八年级数学上册苏科版 第一章《三角形》全等三角形的九大模型及两大构造方法 复习题（含答案）

第一章《三角形》复习题--全等三角形的九大模型及两大构造方法【模型1平移模型】1.（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，AE=CF，AD∥CB，AD=CB，求证：△ADF≌△CBE．（2）若将图1中的△BEC沿CA方向平移得到图2、图3，其他条件不变，△ADF≌△CBE还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）

2.将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′．（1）在图2中，除△ADC与△C′BA′全等外，请写出其他2组全等三角形；①；②；（2）请选择（1）中的一组全等三角形加以证明．3.如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，连接BD交AC于点F．(1)求证：△AFB≌△CFD；(2)若AB=9，BC=7，求BF的取值范围．4.如图，△ABC是等边三角形，边长为6厘米，将△ABC沿直线BC向右平移4.5厘米到△DEF的位置．（1）求∠ADF的度数；（2）求四边形ABFD的周长．【模型2翻折(轴对称)模型】1.如图，△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，将△ABC沿着DF翻折，使顶点B的对应点E刚好落在边AC上，AG平分∠BAC交DE于点G，连接FG．若CE=AG，则∠EFG=．2.如图，△ABC中，AF⊥BC于点F，将AF沿AC翻折至AE，连接EC并延长，在射线EC上取点D，使得∠BAD=∠EAF，若CD=8,CE=3,AE=7，求△ABC的面积．3.如图，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，AD=2，BC=5，M为CD的中点．将△ADM沿AM翻折，点D恰好落在AB上的点N处．求AB的长．4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC．

(1)如图1，点D,E在BC边上，∠DAE=45°，判断线段BD,DE,EC组成的三角形的形状：小明同学的探究思路是，利用轴对称的知识，把分散的条件进行转移，进而解决问题．他将△ABD沿直线AD翻折，得到△ADF，连接EF，利用三角形全等把线段EC进行转移，如图2所示，从而解决了问题．直接写出线段BD,DE,EC组成的三角形的形状；(2)如图3，点D,E在直线BC上，∠DAE=135°，判断线段BD,DE,EC组成的三角形的形状，并证明．【模型3手拉手模型】1.如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，连接EC，若存在实数k，使得kBC+ECDC为定值a，则k和a分别是（

A．k=12，a=1 B．k=13，a=1 C．k=1，a=32.两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的△ABC和△AED，其中∠BAC=∠EAD=90°，点B、C、E依次在同一条直线上，连结CD．若BC=4，CE=2，则△DCE的面积是．3.如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．(1)求证：AD=BE；(2)求∠AEB的度数；(3)如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM⊥DE于点M，连接BE．试判断线段DM，4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D为三角形内部一点且∠BDC=140°，点E为BC中点，连接AD，DE，作∠FDC=∠EDC，且DF=2DE，当∠ADB=时，△DFC为直角三角形．【模型4半角模型】1.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，则△ABD与△AEC的面积之和为（A．36 B．21 C．30 D．222.如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，求证：EF＝BE﹣3.【问题情境】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45°，AE，AF与BC，CD边分别交于E，F两点，易证得EF=BE+FD．证明思路：如图2，将延长CB至点H，使BH=DF，连接AH，可证△ADF≌△ABH，再证△AEF≌△AEH，故EF=BE+DF．【知识应用】（1）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，以A为顶点的∠EAF=60°，AE，AF与BC，CD边分别交于E，F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF=BE+DF是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．．【拓展提升】（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，点E为CD中点且AE平分∠DAM，如图4，试判断AM，AD和MC之间的数量关系并给出证明．4.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以点D为顶点作∠MDN=60°，点M、N分别在AB、AC上．（1）如图①，当MN//BC时，则（2）如图②，求证：BM+NC=MN．【模型5一线三等角模型】1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为射线BC上一点（不与点B，C重合），连接AD并延长到点E，使得DE=AD，连接BE，过点B作BE的垂线交直线AC于点F．(1)如图1，点D在线段CB上，且DB<CD．①请补全图形；②判断CD，DB，CF之间的数量关系，并证明．(2)如图2，若点D在线段BC的延长线上，请画出图形，直接写出CD，DB，CF之间的数量关系．2.如图，在△ABC中，AB=AC，AB>BC，点D在边BC上，CD=2BD，点E，F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC，若△BDE的面积为2，3.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．

(1)当∠BDA=115°时，∠EDC=°，∠DEC=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；(2)当DC等于多少时，△ABD≌(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．4.如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线l，AM⊥l于点M，(1)试说明：MN=(2)如图②，将（1）中条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB=α（90°<α<180°），AC=BC，请问（1）中的结论DE=AD＋(3)如图③，在△ABC中，点D为AB上一点，DE=DF，∠A=∠EDF=∠B，AE=3，BF=5，请直接写出AB的长．【模型6雨伞模型】1.如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断△BEG的形状，并说明理由．2.如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF=2CD．3.求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：(1)根据给出的线段AB及∠B，以线段AB为直角边，在给出的图形上用尺规作出Rt△ABC的斜边AC，使得∠A=30°(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．4.如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证∶BE=1（1）观察分析∶延长BE，CA，交于点F．可证明△≌△，依据是；从而得到；再证BE=FE=1（2）类比探究∶如图②，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在线段BC上，∠BDE=12∠C,BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．试探究BE【模型7角平分线模型】1.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，BD交AC于点D，CE交AB于点E，若已知△ABC周长为20，BC=7，AE:AD=4:3，则AE长为（

）A．187 B．247 C．262.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，当S△ABC=12，AC=8时，BM+MN的最小值等于

3.已知：AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC(1)如图1，求证：AB=AC；(2)如图2，∠ABC=30°，点E在AD上，连接CE并延长交AB于点F，BG交CA的延长线于点G，且∠ABG=∠ACF，连接FG．①求证：∠AFG=∠AFC；②若S△ABG：S△ACF=2:34.阅读与思考下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．例：如图1，D是△ABC内一点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，连接BD，若△ABD的面积为10，求△ABC的面积．

该问题的解答过程如下：解：如图2，过点B作BH⊥CD交CD延长线于点H，CH、AB交于点E，

∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC．∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ADE=90°．在△ADE和△ADC中，∠DAE=∠DACAD=AD∴△ADE≌△ADC（依据1）∴ED=CD（依据2），S△ADE∵S△BDE=……任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；应用：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠CBA交AC于点D，过点C作CE⊥BD交BD延长线于点E．若CE=6，求BD的长．

【模型8平行线中点模型】1.如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，BE为∠CBD的角平分线，且AD=DE，AO是△ABC的中线，延长AO到点F，使得BF∥AC，连接EF，EF交BC于点G，AF交BE于点H，交BD于点(1)试说明：BF=CD+DE；(2)若∠C=45°，试说明：EF⊥BC．2.已知：如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在AD上，且满足(1)求证BE=CF；(2)若AE=OF，直接写出面积为△COD面积一半的所有三角形．3.如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，且MN//PQ．∠NAB和∠ABQ的平分线交于点C．（1）求证：BC⊥AC；（2）过点C作直线交MN于点D（不与点A重合），交PQ于点E,①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD+BE=AB；②若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．

4.【问题初探】（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点F是AC上一点，点E是AB延长线上的一点，连接EF，交BC于点D，若ED=DF，求证：BE=CF．①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM，使DM=BD，连接FM，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM∥AC交CB的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答，如图4，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE，AD，CE与AD相交于点N，若∠EAD+∠ANC=180°，求证：AB=CN；【学以致用】（3）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AF平分∠BAC，点E在线段BA的延长线上运动，过点E作ED∥AF，交AC于点N，交BC于点D，且BD=CD，请直接写出线段AE，CN和BC【模型9婆罗摩笈多模型】1.如图，在△ABC中，分别以AB和AC为边作△ABE和△ACD，AB=AE，AC=AD，连接DE，延长CA交DE于F．若∠ACB=∠BAE=∠CAD=90°，求AFBC的值2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，分别以AC、BC为一直角边作等腰直角△ACE、△BCD，连接DE交BC的延长线于F，则△CEF的面积为3.已知如图，AC=AE，AD=AB，∠ACB=∠DAB=90°，AE∥CB，AC、DE交于点F．(1)求证：∠DAC=∠B；(2)猜想线段AF、BC的数量关系并证明．4.如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB=AE，AC=AD，①图1中S△ABC②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED=2AM；③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．(1)上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；(2)能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF=CE．【构造方法1截长补短法】1.在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF=12∠BAD，当BC=4，DC=7，CF=1时，△CEF2.如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B=∠1+∠2，AE=CD，BF=43，则AD的长为3.把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．(1)若∠ACD=30°，∠MDN=60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；(2)当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；(3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图③，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明)4.如图，在锐角ΔABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB,AC上一动点，连接BE

(1)如图1，若AB>AC，且BD=(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，【构造方法2倍长中线法】1.如图，△ABC中，D为BC的中点，点E为BA延长线上一点，DF⊥DE交射线AC于点F，连接EF，则BE+CF与EF的大小关系为()A．BE+CF<EF B．BE+CF=EF C．BE+CF>EF D．以上都有可能2.在△ABC中，AC=6，中线AD=10，则AB边的取值范围是（）A．16<AB<22 B．14<AB<26 C．16<AB<26 D．14<AB<223.如图，△ABC中，点D在AC上，AD=3,AB+AC=10，点E是BD的中点，连接CE,∠ACB=∠ABC+2∠BCE，则CD=．参考答案【模型1平移模型】1.（1）证明：∵AE=CF，∴AE−FE=CF−EF，∴AF=CE，∵AD∥CB，∴∠A=∠C，在△ADF和△CBE中，AF=CE∴△ADF≌△CBESAS（2）解：△ADF≌△CBE仍成立．理由如下（如题图3）：∵AE=CF，∴AE−AC=CF−AC，即CE=AF，∵AD∥CB，∴∠ACB=∠CAD，∴180°−∠ACB=180°−∠CAD，∴∠BCE=∠DAF，在△ADF和△CBE中，AF=CE∴△ADF≌△CBESAS2.解：（1）由图可得，①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE；故答案为△AA′E≌△C′CF；△A′DF≌△CBE；（2）选△AA′E≌△C′CF，证明如下：由平移性质，得AA′＝C′C，由矩形性质，得∠A＝∠C′，∠AA′E＝∠C′CF＝90°，∴△AA′E≌△C′CF（ASA）．3.（1）证明：∵AB∥∴∠A=∠FCD，在△AFB和△CFD中，{∠A=∠FCD∴△AFB≌△CFD．（2）解：∵△AFB≌△CFD，∴BF=FD，在△BCD中，BC=7，CD=9，∴2<BD<16，∴2<2BF<16，∴1<BF<8．4.（1）依题意，将△ABC沿直线BC向右平移，∴AD//BC，∵△ABC是等边三角形,∴△DEF是等边三角形,∴∠DEF=∠EDF=60°∵AD//∴∠ADE=∠DEF=60°，∴∠ADF=∠ADE+∠EDF=120°，（2）∵向右平移4.5厘米，∴AD=BE=4.5，△ABC≌△DEF，∵△ABC是等边三角形，∴△DEF是等边三角形，∴DF=EF=BC=6，∴BF=BE+EF=4.5+6=10.5，∴四边形ABFD的周长为AB+BF+FD+DA=6+10.5+6+4.5=27（厘米）．【模型2翻折(轴对称)模型】1.67.5°【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，根据等边对等角，求出∠B=∠C=45°，折叠性质，得到∠DEF=∠B，证明△CEF≌△AGE，得到EF=EG，等边对等角，求出∠EFG的度数即可．【详解】解：∵∠BAC=90°,AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∵折叠，∴∠DEF=∠B=45°，∵∠AEF=∠C+∠CFE=∠FED+∠GEA，∠DEF=45°=∠C，∴∠CFE=∠AEG，∵AG平分∠BAC，∴∠EAG=45°=∠C，又∵CE=AG，∴△CEF≌△AGE，∴EF=EG，∴∠EFG=∠EGF=1故答案为：67.5°．2.解：∵∠BAD=∠EAF，∴∠BAD+∠DAF=∠EAF+∠DAF，即∠BAF=∠DAE．∵AF⊥BC，∴∠AFB=∠AFC=90°．由翻折的性质，得AF=AE=7,∠AFC=∠E=90°，∴∠AFB=∠E．在△ABF和△ADE中，∠BAF=∠DAE,AF=AE,∠AFB=∠E=90°，∴△ABF≌△ADE，∴BF=DE=CD+CE=8+3=11．由翻折的性质可得CF=CE=3，∴BC=BF+CF=11+3=14，∴S△ABC3.证明：将△ADM沿AM翻折，点D恰好落在AB上的点N处，∴△ADM≌△ANM，∴AN=AD=2，∠D=∠ANM=90°，MD=MN，∴MN⊥AB，又∠C=90°，∴∠BNM=∠C=90°，∵点M是CD的中点，∴MD=MC，∴MN=MC，在Rt△BCM，BM=BMMC=MN∴Rt△BCM≌∴BN=BC=5，∵AB=AN+BN，∴AB=AD+BC=2+5=7．4.（1）解：是直角三角形；∵△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，∴∠B=∠C=45°，将△ABD沿AD折叠，得△ADF，连接EF，

∴∠1=∠2,AB=AF,∠B=∠AFD=45°,BD=DF，∴AF=AC，∵∠DAE=∠2+∠3=45°，∴∠3=45°−∠2，∵∠BAC=90°，∴∠1+∠4=90°−45°=45°，∴∠4=45°−∠1，∴∠3=∠4，∵AE=AE，∴△AEF≌△AEC(SAS∴∠C=∠AFE=45°,CE=FE，∴∠DFE=45°+45°=90°，∴线段BD,DE,EC组成的三角形是直角三角形．（2）解：线段BD,DE,EC组成的三角形是直角三角形，证明：如图，将△AEC沿直线AE翻折，得到△AEC′，将△ABD沿直线AD翻折，得到

根据折叠性质可得：∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8,CE=C∵∠DAE=135°，∴∠2+∠4=180°−∠EAD=180°−135°=45°，∴∠C∵∠BAC=90°，∴∠5+∠7=180°−∠BAC=180°−90°=90°，∴∠6+∠8=∠5+∠7=90°，故点C′,B如图，则在△DEF中，∠DFE=90°，∴线段BD,DE,EC组成的三角形是直角三角形．【模型3手拉手模型】1.A【分析】在BC上截取CG=CF，连接FG，通过证明△DFG≌△EFC，可得【详解】解：如图，在BC上截取CG=CF，连接FG，

∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵F是AC的中点，∴CF=CG=1∴△FCG是等边三角形，∴∠GFC=60°，FG=CF，∵△DFE是等边三角形，∴FD=FE，∠DFE=60°，∴∠DFG=∠EFC，在△DFG与△EFC中，FD=EF∠DFG=∠EFC∴△DFG≌∴DG=EC，∴CF+EC=CD，∴1∴1∴k=12，故选：A．2.6【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据SAS证明△ACD≌△ABE，由全等三角形的性质得出∠ACD=∠B，【详解】解：∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△ACD≌△ABESAS∴∠ACD=∠B，∵∠B=45°，∴∠ACD=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∵BC=4，CE=2，∴BE=6，∴CD=6，∴S故答案为：6．3.（1）证明：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴AC=BC，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE；（2）解：∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=180°−60°=120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠CEB=120°，∵∠CED=60°，∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°．（3）解：AE=BE+2DM．理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=∴∠ACB−∠BCD=∠DCE−∠BCD∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE，又∵△DCE为等腰直角三角形，CM⊥DE，∴DE=2DM，∵AE=AD+DE，∴AE=BE+2DM．4.130°或90°【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和等内容，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．分类讨论，当∠DFC=90°时或∠FDC=90°时，延长DE到点G，使DG=2DE，连接CG、AF，先证△DFC≌△DGC(SAS)，再证△BDE≌△CGE(SAS)，最后证【详解】解：①当∠DFC=90°时，如图，延长DE到点G，使DG=2DE，连接CG、AF，∵DF=2DE，∴DF=DG，在△DFC和△DGC中，DF=DG∠FDC=∠EDC∴△DFC≌△DGC(SAS∴CG=CF，∠DFC=∠G=90°，∵E是BC中点，∴BE=CE，在△BDE和△CGE中，BE=CE∠BED=∠CEG∴△BDE≌△CGE(SAS∴∠BDE=∠G=90°，∠DBE=∠GCE，BD=CG，∴BD=CF，∵∠BDC=140°，∴∠EDC=∠BDC−∠BDE=50°=∠FDC，∴∠DCG=∠DCF=90°−50°=40°，∴∠FCG=80°，∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠ABD+∠DBE=40°，∠ACF+∠GCE=40°，∵∠DBE=∠GCE，∴∠ABD=∠ACF，在△ABD和△ACF中，AB=AC∠ABD=∠ACF∴△ABD≌△ACF(SAS∴∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴∠DAF=∠BAC=100°，∴∠ADF=40°，∴∠ADB=360°−∠BDC−∠FDC−ADF=360°−140°−50°−40°=130°；②当∠FDC=90°时，如图，延长DE到点G，使DG=2DE，连接CG、AF，同①理可得∠ADF=40°，∴∠ADB=360°−∠BDC−∠FDC−∠ADF=360°−140°−90°−40°=90°；综上，∠ADB的度数为130°或90°，故答案为：130°或90°．【模型4半角模型】1.B【分析】将△ADE关于AE对称得到△AFE，从而可得△AFE的面积为15，再根据对称的性质可得AF=AD,∠EAF=45°，然后根据三角形全等的判定定理证出△ACF≅△ABD，从而可得CF=BD=3,∠ACF=∠ABD=45°,S△ACF=S△ABD，最后根据△ABD与△AEC【详解】解：如图，将△ADE关于AE对称得到△AFE，则AF=AD,∠EAF=45°，S△AFE∴∠CAF+∠CAD=∠DAE+∠EAF=45°+45°=90°，∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，AC=AB∠CAF=∠BAD∴△ACF≅△ABD(SAS)，∴CF=BD=3,∠ACF=∠ABD=45°,S∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，即△CEF是直角三角形，∴S∴S即△ABD与△AEC的面积之和为21，故选：B．2.证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．在△ABG和△ADF中，AB=AD∠B=∠ADF∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF=12∠∴∠GAE＝∠EAF．在△AEG和△AEF中，AG=AF∠GAE=∠EAF∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．3.解：（1）成立．证明：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM．∴△ABM≌△ADF，∴∠ABM=∠D=90°，∠MAB=∠FAD，AM=AF，MB=DF，∵∠ABE=90°，∴∠MBE=∠ABM+∠ABE=180°．∴M，B，E三点共线．∴∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD−∠EAF=60°，∴∠MAE=∠FAE，∵AE=AE，AM=AF，∴△MAE≌△FAE(SAS∴ME=EF，∴EF=ME=MB+BE=DF+BE；（2）结论：AM=AD+MC．证明：延长AE，BC交于点P，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠EPC，∵AE平分∠DAM，∴∠EPC=∠MAE，∴MA=MP，在△ADE和△PCE中，∠DAE=∠CPE∠AED=∠PEC∴△ADE≌△PCE(AAS∴AD=PC，∴AM=MP=PC+MC=AD+MC．4.解：（1）∵△ABC是等边三角形，MN//∴∠AMN=∠ABC=60°，∠ANM=∠ACB=60°∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN，则BM=NC，∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠DBM=∠DCN=90°，在△BDM和△CDN中，BM=CN,∴△BDM≌△CDNSAS∴DM=DN，∠BDM=∠CDN，∵∠MDN=60°，∴△DMN是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，∴NC=BM=12DM=∴△AMN的周长=AB+AC=4．（2）如图，延长AC至点E，使得CE=BM，连接DE，∵△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，在△BDM和△CDE中，BD=CD,∴△BDM≌△CDESAS∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，∴∠MDE=120°−∠MDB+∠EDC=120°，∵∠MDN=60°，∴∠NDE=60°，在△MDN和△EDN中，MD=ED,∴△MDN≌△EDNSAS∴MN=NE，又∵NE=NC+CE=NC+BM，∴BM+NC=MN．【模型5一线三等角模型】1.（1）解：①补全图形如图所示：②CD=BD+CF，证明：如图，作EG⊥CB交CB的延长线于G，则∠ACD=∠EGD=90°，在△ACD和△EGD中，∠ACD=∠EGD∠ADC=∠EDG∴△ACD≌△EGDAAS∴CD=DG，AC=EG，∵AC=BC，∴EG=BC，∵BF⊥BE，∴∠EBF=90°，∴∠CBF+∠EBG=90°，∵∠BEG+∠EBG=90°，∴∠BEG=∠CBF，在△CBF和△GEB中，∠FCB=∠BGEBC=EG∴△CBF≌△GEBASA∴CF=BG，∴CD=DG=BD+BG=BD+CF；（2）解：画出如图所示：关系：CF=CD+BD，作EG⊥BC交BC的延长线于G，则∠ACD=∠EGD=90°，在△ACD和△EGD中，∠ACD=∠EGD∴△ACD≌△EGDAAS∴CD=DG，AC=EG，∵AC=BC，∴EG=BC，∵BF⊥BE，∴∠EBF=90°，∴∠CBF+∠EBG=90°，∵∠BEG+∠EBG=90°，∴∠BEG=∠CBF，在△CBF和△GEB中，∠FCB=∠BGEBC=EG∴△CBF≌△GEBASA∴CF=BG，∴CF=BG=BC+CD+DG=BD+CD．2.9【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．根据三角形外角的性质结合题意可证△ABE≌△CAFASA，得出S△ABE=S△CAF．根据CD=2BD可求出S△ACD=【详解】解：∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠ABE+∠BAE，∴∠ABE=∠FAC，∠BAE=∠ACF．又∵AB=AC，∴△ABE≌△CAFASA∴S△ABE∵CD=2BD，∴S△ACD∴S△ACD=2∴S△CAF∴S△CFD故答案为：9．3.（1）解：∠EDC=180°−∠ADB−∠ADE=180°−115°−40°=25°，∠DEC=180°−∠EDC−∠C=180°−25°−40°=115°，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小，故答案为：25；115；小；（2）解：当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵∠B=∠C，AB=DC=2，∴△ABD≌△DCEAAS（3）解：当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形；理由：∵∠BDA=110°时，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∠AED=∠C+∠EDC=30°+40°=70°，∴∠DAC=∠AED，∴△ADE是等腰三角形；∵∠BDA=80°时，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴∠DAC=∠ADE，∴△ADE的形状是等腰三角形．4.（1）解：∵∠ACB=90°，∴∠ACM+∠BCN=∵AM⊥l，BN⊥l，∴∠AMC∴∠MAC∴∠MAC=又AC=∴△ACM≌△CBNAAS∴AM=CN，BN=CM，∵MN=CM+CN，∴MN=（2）DE=理由：∵∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°，∠ADC=∠ACB=α，∠ADC+∠DAC+∠ACD=180°∴∠BCE=∠DAC，又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=α，∴△ACD≌△CBEAAS∴AD=CE，CD=BE，又DE=DC+CE，∴DE=（3）∵∠A=∠EDF，∠A+∠AED+∠ADE=180°，∠ADE+∠EDF+∠BDF=180°，∴∠AED=∠BDF，又DE=DF，∠A=∠B，∴△AED≌△BDFAAS∴AE=DB，AD=BF，∵AB=AD+DB，AE=3，BF=5，∴AB=BF+AE=5+3=8．【模型6雨伞模型】1.证：（1）BE＝12AD如图，延长BE、AC交于点H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，∠AEB=∠AEHAE=AE∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝12BH∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，∠BCH=∠ACDBC=AC∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝12AD（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝12∠CAB∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．2.解：延长AB、CD相交于点E，∵BF平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABF，∵CD⊥BD，∴∠CDB=∠EDB=90°，在△BDC和△∠CBD=∠ABFBD=BD∴△BDC∴BC=AE，CD=DE，∴CD=1∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AFB=∠CFD，∴∠ABF=∠ACD，在△ABF和△∠ABF=∠ACDAB=AC∴△ABF∴BF=CE，∴CD=1∴BF=2CD；3.（1）解：如图所示，线段AC为所求作的线段；（2）已知：如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∠A=30°．求证：BC=1解法一：如图，在AC上截取一点D，使得CD=CB，连接DB．∵∠ABC=90°，∠A=30°，∴∠ACB=60°．∵CD=CB，∴△BCD是等边三角形．∴BC=CD=BD，∠CBD=60°．∵∠ABC=90°，∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=30°．∴∠ABD=∠A．∴DA=DB．∵BC=CD=DB，∴BC=1解法二：如图，延长CB至点D，使CB=BD，连接AD．∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，∴∠ABD=90°，∠ACB=60°，∵AB=AB，BC=BD，∠ABC=∠ABD，∴△ABC≌△ABDSAS．∴AC=AD∴△ACD是等边三角形．∴AC=CD．∵BC=12CD4.（1）延长BE交AC的延长线与点F，∵CE⊥BF,CD平分∠ACB∴△BCF为等腰三角形，∴BF=2BE∵∠BAC=∠BAF=90°∴∠F+∠ABF=∠F+∠ACD∴在△ABF和△ACD中∠ABF=∠ACD∴△ABF≌△ACD∴CD=BF=2BE∴BE=（2）BE＝12FD，证明如下：过点D作DG∥CA，与BE的延长线交于点G，与AB交于点则∠BDG＝∠C，∠DHF=∠A=90°∵AB=AC∴BH=DH∵∠BDE=∴∠BDE=∴DE平分∠BDG∵DE⊥BG∴△BDG为等腰三角形∴BE＝12BG结合（1）的证明方法，可证△BHG≌△DHF∴BG＝FD．∵BE＝12BG∴BE＝12FD【模型7角平分线模型】1.B【分析】在BC上截取BH=BE，连接OH，由SAS可证得△EBO≌△HBO，于是可得∠BOH=∠BOE=60°，由ASA可证得△COD≌△COH，于是可得【详解】解：如图，在BC上截取BH=BE，连接OH，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−60°=120°，∴∠CBD+∠BCE=1∴∠BOC=180°−∠CBD+∠BCE∴∠BOE=180°−∠BOC=180°−120°=60°，∠COD=180°−∠BOC=180°−120°=60°，∵∠ABD=∠CBD，∴∠EBO=∠HBO，在△EBO和△HBO中，BE=BH∠EBO=∠HBO∴△EBO≌△HBOSAS∴∠BOH=∠BOE=60°，∴∠COH=∠BOC−∠BOH=120°−60°=60°，∴∠COD=∠COH，∵∠ACE=∠BCE，∴∠DCO=∠HCO，在△COD和△COH中，∠COD=∠COHOC=OC∴△COD≌△COHASA∴CD=CH，∴BE+CD=BH+CH=BC=7，∵△ABC周长为20，∴AB+AC+BC=20，∴AB+AC=20−BC，∴AE+AD=AB−BE+AC−CD====6，∵AE:AD=4:3，∴AD=3∴AE+3解得：AE=24故选：B．2.3【分析】本题考查了垂线段最短的性质，角平分线全等模型，熟练掌握各性质并准确确定BM+MN=BM+MN在AC上取一点N′，使AN′=AN，连接MN′，过点B作BE⊥AC于E，易得【详解】解：如图，在AC上取一点N′，使AN′=AN，连接MN′，过点

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵AM=AM，∴△ANM≌△AN∴MN=MN∴BM+MN=BM+MN∵AC=8，S△ABC∴12解得BE=3，∴BM+MN的最小值是3．故答案为：3．3.（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC，在△ABD和△ACD中，∠BAD=∠CADAD=AD∴△ABD≌△ACDASA∴AB=AC；（2）①∵AB=AC，∠ABC=30°∴∠BAD=∠CAD=60°，∴∠BAG=60°=∠CAD，在△BAG和△CAE中，∠BAG=∠CAEAB=AC∴△BAG≌△CAEASA∴AG=AE，在△FAG和△FAE中，AG=AE∠GAF=∠EAF∴△FAG≌△FAEASA∴∠AFG=∠AFC；②过F作FK⊥AG于K，如图：由①知：△BAG≌△CAE，∵S∴S∴S由①知：△FAG≌△FAE，∴S∴1∴AG:AC=1:3，∵AG=2，∴AC=6．4.解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相等；任务二：……∴S∴S∴S应用：延长CE、BA交于点F，

∵BE平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵CE⊥BE，∴∠BEF=∠BEC=90°，在△FBE和△CBE中，∠ABD=∠CBD∴△FBE≌△CBEASA∴EF=CE=6，∴CF=EF+EC=12，∵∠BEF=∠BAC=90°，∴∠ABD+∠F=∠ACF+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF，在△ABD和△ACF中，∠ABD=∠ACF∴△ABD≌△ACFASA∴BD=CF=12．【模型8平行线中点模型】1.（1）证明：∵AO是△ABC的中线，∴BO=CO，∵BF∴∠BFO=∠CAO，又∵∠BOF=∠COA，∴△BOF≌△COAAAS∴BF=CA=CD+AD，∵AD=DE，∴BF=CD+DE（2）证明：∵BD是边AC上的高，∴BD⊥AE，∵AD=DE，∴BD是AE的垂直平分线，∴BE=BA，∴∠BEA=∠BAE，∵BF∥∴∠FBE=∠BEA，∠BFE=∠CEG，∴∠FBE=∠BAE，即∠FBE=∠CAB，∵BF=CA，∴△FBE≌△CABSAS∴∠BFE=∠C=45°，∴∠CEG=45°，∴∠CGE=180°−45°−45°=90°，∴EF⊥BC．2.（1）证明：∵AB∥∴∠A=∠D，∠ABO=∠DCO，又∵AB=CD，∴△ABO≌△DCOASA∴AO=DO，∵AF=DE，AF=AO+OF，∴OE=OF，∵OE=OF，∠BOE=∠COF，BO=CO，∴△BOE≌△COFSAS∴BE=CF；（2）解：∵AE=OF，AE+OE=AO，DF+OF=DO，∴AE=OE=OF=DF，∴BE是△ABO的中线，CF是△CDO的中线，∴S△ABE∴△ABE、△BOE、△CDF、△COF的面积为△COD面积一半．3.解：（1）∵MN∥PQ∴∠NAB+∠ABQ=180°∵AC平分∠NAB，BC平分∠ABQ∴∠BAC=1∴∠BAC+∠ABC=12在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°∴∠C=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-90°=90°∴BC⊥AC;（2）①延长AC交PQ于点F∵BC⊥AC∴∠ACB=∠FCB=90°∵BC平分∠ABF∴∠ABC=∠FBC∴BC=BC∴△ABC≌△FBC∴AC=CF，AB=BF∵MN∥BQ∴∠DAC=∠EFC∵∠ACD=∠FCE∴△ACD≌△FCE∴AD=EF∴AB=BF=BE+EF=BE+AD即：AB=AD+BE

②线段AD，BE，AB数量关系是：AD+AB=BE如图3，延长AC交PQ点F,∵MN//PQ．∴∠AFB=∠FAN，∠DAC=∠EFC∵AC平分∠NAB∴∠BAF=∠FAN∴∠BAF=∠AFB∴AB=FB∵BC⊥AC∴C是AF的中点∴AC=FC在△ACD与△FCE中{∠DAC=∠EFC∴△ACD≅△FCE(ASA)∴AD=EF∵AB=FB=BE-EF∴AD+AB=BE4.（1）证明：∵ED=DF，DM=BD，∠BDE=∠MDF，∴△BDE≌△MDFSAS∴FM=BE，∠E=∠DFM，∴FM∥BE，∴∠ABC=∠FMC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠FMC=∠C，∴FM=FC，∴BE=CF；②∵EM∥AC，∴∠EMB=∠C，∵DE=DF，∠MDE=∠CDF，∴△MDE≌△CDFAAS∴CF=EM，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠MBE=∠ABC，∴∠EMB=∠MBE，∴BE=ME，∴BE=CF；（2）延长AD，取DM=AD，连接CM，如图所示：∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵∠ADB=∠CDM，∴△ADB≌△CDMSAS∴AB=CM，∠M=∠BAD，∵∠EAD+∠ANC=180°，∠ANC+∠CNM=180°，∴∠CNM=∠EAD，∴∠CNM=∠M，∴CM=CN，∴AB=CN；（3）延长ED，使DM=ED，连接CM，如图所示：∵BD=CD，∠CDM=∠BDE，∴△CDM≌△BDESAS∴CM=BE，∠M=∠BED，∴CM∥BE，∴∠ACM=180°−∠BAC=90°，∵AF平分∠BAC，∴∠CAF=1∵ED∥AF，∴∠CNM=∠CAF=45°，∴∠M=180°−∠CNM−∠ACM=45°，∴∠CNM=∠M，∴CN=CM，∴CN=BE，∵∠ACB=30°，∠BAC=90°，∴AB=1∵BE−AE=AB=1∴CN−AE=1【模型9婆罗摩笈多模型】1.1【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．过点E作EG⊥AF交AF延长线于点G，首先证明出△ABC≌△EAGAAS，得到EG=AC，AG=BC，然后证明出△EFG≌△DFAAAS，得到【详解】如图所示，过点E作EG⊥AF交AF延长线于点G∵∠ACB=∠BAE=90°∴∠BAC+∠ABC=∠EAG+∠BAC=90°∴∠ABC=∠EAG又∵∠ACB=∠G=90°，AE=AB∴△ABC≌△EAG∴EG=AC，AG=BC∵AC=AD∴EG=AD∵∠CAD=90°∴∠FAD=90°∴∠G=∠FAD=90°又∵∠EFG=∠DFA∴△EFG≌△DFA∴GF=AF=∴AFBC故答案为：122.9【分析】作EH⊥CF交CF的延长线于点H．先证ΔCEH≌ΔACB，推出EH=BC=3，CH=AB=6，再证ΔEHF≌ΔDCF，推出【详解】解：如图，作EH⊥CF交CF的延长线于点H．则∠EHC=90°，∴∠ECH+∠CEH=90°，∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE=90°，AC=CE，∴∠ECH+∠ACB=90°，∴∠CEH=∠ACB．在ΔCEH和Δ∵∠CEH=∠ACB∠EHC=∠CBA∴ΔCEH≌ΔACB∴EH=BC=3，CH=AB=6．∵△BCD是等腰直角三角形，∴∠BCD=∠DCF=90°，BC=DC，∴EH=DC．在ΔEHF和ΔDCF∵∠EHF=∠DCF∠EFH=∠DFC∴ΔEHF≌ΔDCF∴CF=FH=1∴S故答案为：923.（1）证明：∵∠ACB=∠DAB=90°，AE∥BC，∴∠CAE=180°−∠ACB=90°，∠B=∠BAE，∴∠DAC=90°−∠BAC=∠BAE，∴∠DAC=∠B；（2）解：BC=2AF．理由：如图所示：作DG⊥AC的延长线于G，∵AG⊥DG，∴∠AGD=∠ACB=90°，在△AGD和△BCA中，∠AGD=∠ACB∠DAG=∠B∴△AGD≌△BCAAAS∴DG=AC；AG=BC，在△AEF和△GDF中，∠DFG=∠EFA∠EAF=∠DGC∴△AEF≌△GDFAAS∴AF=GF=1∴BC=2AF．4.（1）解：如图，过点D作DH⊥AE于H，过点C作CP⊥BA，交BA的延长线于P，∵∠∴∴∠∵DH⊥AE，CP⊥BA，∴∠∵AD=AC，∴△ADH≌△ACPAAS∴CP=DH，∴1∴S如图，延长AM至N，使得MN=AM，连接BN，∵AM是边BC上的中线，∴BM=CM，∵∠AMC=∠∴△BMN≌△CMASAS∴BN=AC，∠CAM=∴AC∥BN，∴∠∵∠∴∠∴∠∵AC=AD，∴BN=AD，在△ABN和△EAD中，AB=EA∠∴△ABN≌△EADSAS∴AN=DE，∵MN=AM，∴DE=AN=2AM，如图，过点E作EP⊥MN，交MN的延长线于P，过点D作DQ⊥MN于Q，∴∠∴∠∴∠∵AB=AE，∴△ABM≌△EAPAAS∴AM=EP，同理可证AM=DQ，∴EP=DQ，∵∠ENP=∠∴△EPN≌△DQNAAS∴EN=DN，∴MA的延长线平分ED于点N；（2）如图，延长AF至K，使FK=AF，连接DK，∵F为BD的中点，∴DF=BF，∵AF=FK，∠AFB=∴△AFB≌△KFDSAS∴AB=KD，∠∴AB=AC=DK，∵∠∴∠∵∠∴∠∴∠∵AD=AE，DK=AC，∴△ADK≌△EACSAS∴CE=AK，∴2AF=CE．【构造方法1截长补短法】1.13【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．在DF上截取DG=BE，先证△ADG≌△ABE，再证△AFG≌△AEF，可得EF=FG，再由△CEF的周长EF+CF+CE=FG+BE+BC+CF=DF+BC+CF即可解答．【详解】解：在DF上取点G，使DG=BE，∵∠ABE+∠ABC=180°∴∠D=在△ADG与△ABE中AB=AD∠ABE=∠D∴△ABE≌△ADG（SAS∴AG=AE，∠EAB=∴∠EAB+∠GAB=∵∠EAF=1∴∠EAF=1∴∠FAE=∠GAF，在△AFG与△AEF中AG=AE∠FAG=∠EAF∴△AFG≌△AEF（∴EF=FG．∴EF+BE=FG+DG=CD+CF∴△CEF的周长等于EF+CF+CE=EF+BE+BC+CF=CD+CF+BC+CF，∵BC=4，DC=7，CF=1，∴△CEF的周长等于7+1+4+1=13故答案：13．2.8【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK．证明AT=DK，DK=BD，推出BD=AT，推出BT=AD即可解决问