2026年高考物理二轮复习（全国）专题04 圆周运动、万有引力（讲义）（原卷版）

专题04圆周运动、万有引力

目录

第一部分考情精析锁定靶心高效备考

第二部分重难考点深解深度溯源扫清盲区

【考点01】匀速圆周运动

【考点02】变速圆周运动

【考点03】重力与万有引力的关系

【考点04】发射卫星、天体运动

第三部分解题思维优化典例精析+方法提炼+变式巩固

【题型01】匀速圆周运动

【题型02】变速圆周运动

【题型03】重力与万有引力的关系

【题型04】有中心天体的匀速圆周运动

【题型05】双星、多星系统

【题型06】变轨运行

主战场转移：匀速圆周运动的运动特点、受力特点；变速圆周运动中的绳模型、杆

模型；重力与万有引力的关系；天体运动估算、对比，宇宙航行。

核心考向聚焦

核心价值：核心价值在于培养物理思维，掌握分析方法，提升解决复杂平衡及临界

极值问题的科学推理与实践能力。

关键能力：受力分析、寻找向心力的能力。准确识别变速圆周运动中的绳模型、杆

模型。熟悉天体运动的各种模型：有中心天体的匀速圆周运动模型，双星、多星系

统，变轨运行规律。临界极值判断力：敏锐捕捉物理过程临界点，精准分析极值条

关键能力与思维瓶颈件

培优瓶颈：尖子生的主要失分点并非“不懂”，而在于：面对新情境时，无法快速、

准确地将实际问题进行转化。不画受力体，向心力找不准。天体运动模型不明，搞

不清用什么规律。临界极值分析难：难以准确界定临界状态，对极值出现的条件和

原因分析不清。

预测：2026年高考中，圆周运动、天体运动情境更复杂真实，融合跨学科与科技元

素，强化创新迁移、图像信息分析考查。

命题前瞻与备考策略

策略：深挖高考压轴题命题逻辑，强化高端思维训练，提升创新题型解答能力，规

范答题步骤，精准分配答题时间，注重跨模块知识综合运用。

考点01匀速圆周运动

一、圆周运动的运动学问题

1．描述圆周运动的物理量

2．匀速圆周运动

(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动．

(2)特点：加速度大小，方向始终指向，是速运动．

3．常见的传动方式及特点

同轴转动皮带传动齿轮传动

A、B两点在同轴的一个两个齿轮轮齿啮合，A、

两个轮子用皮带连接，A、

圆盘上B两点分别是两个齿轮

B两点分别是两个轮子边

边缘上的点

装置缘的点

特点角速度、周期相同线速度大小线速度大小相等

转向相同相同相反

角速度与半径成反比：

线速度与半径成正比：角速度与半径成反比：

ωA＝r

vArωAr2

＝ωBR＝

vBRωBr1

规律向心加速度与半径成反

向心加速度与半径成正向心加速度与半径成反

比：

比：aA＝r比：aA＝r2

aAr

aBR＝aBr1

aBR

二、匀速圆周运动的动力学问题

1．匀速圆周运动的向心力

(1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的，不改变速度的大小．

22

v24π

(2)大小：Fn＝m＝mrω＝mr＝mωv.

rT2

(3)方向：始终沿半径方向指向，时刻在改变，即向心力是一个力．

2．离心运动和近心运动

①当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动．

②当0<F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，做运动．

③当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动．

3．匀速圆周运动中合力、向心力的特点

匀速圆周运动的合力：提供向心力．

三、探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系

1．实验思路

本实验探究向心力与多个物理量之间的关系，因而实验方法采用了法．

在实验过程中可以通过两个小球同时做圆周运动对照，分别分析下列情形：

(1)在质量、半径一定的情况下，探究向心力大小与角速度的关系．

(2)在质量、角速度一定的情况下，探究向心力大小与半径的关系．

(3)在半径、角速度一定的情况下，探究向心力大小与质量的关系．

2．实验器材

向心力演示器、小球．

3．注意事项

摇动手柄时应缓慢加速，注意观察其中一个标尺的格数．达到预定格数时，即保持转速恒定，观察并记录

其余读数．

考点02变速圆周运动

一、变速圆周运动的动力学问题

1．变速圆周运动的向心力

(1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．

22

v24π

(2)大小：Fn＝m＝mrω＝mr＝mωv.

rT2

(3)方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．

2．变速圆周运动中合力、向心力的特点

变速圆周运动的合力(如图)

(1)与圆周相切的分力Ft产生切向加速度at，改变线速度的大小，当at与v同向时，速度增大，做加速圆周

运动，反向时做减速圆周运动．

(2)指向圆心的分力Fn提供力，产生加速度an，改变线速度的．

二、竖直面内圆周运动的临界问题

轻绳模型轻杆模型

(最高点无支撑)(最高点有支撑)

球与绳连接、水流星、沿内轨道

实例球与杆连接、球在光滑管道中运动等

运动的“过山车”等

图示

受力

示意图

F弹向下或等于零

F弹向下、等于零或向上

力学v2v2

mg＋F弹＝mmg±F弹＝m

方程RR

F弹＝0

v＝0

临界2

vmin

mg＝m即F向＝0

特征R

F弹＝mg

即vmin＝gR

(1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心

(1)最高点，若v≥gR，F弹＋

2

2v

v(2)当0<v<gR时，mg－F弹＝m，F弹

mg＝m，绳或轨道对球产生弹R

R

讨论背离圆心并随v的增大而减小

力F弹

分析(3)当v＝gR时，F弹＝0

(2)若v<gR，则不能到达最高

v2

点，即到达最高点前小球已经脱(4)当v>gR时，mg＋F弹＝m，F弹

R

离了圆轨道

指向圆心并随v的增大而增大

考点03重力与万有引力的关系

一、万有引力定律

1．表达式

m1m2－

F＝G，G为引力常量，通常取G＝6.67×1011N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定．

r2

2．适用条件

(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．

3．万有引力的“两点理解”和“两个推论”

(1)两点理解

①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．

②地球上(两极除外)的物体受到的重力只是的一个分力．

(2)星体内部万有引力的两个推论

①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F引＝0.

②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对

M′m

它的万有引力，即F＝G.

r2

二、星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)

1.考虑地球自转的影响

(1)在赤道上：

Mm2

G＝mg1＋mωR.

R2

Mm

(2)在两极上：G＝mg0.

R2

2.不考虑地球自转时

MmGM

（1）地球表面附近的重力加速度大小g，有mg＝G，得g＝.

R2R2

（2）地球上空的重力加速度大小g′

GMmGMg

地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度大小为g′，则有mg′＝，得g′＝.所以

R＋h2R＋h2g′

R＋h2

＝.

R2

三、利用天体表面重力加速度估算天体质量和密度

已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.

MmgR2

1．由G＝mg，得天体质量M＝.

R2G

M

．天体密度＝M＝＝3g

2ρ4.

VπR34πGR

3

考点04发射卫星、天体运动

一、利用运行天体估算天体质量和密度

已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.

Mm4π24π2r3

1．由G＝mr，得M＝.

r2T2GT2

MM3πr3

2．若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.

423

VπR3GTR

3

3．若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星

环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．

二、卫星运行参量的分析

1．基本公式

Mmv2

(1)线速度：由G＝m得v＝.

r2r

MmGM

(2)角速度：由G＝mω2r得ω＝.

r2r3

Mm2π

(3)周期：由G＝m()2r得T＝.

r2T

Mm

(4)向心加速度：由G＝man得an＝.

r2

结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢．

2．“黄金代换式”的应用

Mm

忽略中心天体自转影响，则有mg＝G，整理可得GM＝gR2.在引力常量G和中心天体质量M未知时，可

R2

用gR2替换GM.

3．人造卫星

卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨

道．

(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．

(2)同步卫星

①轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同．

②周期与地球自转周期相等，T＝h.

③高度固定不变，h＝m.

④运行速率约为v＝3.1km/s.

(3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9

km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，T＝min(人造地球卫星的最小周期)．

注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星．

三、同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较

如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物

体，轨道半径为r3.

近地卫星同步卫星

赤道上随地球自转的

比较项目(r1、ω1、(r2、ω2、

物体(r3、ω3、v3、a3)

v1、a1)v2、a2)

向心力来源万有引力万有引力万有引力的一个分力

轨道半径r2>r1＝r3

角速度ω1>ω2＝ω3

线速度v1>v2>v3

向心加速度a1>a2>a3

四、天体“追及”问题的处理方法

1．相距最近：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近．从相

tt

距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t＝2π或－＝1.

TATB

2．相距最远：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远．从相

t′t′1

距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t′＝π或－＝.

TATB2

五、开普勒行星运动定律

定律内容图示或公式

所有行星绕太阳运动的轨道

开普勒第一定律(轨道定律)都是椭圆，太阳处在椭圆的一

个焦点上

对任意一个行星来说，它与太

开普勒第二定律(面积定律)阳的连线在的时间内

扫过的面积相等

所有行星轨道的半长轴的三a3

＝k，k是一个与行星

2

开普勒第三定律(周期定律)次方跟它的公转周期的二次T

方的比都相等无关的常量

1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．

1111v1r2

2.由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度大小之

2222v2r1

比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．

a3

3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用

T2

在中心天体的两星体之间．

六、宇宙速度

第一宇宙速度v1＝7.9km/s，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的最大环

(环绕速度)绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度

第二宇宙速度

v2＝km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度

(逃逸速度)

第三宇宙速度v3＝km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度

第一宇宙速度的推导

2－1124

m地mvGm地6.67×10×5.98×10

方法一：由G＝m，得v＝＝m/s≈7.9×103m/s.

R2RR6.4×106

v2

方法二：由mg＝m得

R

v＝gR＝9.8×6.4×106m/s≈7.9×103m/s.

第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin

R6.4×106

＝2π＝2πs≈5075s≈85min.正是近地卫星的周期．

g9.8

七、卫星的变轨和对接问题

变轨过程分析

(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、

vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.

(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速

度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．

(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，

r3

由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3.

T2

(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、

E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则E1<E2<E3.

八、双星或多星模型

1．双星模型

(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．

(2)特点

Gm1m22Gm1m22

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω1r1，＝m2ω2r2.

L2L2

②两星的周期、角速度，即T1＝T2，ω1＝ω2.

③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.

m1r2

④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成，即＝.

m2r1

⑤双星的运动周期T＝.

4π2L3

⑥双星的总质量m1＋m2＝.

T2G

2．多星模型

所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．常

见的多星及规律：

Gm2GMm

①＋＝ma向

2R2R2

常见的三星模型

Gm2

②×cos30°×2＝ma向

L2

Gm2Gm2

①×cos45°×2＋＝ma向

L22L2

常见的四星模型

GmM

Gm2

②×cos30°×2＋L＝ma向

L2

32

九、星球“瓦解”问题黑洞

1．星球的瓦解问题

当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进

GMm

一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝mω2R，得

R2

GMGMGM

ω＝.当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行．

R3R3R3

2．黑洞

黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的

运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的2倍)超过光速时，该天体就是黑

洞．

题型01匀速圆周运动

典｜例｜精｜析

典例1（2025年山东卷第10题）（多选）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水

平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕

O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无

初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆

周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落

地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（）

A.rad/s

max3

2

Brad/s

.max3

C.无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地

D.无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地

典例2（2025·北京市海淀区·三模）转动被淋湿的雨伞，雨水会被甩落到地面。某同学观察到，在雨伞

加速转动过程中水滴被甩落，他猜想雨伞转速增加的快慢不同，水滴落点的远近也会不同。为了验证猜想，

他设计了一个实验。

如图所示，半径为R的水平圆盘在电机带动下可绕中心轴转动，且通过控制电机调整圆盘转速，转速可以

缓慢增大，也可以迅速增大。圆盘静止时，在其边缘处放一质量为m的小物体。已知小物体与圆盘间动摩

擦因数为μ，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

（1）圆盘初始静止，控制电机，让圆盘的转速缓慢增大。当转速增大到某一值时，小物体被甩出。求：

a．小物体被甩出时圆盘角速度的大小ω0；

b．小物体被甩出前，加速过程中摩擦力对小物体做的功W。

（2）通过研究小物体被甩出后落到水平地面的情况，可以模拟水滴从雨伞边缘甩落的情况。设在圆盘转速

缓慢增大的情况下，小物体被甩出后的落点到中心轴的距离为L1；在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体

被甩出后的落点到中心轴的距离为L2。

a．在图中，画出在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体所受摩擦力f的示意图；

b．写出在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体被甩出瞬间所受摩擦力f与瞬时速度v的关系式，并由此比

较L1和L2的大小关系。（注意：解答中需要用到、但题目中没有给出的物理量，要在解题过程中做必要的

说明）

方｜法｜提｜练

碰到传动装置，要搞清楚是哪一种模型，角速度相同，还是线速度大小相等。

匀速圆周运动的周期性会导致多解。

画受力图时，不要考虑向心力；处理受力图时，才思考哪些力提供向心力？

匀速圆周运动中二力不共线时，可以直接合成二力，也可以正交分解。

匀速圆周运动中二力以上不共线时，一般采用正交分解的方法。

正交分解时，必须沿半径和垂直于半径选轴，匀速圆周运动垂直于半径方向上受力平衡，沿半径方向上，

合力提供向心力。

变｜式｜巩｜固

变式1（2025·陕西省渭南市·二模）（多选）如图所示，半径为R的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速

匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直

线上且相距为h，则下列说法正确的是（）

gg

A.子弹在圆筒中的水平速度为v2RB.子弹在圆筒中的水平速度为vR

02h02h

gg

C.圆筒转动的角速度可能为5D.圆筒转动的角速度可能为4

2h2h

变式2（2025·安徽省“皖南八校”·三模）奥运会女子艺术体操的球操比赛中，运动员手持橡胶球翩翩

起舞的过程中，有时会手持球在竖直平面内做圆周运动，这一过程可近似看做半径为L的匀速圆周运动，

运动过程中球所受的空气阻力大小恒为f，且f小于球的重力，方向与运动方向相反，当地重力加速度为g，

则下列分析正确的是（）

A.转到圆心正上方时的最小速度一定是gL

B.转动过程中经过最高点和最低点时，手对球的作用力大小相等

C.转动一周的过程中两次经过圆心等高点时，手对球的作用力大小相等

D.转动一周的过程中人对球做功为2πLf

变式3（2023年福建卷第15题）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴OO

上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相

连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知

细杆长度L0.2m，杆与竖直转轴的夹角a始终为60，弹簧原长x00.1m，弹簧劲度系数k100N/m，

圆环质量m1kg；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10m/s2，摩擦力可忽略不计

（1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离；

（2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；

（3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。

题型02变速圆周运动

典｜例｜精｜析

典例1（2023年湖北卷第14题）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其

半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道CDE在同一

竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，

从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道CDE内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块

1

与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求：

2π

（1）小物块到达D点的速度大小；

（2）B和D两点的高度差；

（3）小物块在A点的初速度大小。

典例2（2024年山东卷第17题）如图甲所示，质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上

表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的最高点。质量为m的小物块

静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形

部分的半径R=0.4m，重力加速度大小g=10m/s2.

（1）若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物块

在Q点的速度大小v；

（2）若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a与F对应

关系如图乙所示。

（i）求μ和m；

（ii）初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力F=8N，当小物块到P点时撤去F，

小物块从Q点离开轨道时相对地的速度大小为7m/s。求轨道水平部分的长度L。

方｜法｜提｜练

画受力图时，不要考虑向心力；处理受力图时，才思考哪些力提供向心力？

变速圆周运动的一般位置处，合力不等于向心力。正交分解时，必须沿半径和垂直于半径选轴，垂直于

半径方向上受力不平衡，合力用来改变速度的大小。沿半径方向上，合力提供向心力，用来改变速度的

方向。

注意区分绳模型与杆模型。

变｜式｜巩｜固

变式1（2025·山西、陕西、宁夏、青海四省区·二模）如图所示，内壁光滑、半径为R的半圆轨道AB固定

在竖直面内，AB是竖直直径，光滑的斜面CB与半圆轨道在B点平滑连接。现让质量为m的小球（视为质

点）从斜面上的C点由静止释放，小球经过B点进入半圆轨道，到达A点时轨道对小球的压力等于小球重

力的一半，离开A点后小球落到斜面上的D点时速度正好与斜面垂直，E点是斜面上与A点等高的点，重

力加速度大小为g，不计小球经过转折点B时的机械能损失，求：

（1）C、B两点的高度差h；

（2）斜面CB倾角的正切值tan以及小球从A点运动到D点的时间；

（3）小球在E点时重力的瞬时功率P。

变式2（2025·甘肃省白银市第一中学·二模）（多选）如图所示，在倾角30的光滑固定斜面上固定

有一可绕转轴O在斜面内自由转动的轻杆，杆的两端分别连接着质量为m130g的小球P和质量为

g2

m260g的小球Q，OP的长度r10.20m，OQ的长度r20.10m，重力加速度取10m/s。现给小球

P一个垂直于OP且与斜面平行的初速度v02.0m/s，规定转轴O点为零势能点，则此后（）

A.系统机械能不变恒为0.09J

B.当轻杆转至水平位置时，轻杆对球P弹力的大小为0.6N

C.当球Q转至最低点时，轻杆对转轴O的弹力为零

D.当球Q转至最低点时，轻杆对转轴O的弹力大小为0.45N

变式3（2023年6月浙江卷第18题）为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道

AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为R0.4m的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF

与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为3m的滑块b与质量为2m的滑块c用劲度系

数k100N/m的轻质弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量m0.12kg的滑块a以初速度

从处进入，经管道后，与上的滑块碰撞（时间极短）。已知传送带长，

v0221m/sDDEFFGbL0.8m

以v2m/s的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数0.5，其它摩擦和阻力均不计，各滑

1

块均可视为质点，弹簧的弹性势能Ekx2（x为形变量）。

p2

（1）求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小vF和所受支持力大小FN；

（2）若滑块a碰后返回到B点时速度vB1m/s，求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能E；

（3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差x。

题型03重力与万有引力的关系

典｜例｜精｜析

典例1（2025年河北卷第7题）随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器。

从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均

匀的球体，半径为R0，表面重力加速度为g0。质量为m的飞行器与星球中心距离为r时，引力势能为

211

mg0R0rR0。要使飞行器在距星球表面高度为R0的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为

R0r

（）

3g0R0

A.g0R0B.C.2g0R0D.3g0R0

2

典例2（2025·福建省泉州市·一模）月球绕地球公转的同时也在自转，月球的自转周期恰好与公转周期

相同，使得月球始终以同一面朝向地球，这种现象称为“同步自转”。月球公转近似看成半径为r的圆周

运动。已知月球半径为R0，地球半径为R，地球极地处的重力加速度大小为g。月球表面各处的重力加速度

因自转而不同，其极地与赤道处的重力加速度大小之差为（）

gRR2gRR2gR2rgRr2

A.0B.0C.D.

3333

rrR0R0

方｜法｜提｜练

碰到重力与万有引力的关系问题，首先看是否考虑星球自转的影响。

若考虑星球自转的影响，则只考查两极与赤道处。

大部分题目不考虑星球自转的影响。

变｜式｜巩｜固

变式1（2025·吉林省长春市·二模）中国空间站在距地面高度约400km的轨道上做匀速圆周运动，该轨

道远在距地面100km的卡门线（外太空与地球大气层的分界线）之上，但轨道处依然存在相对地心静止的

稀薄气体，气体与空间站前端碰后瞬间可视为二者共速。空间站安装有发动机，能够实时修正轨道。已知

中国空间站离地面高度为h，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，将空间站视为如图所示的圆柱体，

其运行方向上的横截面积为S，稀薄气体密度为，不考虑其他因素对空间站的影响，则（）

A.考虑到气体阻力，若空间站没有进行轨道修正，其高度降低，动能减小

gR2

B.空间站的速度大小为

h

SgR2

C.气体对空间站前端作用力大小为

hR

2

23

空间站发动机的功率为gR

D.S

hR

变式2（2025·湖北省·一模）2024年9月19日，我国成功发射第59颗、第60颗北斗导航卫星，为下一

代定位、导航、授时体系的新技术探路。北斗系统在工作时必须考虑大气层、电离层、对流层对信号的折

射和延迟引起的误差。若有一个半径为R的星球，其大气层的厚度为(21)R，一颗卫星围绕星球做半径

为2R的匀速圆周运动，如图所示。已知该星球表面重力加速度为g（忽略星球自转以及大气质量的影响）。

（1）求该卫星运行的速率；

（2）若从星球表面某点（与卫星轨道平面共面）向空中各个方向发出光信号，已知星球表面大气对该光信

号的折射率为n2，求光信号能到达的卫星轨道弧长。

变式3（2025·湖南省永州市·二模）人类设想在赤道平面内建造垂直于地面并延伸到太空的电梯，又称“太

空电梯”如图甲所示。图乙中，图线A表示地球引力对航天员产生的加速度大小与航天员距地心的距离r

的关系，图线B表示航天员相对地面静止时而产生的向心加速度大小与r的关系。图乙中R=6400km（地球

半径），r0为地球同步轨道高度约36000km，地球自转的周期为T，引力常量为G，地球表面重力加速度为

g。下列说法正确的有（）

A.太空电梯停在r0处时，航天员对电梯舱的弹力为mg

B.随着r的增大，航天员对电梯舱的弹力逐渐减小

g

C.太空电梯在地球同步轨道高度处的向心加速度约为

3

42r3

D.地球的质量为0

GT2

题型04有中心天体的匀速圆周运动

典｜例｜精｜析

典例1（2025·云南省怒江州民族中学·二模）a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆

周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球的静止卫

星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（）

A.b卫星的发射速度小于7.9km/s

B.a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aaabac

C.a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为TaTcTb

D.在a、b、c中，b的线速度最大

典例2（2025·辽宁省朝阳市建平县实验中学·三模）2024年3月20日8时31分，鹊桥二号中继星在我

国文昌航天发射场成功发射升空，经过112小时的奔月飞行，鹊桥二号中继星经过近月制动，顺利进入近

月200km，远月16000km的环月大椭圆轨道飞行。如图所示，轨道Ⅱ为环月大椭圆轨道，已知近月点到月

球中心的距离为r1，远月点到月球中心的距离为r2，中继星在轨道Ⅱ上的环绕周期为T，轨道Ⅰ为近月轨道，

月球半径为R，引力常量为G，由以上信息可求出（）

42R32(rr)3

A.月球的质量为B.月球表面的重力加速度为12

GT22R2T2

223

月球的第一宇宙速度为(r1r2)月球密度为

C.D.2

2T2GT

方｜法｜提｜练

此类问题也遵循开普勒第三定律。

对于估算问题，可以记住一些有用的结论。

碰到对比问题，要区分地面上的物体与卫星。

可以适当画示意图，以帮助理解。

变｜式｜巩｜固

变式1（2025·广东省揭阳市·一模）（多选）极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极（轨道可视为

圆轨道）。若某极地卫星从南极的正上方开始到第二次运行至北极正上方，所用时间为t，已知地球半径为

R（地球可看做球体），地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，由以上可知下列选项错误的是（）

34R

A.卫星运行的角速度为B.卫星运行的线速度为

tt

gRR2gt2

C.地球的质量为D.卫星距地面的高度3R

G2

变式2（2025·湖南省长沙市周南中学·二模）如图所示，平行的太阳光直射地球的赤道，地球自西向东

的自转周期T=24h，某日，天刚黑时，位于地球赤道上N点的人用天文望远镜恰好能看到一地球静止轨道

卫星M。已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R。下列说法正确的是（）

gR2T2

A.卫星M离地面的高度为3

4π2

42R

B.卫星M和N点的人的向心加速度之比为:g

T2

C.天黑之后，N点的人一整晚都能看到卫星M

D.天黑之后，N点的人将有一段时间观测不到卫星M

变式3（2025·山东省烟台市·三模）2025年2月27日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火

箭再一次发射一箭双星，成功将四维高景一号03、04星发射升空．设卫星进入预定轨道后在同一平面内沿

同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离r随时间变化的关系如图所示，不考虑“03星”、“04星”

之间的万有引力，已知“03星”的线速度小于“04星”的线速度，下列说法正确的是（）

A.“04星”的周期等于7T