2026年高考数学复习系列（全国）专题6.1 等差数列及其前n项和（讲义）（试题版）

专题6.1等差数列及其前n项和（举一反三复习讲义）

【全国通用】

1、等差数列及其前n项和

数列是高考的重点、热点内容，其中等差数列属于高考的常考内容之一。

从近三年的高考情况来看，等差数列的考查整体稳定，题型、难度及其考查

命题规律频率都较为稳定。选择题、填空题中多单独命题，主要考查等差数列的基本

量计算和基本性质、等差数列的通项公式与前n项和等，难度较易；在解答

分析题中主要考查等差数列的证明、求和及综合应用，多位于解答题的前几题中，

命题侧重基础，或融入不等式、导数等知识，难度中等；有时会在压轴题中

出现数列的新定义、新情景题，难度较大，需要灵活求解。

高考真题考点2023年2024年2025年

新课标卷：第题，

统计I7

5分

新课标I卷：第20题，新课标I卷：第19题，

12分17分

新课标Ⅱ卷：第18题，新课标Ⅱ卷：第12题，全国一卷：第16题，

12分5分15分

等差数列

全国甲卷（文数）：全国甲卷（文数）：全国二卷：第7题，5

第5题，5分第5题，5分分

全国乙卷（文数）：全国甲卷（理数）：

第18题，12分第4题，5分

全国乙卷（理数）：

第10题，5分

预测在2026年全国卷高考数学中，等差数列的考情将继续维持稳定态

2026年势。选择题、填空题仍然以单独考查等差数列的基本量计算、性质及前n项

和为主，分值稳定在5分左右；解答题中主要考查等差数列的判定与通项公

命题预测式，或者与等比数列、不等式、函数等结合命题，难度中等。核心考查等差

数列的性质、通项及前n项和的灵活运用，注重公式的运用和数学运算能力。

知识点1等差数列的基本量计算

1．等差数列的基本量计算的两大求解思路：

(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现

了用方程的思想来解决问题.

(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它

们表示已知和未知是常用方法.

知识点2等差数列的判定的方法与结论

1．证明数列是等差数列的主要方法：

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化

简得到定值.

(2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.

2．判定一个数列是等差数列还常用到的结论：

(1)通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列.

2

(2)前n项和公式：Sn=An+Bn（A,B为常数）是等差数列.

问题的最终判定还是利用定义.

知识点3等差数列及其前n项和的性质及应用

1．项的性质：

在等差数列an中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq.

2．和的性质：

在等差数列an中，Sn为其前n项和，则

(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)；

(2)S2n-1=(2n-1)an；

(3)依次k项和成等差数列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.

3．求等差数列前n项和的最值的常用方法：

(1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和

的最值；

2

(2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过

二次函数的性质求最值.

(3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确

定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值.

【方法技巧与总结】

1．已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.

2．在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.

3．等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d=0时，{an}是常

数列.

4．数列{an}是等差数列(A,B为常数).

【题型1等差数列的基本量计算】

【例1】（2026·河南鹤壁·一模）已知等差数列的公差为，若，，则（）

A．1B．2C�．�4��1=D．26�3+�8=40�=

【变式1-1】（2025·江苏南通·模拟预测）设为等差数列，且，则

（）���1+�2+�3=3,�2+�3+�4=9�6+�7=

A．16B．18C．20D．22

【变式1-2】（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知等差数列前三项的和为，则的公差为（）

A．3B．2C．2��D．3−3, �4=5��

【变式1-−3】（2026·安徽芜湖−·一模）等差数列的前项和为，满足，则公差（）

A．B．C�．�1���D．�23=6,�4=4�=

−1−2

【题型2等差数列的性质及应用】

【例2】（2025·浙江温州·一模）已知等差数列中，，则（）

A．5B．6C�．�7�4+�8=�7+D8．8�5=

【变式2-1】（2026·陕西渭南·一模）在等差数列中，若，，则（）

A．8B．12C．�1�6�3=6�D5．=2100�8=

【变式2-2】（2026·重庆·一模）在等差数列中，若，，则

（）���1+�2+�3=−24�17+�18+�19=72�10=

A．B．8C．16D．24

【变式2-−3】8（2025·浙江金华·一模）已知等差数列满足，则（）

A．4B．6C．8���1=2,�4D+．�160=20�3=

【题型3等差数列的判定与证明】

【例3】（2026·湖南邵阳·一模）设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，

*

则甲是乙的（）��2��+1=��+��+2�∈���

A．充要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

【变式3-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知数列，则“”是“数列

*

��−2�+2��

是等差数列”的（）��+�=2��≥3,�∈��

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【变式3-2】（2025·云南昭通·模拟预测）在正项数列中，，．

(1)证明：数列是等差数列；{��}�1=4��+1−��=4��+4

�

(2)记，设�数列的前n项和为，证明：．

11

��=��−1{��}����<2

【变式3-3】（2025·四川眉山·模拟预测）在数列中，，.

1

���1=2��+1��+��+1−��=0

(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；

1

����

(2)若，求数列的前项和.

��=����+1�����

【题型4等差数列的通项公式】

【例4】（2025·北京通州·一模）已知等差数列满足：，且，则（）

A．2026B．2025C�．�2024�5−2�3=1D．20�223=0�2025=

【变式4-1】（2025·海南·模拟预测）已知数列满足，且，则

1

��+1�+2�+1���+212

（）���+��=2���=1,�=4

2025

�A=．B．C．D．

1111

2024202560756073

【变式4-2】（2025·陕西商洛·一模）已知等差数列的前项和为，，．

(1)求的通项公式；������7=49�4+�6=18

(2)若数��列是公比为3的等比数列，且，求的前项和．

��+���1=2�����

【变式4-3】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知等差数列满足公差．

(1)求；���>0,�3+�8=4,�4�7=−5

�

(2)记数�列的前项和为，若，求数列中的最小项．

��

�������=�����

【题型5等差数列的前n项和】

【例5】（2026·山东枣庄·模拟预测）记等差数列的前n项和为，公差为d，若，

则（）�����4=�8+7,�8+1=2�4

�5A=．15B．25C．35D．45

【变式5-1】（2026·广东佛山·一模）设等差数列的前项和为.若，则（）

A．12B．15C．�1�8���D�．32=115,�10=120�7=

【变式5-2】（2026·四川绵阳·二模）等差数列的前n项和为，已知，则（）

�7�3

����7−3=4�7−�3=

A．0B．2C．4D．8

【变式5-3】（2026·辽宁大连·一模）记为数列的前项和，已知.

当最大时，（）�����2��=��−1+��+1�≥2,�1=9,�9=45

��A．9�=B．10C．9或10D．10或11

【题型6等差数列的简单应用】

【例6】（2025·四川绵阳·模拟预测）某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.

计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该

校花坛铺满一共需要的花盆数是（）

A．380B．390C．400D．600

【变式6-1】（2025·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、

立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，

若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（）

A．15B．16C．17D．18

【变式6-2】（2025·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人

分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的

一人钱数为（）

A．B．C．D．

1125

3236

【变式6-3】（2025·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕

成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转

动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼

工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为1（mm）4mm

190mm

A．9B．10C．11D．12

【题型7等差数列中的不等式问题】

【例7】（2026·四川雅安·一模）已知等差数列的前n项和为，且，.

(1)求数列的通项公式；�����3=5�4=16

��

(2)数列满足，为的前n项和，证明：.

�

1�12

����=2����2≤��<3

【变式7-1】（2025·四川达州·一模）已知为等差数列，前项和为，且．

(1)求；������2=5,�5=40

�

(2)设�，数列的前项和为，若对任意，不等式成立，求实数的取值范围．

1*

��=��+�������∈���<��

【变式7-2】（2026·江西九江·一模）已知数列的前项和为，且.

�����,�1=1��=���+1−��+1

(1)证明：是等差数列；

��

�

(2)若，求的最大值.

��<2��+7�

【变式7-3】（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，

．�����1=1��+1=

(1�)证�+明1+：��是等差数列；

�

(2)设�，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取

�−12��+1

���+1���

值范围�．=−1�����<��

【题型8等差数列与其他知识交汇】

【例8】（2026·新疆·二模）已知等差数列的公差为，集合，若，则

*

的值为（）��π�=cos��∣�∈��=�,��+�

A．B．0C．D．1

1

−12

【变式8-1】（2026·山东泰安·一模）已知方程的四个实根从小到大排列后成等差数列，则实

2

数（）lg�−�=0

�A=．B．C．D．

【变式8-l2g】3（2026·安徽黄山lg·一3模）已知是正项l数g2列的前项和，且2lg2．

2∗

(1)求数列的通项公式；�������=2��−���∈N

��

(2)若为函数的导函数，记，求数列的前项和．

′′��⋅��+1

����=���=�����+��+1���

【变式】（安徽黄山一模）已知函数．

8-32026··�

−2

(1)若，讨论函数的单调性；��=�+�e,�∈R

(2)若函�≤数0有三个零�点�，且．

（Ⅰ）求实数��的取值范围；�1, �2, �3�1<�2<�3

（Ⅱ）若三个�零点成等差数列，求这三个零点．

考点一等差数列

一、单选题

1．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（）

A．B．��C．���D3=．6,�5=−5,�6=

2．（20−2240·全国甲卷·高考真−题15）已知等差数列−的10前项和为，若−5，则（）

��937

A．B．C．�1��D．�=1�+�=

72

−239

3．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（）

��51051

A．B．�C．��D．�=��=1�=

7717

23−3−11

4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，

��

���

则（）����{�}

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则

2�∗

��

（）�3�=cos��∈N�=�,���=

A．－1B．C．0D．

11

−22

6．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（）

A．25B．22��C．2�0���D2．+1�56=10,�4�8=45�5=

二、填空题

7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则

.��{��}�3+�4=73�2+�5=5

�三10、=解答题

8．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.

��+1��1

���1=3�=�+1+�(�+1)

(1)证明：数列是等差数列；

�

(2)给定正整数m��，设函数，求．

2�′

�(�)=�1�+�2�+⋯+����(−2)

9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删

去两项和后剩余的项可被平均分为组，�且1,每�2组,..的.,�44�个+数2都能构成等差数列，则称数列

�����<是�可分数