2026年高考数学复习系列（全国）专题7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（讲义）（试题版）

专题7.1基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（举一反三复习

讲义）

【全国通用】

1、基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

立体几何是高考的重点、热点内容，属于高考的必考内容之一。空间几

命题规律何体的结构特征与斜二测画法是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体

积是高考的重点与热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；

分析有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，难度中等；在

复习时，不仅要熟练掌握空间几何体的结构特征，还应加强几何体的表面积

和体积公式的理解及运用。

考点2023年2024年2025年

新课标I卷：第12题，

空间几何体5分全国二卷：第14题，

的结构全国甲卷（文数）：5分

第18题，12分

新课标I卷：第14题，

高考真题5分

新课标Ⅱ卷：第9题，新课标I卷：第5题，

统计5分5分

新课标Ⅱ卷：第14题，新课标Ⅱ卷：第7题，

空间几何体

5分5分北京卷：第14题，5

的表面积与

全国甲卷（文数）：全国甲卷（文数）：分

体积

第10题，5分第14题，5分

全国乙卷（文数）：全国甲卷（理数）：

第19题，12分第14题，5分

全国乙卷（理数）：

第8题，5分

预测在2026年全国卷高考数学中，本节内容的考情将继续维持稳定态

2026年势。空间几何体的结构、空间几何体的表面积与体积依旧是考查核心，大概

率仍然以选择题、填空题的形式进行考察，分值稳定在5分左右；有时作为

命题预测解答题的一个小问考查空间几何体的体积，难度中等；核心考点聚焦空间几

何体的体积，侧重考查数学运算能力，要学会灵活求解。

知识点1空间几何体结构特征的判断

1．空间几何体结构特征的判断技巧

(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况

下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.

(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明个命题是错误的，只要举出一个反例即可.

知识点2斜二测画法和展开图的常用结论

1．斜二测画法的常用结论：

(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的

线段平行性不变，长度减半.”

(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：.

2．几何体的表面展开图的常用结论：

几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定

先观察立体图形的每一个面的形状.

知识点3最短路径问题

1．最短路径问题的解题策略

(1)解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面.

(2)方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线

展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解.

知识点4空间几何体的表面积与体积的常见求法

1．常见的求几何体体积的方法

(1)公式法：直接代入公式求解.

(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.

(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.

(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.

2．求组合体的表面积与体积的方法

(1)求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎

样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.

(2)求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.

知识点5空间几何体与球的切、接问题的解题策略

1．常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：

常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.

常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：

2．空间几何体外接球问题的求解方法

空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：

(1)定义法：利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定

球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.

(2)补形法：若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有

关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解.

(3)截面法：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截

面，把空间问题转化为平面问题求解.

3．内切球问题的求解策略

(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.

(2)体积分割是求内切球半径的通用方法.

【方法技巧与总结】

1．与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.

(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理).

2．直观图与原平面图形面积间的关系：，.

【题型1空间几何体的结构特征】

【例1】（2025·安徽马鞍山·二模）在三棱柱中，截去三棱锥后，剩余的部分是（）

A．五棱锥B．四棱锥𝐴C�．−三�1棱�柱1�1D．三�棱1−台𝐴�

【变式1-1】（24-25高二下·湖南长沙·月考）如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，

使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（）

A．B．C．D．

【变式12-2】3（2025·云南昆明1·模3拟预测）下列说法正15确的是（）215

A．四棱柱的所有面均为平行四边形

B．球面上四个不同的点一定不在同一平面内

C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线

D．在正方体的所有顶点中取4个点，则由这4个顶点可以构成三个面是直角三角形，一个面是等边三

角形的四面体

【变式1-3】（2025·云南曲靖·二模）公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存

在正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把

这5种正多面体进行截角操作（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正

多边形，但各个面却不完全相同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足

球截面体的棱数为（）

A．60B．90C．120D．180

【题型2空间几何体的表面积】

【例2】（2025·甘肃武威·模拟预测）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是

园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组

合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到

的距离为，则该圆台的侧面积为𝐴𝐵𝐴=4m𝐵=6m�𝐵

1m

A．B．C．D．

2222

【变式22-1】2（πm2025·北京丰台4π·二m模）如图，在棱台5πm中，底面52πm和为正方形，

′′′′′′′′

，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面𝐴𝐵的−夹�角�均�为�，则该�棱��台�的表��面�积�为（）𝐴=

′′

3,��=1𝐴𝐵45°

A．18B．C．D．34

【变式2-2】（2026·四川绵阳10·模+拟8预2测）体积为10+的8圆3柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表

面积为（）63π��

A．B．C．D．

23π12π6π43π

【变式2-3】（2025·广东广州·模拟预测）某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两

个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂

料，每平方米需要10:20克涂料，则共需涂料（）

A．克B．克C．克D．克

240π320π720π1440π

【题型3空间几何体的体积】

【例3】（2026·山东泰安·一模）已知某圆锥的母线长为4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（）

A．B．C．D．

8316

【变式3-13】π（2025·重庆沙坪8坝3π·模拟预测）在四棱3台π中1，6π下底面为正方形，

，，则该�四��棱�台−的�体1�积1�为1�（1）𝐴𝐵𝐴=

4,�1�1=2,��1=��1=2��1=��1=2

A．B．C．D．

28142814

32323333

【变式3-2】（2025·河北秦皇岛·二模）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所

示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，

10，则该圆台的体积为（）150π

A．B．C．D．

353π1753π8753π

【变式3-3】3（2025·四川成都·3模拟预测）如图，将一个3长方体沿相邻三个8面7的5对3π角线截出一个棱锥，则余下

部分的体积与所截出棱锥的体积的比值是（）

A．3B．5C．6D．8

【题型4斜二测画法及其应用】

【例4】（25-26高二上·湖南·月考）如图，四边形O'A'B'C'是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形OABC

的直观图，其中，，，.则四边形的面积是（）

′′′′′′′′′′

��⁄⁄����=2��=1��=1�𝐴�

A．3B．C．6D．4

3

2

【变式4-1】（25-26高三上·青海西宁·月考）已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中

′′′′′

，则的长度为（）△𝐴�△�����

′′′′

=��=��=2��

A．8B．4

C．4D．43

【变式4-2】2（2025高三上·广东深圳·专题练习）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图

所示的一个正方形，则原来的图形是（）

A．B．

C．D．

【变式4-3】（24-25高一下·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平

′′′′

面图形的直观图，则原图的周长是（）����

A．8cmB．6cm

C．cmD．cm

2(1+2)2(1+22)

【题型5空间几何体中的最短路径问题】

【例5】（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱

上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底10面cm点处，那么它爬12行cm的最�短�路程为

（）��

A．B．C．D．

【变式5-10】c（m2026·河北沧州11·一cm模）我国古代数学1名3c著m《九章算术》中，1把2底cm面为直角三角形且侧棱垂直于

底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点

出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱𝐴的�中−点�1�，1�则1这�只�蚂=蚁�爬�=行2的最2短�路�1线=的4长度为（）�1

��1����1�

A．B．4C．D．10

17217

【变式5-2】（2025·安徽·一模）在正四棱柱中，，分别为侧棱

上一点，则𝐴的𝐵最−小�值1�为1�（1�1）𝐴=4,��1=5�,�,�

��1,A�．�1,��1B．��+��+��+��1C．D．14

【变式5-3】28（12025·陕西西安2·模83拟预测）圆台的上底28面5半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为

该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动

的最短路径长为（）

A．B．6C．D．

626π3π

【题型6空间几何体的截面问题】

【例6】（2025·山东枣庄·二模）如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点

的平面截该木块所得截面的形状为（）�,��,�,�

A．等腰三角形B．等腰梯形

C．五边形D．六边形

【变式6-1】（2025·青海海东·二模）如图，在正方体中，，，分别是棱，

的中点，则正方体被平面所截𝐴得�的�−截�面1周�1长�1是�1（�）�=4��𝐵�1�1

𝐴𝐵−�1�1�1�1���

A．B．C．D．

【变式6-42】5（+240252·江苏南通5·模5+拟预1测7）过正方体45+22+4的中6心5作+与2垂直的平面，则平面

截正方体所得的截面是（）𝐴𝐵−�1�1�1�1��1��

A．三�角��形�−�1�1B�1．�四1边形C．五边形D．六边形

【变式6-3】（2025·湖南永州·模拟预测）在长方体中，分别是棱

的中点，点满足，若过点𝐴𝐵−的�平1�面1截�1长�1方体𝐴=6,��=4,�,�所得的截面�为�,五��

边形，则实数�的取��值=范�围��是1(（0<�）<1)�,�,�𝐴𝐵−�1�1�1�1

A．�B．C．D．

11111

12,30,33,13,2

【题型7空间几何体的外接球问题】

【例7】（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表

面积为（）

A．48πB．36πC．24πD．12π

【变式7-1】（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，

则此正四棱台的外接球表面积为（）𝐴𝐵−�1�1�1�1ℎ=46𝐴=2�1�1=8

A．B．C．D．

【变式7-820】π（2025·四川成都91·π三模）在圆台中1，28圆π的半径是圆半18径2π的2倍，且点为该圆台外接

球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比�为1�（2）�2�1�2

A．B．C．D．

737321373

16963232

【变式7-3】（2025·黑龙江·二模）在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，

底面ABCD是边长为的正方形，则该四�棱−锥𝐴外�接�球表面积�为�（�⊥）

A．5π2B6．10πC．28πD．56π

【题型8空间几何体的内切球问题】

【例8】（2025·四川眉山·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表

面积为（）

A．B．C．D．

【变式8-91π】（2025·吉林·模1拟6π预测）一圆台的上底1面2π半径为，下底面直1径6为3π，母线长为，则内切于该

圆台的球体体积为（）145

A．B．C．D．

4π4ππ3�

5344

【变式8-2】（2025·江西南昌·模拟预测）已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积

332

等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（）�−𝐴�3m33m

2

A．3mB．C．D．

13131313

36π m48π m12π m3π m

【变式8-3】（2025·海南海口·模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积

与圆锥的内切球表面积之比为（）

A．B．C．D．

393627

2448

考点一空间几何体的结构

一、单选题

1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，

，该棱锥的高为（）�−𝐴𝐵𝐴𝐵��=𝐴=4

��=𝐵=22

A．1B．2C．D．

二、多选题23

2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器

壁厚度忽略不计）内的有（）

A．直径为的球体

B．所有棱长0.均99为m的四面体

C．底面直径为1.4m，高为的圆柱体

D．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体

三、填空题1.2m0.01m

3．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）

内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为4cm9cm．

四、解答题cm

4．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．

𝐴�−�1�1�1�1�⊥𝐴�,∠�𝐴=90°

(1)证明：平面平面；

(2)设���1�1⊥，求四��棱1�锥1�的高．

𝐴=�1�,��1=2�1−��1�1�

考点二空间几何体的表面积与体积

一、单选题

1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆

锥的体积为（）3

A．B．C．D．

2．（202243·新π课标Ⅱ卷·高考3真题3π）已知正三棱台63π的体积为9，3π，，则与平

52

𝐴�−�1�1�13𝐴=6�1�1=2�1�

面ABC所成角的正切值为（）

A．B．1C．2D．3

1

2

3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，

，若的面积等于，则该圆锥的体积为（）3∠�𝐴=

93

4

120A°．△�𝐴B．C．D．

4．（2023�·全国甲卷·高考真题）6在�三棱锥中，3�是边长为2的等3边6三�角形，，

则该棱锥的体积为（）�−𝐴�△𝐴�