第八章 8.1 成对数据的统计相关性

Chapter8第八章成对数据的统计分析

§8.1成对数据的统计相关性

【学习FI标】1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义2了解样本相关系数与标准化数据向

量夹角的关系.3.结合实例，会通过样本相关系数比较多经成对样本数据的相关性.

知识梳理梳理教材夯实基础

知识点一相关关系

1.相关关系的定义：两个变量有关系，但没有确切到可曰其中一个去精确地决定另一个的程

度，这种关系称为相关关系.

思考相关关系是函数关系吗？

答案不是.函数关系是唯一确定的关系.

2.相关关系的分类

⑴按变量间的增减性分为正相关和负相关.

①正相关：当一个变最的值增加时，另一个变显的相应值也呈现增加的趋势；

②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势.

(2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关).

①线性相关：如果两个变最的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近,我们

称这两个变量线性相关；

②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关,我们称这两个变量

非线性相关或曲线相关.

知识点二相关关系的刻画

1.散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中

的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图.

2.样本相关系数

(1)我们常用样本相关系数r来确切地反映成对样本数据8,对的相关程度，其中r=

n__

E(为一*)(y-y)

ZQLx)2A/Z6'-,v)2

（2）样本相关系数，•的取值范围为匕1」］.

①若「>0时，成对样本数据正相关；

②若/<0时，成对样本数据负相关；

③当忻越接近L时，成对样本数据的线性相关程度越强；

④当忻越接近0_时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

■思考辨析判断正误----------------------------------------------------------------

1.函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种不确定关系.（7）

2.样本相关系数r越大，两变量的相关性越强.（X）

3.散点图可以直观地分析出两个变量是否具有相关性.（V）

4.若变量占y满足函数关系，则这两个变量线性相关.（X）

题型探究探究重点提升素养

--------------------------------------------------N---------------

一、变量间相关关系的判断

例1（1）（多选）下列关系中，属于相关关系的是（）

A.正方形的边长与面积之间的关系

B.农作物的产量与施肥量之间的关系

C.出租车费与行驶的里程

D.降雪晟与交通事故的发生率之间的关系

答案BD

解析A中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；B中，农作物的产量与施肥量之

间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；C为确定的函数关系；D中，降雪量与交通事

故的发生率之间具有相关关系.

（2）某种产品的广告支出费x与销售额），之间有如下对应数据（单位：百万元）：

X24568

y3040605070

①IE1出散点图:

②从散点图中判断销售金额与广告支出费成什么样的关系？

解①以x对应的数据为横坐标，y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如图所示.

024568A

②从图中可以发现广告支出费与销售金额之间具有相关关系，并且当广告支出费由小变大时,

销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系.

反思感悟两个变量是否加关的两种判断方法

（1）根据实际经聆■:借助积累的经脸进行分析判断.

（2）利用数点图：通过数点国，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断.如果

发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要

受个别点的位置的影响.

跟踪训练1（多选）在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）

答案BC

解析图A的两个变量具有函数关系；图BC的两个变量具有相关关系；图D的两个变量之

间既不是函数关系，也不是相关关系.

二'样本相关系数的性质

例2（1）甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,6两变量的线性相关性做试验，并用I可归分折

方法分别求得样本相关系数，•如下表：

甲乙丙T

r0.820.780.690.85

则哪位同学的试验结果体现A,B两变量有更强的线性相关性（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

答案D

解析出越接近1,相关性越强，故选D.

（2）在一组成对样本数据为（X[,y\）,（X2>>,2）>（xn,（心2,x\,及，…，x〃不全相等）的

散点图中，若这组成对样本数据的样本相关系数为一1,则所有的样本点（小W=l,2,

〃）满足的方程可以是（）

A.y=-$+1B.y=x-1

C.y=x+lD.y=-x2-

答案A

解析•・•这组成对样本数据的样本相关系数为一1,

，这一组成对样本数据（K,V）,（X2,沏，…，（X,,为）线性相关，且是负相关.

・•・可排除B,C,D,故选A.

反思感悟样本相关系数的性质

（1）,•的绝对值越接近0,相关性越弱.

（2），的绝对值越接近1,相关性越强.

跟踪训练2(1)对变量x,y有成对样本数据叫,y)(i=l,2,…，10),得散点图图1；对变量

u,。有成对样本数据(〃”V,)(/=1,2,10),得散点图图2.由这两个散点图可以判断()

25

2：）

15

1：）

O1234567xO1234567”

图1图2

A.变量x与)，正相关，〃与。正相关

B.变量x与)，正相关，〃与o负相关

C.变量x与y负相关，〃与0正相关

D.变量x与y负相关，〃与。负相关

答案C

解析由这两个散点图可以判断，变量x与)，负相关，〃与。正相关.

(2)(多选)对两个变量的样本相关系数r,下列说法正确的是()

A.M越大，相关程度越大

B.忻越小，相关程度越大

C.|r|趋近于。时，没有线性相关关系

D.H越接近1时，线性相关程度越强

答案AD

解析对于A,|r|越大，相关程度越大，A正确；对于B,忻越小，相关程度越小，B错误；

对于C.|r|趋近于0时，线性相关关系越弱,C错误：对于D,|r|越接近1时,线性相关程度

越强，D正确.综上，正确的是AD.

三、样本相关系数的计算及应用

例3某厂的生产原料耗费x(单位:百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应关系:

⑴画出。，历的散点图:

(2)计算x与)，之间的样本相关系数，并刻画它们的相关程度.

解(1)画出(x,y)的散点图如图所示.

24

(2)x=5,y=47.5,

444

£W=120,Zy?=9900,£物=1080,

2>通一4xy

故样本相关系数r=­/一

A/(E-V—4x2)(Z.vr—4y2)

\i=\i=\

1080-4X5X47.5

-0.9827.

A/(120-4X52)(9900-4X47.52)

由样本相关系数，•g0.9827,可以推断生产原料耗费与销售额这两个变量正线性相关，且相

关程度很高.

反思感悟线性相关强弱的判断方法

⑴散点图：散点图只是粗略作出判断，其图象越接近直线，相关性越强.

(2)样本相关系数：样本相关系数能够较准确的判断相关的程度，其绝对值越大，相关性越强.

跟踪训练3假设关于某种设备的使用年限x(单位：年)与所支出的维修费用M单位：万元)

有如下统计资料：

X23456

y2.23.85.56.57.0

计算y与x之间的样本相关系数(精确到0.001，已知%=9(),三廿140.8,£r^=H2.3，V79

28.9,6Q1.4).

M—2+3+4+5+6

解,:X=--------7------=4,

—2.2+3.8+5.5+6.5+7.0

>'=5=5.

5______

5KJ=112.3-5X4X5=12.3,

£导—5”=90-5X42=10,

5-

S>7-5y2=140.8—125=15.8,

£必一5xv

G二^—^10X15.8V158&X®1.4X8.9

\（＞孑-5x2）（£yH5y2）

随堂演练----------基-础-巩-固、学-以-致-用-

1.（多选）下列命题正确的是（）

A.任意两个变量都具有相关关系

B.圆的周长与该圆的宜径具有相关关系

C.某商品的需求最与该商品的价格是一种非确定性关系

D.当两个变量相关且样本相关系数，＞0时，表明两个变量正相关

答案CD

解析A显然不对，B是函数关系，CD正确.

2.若变量），与x之间的样本相关系数厂=-0.9832,则变量y与.丫之间（）

A.不具有线性相关关系

B,具有线性相关关系

C.它们的线性相关关系还需要进一步确定

D.不确定

答案B

解析变量y与x之间的样本相关系数「=一0.9832,仍=0.9832接近1,样本相关系数的绝

对值越大，相关性越强，，变量），与x之间有较强的线性相关关系，故选B.

3.两个变量x,y的样本相关系数n=0.7859,两个变量〃，。的样本相关系数门=-0.9568,

则下列判断正确的是（）

A.变量x与），正相关，变量〃与。负相关，变量x与y的线性相关性较强

B.变量x与），负相关，变量〃与。正相关，变量x与），的线性相关性较强

C.变量x与），正相关，变量〃与。负相关，变量〃与。的线性相关性较强

D.变量x与y负相关，变星u与v正相关，变量”与V的线性相关性较强

答案C

解析由样本相关系数力=0.7859＞0知工与），正相关，由样本相关系数,2=-0.9568＜0知",

。负相关，又|川＜比|,・••变量〃与。的线性相关性比x与y的线性相关性强.故选C.

4.据两个变量x,），之间的成对样本数据画出散点图如图，这两个变量是否具有线性相关关

系.（填“是”或“否”）

答案否

解析图中的点分布杂乱，两个变量不具有线性相关关系.

5.部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表(单位：百万元):

固定资产价值33566789910

工业增加值15172528303637424045

根据上表资料计算的样本相关系数约为.

答案0.9918

皿「—3+3+5+6+6+7+8+9+9+10

解析x=------------------------------------------=6.6,

—15+17+25+28+30+36+37+42+40+45

y=m=31.5.

10

1.知识清单：

(1)相关关系.

(2)散点图.

(3)正相关、负相关、线性相关、非线性相关.

(4)样本相关系数.

2.方法归纳：数形姑合.

3.常见误区：相关关系与函数关系不分，样本相关系数绝对值的大小与相关程度的关系.

课时对点练注重双基强化落实

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力基础巩固

1.若“名师出高徒”成立，则名师与高徒之间存在什么关系()

A.相关关系B.函数关系

C.无任何关系D.不能确定

答案A

2.（多选）给出下列关系，其中有相关关系的是（）

A.人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系

B.曲线上的点与该点的坐标之间的关系

C.苹果的产量与气候之间的关系

D.森林中的同一种树木，其截面直径与高度之间的关系

答案ACD

3.两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则卜.列散点图从左到右分别反映

的变量间的相关关系是（）

A.①②③B.②③①C.②①③D.①③②

答案D

解析对于（1）,图中的点或带状分布,且从左到右上升，是①正相关关系；对于（2）,图中的

点没有明显的带状分布，是③不相关；对于（3）,图中的点成带状分布，且从左到右是下降的,

是②负相关关系.故选D.

4.（多选）某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图

如图所示，则下列说法正确的是（）

茶

派

等

符

海拔高度（单位:千米）

A.沸点与海拔高度呈正相关

B.沸点与气压呈正相关

C.沸点与海拔高度呈负相关

D.沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强

答案BCD

解析由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，所以沸

点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关，由于两人散点图中的点都成线性分布，所以

沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B,C,D正确，A错误.

5.变量X与丫相对应的一组成对样本数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),变

量U与V相对应的一组成对样本数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).可表示变

量y与x之间的样本相关系数，冷表示变量v与u之间的样本相关系数，则()

A.r2<r)<0B.0</'2<ri

C.r2<0<nD.n=r2

答案C

解析由已知中的数据可知：第一组成对样本数据正相关，则样本相关系数大于零，第二组

成对样本数据负相关，则样本相关系数小于零，故选C.

6.如图所示的两个变量不具有相关关系的有.(填序号)

答案①④

解析①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条

直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，A-,y不具有相关关系.

7.给出下列x,y值的数据如下：

X1248

y35917

则根据数据可以判断k和y的关系是.(填“确定关系”“相关关系”或“没有关

系”)

答案确定关系

解析由表中数据可以得到x,)，之间是一种函数关系：y=2x+l,所以x,y是一种确定的

关系，即函数关系.

8.对某高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如图所示的散点图.下

面关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的序号有.

财

130•・

120•.

110-・.

100.*.*

9()•,

j：...........................——►

°123456789测9号

①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高；

②该同学在这连续九次测试中的最高分与最低分的差超过40分;

③该同学的数学成绩与测试序号具有线性相关性，且为正相关.

答案①②③

解析散点图从左向右看呈上升趋势，所以该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高，①正

确；该同学在这连续九次测试中的最高分大于130分，最低分小于90分，极差超过40分，

②正确；该同学的数学成绩与测试序号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确.

9.某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示：

年龄M岁)123456

身高Mem)788798108115120

⑴画出散点图；

(2)判断)，与x是否具有线性相关关系，如果相关，是正相关还是负相关.

解(1)散点图如图所示.

y

120.•

110・

10()・

90・

80・

70

0i23456~x

(2)由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x具有线性相关关系，且是正相

关关系.

10.关于两个变量x和)，的7组数据如下表所示：

X2i232527293235

y711212466115325

求变量)，与X的样本相关系数，并判断变量与X之间是正相关还是负相关.

解T=/21+23+25+27+29+32+35)^27.4,

~=1(7+II+21+24+66+115+325)=81.3,

笠=2卜+232+252+272+292+322+35』5414,

产।

7

£蛤州=21X7+23X11+25X21+27X24+29X66+32X115+35X325=18542,

ri

7

Z>?=724-1124-2124-2424-662+1152+3252=124393,

7

18542-7X27.4X81.3

一、(5414—7X274)(124393—7X81了)

2948.66…一

~3520.92杵0・8375.

•・">0,・••变量y与工之间是正相关关系.

叶综合运用

11.两个变量y与x的模型中，分别选择了4个不同模型，它们的样本相关系数，•如下，其

中拟合效果最好的模型是()

模型模型1模型2模型3模型4

样本相关系数r0.980.800.500.25

A.模型1B.模型2C.模型3D.模型4

答案A

12.某统计部门对四组成对样本数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于样本相

关系数的比较，其中正确的是()

样本相关系数为八样本相关系数为

(1)(2)

()V

510152()2530355101520253()35

样本相关系数为C样本相关系数为A

(3)(4)

A.心<「2<0<小<-3B.，2<，4<0<〃<门

C.7<2<r4<0<门<外D./<4<r2<0<r3<ri

答案C

解析根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关：

数据越集中在一条直线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：(1)(3)为正相关，(2)(4)为

负相关，故门>0,广2<0，心<0,又(1)与⑵中散点图更接近于一条直线，故门打3,力<「4,

因此「2<=4<0<门5.故选C.

13.如图所示,有5组（X,），）数据，去掉哪一组数据之后，剩下的4组数据成线性相关关系（）

•D

•E

Ox

A.EB.DC.BD.月

答案B

解析去掉。组数据之后，剩下的4组数据成线性相关关系.

14.高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全

年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看：

（1）在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；

（2）在语文和数学两个科目中，内同学的成绩名次更靠前的科目是.

答案（1）乙（2）数学

解析（1）在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；（2）由高三年级

267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级的排名情

况的散点图可知，两个图中，同一个人的总成绩是不会变的.第二个图看，丙是从右往左数

第5个点，即丙的总成绩在班里倒数第5.在左边的图中，找到倒数第5个点，它表示的就是

丙，发现这个点的位置比右边图中丙的位置高，所以语文名次更“大”，即数学的成纸更靠

前.

g拓广探究

15