出所涉及到的变量间的函数关系.根据不定积分的概念可知，如果这个函数的导数是已知的，则可借助不定积分的计算方法直接求出这个函数，但在一些复杂的问题中，我们只能知道这个函数的导数所满足的关系式，这时该怎样确定这一函数呢？这就是本节所要介绍的内容——微分方程的概念和微分方程的解法.第三节不定积分在经济管理中的应用

第三节不定积分在经济管理中的应用一、微分方程的基本概念

第三节不定积分在经济管理中的应用

第三节不定积分在经济管理中的应用

第三节不定积分在经济管理中的应用二、一阶微分方程

1.可分离变量的微分方程第三节不定积分在经济管理中的应用

第三节不定积分在经济管理中的应用

第三节不定积分在经济管理中的应用

【例3.31】

求解【案例3.6】.第三节不定积分在经济管理中的应用

第三节不定积分在经济管理中的应用2.齐次微分方程

第三节不定积分在经济管理中的应用

第三节不定积分在经济管理中的应用

第三节不定积分在经济管理中的应用

第三节不定积分在经济管理中的应用3.一阶线性微分方程

（3.2）第三节不定积分在经济管理中的应用

第三节不定积分在经济管理中的应用

第三节不定积分在经济管理中的应用

【例3.34】

求解【案例3.7】第三节不定积分在经济管理中的应用

【例3.34】

解方程y'=x1+y第三节不定积分在经济管理中的应用三、一阶微分方程的经济应用举例

第三节不定积分在经济管理中的应用

第三节不定积分在经济管理中的应用

第三节不定积分在经济管理中的应用

第三节不定积分在经济管理中的应用

第三节不定积分在经济管理中的应用

习题3.3

习题3.3

习题3.3

MATH第四节定积分的概念与性质学习目标1.理解定积分的概念.2.掌握定积分的性质和几何意义.定积分和不定积分是积分学中密切相关的两个基本概念.定积分在自然科学和实际问题中有着广泛的应用.本节将从实例出发介绍定积分的概念、几何意义和性质.第四节定积分的概念与性质【案例3.8】(曲边梯形的面积)所谓曲边梯形,就是在直角坐标系中,由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的图形,如图3.5(a),(b),(c)都是曲边梯形.现在求当f(x)≥0时,在连续区间[a,b]上围成的曲边梯形的面积A(如图3.5(a),(b))所示.图3.5第四节定积分的概念与性质我们知道,矩形的高是固定不变的,那么它的面积可按公式:矩形面积=底×高来计算.根据此公式可以计算出多边形的面积.但曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上是变动的,故它的面积不能直接按上述公式来计算.分析:曲边梯形的高f(x)在区间[a,b]上是连续变化的,在很小一段区间上它的变化很小,近似于不变.因此,如果把区间[a,b]划分为许多小区间,在每个小区间上用其中一点处的高来近似代替同一个小区间上的窄曲边梯形的变高,那么,每个窄曲边梯形就可以近似地看成一个窄矩形.我们就以所有这些窄矩形面积之和作为曲边梯形面积的近似值,并把区间[a,b]无限细分下去,也就是使每个小区间的长度都趋于零,这时所有窄矩形面积之和的极限就可以定义为曲边梯形的面积.这个定义同时也给出了计算曲边梯形面积的方法.基于这样的一个事实,我们通过如下的步骤来计算曲边梯形的面积.第四节定积分的概念与性质

第四节定积分的概念与性质

第四节定积分的概念与性质

第四节定积分的概念与性质

第四节定积分的概念与性质

上述案例中所涉及到的实际内容虽然不同，但描述这些问题的数学模型却完全一致.都是通过“分割、近似替代、求和、取极限”这四个步骤，最后得到一个结构相同的和式的极限.这个和式的极限数学上称之为定积分.第四节定积分的概念与性质一、定积分的概念

第四节定积分的概念与性质

第四节定积分的概念与性质

第四节定积分的概念与性质

第四节定积分的概念与性质

第四节定积分的概念与性质

怎样的函数是可积函数呢？这里不作详细说明，只给出以下两个重要结论：

第四节定积分的概念与性质二、定积分的几何意义

（1）

图3.6第四节定积分的概念与性质（2）

图3.7第四节定积分的概念与性质（3）

图3.8

第四节定积分的概念与性质

图3.9第四节定积分的概念与性质

图3.10第四节定积分的概念与性质三、定积分的性质

第四节定积分的概念与性质

第四节定积分的概念与性质

第四节定积分的概念与性质

第四节定积分的概念与性质

第四节定积分的概念与性质

第四节定积分的概念与性质

第四节定积分的概念与性质

第四节定积分的概念与性质

习题3.4

习题3.4

MATH第五节定积分的计算学习目标1.了解积分上限函数的概念和性质.2.熟练应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分.3.掌握定积分的换元积分法和分部积分法.定积分是一种特定形式的极限,直接利用定义计算定积分是十分繁杂的,有时甚至是无法计算的.本节将介绍定积分计算的有力工具——牛顿莱布尼兹公式.第五节定积分的计算一、积分上限函数及其导数

第五节定积分的计算

第五节定积分的计算

1.积分上限函数的定义第五节定积分的计算

2.积分上限函数的性质第五节定积分的计算

第五节定积分的计算

第五节定积分的计算

第五节定积分的计算

第五节定积分的计算

第五节定积分的计算

第五节定积分的计算二、微积分基本公式

第五节定积分的计算

第五节定积分的计算

第五节定积分的计算

第五节定积分的计算三、定积分换元积分法在本章的第二节中，我们已经学习了用换元积分法和分部积分法求已知函数的原函数.将它们稍作改动就是定积分的换元积分法和分部积分法.但最终的计算总是离不开牛顿-莱布尼兹公式.下面首先介绍定积分的换元法.第五节定积分的计算

第五节定积分的计算

第五节定积分的计算

第五节定积分的计算

第五节定积分的计算

第五节定积分的计算

【例3.58】

设f(x)=1+x2，x≤0，ex，x>0，求∫31f(x-2)dx.第五节定积分的计算

第五节定积分的计算

第五节定积分的计算

第五节定积分的计算四、分部积分法

第五节定积分的计算

第五节定积分的计算

第五节定积分的计算

习题3.5

习题3.5

习题3.5

习题3.5

MATH第六节反常积分学习目标1.了解反常积分的概念.2.会计算简单的无穷积分.前面所学的定积分，其积分区间是有限区间，且被积函数是有界函数.但实际问题中还会遇到无穷区间上的积分以及无界函数的积分问题.因此需要把定积分概念加以推广.为了区别于前面的积分.通常把这两种推广了的积分分别称为无穷积分和瑕积分，统称为反常积分（或广义积分）.下面仅介绍无穷积分的概念和计算方法.第六节反常积分

第六节反常积分

第六节反常积分

第六节反常积分

第六节反常积分

第六节反常积分

第六节反常积分

第六节反常积分

习题3.6

MATH第七节定积分的几何应用学习目标1.掌握定积分的微元法思想.2.会用微元法解决简单的几何问题.定积分的概念和理论是在解决实际问题的过程中产生和发展起来的，因而它的应用非常广泛.前面我们已经知道了定积分的几何意义是曲边梯形的面积，然而定积分在几何上的应用还有许多，如可以根据定积分的概念求体积、弧长等.本节只讨论利用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积.下面首先介绍运用定积分解决实际问题的常用方法——微元法.第七节定积分的几何应用一、定积分的微元法

第七节定积分的几何应用二、平面图形的面积（1）

图3.11第七节定积分的几何应用（2）

第七节定积分的几何应用图3.12第七节定积分的几何应用

图3.13第七节定积分的几何应用

第七节定积分的几何应用

图3.14第七节定积分的几何应用（3）

图3.15第七节定积分的几何应用

图3.16第七节定积分的几何应用

第七节定积分的几何应用三、旋转体的体积

图3.17第七节定积分的几何应用

图3.18第七节定积分的几何应用

图3.19第七节定积分的几何应用

图3.20第七节定积分的几何应用

习题3.7

习题3.7

MATH第八节定积分在经济管理中的应用学习目标定积分在经济中有着非常广泛的应用,本节主要介绍几种常用的定积分的经济应用.第八节定积分在经济管理中的应用一、由变化率求总量、改变量和平均量

（3.3）第八节定积分在经济管理中的应用

第八节定积分在经济管理中的应用

第八节定积分在经济管理中的应用

第八节定积分在经济管理中的应用

第八节定积分在经济管理中的应用

第八节定积分在经济管理中的应用二、连续计息时资金流的现值与终值

第八节定积分在经济管理中的应用

第八节定积分在经济管理中的应用

【例3.76】某企业20年内的各时刻都有稳定的收入流100元，且年利率为10%，试用连续复利方式计算其收入现值和终值.第八节定积分在经济管理中的应用

【例3.77】某实验室准备采购一台仪器，其使用寿命为15年.这台仪器的现价为100万元，如果租用该仪器，每月需要支付1万元租金，资金的年利率为5%，如果以连续复利计算，试判断：是购买仪器合算还是租用仪器合算.第八节定积分在经济管理中的应用

【例3.78】某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预计为200万元，年利息率为0.08，求该工程的投资回收期.第八节定积分在经济管理中的应用三、消费者剩余与生产者剩余

图3.21第八节定积分在经济管理中的应用

第八节定积分在经济管理中的应用

第八节定积分在经济管理中的应用

图3.22第八节定积分在经济管理中的应用

习题3.8

习题3.8

习题3.8

习题3.8

MATH第九节积分运算实验（1）会利用MATLAB求函数的不定积分和定积分;（2）会利用MATLAB求解一阶微分方程.第九节积分运算实验一、实验目的第九节积分运算实验1.积分运算MATLAB符号工具箱中求积函数int，可求函数的不定积分与定积分，其调用格式如表3.1：表3.1积分运算符命令功能int（f）int（f，t）int（f，a，b）int（f，t，a，b）int（f，a，inf）int（f，t，a，inf）二、实验指导第九节积分运算实验

序号MATLAB输入命令MATLAB输出结果（1）symsxint(exp(x)*(sin(x))^2)ans=

1/5*(sin(x)-2*cos(x))*exp(x)*sin(x)+2/5*exp(x)（2）symsxint((t^0.5+t)*log(t),t)ans=

1/2*t^2*log(t)-1/4*t^2+2/3*t^(3/2)*log(t)-4/9*t^(3/2)第九节积分运算实验序号MATLAB输入命令MATLAB输出结果（3）int('sqrt(1-sin(2*x))','x','0','(pi/2)')ans=-2+2*2^(1/2)eavl(ans)ans=

0.8284（4）int('exp((-x^2)/2)/sqrt(2*pi)','x','-inf','inf')ans=

1（续表）第九节积分运算实验2.一阶微分方程求解MATLAB求解一阶微分方程的调用格式见表3.2.表3.2命令功能dsolve('Dy=f(x,y)','x')求解y'=f(x,y)的通解dsolve('Dy=f(x,y)','y(a)=b','x')求解y'=f(x,y),y(a)=b的特解第九节积分运算实验

序号MATLAB输入命令MATLAB输出结果（1）y=dsolve('Dy=(sin(x)-cos(x))*sqrt(1-y^2)','x')ay=

sin(-cos(x)-sin(x)+C1)（2）y=dsolve('Dy-2*y=exp(-x)','x')y=

(-1/3*exp(-3*x)+C1)*exp(2*x)

第九节积分运算实验

序号MATLAB输入命令MATLAB输出结果（1）y=dsolve('Dy=2*x*y/(x^2+1)','y(0)=1','x')y=

x^2+1（2）y=dsolve('x*Dy+y=cos(x)','y(pi)=1','x')y=

(sin(x)+pi)/x实验训练题（三）

本章小结

本章小结

本章小结

2.定积分的性质定积分的7条性质在定积分的理论和计算中具有重要的应用.除了上述性质外，以下结论在积分计算中也有重要应用：本章小结

本章小结

本章小结三、积分的应用1.不定积分应用不定积分的应用主要体现在解微分方程上，所以这部分的主要内容是微分方程的基本概念；可分离变量的微分方程、齐次微分方程及一阶线性微分方程的解法；用微分方程解决实际问题的步骤.2.定积分的应用定积分的应用中应掌握微元法，借助于微元法理解定积分应用中的计算思路和计算公式.定积分的应用有两方面：（1）定积分在几何上的应用：（a）求平面图形的面积；（b）求旋转体的体积.（2）定积分在经济上的应用：（a）由变化率求总量、改变量；（b）连续计息时资金流的现值与终值的计算；（c）消费者剩余与生产者剩余的计算.谢谢您的聆听MATH第四章多元函数微分学及应用MATHCONTENTS1多元函数、极限与连续2多元函数偏导数与全微分及其计算3多元函数的极值及其求法4多元函数偏导数在经济管理中的应用5多元函数微分学运算实验学习目标在很多实际问题中,往往涉及到多方面的因素,反映到数学上就是一个变量依赖于多个变量的情形,这就是多元函数.本章以二元函数为主,讨论多元函数的微分法及其在几何、经济方面的一些简单应用,其方法和结论可以类推到二元以上函数.MATH第一节多元函数、极限与连续学习目标1.理解多元函数的概念.2.了解二元函数的极限与连续以及有界闭区域上连续函数的性质.在第一章中，我们重点介绍的是一元函数、极限、连续等基本概念，下面用类比的方法将它们推广到多元函数情形.第一节多元函数、极限与连续一、多元函数的概念

第一节多元函数、极限与连续【案例4.2】（产品产值）某工厂有五种产品，它们的产值（单位：亿元）如下表4.1所示，按季度各不相同.表3.1积分运算符

类型产值季度1234512345575346343434.52322331显然，产值随着季度和产品类别的不同而改变，这个表格一目了然地反映出不同季度中不同产品的产值的具体情况.第一节多元函数、极限与连续

第一节多元函数、极限与连续

第一节多元函数、极限与连续

图4.1第一节多元函数、极限与连续

第一节多元函数、极限与连续

图4.2第一节多元函数、极限与连续

图4.3第一节多元函数、极限与连续

图4.4第一节多元函数、极限与连续二、二元函数的极限

第一节多元函数、极限与连续

第一节多元函数、极限与连续

第一节多元函数、极限与连续三、二元函数的连续性

第一节多元函数、极限与连续

第一节多元函数、极限与连续

第一节多元函数、极限与连续

习题4.1

MATH第二节多元函数偏导数与全微分及其计算学习目标1.理解偏导数的概念，掌握求二元初等函数的偏导数的方法.2.理解全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件.3.掌握求二元初等函数全微分的方法.4.掌握复合函数一阶偏导数的求法.5.会求隐函数的偏导数.第二节多元函数偏导数与全微分及其计算一、偏导数的定义及其计算方法1.偏导数的定义

第二节多元函数偏导数与全微分及其计算

第二节多元函数偏导数与全微分及其计算

第二节多元函数偏导数与全微分及其计算

第二节多元函数偏导数与全微分及其计算

第二节多元函数偏导数与全微分及其计算

第二节多元函数偏导数与全微分及其计算

第二节多元函数偏导数与全微分及其计算

图4.5第二节多元函数偏导数与全微分及其计算2.偏导数的求法

由偏导数的定义可以看出，对某一个变量求偏导，就是将其余变量看作常数，而对该变量求导.所以，求函数的偏导数不需要建立新的运算方法.第二节多元函数偏导数与全微分及其计算

第二节多