2026年高考物理二轮复习（全国）专题05 功和功率、动能定理（讲义）（原卷版）

专题05功和功率、动能定理

目录

第一部分考情精析锁定靶心高效备考

第二部分重难考点深解深度溯源扫清盲区

【考点01】功和功率

【考点02】机车功率

【考点03】动能定理

第三部分解题思维优化典例精析+方法提炼+变式巩固

【题型01】恒力做功问题

【题型02】变力做功问题

【题型03】功率、机车功率问题

【题型04】动能定理与图像的综合

【题型05】多过程问题与动能定理

【题型06】动能定理与电学的综合

主战场转移：功和功率的计算及动能定理。常与圆周运动、静电力、安培力进行综

合。

核心考向聚焦

核心价值：核心价值在于培养物理思维，掌握分析方法，提升解决多过程及临界极

值问题的科学推理与实践能力。

关键能力：恒力功、变力功的分析计算能力：能选用合适的方法计算变力做的功。

平均功率、瞬时功率、机车功率的分析计算能力：灵活运用所学知识解决实际问题。

动能定理的应用能力：敏锐捕捉物理过程临界点，精准分析极值条件，选择合适的

过程。

关键能力与思维瓶颈

培优瓶颈：尖子生的主要失分点并非“不懂”，而在于：面对新情境时，无法快速、

准确地将实际问题进行转化。求变力功的方法选择有误：对力的变化规律识别不足，

导致错误。求功率的方法选择有误：平均、瞬时区分不清，公式选择有误。临界极

值分析难：难以准确界定临界状态，对极值出现的条件和原因分析不清。

预测：2026年高考中，功、功率、动能定理的应用情境更复杂真实，融合跨学科与

科技元素，强化创新迁移、图像信息分析考查。

命题前瞻与备考策略

策略：深挖高考压轴题命题逻辑，强化微元法等高端思维训练，提升创新题型解答

能力，规范答题步骤，精准分配答题时间，注重跨模块知识综合运用。

考点01功和功率

一、恒力做功的分析和计算

1．做功的两个要素

(1)作用在物体上的力．

(2)物体在力的方向上发生．

2．公式W＝Flcosα

(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体的位移．

(2)该公式只适用于做功．

3．功的正负

π

(1)当0≤α＜时，W＞0，力对物体做正功．

2

π

(2)当α＝时，W＝0，力对物体不做功．

2

π

(3)当＜α≤π时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体这个力做功．

2

二、是否做功及做功正负的判断

1．根据力与位移的方向的夹角判断。

2．根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜α≤180°，力做

负功．

三、合外力做的功

方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcosα求功．

方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功．

方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1.

四、求变力做功的五种方法

方法举例

微元法质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦

力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR

等效h

恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(

转换法sinα

h

－)

sinβ

图像法一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，F－x

F0＋F1

图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0

2

F1＋F2

平均当力与位移为线性关系，力可用平均值F＝表示，W＝

2

值法

12

FΔx，可得出弹簧弹性势能表达式为Ep＝k(Δx)

2

应用动

能定理用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：

WF－mgL(1－cosθ)＝0，得WF＝mgL(1－cosθ)

五、功率的分析和计算

1．平均功率的计算方法

W

(1)利用P＝.

t

(2)利用P＝F·vcosα，其中v为物体运动的平均速度，F为力，F与v的夹角α不变．

2．瞬时功率的计算方法

(1)利用公式P＝Fvcosα，其中v为t时刻的速度．F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，

α可以不变，也可以变化．

(2)公式P＝Fvcosα中，Fcosα可认为是力F在速度v方向上的分力，vcosα可认为是速度v在力F方向上的

分速度．

考点02机车功率

一、两种启动方式

两种方式以恒定功率启动以恒定加速度启动

P－t图像

和v－t图像

－v↑

过程＝FF阻不变不变＝

P不变F－F阻a⇒F⇒P

v↑⇒F＝↓⇒a＝↓m

分析vm

Fv↑直到P＝P额＝Fv1

OA段

匀加速直线运动，持续时间

运动t0

加速度减小的加速直线运动

v1

性质＝

a

过程

PP额F－F阻

F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝v↑⇒F＝↓⇒a＝↓

分析F阻vm

AB段

运动

以vm做匀速直线运动加速度减小的加速直线运动

性质

P额

F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝做匀

BC段F阻

速直线运动

二、三个重要关系式

P

(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝.

F阻

P额P额

(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最，但速度最大，v＝<vm＝.

FF阻

(3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得：Pt－F阻x＝ΔEk.此式经常用于求解机车以

恒定功率启动过程的位移大小和时间．

考点03动能定理

一、动能定理的理解和基本应用

1．动能

(1)定义：物体由于运动而具有的能量叫作动能．

1222

(2)公式：Ek＝mv，单位：焦耳(J).1J＝1N·m＝1kg·m/s.

2

(3)动能是标量、状态量．

2．动能定理

1212

(1)表达式：W＝ΔEk＝Ek2－Ek1＝mv2－mv1.

22

(2)注意事项

(a)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系．

(b)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解，也可以全过程应用动能定理求解．

(c)动能是标量，动能定理是标量式，解题时分解动能．

(3)应用动能定理的解题流程

二、动能定理与图像问题的结合

图像与横轴所围“面积”或图像斜率的含义

题型01恒力做功问题

典｜例｜精｜析

典例1（2023年北京卷第11题）如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体

质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，在物体移动距离为x的

过程中（）

A.摩擦力做功大小与F方向无关B.合力做功大小与F方向有关

C.F为水平方向时，F做功为mgxD.F做功的最小值为max

典例2（2025·重庆市·三模）（多选）如图1所示，足够长的水平地面上，一同学坐在木箱中，受到水

平向右的拉力F作用从静止开始运动，拉力F的冲量I随时间t变化的关系如图2所示。整个过程中，该同

学和木箱始终保持相对静止。已知该同学和木箱的总质量为50kg，木箱与水平地面间的动摩擦因数μ=0.2，

最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，则（）

A.t=2s时刻，该同学的速度大小为8m/s

B.0~2s内，该同学的位移大小为4m

C.t=8s时刻，该同学还在继续向右运动

D.0~8s内，木箱克服地面摩擦力做功为1200J

方｜法｜提｜练

恒力做功，一般采用公式W＝Flcosα，即恒力做功，看位移。

恒力做功，也可以采用动能定理等方法。

注意与其他知识的综合。

变｜式｜巩｜固

变式1（2025·江西省·三模）如图所示，粗糙水平地面AB与半径R0.4m的光滑半圆轨道BCD相连，

且在同一竖直平面内，O是BCD的圆心，BOD在同一竖直线上。质量为m2kg的小物块在恒力F的作

用下（方向未知），从A点由静止开始做匀加速直线运动。已知xAB4m，小物块与水平地面间的动摩擦

因数为0.2，当小物块运动到B点时撤去恒力F，重力加速度g取10m/s2。

（1）若物块恰能通过D点，求物块在AB段的加速度及F做功的最小值和此时的F的大小。

（2）若物块恰能通过D点，求F的最小值和此时F所做的功。

变式2（2025·青海省海东市第二中学·二模）如图所示，倾角为、足够长的光滑斜面固定在水平地面上，

斜面底端有一质量m1kg的物块，t0时刻物块在沿斜面向上的恒力F的作用下，从斜面底端由静止开

始运动，t2s时物块到达A点并撤去F，t4s时物块恰好返回斜面底端，sin0.6，取重力加速度

大小g10m/s2。

（1）求撤去F后物块的加速度大小a1；

（2）求恒力F对物块做的功W；

（3）若t0时刻物块在沿斜面向上的变力F的作用下，从斜面底端由静止开始运动，t1.5s时物块到达

A点并撤去F，此过程中物块的加速度与速度成反比，t3.5s时物块返回斜面底端，求变力F的最小值

Fmin。

变式3（2025·山东省滨州市市·二模）如图所示，在火星上执行救援任务中，工程师设计了一款应急轨道装

3

置。水平轨道长度Lm，与半径R0.5m的四分之一竖直光滑圆轨道在底部相切且固定在水平地面

2

上。一质量m5kg的物资箱从水平轨道最左端开始，在方向与水平面夹角30、大小F20N的恒力

作用下，由静止开始沿着水平轨道运动，且整个运动过程中恒力F始终存在。已知物资箱与水平轨道表面

32

动摩擦因数，火星表面重力加速度g4m/s，忽略空气阻力。求：

2

（1）物资箱到达圆轨道底端时对轨道的压力FN的大小；

（2）物资箱从静止开始到第一次落地过程中，距离水平轨道的最大高度H。

题型02变力做功问题

典｜例｜精｜析

典例1（2025年广东卷第14题）如图所示，用开瓶器取出紧塞在瓶口的软木塞时，先将拔塞钻旋入木塞内，

随后下压把手，使齿轮绕固定支架上的转轴转动，通过齿轮啮合，带动与木塞相固定的拔塞钻向上运动。

从0时刻开始，顶部与瓶口齐平的木塞从静止开始向上做匀加速直线运动，木塞所受摩擦力f随位移大小x

x

的变化关系为ff01，其中f0为常量，h为圆柱形木塞的高，木塞质量为m，底面积为S，加速度

h

为a，齿轮半径为r，重力加速度为g，瓶外气压减瓶内气压为p且近似不变，瓶子始终静止在桌面上。（提

示：可用fx图线下的“面积”表示f所做的功）求：

（1）木塞离开瓶口的瞬间，齿轮的角速度。

（2）拔塞的全过程，拔塞钻对木塞做的功W。

（3）拔塞过程中，拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P随时间t变化的表达式。

典例2（2025·甘肃省·二模）为了将质量m1kg的货物（可视为质点）从平台AB平稳运送到平台P上，

某兴趣小组设计了如图所示的传送装置。平台AB左端的竖直墙壁上固定一水平轻弹簧（弹簧自然长度小

于平台AB的长度），将货物向左压缩弹簧至O点后由静止释放（弹簧在弹性限度范围内），货物能从B点

滑出，并恰好沿着与C点相切的方向进入圆心角为60、半径R1.0m的竖直固定光滑圆弧轨道内侧做圆

周运动。从圆弧轨道最低点D水平滑出后，又立即滑到与D点等高、原来静止在光滑水平地面的长木板上，

并与木板摩擦使其向右运动，木板与平台P相碰时被立即锁定，货物滑行到与木板等高的平台P上。已知

OB间的水平距离L00.6m，货物通过D点时对圆弧轨道的压力大小等于60N，木板长度为L，质量

M1.5kg，木板右端距离平台P左侧的初始距离为s，货物与平台AB、长木板之间的动摩擦因数均为

0.5，空气阻力和其余摩擦均忽略不计，g10m/s2，求：

（1）货物经过D点时的速度大小（结果可保留根号）；

（2）弹簧弹力对货物做的功W；

（3）要使货物能滑上平台P，木板长度L与初始距离s需满足怎样的关系（复杂的不等式组写出关系式即

可）。

方｜法｜提｜练

变力做功，最常用的还是动能定理。

有时候，需要应用微元法、等效替代法、图像法或者借助于功率。

注意与其它知识的综合考查。

滑动摩擦力、空气阻力做功看路程。

变｜式｜巩｜固

变式1（2025·云南省丽江市第一高级中学·一模）如图甲所示，轻质弹簧放置在倾角为30°的光滑斜面上，

底部固定，上端与质量为m的物块相连，当弹簧压缩量为l1时，物块由静止开始向下运动，当弹簧压缩量

为l2时，物块的速度正好为0。在此运动过程中，弹簧对物块的弹力F与弹簧的压缩量l的关系图像如图乙

所示，重力加速度为g，下列说法中错误的是（）

A.物块的动能与弹簧的弹性势能都增加

1

B.物块重力势能变化量的大小为mgll

221

FFll

C.此过程中物块克服弹簧弹力做功为1221

2

mgl2l1

D.当弹簧的压缩量等于时，物块的速度最大

2F2F1

变式2（2025·湖南省长沙市周南中学·二模）（多选）无风的情况下，在离地面高为H处，将质量为m的

球以速度v0水平抛出，球在空气中运动时所受的阻力大小fkv，v是球的速度，k是已知的常数，阻力的

方向与速度方向相反，并且球在着地前已经竖直向下做匀速运动。已知重力加速度为g，则下列说法中正

确的是（）

mg

A.球着地前瞬间的速度大小为v

k

mv

B.从球抛出到落地，球位移的水平分量x0

k

1m3g2

C.球从抛出到着地过程中克服空气阻力做的功WmgHmv2

20k2

D.其他条件不变，若将球从同一地点由静止释放，则两种情况下球在空中运动时间相同

变式3（2025·黑龙江省哈尔滨市第三中学校·三模）研发小组在平直的封闭道路上测试某无人驾驶汽车

的性能，当汽车的速度为v0时开始无动力滑行，此刻作为计时起点，经时间t1后以额定功率P0加速行驶，t2

时刻达到最大速度vm，用电脑记录汽车的速度—时间（v-t）图像如图所示，汽车的总质量为m，行驶过程

中受到的阻力f保持不变，则下列表述中正确的是（）

P0

A.汽车受到的阻力为f

v0

P0t1

B.汽车的最大速度为vm

m(v0v1)

1

C.汽车加速过程的位移为x(vv)(tt)

2m121

D.汽车在0~t2时间内牵引力做功为WP0t2

题型03功率、机车功率问题

典｜例｜精｜析

典例1（2024·江苏卷·第14题）如图所示，粗糙斜面的动摩擦因数为μ，倾角为θ，斜面长为L。一个质

量为m的物块，在电动机作用下，从A点由静止加速至B点时达到最大速度v，之后作匀速运动至C点，

关闭电动机，从C点又恰好到达最高点D。求：

（1）CD段长x；

（2）BC段电动机的输出功率P；

（3）全过程物块增加的机械能E1和电动机消耗的总电能E2的比值。

典例2（2025年广西卷第12题）图甲为某智能分装系统工作原理示意图，每个散货经倾斜传送带由底端A

运动到顶端B后水平抛出，撞击冲量式传感器使其输出一个脉冲信号，随后竖直掉入以与水平传送带共速

度的货箱中，此系统利用传感器探测散货的质量，自动调节水平传送带的速度，实现按规格分装。倾斜传

送带与水平地面夹角为30，以速度v0匀速运行。若以相同的时间间隔t将散货以几乎为0的速度放置在

倾斜传送带底端A，从放置某个散货时开始计数，当放置第10个散货时，第1个散货恰好被水平抛出。散

3

货与倾斜传送带间的动摩擦因数，到达顶端前已与传送带共速。设散货与传感器撞击时间极短，撞

2

击后竖直方向速度不变，水平速度变为0。每个长度为d的货箱装总质为M的一批散货。若货箱之间无间

隔，重力加速度为g。分装系统稳定运行后，连续装货，某段时间传感器输出的每个脉冲信号与横轴所围面

积为I如图乙，求这段时间内：

（1）单个散货的质量。

（2）水平传送带的平均传送速度大小。

（3）倾斜传送带的平均输出功率。

方｜法｜提｜练

碰到功率计算，首先弄清是平均功率还是瞬时功率。

如果是平均功率，那就看是恒力还是变力，以便选择合适的计算方法。

碰到机车功率问题，往往需要动态分析，可以借助于表达式或者图像。

变｜式｜巩｜固

变式1（2025·云南省怒江州民族中学·三模）（多选）如图所示，质量m=2kg的物体（可看质点）静置

在倾角为37°粗糙斜面上的A点，现利用固定在B点的电动机通过跨过斜面顶端光滑小定滑轮的轻绳将该物

体从A点拉升到斜面顶端O点，轻绳均与所在的斜面和平面平行。物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.25，轻

绳可承受最大的力F=20N，电动机的额定功率P=320W，AO的距离s=175m。若要用最短的时间将物体拉

到斜面顶端O点，且物体到达O点前已经达到最大速度。则（已知sin37°=0.6，重力加速度取g=10m/s2）

（）

A.物体运动过程中的最大速度v=16m/s

2

B.物体上升过程中最大的加速度am=2m/s

C.在将物体从A拉到O点的过程中，电动机共做功3200J

D.物体从A运动到O共用时14s

变式2（2025·江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学·一模）如图所示，O为固定在地面上的铰

链，A球通过铰链用轻杆分别连接于O、B球。现对B球施加水平推力F，使系统处于静止状态，此时两

杆间的夹角α=60°。撤去F后，A、B在同一竖直平面内运动。已知两球质量均为m，杆长均为L，重力加

速度为g，忽略一切摩擦。求：

（1）推力F的大小；

（2）两杆间的夹角变为120°时，B球动能；

（3）A球落地时重力的功率。

变式3（2023年山东卷第8题）质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F和受到的阻力f均

为恒力，如图所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行

驶的位移为S1时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为S2。

物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为（）

2F2(Ff)SSS2F2(Ff)SSS

A.211B.211

(Mm)S2MS1(Mm)S2mS1

2F2(Ff)SSS2F2(Ff)SSS

C.212D.212

(Mm)S2MS1(Mm)S2mS1

题型04动能定理与图像的综合

典｜例｜精｜析

典例1（2025·湖南省邵阳市·一模）（多选）“辘轳”是中国古代取水的重要设施，通过转动手柄将轻绳缠

绕到半径为R的转筒上，就可以把水桶从井中提起。若某次转动手柄的角速度随时间t变化的图像如图

乙所示，经3t0时间把水桶从井底提升到井口，水桶和桶中水的总质量为m，重力加速度大小为g，水桶可

看成质点，下列说法正确的是（）

A.水井的深度为20Rt0

B.0~3t0，水桶做初速度为零的匀加速直线运动

m2R2

C.把水桶从井底提升到井口的过程中合力对水桶和桶中水做功为0

2

mgR

D.把水桶从井底提升到井口的过程中克服重力做功的平均功率为0

2

典例2（2025·陕西省渭南市临渭区·三模）（多选）如图甲，光滑圆轨道固定在竖直面内，小球沿轨道始终

做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N，动能为Ek。改变小球在最低点的动能，

小球对轨道压力N的大小随之改变。小球的N-Ek图线如图乙，其左端点坐标为（①，②），其延长线与坐

标轴的交点分别为（0，a）、（-b，0）。重力加速度为g，则下列说法正确的是（）

ab

A.小球的质量为B.圆轨道的半径为

ga

C.图乙①处应为3bD.图乙②处应为6a

方｜法｜提｜练

求变力功，优先考虑动能定理。

匀变速直线运动的动力学问题，如果不涉及时间，优先考虑动能定理。

涉及图像，看两轴、斜率、截距、面积，或者取特值，或者找对应的表达式。

变｜式｜巩｜固

变式1（2025·湖南省株洲市·一模）风力和空气阻力会影响雨滴下落的轨迹。一雨滴在下落过程中的某

段时间内，其水平方向速度vx和竖直方向位移y与时间关系的图像如图所示，在图示时间2s内，该雨滴

（）

A.做匀加速直线运动

B.在t＝1s时速度大小为11m/s

C.重力的瞬时功率一直增大

D.前、后1s内合力做功之比为1：3

变式2（2025·河南省五市·二模）一辆金属玩具模型汽车在水平地面上做直线运动，其速度v与时间t

的关系如图所示。已知玩具汽车的质量为3kg，运动过程中受到的阻力f始终为车重力的0.2倍，取重力加

速度g10m/s2。下列说法正确的是（）

A.t3s时，汽车距离出发点最远

B.0～3s时间内，牵引力对汽车做的功为54J

C.3～5s时间内，刹车额外产生的制动力大小为3N

D.0～6s时间内，汽车克服阻力做的功为84J

变式3（2025·安徽省临泉第二中学·三模）在“探究加速度与力、质量的关系”的实验装置可用于“探

究物体所受合力做功与动能变化的关系”，物理小组同学们采用如图所示实验装置进行探究。实验要求小

车受到的合外力为绳的拉力的合力。实验中同学们研究了砂和砂桶的运动过程所受合力做功是否等于其动

能增量。忽略细线与滑轮间的摩擦阻力。

（1）本实验________（填“需要”或者“不需要”）满足m远小于M的条件。

（2）实验前测出砂和砂桶的总质量m，已知重力加速度为g。接通打点计时器的电源，静止释放砂和砂桶，

带着小车开始做加速运动，读出运动过程中力传感器的读数T，通过纸带得出起始点O（初速度为零的点）

到某点A的位移L，并通过纸带算出A点的速度v。实验过程中_________（填“需要”或者“不需要”）

平衡小车M所受的摩擦力。

（3）对m研究，所需验证的动能定理的表达式为_________。

22

A.mgTLmvB.2mgTLmv

22

C.mgTL2mvD.mg2TL2mv

（4）通过纸带测出了起始点O到不同点A、B、C、D…的位移及A、B、C、D…的速度，并做出了v2L

图中所示的实线。那么在保证小车质量不变的情况下增加砂的质量，重复实验，将会得到如v2L图中虚

线_______（填“甲”或者“乙”）所示的图线。

题型05多过程问题与动能定理

典｜例｜精｜析

典例1（2025年湖北卷第15题）如图所示，一足够长的平直木板放置在水平地面上，木板上有3n（n是大

于1的正整数）个质量均为m的相同小滑块，从左向右依次编号为1、2、…、3n，木板的质量为nm。相

邻滑块间的距离均为L，木板与地面之间的动摩擦因数为，滑块与木板间的动摩擦因数为2。初始时木

板和所有滑块均处于静止状态。现给第1个滑块一个水平向右的初速度，大小为gL（为足够大常

数，g为重力加速度大小）。滑块间的每次碰撞时间极短，碰后滑块均会粘在一起继续运动。最大静摩擦力

等于滑动摩擦力。

（1）求第1个滑块与第2个滑块碰撞前瞬间，第1个滑块的速度大小

（2）记木板滑动前第j个滑块开始滑动时的速度为vj，第j1个滑块开始滑动时的速度为vj1。用已知量

和vj表示vj1。

1

（3）若木板开始滑动后，滑块间恰好不再相碰，求的值。（参考公式：1222k2kk12k1）

6

典例2（2025·湖南省邵阳市·一模）如图所示，固定的桌面、地面和固定的螺旋形圆管均光滑，轻质弹簧左

端固定，自然伸长位置为O点，弹簧的劲度系数k400N/m，圆轨道的半径R0.5m，圆管的内径比

质量为m1的小球直径略大，但远小于圆轨道半径，质量为m2的小物块静止于质量为m3的木板左端，木板

的上表面恰好与圆管轨道水平部分下端表面等高，小物块与木板上表面间的动摩擦因数0.5，木板右端

与墙壁之间的距离L05m，现用力将小球向左推压，将弹簧压缩x00.2m，然后由静止释放小球，小球

与弹簧不连接，小球运动到桌面右端O点后水平抛出，从管口A点处沿圆管切线飞入圆管内部，从圆管水

平部分B点飞出，并恰好与小物块发生弹性碰撞，经过一段时间后木板和右侧墙壁发生弹性碰撞，已知小

物块始终未和墙壁碰撞，并且未脱离木板，已知OA与竖直方向夹角37，m1m21kg，m30.5kg，

g10m/s2，sin37°0.6。求：

（1）抛出点O与管口A间的高度差h；

（2）小球在圆管最高点所受的弹力FN；

（3）木板在地面上滑动的总路程s。

方｜法｜提｜练

求变力功，优先考虑动能定理。

匀变速直线运动的动力学问题，如果不涉及时间，优先考虑动能定理。

动能定理可针对每一个过程单独使用，也可以全过程使用。

变｜式｜巩｜固

变式1（2025·四川省雅安市·二模）（多选）如图所示，粗糙程度可改变的斜面DE与光滑圆弧轨道BCD

相切于D点，C为最低点，B与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝1m，圆心角∠BOD＝127°，调整斜面动摩

擦因数0时，将一可视为质点、质量m＝1kg的物块，从B点正上方的A点自由释放，物块恰好到达

斜面顶端E处。已知AB＝1m，DE＝1.8m，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则（）

A.物块第一次通过C点时受到支持力大小为50N

B.调整μ＝0.4，物块在斜面上运动的路程为5.625m

C.调整μ＝0.6，物块在斜面上运动的路程为3.75m

D.调整μ＝0.8，物块在斜面上运动的路程为1m

变式2（2025·河北省张家口市·三模）如图所示，圆心角37、半径R0.5m的光滑圆弧轨道MN

固定在水平地面上，其末端N切线水平；质量mA1kg、长度L1m的木板A置于水平地面上，其上表

面与N端等高，A的右端距N端的水平距离d0.5m；质量mB3kg的小物块B以v04m/s的速度从

左端滑上木板A，当B运动到A的右端时，A恰好与圆弧轨道MN发生弹性碰撞。已知A与地面之间的动

g2

摩擦因数10.2，B与A之间的动摩擦因数20.4，重力加速度取10m/s，sin370.6，

cos370.8。求：

（1）A与圆弧轨道MN碰后向左运动的时间；

（2）B通过M点时对圆弧轨道的压力大小。

变式3（2025年四川卷第15题）如图所示，倾角为的斜面固定于水平地面，斜面上固定有半径为R的半

圆挡板和长为7R的直挡板。a为直挡板下端点，bd为半圆挡板直径且沿水平方向，c为半圆挡板最高点，

两挡板相切于b点，de与ab平行且等长。小球乙被锁定在c点。小球甲从a点以一定初速度出发，沿挡板

运动到c点与小球乙发生完全弹性碰撞，碰撞前瞬间解除对小球乙的锁定，小球乙在此后的运动过程中无

其他碰撞。小球甲质量为m1，两小球均可视为质点，不计一切摩擦，重力加速度大小为g。

（1）求小球甲从a点沿直线运动到b点过程中的加速度大小；

（2）若小球甲恰能到达c点，且碰撞后小球乙能运动到e点，求小球乙与小球甲的质量比值应满足的条件；

（3）在满足（2）中质量比值的条件下，若碰撞后小球乙能穿过线段de，求小球甲初动能应满足的条件。

题型06动能定理与电学的综合

典｜例｜精｜析

典例1（2025·宁夏回族自治区银川市宁夏六盘山高级中学·一模）图甲中直线MN表示某点电荷Q产生

的电场中的一条电场线。一质量为