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文档简介
专题4.4平面向量基本定理及坐标表示(举一反三专项训练)
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1用基底表示向量】.......................................................................................................................................1
【题型2利用平面向量基本定理求参数】...............................................................................................................3
【题型3向量共线(平行)的坐标表示】...............................................................................................................5
【题型4平面向量数量积的坐标表示】...................................................................................................................7
【题型5平面向量夹角、模长的坐标表示】...........................................................................................................8
【题型6向量垂直的坐标表示】.............................................................................................................................10
【题型7由向量的坐标运算解决最值和范围问题】.............................................................................................11
第二部分分层突破
A组基础跟踪练
B组培优提升练
【题型1用基底表示向量】
1.(2025·海南三亚·一模)已知为平行四边形,为的中点,记,则()
A.B.𝐴𝐵C.�𝐵D.𝐴= � ,𝐵=���=
1111
�+2 � �−2 � −2�+ � −2�− �
【答案】 C
【解题思路】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【解答过程】因为为的中点,所以,
1
�𝐵� � =2� �
所以.
111
� � =� � +� � =� � +2� � =� � −2� � =−2 � + �
故选:C.
2.(2025·全国·模拟预测)在平行四边形中,,记,则()
A.𝐴�B�.𝐴=2��,��=��𝐴= � ,𝐵=�𝐵=
2121
3 � −2 � 3 � +2 �
C.D.
1112
3 � +2 � 2 � +3 �
【答案】B
【解题思路】由向量的线性运算,用表示
【解答过程】因为� , � ,则� � 有 � � ,
211
� � =2� � ,� � =� � � � =3� � ,� � =2� � =2� �
所以.
21
� � =� � +� � =3 � +2 �
故选:B.
3.(2025·辽宁·模拟预测)在中,,,则()
A.△𝐴���=B.3𝐵��=2��𝐵=
4517
9� � −9� � 3� � −9� �
C.D.
4741
9� � −9� � 9� � −3� �
【答案】C
【解题思路】利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式.
【解答过程】如下图所示:� � � � � �
由题意得
2221
� � =� � −� � =3� � −� � =3� � +� � −� � =3� � +3� � −� �
.
2247
=3� � +9� � −� � −� � =9� � −9� �
故选:C.
4.(2025·甘肃庆阳·一模)在平行四边形ABCD中,,,则()
A.B.𝐴=2����=2��𝐵=
111
2� � +2� � 2� � +2� �
C.D.
1
2� � +2� � 2� � +2� �
【答案】C
【解题思路】由平面向量的基本定理求解即可.
【解答过程】
如图:.
1
� � =� � +� � =2� � +2� �
故选:C.
【题型2利用平面向量基本定理求参数】
5.(2025·甘肃甘南·模拟预测)如图,在中,为线段上一点,且,
�
3
则实数的值为()△𝐴���=2��,�𝐵��=(1−�)𝐴+��
�
A.B.C.D.
3256
4567
【答案】D
【解题思路】先利用基底,表示,再设,即可构造关于的方程组.
【解答过程】因� � , 则� � � � ,� � =�� � �,�
2
� � =2� � � � =3� �
故,
2212
� � =� � +� � =� � +3� � =� � +3(� � −� � )=3� � +3� �
因三点共线,故设,则,
�2�
�,�,�� � =�� � � � =3� � +3� �
因,则�,解得.
�1−�=36
� � =(1−�)� � +3� � �2��=7
故选:D.3=3
6.(2025·陕西铜川·模拟预测)在中,点为线段的中点,点满足,若,
则的值为()△𝐴������ � =2� � � � =�� � +𝐴 �
�+A.�B.C.D.
1111
24−2−4
【答案】D
【解题思路】利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来,从而可求出,进而可求得结果.
【解答过程】因为点D为线段BC的中点,点E� 满 � 足� � ,� � ,�,�
� � =2� �
所以1,所以,
� � =2(� � +� � )
12� � =� � +� �
消去� ,� =得� � −� � =3� � −� , � 3� � =� � −3� �
所以� � 2� � −3� � =4� � ,
13
� � =2� � −4� � =�� � +𝐴 �
所以,,所以.
131
�=2�=−4�+�=−4
故选:D.
7.(2025·湖南邵阳·三模)在平行四边形中,与交于点,点满足,,
则()𝐴𝐵������� � =4� � � � =�� � +𝐴 �
�−A.�=B.C.D.
1111
−4−242
【答案】A
【解题思路】由平面向量的线性运算可得,即可求出的值,进而求出.
13
� � =8� � +8� � �,��−�
【解答过程】因为
33
� � =� � +� � =� � +4� � =� � +4� � −� �
,
1313
4 4 8 8
又=因�为�+𝐵=��+,��
所以��=���+𝐴�.
13131
�=8,�=8,�−�=8−8=−4
故选:A.
8.(2025·北京朝阳·二模)在矩形中,,点E为线段的中点,与
交于点F.设𝐴𝐵,其𝐴中⊥𝐵,分𝐵别=是2与,𝐴=方2向相同的单位�向�量,则(��)��
� � =�1 � 1 +�2 � 2 �1,�2∈� � 1 , � 2 � � ,� �
A.B.
2222
�1=3,�2=3�1=3,�2=3
C.D.
1212
1212
【答案】�B=3,�=3�=3,�=3
【解题思路】利用向量的线性运算,用来表示,然后利用平面向量基本定理即可确定选项.
【解答过程】 � 1 , � 2 � �
在矩形中,因为点E为线段的中点,所以,
𝐵��11
𝐴𝐵𝐵��=��=2⇒𝐵=3��
则有,
1111
� � =3� � =3� � +� � =3� � +3� �
因为,分别是与方向相同的单位向量,
所以𝐵=2,𝐴=2 � 1 ,, � 2 � � ,� �
2 1
则𝐵=2 � ,𝐴=2 � ,
1122
� � =3� � +3� � =3 � 1 +3 � 2
又因为,所以,
22
1122121323
故选:B𝐵.=� � +� � �,�∈��=,�=
【题型3向量共线(平行)的坐标表示】
9.(2025·河南·模拟预测)已知向量,,若,则()
A.B. � =−2,C3.4 � =6,� � ∥D � .9�=
−9−4
【答案】A
【解题思路】由向量共线的坐标表示列出等式求解即可.
【解答过程】因为,
所以 � ∥, �
解得−2×�,=3×6
故选:�A=.−9
10.(2025·吉林长春·模拟预测)已知向量,则“”是“”的()
2
A.充分不必要条件 � =B.1必,2要, � 不=充�分,�条件�=2 � // �
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】由向量平行可得或,根据充分条件、必要条件概念判断即可.
【解答过程】已知向量�=2�=0,
2
若,则,解 � =得1,2, � 或=�,�,
2
所 以� /“/ � ”�是“=2�”的充分�=不必2要�条=件0.
故选:�A=.2 � // �
11.(2025·四川攀枝花·模拟预测)设向量,,且与的方向相反,则实数的值
为() � =�,2 � =1,�+1 � � �
A.B.1C.或1D.不存在
【答案】A−2−2
【解题思路】先根据向量共线求的值,再根据两向量方向相反进行验证.
【解答过程】向量,�,因为,所以,解得或.
当时, � =�,,2 � =,1,�与+的1方向相同 � ∥, � 舍去;��+ 1=2×1�=−2�=1
当�=1时, � =1,2 � ,=1,2 � �, 与的方向相反,符合题意.
故选�:=−A.2 � =−2,2 � =1,−1 � �
12.(2025·湖北·模拟预测)已知向量,若,则()
A.8B.4 � =1,4C., � 2=2,� � //2 �D .+ � �=
【答案】A−8
【解题思路】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.
【解答过程】,由得,解得.
2 � + � =4,8+� � //2 � + � 4�=28+��=8
故选:A.
【题型4平面向量数量积的坐标表示】
13.(2025·广西南宁·模拟预测)若向量,,则()
A.5B.3 � =C2.,−3 � =−1,2D. � ⋅ � +2 � =
【答案】D−5−3
【解题思路】根据向量运算的坐标表示求解即可.
【解答过程】因为,,所以,
所以 � =2,−3 � =−1,2, � +2 � =0,1
故选 :� ⋅D .� +2 � =2×0+−3×1=−3
14.(2025·全国·模拟预测)已知向量满足,若,则()
A.B. � , � C � .=12,1, � =−2,�D.2 � ⋅ � =−5�=
【答案】B−2−1
【解题思路】利用向量数量积的定义,列出等式即可求出的值.
【解答过程】因为,所以�,解得,
故选:B. � ⋅ � =−5 � ⋅ � =2×−2+�=−5�=−1
15.(24-25高一下·江苏南京·期中)已知向量,,则()
A.B.C � .=3,4 � − � =1D,2. � ⋅ � =
【答案】B514−622
【解题思路】法一:根据向量线性运算与数量积的坐标运算直接计算;法二:利用转化法结合数量积的坐标
运算公式直接计算.
【解答过程】方法一:因为,,所以,
所以 � =;3,4 � − � =1,2 � = � − � − � =2,2
方法 二� ⋅: � 由=3×2+4,×2=14,
则 � =3,4 � − � =1,2,,
222
又 � ⋅ � − � =3×1+4,×2=11 � =3+4=25
2
所 以� ⋅ � − � = � −, � ⋅即 � ;
故选:11B=.25− � ⋅ � � ⋅ � =14
16.(2025·甘肃酒泉·模拟预测)已知是边长为的等边三角形,点,分别是边,的中点,
△𝐴�1��𝐴��
连接并延长到点,使得,则的值为()
1
�����=3𝐵� � ⋅� �
A.B.C.D.
31511
48−88
【答案】A
【解题思路】通过建立直角坐标系,根据题意求出向量,的坐标,利用数量积的坐标运算求的
值即可.� � � � � � ⋅� �
【解答过程】如图,以所在直线为轴,为坐标原点,所在直线为轴,建立直角坐标系,
�������
由题意可得,,,,
113
�0,0�−2,0�2,0�0,2
则,
1313
�−4,4,� � =4,−4� � =1,0
设,由得,,
1
��,���=3𝐵� � =3� �
所以
13333
�,�=34,−4=4,−4
所以,所以,
333353
�4,−4� � =4,−4� � =1,0
所以.
3533
444
故选:𝐵A⋅.��=×1+−×0=
【题型5平面向量夹角、模长的坐标表示】
17.(2025·安徽合肥·二模)已知向量,设,则与的夹
→→→→→→→→
121212
角为()�=1,0,�=1,3�=4�+�,�=3�−� � �
A.B.C.D.
πππ2π
6433
【答案】C
【解题思路】由向量线性运算的坐标表示计算出,再由数量积公式计算出夹角的余弦,结合角度范围求
→→
�,�
出夹角.
【解答过程】因为,
→→
�1=1,0,�2=1,3
所以,
→→→→→→
�=4�1+�2=4,0+1,3=5,3,�=3�1−�2=3,0−1,3=(2,−3)
所以,,
→→→2→2
22
�⋅�=5×2+3×−3=7�=5+3=27,�=2+−3=7
设与的夹角为,则→→,
�⋅�71
→→
� � �cos�=��=27×7=2
又,所以,即与的夹角为.
ππ
�∈0,π�=3 � � 3
故选:C.
18.(2025·陕西西安·模拟预测)已知向量,若,则()
→→→→→→
�=2,1,�=1,−1�+�=�−���=
A.2B.C.2或D.3
【答案】C−1−1
【解题思路】根据向量坐标运算结合模长公式计算求参.
【解答过程】因为,所以.
→→→→
�+�=3,0�+�=3
因为,
→→
�−��=2,1−�,−�=2−�,1+�
所以.
→→
222
�−��=2−�+1+�=2�−2�+5
因为,所以,
→→→→
2
解得�+�或=�−��,2�−2�+5=3
故选:�C=.2�=−1
19.(2025·全国·模拟预测)已知向量,,则()
� =2,0 � − � =3,−3cos � −2 � , � =
A.B.C.D.
37277
【答案】C−5577
【解题思路】根据已知向量,,利用向量减法求出和,再通过点积计算求
出,通过模长计 � 算=求2出,0 � −�和=3,,−利用3向量夹角的余弦公式� � −2�求解.
� −2 � ⋅ �
【解 �答 −过2程�】⋅ � � −2�, � cos � −2�, � = � −2�⋅ �
∵ � =2,0, � −�=3,−3.
∴ � = � − � − � =2−3,0−−3=−1,3
.
∴2 � =−2,23
.
∴ � −2 � =2,0−−2,23=4,−23.
∴ � −2 � ⋅ � =4,−23⋅2,0=4×2+−23×0=8
.
2
222
∴ � =2+0=2, � −2 � =4+−23=28=27
.
� −2 � ⋅ � 827
∴cos � −2 � , � = � −2 � ⋅ � =27⋅2=7
故选:C.
20.(2025·浙江·模拟预测)已知向量,若,则()
→→
A.5B.3�=1,C�.+4,�=4,2 �D +.�= � −� � =
【答案】C53
【解题思路】首先利用等式求出向量的数量积,然后根据数量积的值求出,进而可求得向量的模.
→→→
�,���
【解答过程】因为,两边平方得:
→→→→
�+�=�−�
,
→→→→
→22→→22→
�+�+2�·�=�+�−2�·�
所以.
→→
所以�·�=0,解得.
1×4+2×�+4=0�=−6
所以,所以.
→→
�=1,−2�=1+4=5
故选:C.
【题型6向量垂直的坐标表示】
21.(2025·重庆沙坪坝·模拟预测)已知向量,且,则()
A.B. �C .=1(2,�), � =(1,−3)D.4( � + � )⊥ � �=
【答案】D−2−1
【解题思路】由向量数量积的坐标表示,和垂直的坐标表示求解即可.
【解答过程】因为,
所以( � + � )⊥ �
22
解得 :� ⋅ � + � ,=0⇒ � ⋅ � =− � =−10,∴2−3�=−10
故选:D�.=4
22.(2025·河南·模拟预测)已知向量,,若,则实数()
A.B.1 � =1,2C.�=1,−2 � ⊥D. � 2+���=
35
53
【答案】C
【解题思路】利用向量线性运算的坐标表示,向量垂直的坐标表示列式求解.
【解答过程】向量,,则,由,
得 � =1,2�=1,−2 � +,�所�以=1+.�,2−2� � ⊥ � +��
5
�⋅ � +� � =1×1+�+2×2−2�=0�=3
故 选 :C.
23.(2025·湖南郴州·三模)在平面直角坐标系xOy中,已知,,,
若,则的值为()�(2,−1)�(1,1)� � =�� � +(2−�)� �
� � A .⊥� 4 � �B.2C.D.
【答案】A−2−3
【解题思路】根据向量的坐标运算,可求出,,,,再根据向量
数量积的坐标运算,即可求解.� � =(2,−1)� � =(1,1)� � =2+�2−2�
【解答过程】因为,,所以,,
又�(2,−1),得�(1,1)� � =(2,−1)� � =(1,1),
又� � =�� �, +所(以2−�)� � �, � 即=�2,−1+(2−�)1,1=2+�,2−,2�解得.
故选� � A⊥.� � � � ⋅� � =02+�×1+2−2�×1=4−�=0�=4
24.(2025·河南·一模)设向量,,若,则()
A.B. � =−4,2 � C=.51,−1 � +� � D.⊥1 0� −� � �>0�=
【答案】B510
【解题思路】利用平面向量的坐标表示求解向量的模长,再利用平面向量垂直的坐标表示建立方程,求解参
数即可.
【解答过程】由向量的模长公式得,,
因为,所以 � =25 � =2,
� +� � ⊥ � −� � � +� � ⋅ � −� � =0
则,解得(负根舍去),故B正确.
2
222222
故 选� :−B�.�= � −��=20−2�=0�=10
【题型7由向量的坐标运算解决最值和范围问题】
25.(2025·江苏南京·二模)在四边形中,,,,E是线段中
∘
点,是线段上的动点,则的�最��小�值为(𝐴/)/���=90𝐴=𝐵=2𝐵=2𝐵
A�.��B.��⋅��C.D.
4547
−3−4−5−9
【答案】C
【解题思路】建立坐标系,表示出的坐标,根据是线段上的动点用参数表示点的函数,从
而题目可转换为关于的二次函数�在,闭�,区�,间�,上�的最小值问题�.����
【解答过程】由题以点�为坐标原点,为轴建立如图所示的平面直角坐标系,
�𝐴,𝐵�,�
因为,E是线段中点,
所以𝐴=𝐵=2𝐵=2𝐵,
而是�线0,段0,�上2,的0动,�点1,,2,�0,2,�0,1
从而�可设��,
所以点的� 坐� =标�是� � +1−�,� � =2�,0+0,1−�=2�,1−�,�∈0,1
所以�2�,1−�,
� � =2−2�,−1+�,� � =1−2�,1+�
��⋅��=2−2�1−2�+−1+�1+�,
2
22234
=4�−6�+2+�−1=5�−6�+1=5�−5−5,�∈0,1
所以当时,的最小值是.
34
�=5� � ⋅� � −5
故选:C.
26.(2025·湖南长沙·模拟预测)已知向量,若,则的取值范围是()
� ⋅ �
� =−1,3, � =�,��>0,�<0 �
A.B.C.D.
【答案】A−2,−1−2,−3−3,−1−3,−2
【解题思路】由向量夹角的公式变形后再讨论夹角范围可得.
【解答过程】设向量的夹角为,则 � , � ,
� ⋅ �
设的起点在原点 ,� ,�与轴正方�向的夹�角=为 � cos�=2cos�
由 � ,�可 � 得�与轴正方向的夹角�为,
3
由tan�=−1=可−得3的终 � 点在�第四象限,当两向量12反0°向共线时,夹角最大,
�>0,�<0 �
当的终点趋于正方向时,夹角趋近于,
所 以� �,则12,0°所以.
∘∘1 � ⋅�
120<�≤180−1≤cos�<−2−2≤ � <−1
故选:A.
27.(2025·甘肃甘南·模拟预测)如图,已知是边长为4的等边三角形,点D满足,
E为的中点,则的取值范围为(△�)��� � =𝐴 � (0<�<1)
��� � ⋅� �
A.B.C.D.
99
−4,4[−4,4)−4,4[−2,4]
【答案】A
【解题思路】以直线为x轴,线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,先利用坐标表示相关向量,再
结合数量积的坐标表�示�和二次函数的�性�质计算可得.
【解答过程】以直线为x轴,线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图所示),
�������
则,
因为�(−2,0),�(2,0),�(0,2,3),�(1,3)
则点� D � 在=线𝐴 段 � (0(<不�含<端1)点)上,
设,则��,
所以�(�,0)−2<�<2,��=(−2−�,0),��=(1−�,3),
2
219
� � ⋅� � =(−2−�)(1−�)=�+�−2=�+2−4(−2<�<2)
所以当时,取得最小值,
19
2 4
当�时=−,��⋅��,−
故�=2的取��值⋅范�围�=为4.
9
� � ⋅� � −4,4
故选:A.
28.(2025·安徽芜湖·模拟预测)莱洛三角形,也称圆弧三角形,是一种特殊三角形,在建筑、工业上应用
广泛.如图所示,分别以正三角形ABC的顶点为圆心,以边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三
角形即为菜洛三角形,已知正三角形ABC的边长为1,点P为的中点,则的值为()
𝐴� � ⋅(� � +� � )
A.1B.C.D.
13
【答案】B2−322
【解题思路】根据题意,建立平面直角坐标系,求出相应向量的坐标,结合向量的数量积的坐标运算公式,
即可求解.
【解答过程】根据题意,以为坐标原点,所在的直线为轴,过点且垂直于的直线为轴,建立平面
直角坐标系,如图所示,��������
因为正的边长为1,且点为的中点,所以,
∘
点在以△�为�圆�心,为半径的圆�上�,�∠�𝐴=30
����
则
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