八年级数学上册苏科版 第1章《三角形》 判定两个三角形全等的常用思路 复习题（含答案）

第1章《三角形》复习题--判定两个三角形全等的常用思路【题型1已知两边找第三边SSS】1.如图，在△ABC中，D为边BC上一点，E为边BA上一点，且AE=CD，连接AD，F为AD的中点．连接EF并延长，交AC于点G，在FG上截取点H，使FH=FE，连接GD，若HG=CG．(1)求证：△AEF≌△DHF；(2)求证：∠B=2∠GDC．2.如图，点D在△ABC内部，AB=AC，∠CBD=∠BCD．求证：△ABD≌△ACD．

3.如图，四边形ABCD中，AB=CD，AE=CF，BF=DE，(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)求证：∠DAE=∠BCF；4.如图，在五边形ABCDE中，∠EAB=∠BCD=90°，AB=BC，AE+CD=DE，将△ABE绕点B顺时针旋转后得到△CBM．(1)求证：D、C、M三点在同一条直线上；(2)求证：△EBD≌△MBD．【题型2已知两边找夹角SAS】1.如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，(1)求证：△ABC≌△AED．(2)求证：∠BCD=∠EDC．2.如图，△ABC是等边三角形，D是BC上的点，点E在△ABC外，且CE∥AB，CE=BD．求证：3.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD，连接CE，BD．试说明：△AEC≌△ADB．4.综合与探究如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，连接AD，BE．(1)求证：△ACD≌△BCE．(2)如图2，将绕点C顺时针旋转至B，E，D三点共线，F为BC的中点，连接AE，EF．①∠ADE的度数为________．②试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．【题型3已知一角与邻边找这边的另一个邻角ASA】1.如图，在AB,AC上各取一点E，D，使AE=AD，连接BD，CE相交于点O，连接AO，∠1=∠2．求证：(1)△AOE≌△AOD(2)∠B=∠C．2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，且∠A=∠BEC，AD=BE．求证：△ABD≌△ECB．3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是CD上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接AE并延长，与BC的延长线交于点F．证明：点A与点F关于点E成中心对称．4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB，AC=4，∠EDF=60°，∠EDF的两边分别交AB，AC于点E，F，AF=1．(1)求证：△ABD是等边三角形．(2)求AE的长．【题型4已知一角与邻边找这个角的另一个邻边SAS】1.如图，在△ABC中，AB=CB，点D是边AC上一点，点E为△ABC外的任意一点，连接BD,BE,DE，其中BE=BC，∠ABD=∠EBD．(1)求证：△ABD≌△EBD；(2)若∠CAB=∠DBA，BE=6，AC=10，求△BDC的周长．2.如图，在菱形ABCD中，E, F分别是边AB, 求证：AF=CE．3.如图，点A，F，C，D在同一条直线上，AF=DC，AB=DE，∠A=∠D．求证：△ABC≌△DEF．

4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在CA和AC的延长线上，且AE=CF，连接DE，BF．求证：DE=BF．【题型5已知一角与邻边找这边的对角AAS】1.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且(1)求证：△ACE≌△BDF；(2)若AB=16，AC=4，求CD的长．2.如图，∠BAD=∠EAC，∠B=∠3.如图，∠A=∠B，点D在AC边上，AE和BD相交于点O．(1)若∠2=36°，则∠AEB=_____°；(2)若∠1=∠2,AE=BE，求证：△AEC≌△BED．4.如图，点E、F在长方形ABCD的边AD上，连接BE、CF，BE与CF的延长线交于点P，PE=PF．求证：AE=DF．【题型6已知一角与对边找一角AAS】1.如图，AD∥BC，2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，DE垂直平分AB交BC于点D，AB于点E，求证：△ACD≌△AED．3.如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，∠ACD=∠CEB．4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：(1)△ADC≌△CEB；(2)DE=AD+BE．【题型7已知两角找夹边ASA】1.在△ABC中，AC=2AB，点D为直线BC上一点，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接DE交AC于F．∠BAC=90°，F为AC中点，求证：EF=BD

2.如图所示，点D，A，C在同一直线上，AB∥CE，CD=AD+CE，∠ACB=∠E，试说明△ABC≌△CDE．3.已知：如图，点E，F在线段BC上，∠A=∠D，∠B=∠C，BE=CF，AF与DE交于点M．求证：△ABF≅△DCE．4.如图，在7×7的网格中，点A，B，C在格点上，AC=BC，∠A=45°，∠ACB=∠ACD=90°，CM平分∠ACD，点N是线段AC的中点，过点N作EF⊥AC分别交AB，CM于点E，F．求证：【题型8已知直角与邻边找对边HL】1.如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．求证：2.如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC，求证：AC=DF．3.如图，在△ABC中，D为BC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，已知BE=CF，∠CDF=30°，求证：△ABC是等边三角形．4.已知：如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB,DF⊥AC，点E、F为垂足，且DE=DF，∠A=120°．(1)求证；△BDE≌(2)求证：△DEF是等边三角形．【题型9已知直角与对边找对边HL】1.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，OB=OC．求证：∠1=∠2．2.如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．(1)求证：AD垂直平分EF；(2)若AB+AC=10,S△ABC=15,∠EAF=60°4.如图．在△ABC中，AD⊥BC于D，EC⊥BC于C，且AB=BE=AC，CD=CE．求证：Rt△ABD≌【题型10已知两边找直角HL】1.如图，在四边形ABEC中，CE⊥BE，连接BC，点D为AC的中点，连接BD，BE=CD,∠A=∠ACB，求证：△ADB≌△BEC．2.如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与DB交于点M．求证：MB=MC．3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，在AB上取一点D，使得BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接CD、BE，相交于点F．(1)求证：DF=CF；(2)若点D为AB中点，试判断△CDB的形状，并说明理由．4.已知点E为长方形ABCD边BC的中点，连接AE，将长方形沿AE折叠，点B的对应点为点F，连接AF并延长，交直线CD于点G．(1)如图1，点F落在长方形ABCD内部时，试判断线段AG，AB，CG之间的数量关系，直接写出结论________________；(2)如图2，点F落在长方形ABCD外部时，请用尺规作出图形（不写作法，保留作图痕迹），（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；参考答案【题型1已知两边找第三边SSS】1.（1）∵点F是AD的中点，∴AF=DF，在△AEF和△DHF中，AF=DF∠AFE=∠DFH∴△AEF≌△DHF(SAS（2）∵△AEF≌△DHF，∴AE=DH，∴AB∥DH，∴∠B=∠HDC，∵AE=CD，∴DH=CD．在△HGD和△CGD中，DH=CDHG=CG∴△HGD≌△CGD(SSS∴∠HDG=∠CDG，∴∠HDC=2∠GDC，∴∠B=2∠GDC．2.证明：∵∠CBD=∠BCD，∴BD=CD，在△ABD与△ACD中，AB=ACBD=CD∴△ABD≌△ACDSSS3.（1）证明：∵BF=DE，∴BF−EF=DE−EF，即BE=DF，在△ABE和△CDF中，AB=CD∴△ABE≌△CDF（2）证明：由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF，在△ABD和△CDB中，AB=CD∴△ABD≌△CDB(SAS∴∠BAD=∠DCB，∴∠BAD−∠BAE=∠DCB−∠DCF，即∠DAE=∠BCF．4.（1）证明：由旋转可得△ABE≌△CBM，∴∠BAE=∠BCM=90°，∵∠BCD=90°，∴∠BCM+∠BCD=180°，∴D、C、M三点在一条直线上；（2）证明：由旋转可得△ABE≌△CBM，∴BM=BE，AE=CM，∵AE+CD=DE，∴CM+CD=DE，即DM=DE，在△EBD和△MBD中，BE=BMBD=BD∴△EBD≌△MBDSSS【题型2已知两边找夹角SAS】1.（1）证明：∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD−∠CAD=∠EAC−∠CAD．∴∠BAC=∠EAD．在△ABC与△AED中，AB=AE,∴△ABC≌△AEDSAS（2）解：△ABC≌△AED，∴∠ACB=∠ADE．∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC．∴∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC，∴∠BCD=∠EDC．2.证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠CAB=60°，∵CE∥AB，∴∠ACE=∠CAB=60°，∴∠B=∠ACE=60°在△ABD和△ACE中，AB=AC∴△ABD≌△ACESAS3.解：因为∠CAB=∠EAD，所以∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，所以∠CAE=∠BAD．在△AEC和△ADB中，AC=AB∠CAE=∠BAD所以△AEC≌△ADBSAS4.（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°，∵∠ACD=∠DCE−∠ECA，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC=BC∴△ACD≌△BCESAS（2）解：①与（1）同理得，△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵∠CED=∠EDC=60°，∴∠BEC=120°，∴∠ADC=120°，∴∠ADE=120°−60°=60°，故答案为：60°；②AE=2EF，理由：如图，延长EF至点G，使得FE=FG．∵F为BC的中点，∴BF=CF，在△BEF与△CGF中，BF=CF∴△BEF≌△CGFSAS∴BE=CG，∠EBF=∠GCF，∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE=∠DEC=60°，ED=EC．∵∠EBF+∠ECF=∠DEC=60°，∴∠GCF+∠ECF=∠ECG=60°．由（1），得△ACD≌△BCE，∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，∴∠ADE=∠ADC−∠CDE=60°，∴∠ECG=∠ADE．在△ADE与△GCE中，AD=CG∴△ADE≌△GCESAS∴AE=GE，∵FE=FG，∴AE=2EF．【题型3已知一角与邻边找这边的另一个邻角ASA】1.（1）证明：∵AE=AD∠1=∠2∴△AOE≌△AODSAS（2）证明：∵△AOE≌△AODSAS∴∠AOE=∠AOD，∵∠BOE=∠COD，∴∠AOE+∠BOE=∠AOD+∠COD，∴∠AOB=∠AOC，∵∠1=∠2AO=AO∴△AOB≌△AOCASA∴∠B=∠C．2.证明：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∴∠ADB=∠EBC，在△ADB和△EBC中，∠A=∠BECAD=BE∴△ABD≌△ECB(ASA)．3.证明：∵点D与点C关于点E中心对称，∴E是线段CD的中点，即DE=EC，∵AD∥∴∠D=∠DCF，在△ADE与△FCE中，∠D=∠ECFDE=CE∴△ADE≌△FCE(ASA∴AE=FE，AD=CF，∴点A与点F关于点E成中心对称．4.（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC=1∵∠BAC=120°，∴∠BAD=∠DAC=1又∵AD=AB，∴△ABD是等边三角形．（2）证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD．∵∠EDF=60°，∴∠ADB=∠EDF．∴∠ADB−∠ADE=∠EDF−∠ADE，∴∠BDE=∠ADF．在△BDE与△ADF中，∠DBE=∠DAF=60°BD=AD∴△BDE≌∴BE=AF，又∵AF=1，∴BE=1，∵AC=4，AB=AC，∴AE=AB−BE=AC−BE=3．【题型4已知一角与邻边找这个角的另一个邻边SAS】1.（1）证明：∵AB=CB，BE=BC，∴BE=AB，又∵∠ABD=∠EBD，BD=BD，∴△ABD≌△EBDSAS（2）解：∵∠CAB=∠DBA，∴DA=DB，∵BE=6，∴BE=AB=CB=6，∵AC=10，∴△BDC的周长为CD+BD+BC=CD+AD+BC=AC+BC=16．2.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵AE=CF，∴AB−AE=BC−CF，即BE=BF，在△ABF和△CBE中，BF=BE∠B=∠B∴△ABF≌△CBESAS∴AF=CE．3.解：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，则AC=DF，∵AB=DE，∠A=∠D，∴△ABC≌△DEFSAS4.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC∵AE=CF∴OA+AE=OC+CF即OE=OF在△DOE和△BOF中，OE=OF∴△DOE≌△BOF∴DE=BF【题型5已知一角与邻边找这边的对角AAS】1.（1）证明：∵∠ACE+∠DCE=180°，∠BDF+∠CDF=180°，且∠DCE=∠CDF，∴∠ACE=∠BDF，在△ACE和△BDF中，∠A=∠B∠ACE=∠BDF∴△ACE≌△BDFAAS（2）解：∵△ACE≌△BDF，∴AC=BD=4，∵AB=16，∴CD=AB−AC−BD=16−4−4=8，∴CD的长为8．2.证明：∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，∴∠BAC=∠EAD．在△BAC与△EAD中，∵∠BAC=∠EAD∴△BAC≌△EADAAS3.（1）解：∵∠A+∠2+∠AOD=∠B+∠AEB+∠BOE=180°，∠A=∠B，∠AOD=∠BOE，∴∠AEB=∠2=36°；（2）证明：∵∠ADE=∠1+∠C，即∠2+∠BDE=∠1+∠C，而∠2=∠1，∴∠C=∠BDE，在△AEC和△BED中，∠C=∠BDE∠A=∠B∴△AEC≌△BEDAAS4.证明：∵四边形ABCD是长方形，∴∠A=∠D=90°，AB=CD，

∵PE=PF，∴∠PEF=∠PFE，∵∠PEF=∠BEA，∠PFE=∠CFD，∴∠BEA=∠CFD．

在△ABE和△DCF中，∠BEA=∠CFD∠A=∠D∴△ABE≌△DCFAAS，∴AE=DF．【题型6已知一角与对边找一角AAS】1.证明：∵∠ADC=∠ACD，∴AD=AC，∵AD∥∴∠DAB+∠ABC=180°，即∠DAE+∠BAC+∠AED=180°，∵∠DAE+∠AED+∠ADE=180°，∴∠BAC=∠ADE，在△ABC与△DEA中，∠ADE=∠BAC∠AED=∠ABC∴△ABC≌2.证明：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵DE垂直平分AB交BC于点D，∴AD=BD，∠AED=90°，∴∠DAE=∠B=30°，∴∠CAD=∠DAE=30°，在△ACD和△AED中，∠ACD=∠AED∠CAD=∠EAD∴△ACD≌△AEDAAS3.解：△ADC≌△BCE，理由如下，∵AD∥∴∠A=∠B．在△ACD和△BEC中，∠A=∠BAC=BE∴△ADC≌△BCE(ASA4.（1）解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠BEC=∠CDA=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEBAAS（2）解：∵△ADC≌△CEB，∴AD=CE、CD=BE，∴DE=CE+CD=AD+BE．【题型7已知两角找夹边ASA】1.解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠FAE，∵AC=2AB，∴AB=AF，在△ABD和△AFE中，AB=AF∠BAD=∠FAE∴△ABD≌△AFESAS∴EF=BD.2.解：因为AB∥CE，所以∠BAC=∠DCE．因为CD=AD+CE=AD+AC，所以AC=CE．在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠EAC=CE所以△ABC≌△CDEASA3.证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即：BF=CE．∵∠A=∠D，∠B=∠C，∴△ABF≅△DCEAAS4.证明：∵∠ACD=90°，∠A=45°，CM平分∴∠NCF=45°=∠A，∵点N是AC中点，∴CN=AN．∵∠CNF=∠ANE，∴△CNF≌∴FN=EN．【题型8已知直角与邻边找对边HL】1.证明：∵∠1=∠2，∴DE=EC，∵∠A=∠B=90°，∴在Rt△ADE和RtDE=ECAE=BC∴Rt△ADE≌∴AD=BE．2.证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF．∵∠A=∠D=90°，∴△ABC和△DEF是直角三角形．在Rt△ABC和RtBC=EFAB=DE∴Rt△ABC≌∴AC=DF．3.证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BED和△CFD都是直角三角形，在Rt△BED和RtBD=CDBE=CF∴Rt△BED≌∴∠B=∠C，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°，∵∠CDF=30°，∴∠C=60∴△ABC是等边三角形．4.（1）证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，∵D是BC边的中点，∴BD=CD，∵DE=DF，∴Rt△BDE（2）由（1）知：△BDE≌∴∠B=∠C，∵∠A=120°，∴∠B=∠C=1∴∠BDE=90°−∠B=60°,∠FDC=90°−∠C=60°，∴∠FDF=180°−∠BDE−∠CDF=60°，∵DE=DF，∴△DEF是等边三角形．【题型9已知直角与对边找对边HL】1.证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO．在△BOD和△COE中，∠BDO=∠CEO∠DOB=∠EOC∴△BOD≌△COE(AAS∴OD=OE；在Rt△AOD和OA=OAOD=OE∴Rt∴∠1=∠2．2.证明：∵AD与A′D′分别为BC∴CB=2CD，C′∵CD=C∴CB=C在Rt△ABC和RtAB=A∴Rt3.（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△AED和RtAD=ADDE=DF∴Rt△AED≌∴AE=AF，而DE=DF，∴AD垂直平分EF．（2）解：∵DE=DF，∴S△ABC∵AB+AC=10，∴12∴DE=3，∵∠EAF=60°，∴∠DAF=∠EAD=30°，∴AD=2DE=6