3.6 函数的应用举例教学设计中职数学基础模块 上册湘科技版（2021·十四五）

3.6函数的应用举例教学设计中职数学基础模块上册湘科技版（2021·十四五）学科政治年级册别八年级上册共1课时教材部编版授课类型新授课第1课时教学内容分析1.本节课的主要教学内容是利用一次函数、二次函数解决实际问题，包括建立函数模型、求解最值及分析实际意义，教材以利润最大化、行程问题为例展开。

2.教学内容与学生已有知识的联系：学生在前序章节已掌握函数的概念、一次函数与二次函数的图像和性质，本节课是函数知识的实际应用，需将实际问题转化为函数问题，是对函数概念与性质的深化和综合运用。核心素养目标分析二、核心素养目标分析通过实际问题抽象函数模型，提升数学抽象与数学建模能力；运用一次、二次函数性质解决利润最大化、行程问题等最值问题，发展数学运算与逻辑推理素养；结合课本实例，体会函数知识在实际中的应用价值，增强应用意识与创新意识。学情分析中职一年级学生数学基础整体偏弱，对函数概念的理解停留在表面，尤其是将实际问题转化为函数模型的能力不足。学生已掌握一次函数、二次函数的基本性质和图像绘制，但综合应用能力较弱，缺乏分析实际问题的逻辑思维。行为习惯上，多数学生依赖教师讲解，主动探究意识不强，对纯理论兴趣低，但对贴近生活的实例（如课本中的利润、行程问题）参与度较高。因此，教学中需强化实例引导，分解建模步骤，通过梯度练习提升应用能力，同时注重激发学习兴趣，培养解决实际问题的信心。教学方法与策略四、教学方法与策略采用案例教学与小组讨论法，以课本利润最大化、行程问题为实例，引导学生分步建立函数模型；设计“商家决策”角色扮演活动，分组探究最值问题，增强互动；结合PPT动态演示函数图像变化，实物投影展示学生解题过程，直观呈现建模思路，贴合学生认知特点。教学过程设计###1.导入新课（5分钟）

**目标**：引起学生对函数应用举例的兴趣，激发其探索欲望。

**过程**：

开场提问：“同学们，你们有没有想过，超市里的商品定价是怎么确定的？为什么有时候打折反而能赚更多钱？快递员规划路线时，怎样选择才能又快又省？”

展示生活场景：播放超市促销价签动态变化视频、快递员路线规划示意图（文字描述：视频中商品价格从20元逐渐降至15元，销量从每天50件增至80件；示意图中三条路线，标注距离和时间）。

简短介绍：“这些都是函数应用的实际例子——通过建立售价与销量、路程与时间的函数关系，帮我们解决‘如何获得最大利润’‘怎样最节省时间’等问题。今天我们就来学习‘函数的应用举例’，用数学知识解决生活中的决策难题。”

###2.函数应用举例基础知识讲解（10分钟）

**目标**：让学生了解函数应用举例的基本概念、组成部分和原理。

**过程**：

讲解定义：“函数的应用举例，就是将实际问题中的数量关系抽象为函数模型，利用函数的性质（如最值、单调性）解决问题的过程。”

组成部分：“主要包括四步：①实际问题抽象（找出变量和常量）；②建立函数模型（写出函数表达式）；③求解函数性质（如求顶点坐标、判断单调性）；④结果解释（将数学结论转化为实际答案）。”

实例讲解：以课本例1“某商店销售一种玩具，每件成本30元，售价定为x元（30≤x≤50），月销量为（100-2x）件，求月利润最大时的售价”为例，演示步骤：①变量：售价x（元），销量（100-2x）件，利润y（元）；②模型：y=(x-30)(100-2x)；③化简为y=-2x²+160x-3000，求顶点横x=40；④解释：售价40元时，月利润最大。

###3.案例分析（20分钟）

**目标**：通过具体案例，让学生深入了解函数应用举例的特性和重要性。

**过程**：

**案例1：利润最大化问题（课本例1拓展）**

背景：商店玩具销售，成本30元/件，售价x元（30≤x≤50），销量（100-2x）件。

特点：利润=（售价-成本）×销量，是二次函数模型，开口向下，有最大值。

意义：帮助商家找到“最优定价”，实现利润最大化。

引导思考：“如果成本降低到25元，售价范围调整为30≤x≤60，利润最大值是多少？售价应定为多少？”

**案例2：行程优化问题（课本例2）**

背景：汽车从A地到B地，以xkm/h速度行驶，每小时耗油0.2+0.0001x²升，若A、B距离100公里，求最省油的速度。

特点：总耗油=百公里油耗×行驶时间，函数模型为y=(0.2+0.0001x²)(100/x)，可化简为y=0.02x+0.01/x。

意义：帮助规划出行方案，降低成本。

引导思考：“如果距离增加到200公里，最省油的速度会变化吗？为什么？”

**小组讨论**：

任务：“结合以上案例，讨论‘函数模型在实际应用中可能受哪些因素影响？’（如成本变化、范围限制、外部条件等）”

要求：每组记录3个影响因素，举例说明，5分钟后推选代表发言。

###4.学生小组讨论（10分钟）

**目标**：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

**过程**：

分组：将学生分为4人一组，每组选1名组长（负责组织）、1名记录员（整理发言）、1发言人（汇报成果）。

主题选择：从以下任务中任选其一（贴近学生生活，结合课本函数类型）：

①校园周边奶茶店：每杯奶茶成本8元，售价x元（10≤x≤20），日销量为（50-3x）杯，求日利润最大时的售价；

②校运动会百米赛跑：运动员速度xm/s（5≤x≤10），跑步时间y=100/x，求如何控制速度使时间最短；

③手机套餐选择：A套餐月租20元，每分钟0.1元；B套餐月租30元，每分钟0.05元，每月通话t分钟，求哪种套餐更划算。

讨论流程：

①组长分配任务：谁负责找变量、谁负责建模型、谁负责求解、谁负责解释结果；

②组员合作：根据任务完成函数模型建立，计算最值或比较方案；

③记录员整理：写出步骤、结论和遇到的问题（如“变量范围不确定”“函数化简错误”）；

④发言人准备：用1分钟概括小组讨论成果（模型、结论、问题）。

教师巡视：针对各组问题提示（如“奶茶销量不能为负，售价范围要合理”“通话时间t需大于0”）。

###5.课堂展示与点评（15分钟）

**目标**：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对函数应用举例的认识和理解。

**过程**：

**小组展示**（每组3分钟，共4组）：

-第1组（奶茶店案例）：“我们设售价x元，销量（50-3x）杯，利润y=(x-8)(50-3x)=-3x²+74x-400。顶点横x≈12.3，所以售价定为12元时，日利润最大，约106元。”

-第2组（百米赛跑案例）：“速度x越大，时间y=100/x越小，但速度受运动员体能限制，所以x取最大值10m/s时，时间最短10秒。”

-第3组（手机套餐案例）：“A套餐费用20+0.1t，B套餐30+0.05t，令20+0.1t=30+0.05t，得t=200。所以每月通话200分钟时，两套餐费用相同；小于200分钟选A，大于选B。”

-第4组（问题反馈）：“我们讨论奶茶案例时，一开始忽略了销量（50-3x）必须≥0，所以x≤16.7，后来调整了售价范围。”

**互动点评**：

-学生提问：“第1组，如果奶茶店推出‘买一送一’活动，销量模型会怎么变？”第1组回答：“可能销量变为（50-3x）×2，但成本也要增加，需重新建模。”

-教师点评：

①亮点：第3组能通过比较函数值选择方案，体现了分类讨论思想；第4组能主动调整变量范围，考虑实际约束。

②不足：第2组未说明“速度限制”的依据（如运动员实际速度范围），模型需结合实际条件；第1组计算顶点横坐标时，可用公式x=-b/2a=74/6≈12.3，更准确。

③建议：建立模型后，一定要检查变量是否符合实际意义（如销量、售价、时间为正数）。

###6.课堂小结（5分钟）

**目标**：回顾本节课的主要内容，强调函数应用举例的重要性和意义。

**过程**：

回顾内容：“今天我们学习了函数的应用举例，核心步骤是‘实际问题→抽象变量→建立函数→求解性质→解释结果’，并通过利润最大化、行程优化、方案选择等案例，掌握了二次函数、反比例函数的应用。”

强调意义：“函数不是抽象的公式，而是解决生活问题的‘工具’——商家定价、出行规划、套餐选择，都离不开函数。学好函数应用，能让我们用数学思维做出更理性的决策。”

布置作业：“①完成课本P85练习题1、2（利润、行程问题）；②调查身边一个实际问题（如家庭每月水费与用水量的关系、小区快递柜收费与存放时间的关系），建立函数模型并分析，写一份200字左右的‘函数应用小报告’。”教学资源拓展###拓展资源

1.**生活场景中的函数应用深化**

-**阶梯计价问题**：家庭生活用水、用电采用阶梯计价，如某地居民用电：月用电量≤180度时，0.5元/度；180度＜月用电量≤280度时，超出部分0.6元/度；月用电量＞280度时，超出部分0.7元/度。建立月用电量x与电费y的函数关系，分析不同用电量区间的费用变化，强化分段函数在生活中的应用。

-**手机套餐选择**：移动、联通等运营商推出多种套餐，如A套餐月租20元，含通话100分钟，超出0.1元/分钟；B套餐月租35元，含通话200分钟，超出0.08元/分钟。建立每月通话时间t与总费用y的函数模型，比较不同套餐的适用范围，培养分类讨论能力。

2.**专业领域中的函数模型延伸**

-**商贸专业：库存成本控制**：某超市销售一批商品，每件进价50元，月销量与售价x（50≤x≤100）的关系为销量=200-2x，存储成本为月库存金额的5%。建立月总成本（进货成本+存储成本）与售价x的函数关系，求解使总成本最低的售价，结合专业实际深化二次函数最值应用。

-**汽修专业：汽车油耗优化**：某汽车以速度xkm/h（60≤x≤120）行驶时，百公里油耗为0.1+0.001x²升。若行驶距离为100公里，建立油耗y与速度x的函数模型，求最省油的速度，将函数知识与专业技能结合，体会数学在技术中的应用。

3.**函数应用中的数学思想方法强化**

-**转化思想**：将“最大利润”“最省时间”等实际问题转化为函数的最值问题，如课本中利润函数y=(x-30)(100-2x)的顶点求解，体会“实际问题→数学模型→数学结论→实际解释”的转化路径。

-**数形结合思想**：通过函数图像分析实际问题中的数量关系，如二次函数图像的顶点、对称轴与利润最大值的关系，反比例函数y=k/x的图像与行程问题中速度、时间的关系，直观理解函数性质的应用。

###拓展建议

1.**课后实践应用**

-**家庭消费调研**：记录家庭一个月的水电费、燃气费数据，分析用量与费用的函数关系，尝试建立分段函数模型，计算不同用量下的费用，并撰写“家庭消费函数分析报告”。

-**校园问题探究**：调查学校超市某商品（如矿泉水、文具）的进价、售价、销量数据，建立利润函数，计算最优定价，提出促销建议，培养用数学解决实际问题的能力。

2.**小组合作探究**

-**“商家决策”模拟项目**：以小组为单位，模拟校园奶茶店运营，设定成本（如杯、原料）、售价范围、销量与售价的关系，建立利润函数，计算最优售价，并设计促销方案（如第二杯半价、满减活动），调整函数模型，分析方案对利润的影响，最后进行班级展示。

-**“出行方案优化”竞赛**：结合课本行程问题，小组合作设计从家到学校的出行方案，考虑步行、骑行、公交等不同方式的速度、时间、费用，建立时间-速度函数、费用-距离函数，综合比较最优方案，培养综合应用能力。

3.**错题反思与总结**

-**建立“函数应用错题本”**：收集作业、练习中常见的建模错误，如“忽略变量的实际意义（如销量、售价为正数）”“函数表达式化简错误”“顶点坐标计算错误”，分析错误原因，归纳正确建模步骤，强化细节把控。

-**绘制“函数应用思维导图”**：以“实际问题建模”为中心，分支包括“找变量→建表达式→定性质→解实际”，结合课本案例（利润、行程）和拓展案例（水电费、套餐），梳理不同函数类型（一次、二次、分段）的应用场景和方法，形成知识体系。

4.**阅读与观察积累**

-**生活中的函数案例收集**：通过观察生活，记录至少5个与函数相关的实际问题（如快递费用与重量的关系、公园门票的团体优惠、商品折扣与销量的变化），尝试用函数知识解释其中的数量关系，培养“用数学眼光看生活”的意识。

-**专业书籍中的函数应用**：阅读商贸、汽修等专业的入门书籍，找出其中涉及的数学计算（如成本核算、油耗统计），分析其中函数模型的应用，体会数学作为专业工具的重要性，增强学习动力。教学评价课堂评价：通过提问检测学生对函数建模步骤的掌握，如“利润函数中变量如何确定？”，观察小组讨论时分工合作情况，记录建模过程中的常见错误（如忽略变量范围、函数化简错误）。案例分析环节，通过快速小测试（如判断行程问题中的函数类型）了解二次函数、反比例函数的应用能力，针对共性问题（如顶点坐标计算错误）即时讲解，强化细节把控。展示点评时，关注学生表达逻辑和结论的实际意义，对建模思路清晰、考虑实际约束的学生给予肯定，对遗漏关键步骤的小组引导补充。

作业评价：批改课本P85练习题1、2，重点检查函数模型建立的正确性（如利润表达式是否为二次函数）、最值求解的准确性（顶点公式应用）及实际解释的合理性（售价是否在定义域内）。对拓展作业“函数应用小报告”，评价数据收集的真实性、模型与生活场景的关联度（如家庭水电费的分段函数是否贴合实际），标注错误原因（如“销量表达式未考虑非负”），对优秀作业班级展示，鼓励学生用函数解决身边问题，强化应用意识。板书设计①函数应用基本