2026年高考数学复习系列（全国）专题5.1 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换（讲义）（解析版）

专题5.1同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换（举一反三

复习讲义）

【全国通用】

1、同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换

三角函数是高考的重点、热点内容，同角三角函数关系式、诱导公式与

命题规律三角恒等变换是三角函数化简求值的基础，是高考数学的必考内容之一。从

近几年的高考情况来看，主要考察“弦切互化”、三角函数的化简求值等内

分析容，一般以选择题、填空题的形式出现，试题难度中等或偏下；但在有关三

角函数、解三角形的解答题中有时也会涉及到三角恒等变换、合并化简等内

容，此时试题难度中等，需要灵活求解。

考点年年年

高考真题202320242025

同角三角函全国乙卷（文数）：新课标I卷：第4题，

全国二卷：第8题，5

统计数基本关系第4题，5分5分

分

式及诱导公全国乙卷（文数）：新课标Ⅱ卷：第13题，

式第14题，4分5分

全国甲卷（理数）：全国甲卷（文数）：

第7题，5分第9题，5分

全国甲卷（理数）：

第8题，5分

新课标I卷：第4题，

新课标I卷：第8题，5分

5分新课标Ⅱ卷：第13题，全国一卷：第11题，

三角恒等变新课标Ⅱ卷：第7题，5分6分

换5分全国甲卷（文数）：全国二卷：第8题，5

全国乙卷（文数）：第9题，5分分

第4题，5分全国甲卷（理数）：

第8题，5分

预测在2026年全国卷高考数学中，本节内容的考情将继续维持稳定态

势。同角三角函数基本关系式、三角恒等变换依旧是考查核心，大概率仍然

年

2026以选择题、填空题的形式进行考察，分值稳定在5分左右。核心考点聚焦同

角三角函数关系式与三角恒等变换的结合考查，难度不大；也可能结合解三

命题预测角形模块在选择题、解答题中考查，涉及到同角三角函数基本关系式、三角

恒等变换的化简，此时难度中等，要学会灵活求解。

知识点1同角三角函数基本关系式的应用技巧

1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧

(1)利用可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用可以实现

角的弦切互化.

(2)形如等类型可进行弦化切.

2．注意公式的逆用及变形应用：

.

3．应用公式时注意方程思想的应用：

对于这三个式子，利用，可以知一求二.

知识点2诱导公式的应用的解题策略

1．诱导公式的两个应用

(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.

(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.

2．含2π整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运

算.如.

知识点3同角关系式和诱导公式的综合应用的解题策略

1．化简、求值

利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行

变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.

2．用诱导公式求值

用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有

与，与，与等，常见的互补关系与，与

，与等.

知识点4三角恒等变换的应用技巧

1．两角和与差的三角函数公式的应用技巧

(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.

(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.

2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形

运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如

和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓

展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.

3．辅助角公式的运用技巧

对asinx+bcosx化简时，辅助角的值如何求要清楚.

4．角的变换问题的解题策略：

(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个"已知角"的和或差的形式；

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所

求角”变成“已知角”.

(3)常见的角变换：，，，

，等.

知识点5三角恒等变换几类问题的解题策略

1．给角求值型问题的解题思路

给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间

总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得

解.

2．给值求值型问题的解题思路

给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相

应角的三角函数值，代入即可.

3．给值求角型问题的解题思路

给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.

4．三角恒等变换的综合应用的解题策略

三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为

f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解

决相关问题.

【方法技巧与总结】

1．同角三角函数关系式的常用变形：

2．诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.

3．降幂公式：，.

4．，，.

【题型1同角三角函数基本关系式的应用】

【例】（甘肃武威模拟预测）若，则（）

12025··2

sin�2

1−cos�3

A．B．=C．tan�=D．

【答案】C22−22±22±2

【解题思路】根据同角三角函数的基本关系求出，从而求出，即可得解.

【解答过程】因为，co则s�，sin�

22

sin�1−cos�21

1−cos�=1−cos�=1+cos�=3cos�=−3

所以，则.

222sin�

故选：sinC�.=±1−cos�=±3tan�=cos�=±22

【变式1-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知，则（）

2cos�−sin�

tan�=6cos�+sin�=

A．B．C．D．

7744

4−47−7

【答案】D

【解题思路】分子分母为一次齐次式，分子分母同除以转化为的表达式，代入求解即可.

【解答过程】因为，分子分母同除，cos�tan�

cos�≠0，cos�

2cos�−sin�2−tan�2−64

cos�+sin�=1+tan�=1+6=−7

故选：D.

【变式1-2】（2025·河南信阳·模拟预测）若，，则（）

A．B．taCn�．=2�∈0,�D2．sin�+cos�=

44

5−555−55

【答案】A

【解题思路】根据同角三角函数的关系，已知，，可求，然后代入计算即可.

【解答过程】由题知，tan�=，2解得�∈0,�sin�,co，s�

sin�

255

tan�=cos�=2

22�∈0,�sin�=5,cos�=5

则sin�+cos�=，1

255

故选2s：inA�.+cos�=2×5+5=5

【变式1-3】（2025·河北·模拟预测）已知，，则（）

22

�∈0,πsin�+cos�=5sin�−cos�=

A．B．C．D．

42422121

【答案】A5−55−5

【解题思路】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用

17

2sin�cos�=−25�sin�,cos�

同角三角函数基本关系可即求得.

【解答过程】sin�−cos�，

2817

sin�+cos�=1+2sin�cos�=25⇒2sin�cos�=−25

故，

242

又sin�−cos�=且1−2sin�cos�=25，故，

∵sin�cos�<0�∈0,π⇒sin�>0cos�<0

，故.

42

故∴s选in：�−A.cos�>0sin�−cos�=5

【题型2诱导公式的应用——化简、求值】

【例2】（2025·广东·模拟预测）设，且，则（）

3�

�<�<2�sin2�+4=cos��=

A．B．C．D．

7�5�17�17�

64612

【答案】D

【解题思路】利用诱导公式化成同名三角函数值，再利用

�

cos�=sin2−�sinπ−�=sin�,sin�+2�π=

，结合的范围即可得解.

【si解n�答过程】�诱导公式有，

��

sin2�+4=sin2−�

故或，其中，

����

2�+4=2−�+2��2�+4=�−2−�+2���∈�

分别解得或．

�2���

�=12+3�=4+2��,�∈�

由于，故只能是取的情形，即．

3��2��17�

�<�<2�=12+3�=2�=12

故选：D．

【变式2-1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）若，则（）

3π

sin�=3cos2+�=

A．B．C．D．

6633

【答案】D3−33−3

【解题思路】利用诱导公式直接求解即可.

【解答过程】．

π3

故选：D.cos2+�=−sin�=−3

【变式2-2】（2025·四川绵阳·一模）已知，则（）

5π22π

cos�−4=3sin4+�=

A．B．C．D．

122221

【答案】B3−33±3

【解题思路】由，应用诱导公式及已知即可求解.

5ππ3π

cos�−4=cos4+�−2

【解答过程】由，

5ππ3π3πππ22

cos�−4=cos4+�−2=cos[2−(4+�)]=−sin(4+�)=3

所以.

π22

故选：sinB.4+�=−3

【变式2-3】（2025·甘肃·模拟预测）已知角满足，则（）

∘1∘

�sin�−10=5cos�+260=

A．B．C．D．

262611

【答案】D−55−55

【解题思路】根据三角函数诱导公式计算即可.

【解答过程】因为，

∘1

sin�−10=5

所以.

∘∘∘∘1

cos�+260=cos�−10+270=sin�−10=5

故选：D.

【题型3同角三角函数关系式与诱导公式的综合应用】

【例3】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为第二象限角，且，则（）

A．B．�C．tan�−Dπ．=�sin�=

−��−11

2222

�+1�+1�+1�+1

【答案】A

【解题思路】利用诱导公式可得，根据同角三角关系运算求解即可.

【解答过程】因为tan�=�，则，即

sin�

tan�−π=tan�=�cos�=�sin�=�cos�

且，即，可得，

1

2222222

且si为n第�+二c象os限�角=，1则�cos�+cos�=1，cos�=�+1

可得�，cos�<0,s.in�>0,�<0

−1−�

22

cos�=�+1sin�=�+1

故选：A.

【变式】（吉林长春模拟预测）已知，则（）

3-12025··3

sin�−sin�

π

tan�=−3sin2+�=

A．B．C．D．

3333

5−510−10

【答案】D

【解题思路】利用诱导公式及、弦化切，把所给式子化简，将代入可得答案.

22

【解答过程】sin�+cos�=1tan�=−3

322.

sin�−sin�sin�1−sin�tan�cos�tan�3

π2222

sin2+�=cos�=tan�cos�=sin�+cos�=tan�+1=−10

故选：D.

【变式3-2】（2025·浙江温州·一模）若，，则（）

ππ1

�∈0,2tan2−�=2sin�−cos�=

A．B．C．D．

552525

【答案】B−55−55

【解题思路】利用诱导公式将已知条件化简，再结合同角三角函数的基本关系式求解即可.

【解答过程】由，可得π，所以，所以，

π1sin2−�1cos�1

π

tan2−�=2cos2−�=2sin�=2sin�=2cos�

又因为，所以，所以，

222221

sin�+cos�=14cos�+cos�=1cos�=5

又因为，所以，所以，

π525

�∈0,2cos�=5sin�=5

所以.

2555

故选：sinB�.−cos�=5−5=5

【变式3-3】（2025·广东茂名·模拟预测）已知，且，求

π1ππ2π

的值为（）sin3−�=30<�<2sin6+�−cos3+�

A．B．C．0D．

422222

【答案】A33−3

【解题思路】由，结合的范围求出的值，再利用诱导公式将

π1πππ

sin3−�=33−�cos3−�sin6+�−

化简，即可得解.

2π

cos3+�

【解答过程】，

ππππ

∵0<�<2,∴−6<3−�<3

，．

π1π2π22

∵sin3−�=3∴cos3−�=1−sin3−�=3

π2ππππ

∴sin+�−cos+�=sin−−�−cosπ−−�

6323．3

πππ42

故=选cos：A3.−�+cos3−�=2cos3−�=3

【题型4三角恒等变换的化简问题】

【例4】（2025·广东佛山·一模）已知，，则（）

�5�

0<�<�cos2=5tan�−4=

A．B．C．D．7

721

277

【答案】D

【解题思路】结合角的范围，根据二倍角公式计算出角的正、余弦值及正切值，再利用正切的差角公式计

��

算.

【解答过程】，.

�π

∵�∈(0,π)∴2∈(0,2)

又，，

�52�2�

∵cos2=5sin2+cos2=1

�25

∴sin=.

25，，.

��42�3sin�4

∴sin�=2sin2cos2=5cos�=2cos2−1=−5tan�=cos�=−3

7.

�tan�−1−3

1

∴tan(�−4)=1+tan�=−3=7

故选：D.

【变式4-1】（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）（）

∘∘∘∘

sin15cos45−cos165sin45=

A．B．C．D．

1313

【答案】D−2−222

【解题思路】根据诱导公式和两角和的正弦公式即可得到答案.

【解答过程】

∘∘∘∘∘∘∘∘∘

sin15cos45−cos165sin45=sin15cos45−cos180−15sin45

.

∘∘∘∘∘∘3

故=选sin：15D.cos45+cos15sin45=sin15+45=2

【变式4-2】（2025·广东深圳·模拟预测）已知，则（）

π

tan(�−4)=2tan2�=

A．B．C．D．

3344

−44−33

【答案】B

【解题思路】根据给定条件，利用差角的正切公式及二倍角的正切公式求解.

【解答过程】由，得，解得，

πtan�−1

tan(�−4)=21+tan�=2tan�=−3

所以.

2tan�2×(−3)3

22

tan2�=1−tan�=1−(−3)=4

故选：B.

【变式4-3】（2025·山西吕梁·模拟预测）已知，则（）

π1π

cos�−6−2=sin�cos2�+3=

A．B．C．D．

1133

2−24−4

【答案】B

【解题思路】利用两角差的余弦公式展开已知条件中的，通过移项化简得到的值，再

ππ

cos�−6cos�+6

利用余弦的二倍角公式即可求解.

【解答过程】由题知，

π1ππ1311

cos�−6−2=cos�cos6+sin�sin6−2=2cos�+2sin�−2=sin�

所以，即，

311π1

2cos�−2sin�=2cos�+6=2

所以.

2

ππ2π11

故选：coBs.2�+3=cos2�+6=2cos�+6−1=2×2−1=−2

【题型5同角三角函数关系式与三角恒等变换的综合应用】

【例5】（2025·四川资阳·一模）已知，，则（）

3π

cos�=−5�∈(0,π)tan�+4=

A．B．C．D．7

11

−7−77

【答案】B

【解题思路】先根据同角三角函数的基本关系求得，再根据两角和的正切公式求解即可.

4

tan�=−3

【解答过程】由，，则，

324

cos�=−5�∈(0,π)sin�=1−cos�=5

所以，

sin�4

tan�=cos�=−3

则π4.

πtan�+tan4−3+11

π4

tan�+4=1−tan�tan4=1+3=−7

故选：B.

【变式5-1】（2025·海南·一模）已知，则（）

π310

�∈0,2,sin�=10tan2�=

A．B．C．D．

143

−2−2−3−4

【答案】D

【解题思路】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据二倍角公式求得答案.

【解答过程】因为，tan�=3

π310

�∈0,2,sin�=10

所以，

210sin�

cos�=1−sin�=10,tan�=cos�=3

故，

2tan�3

2

tan2�=1−tan�=−4

故选：D.

【变式5-2】（25-26高三上·山东临沂·期中）若，，则（）

1tan�

sin�−�=2tan�=11sin�+�=

A．B．C．D．

121231

−25255−2

【答案】C

【解题思路】利用两角差的正弦公式和切化弦可求得，，进而利用两角和的正弦

111

cos�sin�=20sin�cos�=20

公式可求得值.

【解答过程】因为sin�，

tan�cos�sin�cos�

sin�

所以tan�=cos�=，cos�sin�=11

又sin�cos�=11cos�sin�，

1

sin�−�=sin�cos�−cos�sin�=2

所以，

1

10cos�sin�=2

所以，，

111

cos�sin�=20sin�cos�=20

所以，

111123

sin�+�=sin�cos�+cos�sin�=20+20=20=5

故选：C.

【变式5-3】（2025·湖南永州·模拟预测）已知，则

ππ311

（）�∈0,4,�∈0,2,sin2�+�=5,tan�−tan�=tan�

sin2A�．−�=B．C．D．

1122

−555−5

【答案】B

【解题思路】由条件利用同角关系化简可得，由条件

11

tan�−tan�=tan�sin2�cos�=2cos2�sin�sin2�+�=

，结合两角和正弦公式可得，再根据两角差的正弦公式求出结果即可.

33

5sin2�cos�+cos2�sin�=5

【解答过程】由题意得，即，即，

22

cos�sin�cos�cos�−sin�cos�2cos2�cos�

sin�−cos�=sin�sin�cos�=sin�sin2�=sin�

得，又因为，

3

sin2�cos�=2cos2�sin�sin2�+�=sin2�cos�+cos2�sin�=5

所以，

21

sin2�cos�=5,cos2�sin�=5

因此.

1

sin2�−�=sin2�cos�−cos2�sin�=5

故选：B.

【题型6与解三角形有关的化简问题】

【例6】（2025·河南·模拟预测）在中，内角、满足，则为（）

A．锐角三角形B．直角三角△形𝐴�C．钝�角三�角形tan�tanD�．=等3腰三△角�形��

【答案】A

【解题思路】分析可知、都为锐角，再利用两角和的正切公式推导出，由此可得出结论.

【解答过程】在中�，�内角、满足，tan�>0

由于中至△少�有��两个锐角，�则�、中t至an少�t有an一�个=锐3角，

不妨设△�为��锐角，则，从而��，故为锐角，

�tan�>0tan�>0�，

tan�+tan�tan�+tan�

故tan角�=为t锐an角π，−从�而+可�知=−tan为�锐+角�三=角−形1，−tan�tan�=2>0

故选：�A.△𝐴�

【变式6-1】（2025·云南·模拟预测）在中，角所对的边分别为，则“”是“

”的（）△𝐴��,�,��,�,�sin�=cos��cos�=

�cosA�．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解题思路】根据正弦定理边化角，结合二倍角公式、诱导公式，可得角A和角B的关系，结合充分、必要

条件的定义，即可得答案.

【解答过程】在三角形中，由，根据正弦定理得，

所以，𝐴��cos�=�cos�sin�cos�=sin�cos�

因为sin2�=sin，2�，所以或，

即�,�或∈(0,π)�；+�∈(0,π)�=�2�+2�=π

π

由�=��+�，=因2为，所以，

则sin�=co，s�所以�∈(0,，π)sin�>0

π

cos�>0�∈0,2

由，可得或，

πππ

sin�=cos�=sin2−��=2−��+2−�=π

解得或，

ππ

�+�=2�=2+�

故“”是“”的既不充分也不必要条件，

sin�=cos��cos�=�cos�

故选：D.

【变式6-2】（2025·四川成都·一模）已知在中，，.

(1)求，；△𝐴�sin�+cos�=2sin�+cos2�=0

(2)若��，求的面积.

【答案�】�(=1)2，△𝐴�；

ππ

�=4�=3

(2).

3+3

2

【解题思路】（1）应用辅助角公式有得，再由三角形内角和的性质、诱导公式、二倍

ππ

角公式得，即可得sin；�+4=1�=4

sin�1−2cos�=0

（2）由（1）知，再由正弦定理求边长，最后应用三角形面积公式求的面积.

5π

�=12△𝐴�

【解答过程】（1）由，得，即，

ππ

sin�+cos�=22sin�+4=2sin�+4=1

因为，所以，所以，所以，

ππ5ππππ

�∈0,π�+4∈4,4�+4=2�=4

由，且，得，

3π3π

则sin�+cos2�=0，即2�=2π−�−�=，2−2�sin�+cos2−2�=0

因为sin�−sin2�=0，s则in�1−2co，s�所以=0；

1π

�∈0,π,sin�>0cos�=2�=3

（2）由（1）可得，记的内角，，的对边分别为，，，

5π

�=12△𝐴�������

由，

5πππππππ2+6

sin�=sin12=sin(6+4)=sin6cos4+cos6sin4=4

因为，由正弦定理，得，

��6+2

�=2sin�=sin��=4×22=3+1

所以.

13+3

�△𝐴�=2��sin�=2

【变式6-3】（2025·河北沧州·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且.

���+�

△𝐴��,�,��,�,�cos�+cos�=sin�+sin�

(1)证明：；

cos�−�=sin�+sin�sin�

(2)若，求的面积.

π

cos�=3cos�−2,�=10△𝐴�