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文档简介

专题4.4平面向量基本定理及坐标表示(举一反三专项训练)

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【题型1用基底表示向量】.......................................................................................................................................1

【题型2利用平面向量基本定理求参数】...............................................................................................................3

【题型3向量共线(平行)的坐标表示】...............................................................................................................5

【题型4平面向量数量积的坐标表示】...................................................................................................................7

【题型5平面向量夹角、模长的坐标表示】...........................................................................................................8

【题型6向量垂直的坐标表示】.............................................................................................................................10

【题型7由向量的坐标运算解决最值和范围问题】.............................................................................................11

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

【题型1用基底表示向量】

1.(2025·海南三亚·一模)已知为平行四边形,为的中点,记,则()

A.B.𝐴𝐵C.�𝐵D.𝐴=�,𝐵=���=

1111

�+2��−2�−2�+�−2�−�

【答案】C

【解题思路】根据平面向量线性运算法则计算可得.

【解答过程】因为为的中点,所以,

1

�𝐵��=2��

所以.

111

��=��+��=��+2��=��−2��=−2�+�

故选:C.

2.(2025·全国·模拟预测)在平行四边形中,,记,则()

A.𝐴�B�.𝐴=2��,��=��𝐴=�,𝐵=�𝐵=

2121

3�−2�3�+2�

C.D.

1112

3�+2�2�+3�

【答案】B

【解题思路】由向量的线性运算,用表示

【解答过程】因为�,�,则��有��,

211

��=2��,��=����=3��,��=2��=2��

所以.

21

��=��+��=3�+2�

故选:B.

3.(2025·辽宁·模拟预测)在中,,,则()

A.△𝐴���=B.3𝐵��=2��𝐵=

4517

9��−9��3��−9��

C.D.

4741

9��−9��9��−3��

【答案】C

【解题思路】利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式.

【解答过程】如下图所示:������

由题意得

2221

��=��−��=3��−��=3��+��−��=3��+3��−��

.

2247

=3��+9��−��−��=9��−9��

故选:C.

4.(2025·甘肃庆阳·一模)在平行四边形ABCD中,,,则()

A.B.𝐴=2����=2��𝐵=

111

2��+2��2��+2��

C.D.

1

2��+2��2��+2��

【答案】C

【解题思路】由平面向量的基本定理求解即可.

【解答过程】

如图:.

1

��=��+��=2��+2��

故选:C.

【题型2利用平面向量基本定理求参数】

5.(2025·甘肃甘南·模拟预测)如图,在中,为线段上一点,且,

3

则实数的值为()△𝐴���=2��,�𝐵��=(1−�)𝐴+��

A.B.C.D.

3256

4567

【答案】D

【解题思路】先利用基底,表示,再设,即可构造关于的方程组.

【解答过程】因��,则����,��=����,�

2

��=2����=3��

故,

2212

��=��+��=��+3��=��+3(��−��)=3��+3��

因三点共线,故设,则,

�2�

�,�,���=�����=3��+3��

因,则�,解得.

�1−�=36

��=(1−�)��+3���2��=7

故选:D.3=3

6.(2025·陕西铜川·模拟预测)在中,点为线段的中点,点满足,若,

则的值为()△𝐴�������=2����=���+𝐴�

�+A.�B.C.D.

1111

24−2−4

【答案】D

【解题思路】利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来,从而可求出,进而可求得结果.

【解答过程】因为点D为线段BC的中点,点E�满�足��,��,�,�

��=2��

所以1,所以,

��=2(��+��)

12��=��+��

消去�,�=得��−��=3��−�,�3��=��−3��

所以��2��−3��=4��,

13

��=2��−4��=���+𝐴�

所以,,所以.

131

�=2�=−4�+�=−4

故选:D.

7.(2025·湖南邵阳·三模)在平行四边形中,与交于点,点满足,,

则()𝐴𝐵��������=4����=���+𝐴�

�−A.�=B.C.D.

1111

−4−242

【答案】A

【解题思路】由平面向量的线性运算可得,即可求出的值,进而求出.

13

��=8��+8���,��−�

【解答过程】因为

33

��=��+��=��+4��=��+4��−��

1313

4488

又=因�为�+𝐵=��+,��

所以��=���+𝐴�.

13131

�=8,�=8,�−�=8−8=−4

故选:A.

8.(2025·北京朝阳·二模)在矩形中,,点E为线段的中点,与

交于点F.设𝐴𝐵,其𝐴中⊥𝐵,分𝐵别=是2与,𝐴=方2向相同的单位�向�量,则(��)��

��=�1�1+�2�2�1,�2∈��1,�2��,��

A.B.

2222

�1=3,�2=3�1=3,�2=3

C.D.

1212

1212

【答案】�B=3,�=3�=3,�=3

【解题思路】利用向量的线性运算,用来表示,然后利用平面向量基本定理即可确定选项.

【解答过程】�1,�2��

在矩形中,因为点E为线段的中点,所以,

𝐵��11

𝐴𝐵𝐵��=��=2⇒𝐵=3��

则有,

1111

��=3��=3��+��=3��+3��

因为,分别是与方向相同的单位向量,

所以𝐵=2,𝐴=2�1,,�2��,��

21

则𝐵=2�,𝐴=2�,

1122

��=3��+3��=3�1+3�2

又因为,所以,

22

1122121323

故选:B𝐵.=��+���,�∈��=,�=

【题型3向量共线(平行)的坐标表示】

9.(2025·河南·模拟预测)已知向量,,若,则()

A.B.�=−2,C3.4�=6,��∥D�.9�=

−9−4

【答案】A

【解题思路】由向量共线的坐标表示列出等式求解即可.

【解答过程】因为,

所以�∥,�

解得−2×�,=3×6

故选:�A=.−9

10.(2025·吉林长春·模拟预测)已知向量,则“”是“”的()

2

A.充分不必要条件�=B.1必,2要,�不=充�分,�条件�=2�//�

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解题思路】由向量平行可得或,根据充分条件、必要条件概念判断即可.

【解答过程】已知向量�=2�=0,

2

若,则,解�=得1,2,�或=�,�,

2

所以�/“/�”�是“=2�”的充分�=不必2要�条=件0.

故选:�A=.2�//�

11.(2025·四川攀枝花·模拟预测)设向量,,且与的方向相反,则实数的值

为()�=�,2�=1,�+1���

A.B.1C.或1D.不存在

【答案】A−2−2

【解题思路】先根据向量共线求的值,再根据两向量方向相反进行验证.

【解答过程】向量,�,因为,所以,解得或.

当时,�=�,,2�=,1,�与+的1方向相同�∥,�舍去;��+ 1=2×1�=−2�=1

当�=1时,�=1,2�,=1,2��,与的方向相反,符合题意.

故选�:=−A.2�=−2,2�=1,−1��

12.(2025·湖北·模拟预测)已知向量,若,则()

A.8B.4�=1,4C.,�2=2,��//2�D.+��=

【答案】A−8

【解题思路】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.

【解答过程】,由得,解得.

2�+�=4,8+��//2�+�4�=28+��=8

故选:A.

【题型4平面向量数量积的坐标表示】

13.(2025·广西南宁·模拟预测)若向量,,则()

A.5B.3�=C2.,−3�=−1,2D.�⋅�+2�=

【答案】D−5−3

【解题思路】根据向量运算的坐标表示求解即可.

【解答过程】因为,,所以,

所以�=2,−3�=−1,2,�+2�=0,1

故选:�⋅D.�+2�=2×0+−3×1=−3

14.(2025·全国·模拟预测)已知向量满足,若,则()

A.B.�,�C�.=12,1,�=−2,�D.2�⋅�=−5�=

【答案】B−2−1

【解题思路】利用向量数量积的定义,列出等式即可求出的值.

【解答过程】因为,所以�,解得,

故选:B.�⋅�=−5�⋅�=2×−2+�=−5�=−1

15.(24-25高一下·江苏南京·期中)已知向量,,则()

A.B.C�.=3,4�−�=1D,2.�⋅�=

【答案】B514−622

【解题思路】法一:根据向量线性运算与数量积的坐标运算直接计算;法二:利用转化法结合数量积的坐标

运算公式直接计算.

【解答过程】方法一:因为,,所以,

所以�=;3,4�−�=1,2�=�−�−�=2,2

方法二�⋅:�由=3×2+4,×2=14,

则�=3,4�−�=1,2,,

222

又�⋅�−�=3×1+4,×2=11�=3+4=25

2

所以�⋅�−�=�−,�⋅即�;

故选:11B=.25−�⋅��⋅�=14

16.(2025·甘肃酒泉·模拟预测)已知是边长为的等边三角形,点,分别是边,的中点,

△𝐴�1��𝐴��

连接并延长到点,使得,则的值为()

1

�����=3𝐵��⋅��

A.B.C.D.

31511

48−88

【答案】A

【解题思路】通过建立直角坐标系,根据题意求出向量,的坐标,利用数量积的坐标运算求的

值即可.������⋅��

【解答过程】如图,以所在直线为轴,为坐标原点,所在直线为轴,建立直角坐标系,

�������

由题意可得,,,,

113

�0,0�−2,0�2,0�0,2

则,

1313

�−4,4,��=4,−4��=1,0

设,由得,,

1

��,���=3𝐵��=3��

所以

13333

�,�=34,−4=4,−4

所以,所以,

333353

�4,−4��=4,−4��=1,0

所以.

3533

444

故选:𝐵A⋅.��=×1+−×0=

【题型5平面向量夹角、模长的坐标表示】

17.(2025·安徽合肥·二模)已知向量,设,则与的夹

→→→→→→→→

121212

角为()�=1,0,�=1,3�=4�+�,�=3�−���

A.B.C.D.

πππ2π

6433

【答案】C

【解题思路】由向量线性运算的坐标表示计算出,再由数量积公式计算出夹角的余弦,结合角度范围求

→→

�,�

出夹角.

【解答过程】因为,

→→

�1=1,0,�2=1,3

所以,

→→→→→→

�=4�1+�2=4,0+1,3=5,3,�=3�1−�2=3,0−1,3=(2,−3)

所以,,

→→→2→2

22

�⋅�=5×2+3×−3=7�=5+3=27,�=2+−3=7

设与的夹角为,则→→,

�⋅�71

→→

���cos�=��=27×7=2

又,所以,即与的夹角为.

ππ

�∈0,π�=3��3

故选:C.

18.(2025·陕西西安·模拟预测)已知向量,若,则()

→→→→→→

�=2,1,�=1,−1�+�=�−���=

A.2B.C.2或D.3

【答案】C−1−1

【解题思路】根据向量坐标运算结合模长公式计算求参.

【解答过程】因为,所以.

→→→→

�+�=3,0�+�=3

因为,

→→

�−��=2,1−�,−�=2−�,1+�

所以.

→→

222

�−��=2−�+1+�=2�−2�+5

因为,所以,

→→→→

2

解得�+�或=�−��,2�−2�+5=3

故选:�C=.2�=−1

19.(2025·全国·模拟预测)已知向量,,则()

�=2,0�−�=3,−3cos�−2�,�=

A.B.C.D.

37277

【答案】C−5577

【解题思路】根据已知向量,,利用向量减法求出和,再通过点积计算求

出,通过模长计�算=求2出,0�−�和=3,,−利用3向量夹角的余弦公式��−2�求解.

�−2�⋅�

【解�答−过2程�】⋅��−2�,�cos�−2�,�=�−2�⋅�

∵�=2,0,�−�=3,−3.

∴�=�−�−�=2−3,0−−3=−1,3

.

∴2�=−2,23

.

∴�−2�=2,0−−2,23=4,−23.

∴�−2�⋅�=4,−23⋅2,0=4×2+−23×0=8

.

2

222

∴�=2+0=2,�−2�=4+−23=28=27

.

�−2�⋅�827

∴cos�−2�,�=�−2�⋅�=27⋅2=7

故选:C.

20.(2025·浙江·模拟预测)已知向量,若,则()

→→

A.5B.3�=1,C�.+4,�=4,2�D+.�=�−��=

【答案】C53

【解题思路】首先利用等式求出向量的数量积,然后根据数量积的值求出,进而可求得向量的模.

→→→

�,���

【解答过程】因为,两边平方得:

→→→→

�+�=�−�

→→→→

→22→→22→

�+�+2�·�=�+�−2�·�

所以.

→→

所以�·�=0,解得.

1×4+2×�+4=0�=−6

所以,所以.

→→

�=1,−2�=1+4=5

故选:C.

【题型6向量垂直的坐标表示】

21.(2025·重庆沙坪坝·模拟预测)已知向量,且,则()

A.B.�C.=1(2,�),�=(1,−3)D.4(�+�)⊥��=

【答案】D−2−1

【解题思路】由向量数量积的坐标表示,和垂直的坐标表示求解即可.

【解答过程】因为,

所以(�+�)⊥�

22

解得:�⋅�+�,=0⇒�⋅�=−�=−10,∴2−3�=−10

故选:D�.=4

22.(2025·河南·模拟预测)已知向量,,若,则实数()

A.B.1�=1,2C.�=1,−2�⊥D.�2+���=

35

53

【答案】C

【解题思路】利用向量线性运算的坐标表示,向量垂直的坐标表示列式求解.

【解答过程】向量,,则,由,

得�=1,2�=1,−2�+,�所�以=1+.�,2−2��⊥�+��

5

�⋅�+��=1×1+�+2×2−2�=0�=3

故选:C.

23.(2025·湖南郴州·三模)在平面直角坐标系xOy中,已知,,,

若,则的值为()�(2,−1)�(1,1)��=���+(2−�)��

��A.⊥�4��B.2C.D.

【答案】A−2−3

【解题思路】根据向量的坐标运算,可求出,,,,再根据向量

数量积的坐标运算,即可求解.��=(2,−1)��=(1,1)��=2+�2−2�

【解答过程】因为,,所以,,

又�(2,−1),得�(1,1)��=(2,−1)��=(1,1),

又��=���,+所(以2−�)���,�即=�2,−1+(2−�)1,1=2+�,2−,2�解得.

故选��A⊥.����⋅��=02+�×1+2−2�×1=4−�=0�=4

24.(2025·河南·一模)设向量,,若,则()

A.B.�=−4,2�C=.51,−1�+��D.⊥10�−���>0�=

【答案】B510

【解题思路】利用平面向量的坐标表示求解向量的模长,再利用平面向量垂直的坐标表示建立方程,求解参

数即可.

【解答过程】由向量的模长公式得,,

因为,所以�=25�=2,

�+��⊥�−���+��⋅�−��=0

则,解得(负根舍去),故B正确.

2

222222

故选�:−B�.�=�−��=20−2�=0�=10

【题型7由向量的坐标运算解决最值和范围问题】

25.(2025·江苏南京·二模)在四边形中,,,,E是线段中

点,是线段上的动点,则的�最��小�值为(𝐴/)/���=90𝐴=𝐵=2𝐵=2𝐵

A�.��B.��⋅��C.D.

4547

−3−4−5−9

【答案】C

【解题思路】建立坐标系,表示出的坐标,根据是线段上的动点用参数表示点的函数,从

而题目可转换为关于的二次函数�在,闭�,区�,间�,上�的最小值问题�.����

【解答过程】由题以点�为坐标原点,为轴建立如图所示的平面直角坐标系,

�𝐴,𝐵�,�

因为,E是线段中点,

所以𝐴=𝐵=2𝐵=2𝐵,

而是�线0,段0,�上2,的0动,�点1,,2,�0,2,�0,1

从而�可设��,

所以点的�坐�=标�是��+1−�,��=2�,0+0,1−�=2�,1−�,�∈0,1

所以�2�,1−�,

��=2−2�,−1+�,��=1−2�,1+�

��⋅��=2−2�1−2�+−1+�1+�,

2

22234

=4�−6�+2+�−1=5�−6�+1=5�−5−5,�∈0,1

所以当时,的最小值是.

34

�=5��⋅��−5

故选:C.

26.(2025·湖南长沙·模拟预测)已知向量,若,则的取值范围是()

�⋅�

�=−1,3,�=�,��>0,�<0�

A.B.C.D.

【答案】A−2,−1−2,−3−3,−1−3,−2

【解题思路】由向量夹角的公式变形后再讨论夹角范围可得.

【解答过程】设向量的夹角为,则�,�,

�⋅�

设的起点在原点,�,�与轴正方�向的夹�角=为�cos�=2cos�

由�,�可�得�与轴正方向的夹角�为,

3

由tan�=−1=可−得3的终�点在�第四象限,当两向量12反0°向共线时,夹角最大,

�>0,�<0�

当的终点趋于正方向时,夹角趋近于,

所以��,则12,0°所以.

∘∘1�⋅�

120<�≤180−1≤cos�<−2−2≤�<−1

故选:A.

27.(2025·甘肃甘南·模拟预测)如图,已知是边长为4的等边三角形,点D满足,

E为的中点,则的取值范围为(△�)����=𝐴�(0<�<1)

����⋅��

A.B.C.D.

99

−4,4[−4,4)−4,4[−2,4]

【答案】A

【解题思路】以直线为x轴,线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,先利用坐标表示相关向量,再

结合数量积的坐标表�示�和二次函数的�性�质计算可得.

【解答过程】以直线为x轴,线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图所示),

�������

则,

因为�(−2,0),�(2,0),�(0,2,3),�(1,3)

则点�D�在=线𝐴段�(0(<不�含<端1)点)上,

设,则��,

所以�(�,0)−2<�<2,��=(−2−�,0),��=(1−�,3),

2

219

��⋅��=(−2−�)(1−�)=�+�−2=�+2−4(−2<�<2)

所以当时,取得最小值,

19

24

当�时=−,��⋅��,−

故�=2的取��值⋅范�围�=为4.

9

��⋅��−4,4

故选:A.

28.(2025·安徽芜湖·模拟预测)莱洛三角形,也称圆弧三角形,是一种特殊三角形,在建筑、工业上应用

广泛.如图所示,分别以正三角形ABC的顶点为圆心,以边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三

角形即为菜洛三角形,已知正三角形ABC的边长为1,点P为的中点,则的值为()

𝐴��⋅(��+��)

A.1B.C.D.

13

【答案】B2−322

【解题思路】根据题意,建立平面直角坐标系,求出相应向量的坐标,结合向量的数量积的坐标运算公式,

即可求解.

【解答过程】根据题意,以为坐标原点,所在的直线为轴,过点且垂直于的直线为轴,建立平面

直角坐标系,如图所示,��������

因为正的边长为1,且点为的中点,所以,

点在以△�为�圆�心,为半径的圆�上�,�∠�𝐴=30

����

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