第7章 不等式、推理与证明 第4节 推理与证明

第4节推理与证明

考试要求1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并

认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三

段论”，并能运用“三段论”进行一些简单演绎推理3了解合情推理和演绎推理

之间的联系和差异4了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分

析法和综合法的思考过程和特点5了解反证法的思考过程的特点.6.了解数学归纳

法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

知识诊断•基础夯实

知识梳理

1.合情推理

类型定义特点

归纳根据一类事物的郡会对象具有某种性质，推出这类事由部分到整体、

推理物的全都对象都具有这种性质的推理由个别到一般

类比根据两类事物之间具有某些类似(一致丁性，推测一类

由特殊到特殊

推理事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理

2.演绎推理

(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称

为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特稣的推理.

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——己知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.

3.直接证明

内容综合法分析法

利用已知条件和某些数学定从要证明的结论出发，逐步寻

定义义、公理、定理等，经过一系求使它成立的充分条件,直到

列的推理论证，最后推导出所最后把要证明的结论归结为判

要证明的结论成立定一个明显成立的条件（已知

条件、定理、定义、公理等）

为止

实质由因导果执果索因

［仆Pl|f|。1仁。2|----*

框图表示

得到一个明显

成立的条件

因为...所以....或由....

文字语言要证……只需证……即证……

得……

4.间接证明

间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方

法.

⑴反证法的定义：假设原命题不成立（即在原命题的条件下,结论不成立），经过

正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明

方法.

（2）用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根

据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原

命题的结论成立.

5.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数〃有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当〃取第一个值〃o（〃o£N"）时命题成立:

（2）（归纳递推）假设〃=k0N*）时命题成立，证明当〃=hH时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从小开始的所有正整数〃都成立.上述证

明方法叫做数学归纳法.

|常用结论，

1.合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其

正确性，则需要证明.

2.在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机

械类比的错误.

3.分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，

就是寻找已知的必要条件.

4.用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然后

推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾.

5.推证〃=&+1时一定要用上〃=k时的假设，否则就不是数学归纳法.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

⑴归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.()

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.()

⑶用反证法证明结论力乂”时，应假设()

(4)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证〃=1时结论成立.()

答案(1)X(2)V(3)X(4)X

解析(1)类比推理的结论不一定正确.

(3)应假设“aWb”.

(4)有的证明问题第一步并不是验证〃=1时结论成立，如证明凸〃边形的内角和

为(〃一2)・180。，第一步要验证〃=3时结论成立.

2.(易错题)正弦函数是奇函数，火的=5访(1+1)是正弦函数，因此儿Y)=Si«?+l)

是奇函数，以上推理()

A.结论正确B.大前提不正确

C.小前提不正确D.全不正确

答案C

解析yU)=sin(f+l)不是正弦函数，所以小前提错误.

3.(易错题)用反证法证明命题：“设a,b为实数,则方程丁+帆+8=0至少有一

个实根”时，要作的假设是()

A.方程V+OT+ZJMO没有实根

B.方程T+or+b=()至多有一个实根

C.方程V+or+Z>=()至多有两个实根

D.方程丁+以+〃=0恰好有两个实根

答案A

解析方程丁+办+〃=0至少有一个实根的反面是方程/+公+8=0没有实根.

4.在等差数列｛〃“｝中，若00=0,则有m+a2T-卜a»=m+a2T---Fai9-”(〃V19,

且〃£N*)成立.类比上述性质，在等比数列｛瓦｝中，若历=1,则存在的等式为

9t

答案h\b2**bn=bib2**bi7-n(n<｝7,且〃WN")

解析根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，

在等比数列中是积，故有岳岳…儿=岳历…如-n(〃V17,且〃£N*).

5.(2022・延边质检)有三张卡片，分别写有1和2、1和3、2和3,甲、乙、丙三人

各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；

乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1"；丙说：“我的卡

片上的数字之和不是5"，则下列说法中正确的是()

A.甲的卡片上的数字是I和3

B.甲的卡片上的数字是2和3

C.乙的卡片上的数字是1和3

D闪的卡片上的数字是1和3

答案A

解析由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是

1和2,则乙的卡片上的数字是2和3,甲的卡片上的数字是1和3,满足题意；

若丙的卡片上的数字是1和3,则乙的卡片上的数字是2和3,此时，甲的卡片上

的数字只能是1和2,不满足题意.故甲的卡片上的数字是1和3.

6.(2021・南充联考)将正整数对做如下分组，第1组为｛(1,2),(2,1)｝,第2组为

｛(1,3),(3,1)｝,第3组为｛(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)｝,第4组为｛(1,5),

(2,4),(4,2),(5,1)｝,……,则第30组的第16个数对为________.

答案(17,15)

解析由题意可得第1组整数对的和为3,第2组整数对的和为4,第3组整数对

的和为5,第4组整数对的和为6,……,第〃组整数对的和为〃+2,且各个数

对数字按顺序排列，可得第30组整数对的和为32,

则第30组的第16个数对为(17,15).

I考点突破,题型剖析

考点一合情推理与演绎推理

角度1归纳推理

例1(2021•安徽六校测试)如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点.

第〃个图形由正〃+2边形扩展而来,其中〃£N*,则第〃个图形的顶点个数是

()

(3)(4)

A.(2〃+l)(2〃+2)B.3(2〃+2)

C.2〃(5〃+l)D.(〃+2)(〃+3)

答案D

解析由已知中的图形可以得到:

当〃=1时，图形的顶点个数为12=3X4,

当〃=2时，图形的顶点个数为20=4X5,

当〃=3时，图形的顶点个数为30=5X6,

当〃=4时，图形的顶点个数为42=6X7,...

由此可以推断：第n个图形的顶点个数为(〃+2)(〃+3).

角度2类比推理

例2斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1,1,2,3,5,

8,13,21,34,55,89,…，在数学上,斐波那契数列伍〃｝定义为:的=3ai

=1,斐波那契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据m+2=。〃

+。“+1可得。〃=4〃+2一如+1,所以41+a2H----Fz=(〃3­。2)+(44­。3)-|-----1-(4"+2

—an+\)=an+2—a2=an+2—1,类比这一方法，可得----Fmo=()

A.714B.1870

C.4895D.4896

答案C

解析将1=。〃+2—〃〃两边同乘Cln+1,

可得足+1=如+2〃”+1-

则en-\-cA-\----F4%=济+(4203—aia\)+(43。4—4243)+…+(41偌“-49410)

—1—a2d\+aiot/ii=1-1+55X89=4895.

角度3演绎推理

例3(2022・河南名校联考)自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考，主要

包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟.调查某高中学校

学生自主招生报考的情况，得到如下结果：

①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟；

②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟；

③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟；

④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟..

根据上述调查结果，下列结论错误的是()

A.没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生

R报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多

C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟

D.报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟

答案D

解析设该校报考“北约”联盟，“华约”联盟，“京派”联盟和“卓越”联盟

的学生分别为集合4,B,C,D,报考自主招生的总学生为U,则由题意，知AAB

=0,BJC,Z)nc=0,CuD=B,・，人口。，B=C,8n.选项A中，BCD=。,

正确；选项B中，B=C,正确；选项C中，AGO,正确.

感悟提升1.归纳推理诃题的常见类型及解题策略

(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号.

(2)与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律.

(3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验法验:

证其真伪性.

2.类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列

类比；运算类比(加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方).数的运算与向量运算类

比；圆锥曲线间的类比等.

3.演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，

应当首先明确什么是大前提和小前提.

训练1（1）中国有句名言“运算帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是

指《孙子算经》中记载的算筹.古代用算筹（一根根同样长短和粗细的小棍子）来进

行运算.算筹的摆放有纵式、横式两种（如图所示）.当表示一个多位数时，个位、百

位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，依此类推，遇零则

置空，例如3266用算筹表示就是三II，丁，则8771用算筹应表示为（）

1234567B9

IIIIIIlllllllllllTIT川皿纵式

_===^l=Li=横式

中国古代的算筹数码

A.上上开।B.m上山

C.上灯上।D.TTT上灯一

（2）“正三角形的内切圆半径等于此正三角的高的麦,，拓展到空间，类比平面几

何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的（）

A.1B.|C.|D.1

答案（1）C（2）C

解析（1）由算筹的定义，得

8771

（千位）横式《（百位）纵式ir（卜位）横式上（个位）纵式।

所以8771用算筹应表示为=TT

（2）从平面图形类比空叵图形，从二维类比三维，可得如下结论:

正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的;.

证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r,连接球心与正四面体的

四个顶点.

把正四面体分成四个高为〃的三棱锥，所以4x/s•r=3S〃，则,•=*2.（其中S为

正四面体一个面的面积，〃为正四面体的高）

［考点二直接证明与间接证明

角度1综合法

例4已知a,b,c>（）,Q+Z?+C=1.求证：

111>3

⑵3。+1十3/7+1+3C+L》

证明（i）：（W+V^+^）2=m+z?+c）+2^/^+2^/^+2A/^wm+/?+c）+（Q+/?）

+（。+c）+（c+a）=3,

：・51+也+&W事（当且仅当a=h=c时取等号）.

（2）・・・心0,.\3«+1>1,

4/_4

（3〃+1）=4,

4I

・・・二723—3〃（当且仅当〃=］时，取等号）.

JCiI1，

44

同理得诉T》3-36向》3—3c,

以上三式相加得

4上？+合■+高》9-3（。+匕+。）=6,

..•占+百长+高当当且仅当时取等号）•

角度2分析法

例5已知。>0,证明：7〃2+,—啦2+:一2.

证明要证一也泊+［-2,

只需证-啦）.

因为〃>0,所以（。+4—（2—也）>0,

\a）

所以只需证

22

司（2-也）

即2（2-啦）（〃+028-4也，

只需证〃+，22.

CI

因为。＞0,。+522显然成立（当。=5=1时等号成立），所以要证的不等式成立.

角度3反证法

例6设数列｛外｝是公比为,/的等比数列，S”是它的前〃项和.

⑴求证：数列｛&｝不是等比数列；

⑵数列｛*｝是等差数列吗？为什么？

⑴证明假设数列｛%｝是等比数列，则W=SS3,

即〃彳（1+q）2=〃[.〃[.（1+q+/）,

因为41W0,所以（1+4=1+g+q2,

即q=0,这与公比qWO矛盾，

所以数列｛*｝不是等比数列.

⑵解当夕=1时，Sn=na\,故｛S〃｝是等差数列；

当夕W1时，｛8｝不是等差数列，否则2s2=SI+£,

即2ai（l+夕）=41+m（1+夕+夕2）,

得夕=0,这与公比4力0矛盾.

综上，当4=1时，数列｛&｝是等差数列；

当时，数列｛S〃｝不是等差数列.

感悟提升1.综合法证题从已知条件出发，分析法从要证结论入手，证明一些复

杂问题，可采用两头凑的方法.

2.反证法适用于不好直接证明的问题，应用反证法证明时必须先否定结论.

训练2（1）已知〃＞0,/?＞（）,求证：咛“^自・；

(2)已知a+h+c>0,ab+0c+c'a>0,abc>0,求证：。>0,〃>0,c>0.

证明(l)Va>0,Z?>0,

2ab

要证第一》

a~\~by

只要证(a+〃尸24ab,

只要证3+〃)2—4"20,

即证/—2。6+/?220,

而次一2〃6+及=(〃一/?产2()恒成立,

故等?2ab

~a+b成立.

(2)假设出b,c不全是正数，即至少有一个不是正数，不妨先设aWO,下面分。

=0和aVO两种情况讨论，如果〃=0,则。儿=0与"c>0矛盾，所以。=0不

可能，如果〃<0,那么由。反>0可得，bc<0,又因为a+Z?+c>0,所以b+c

>一。>0,于是aZ?+bc+ca=4(Z?+c)+Z;cV0,这知已知4b+bc+cQ>0相矛盾，

因此，4V0也不可能，综上所述，。>0,同理可■£/?>(),c>(),所以原命题成立.

[[考点三数学归纳法

例7用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数〃，不等式

(1411+1}-{1+方唔亘成立•

14

证明⑴当〃=2时，左=1+1左右=竽，左〉右，，不等式成立.

(2)假设〃=4(左22且女EN*)时，不等式成立，

即(1+9(1+拼《+看产用

那么当〃=攵+1时，

(1+§)(1+5)"'O+2A：-1P+2(jl+l)-1

、2k+T2k+22k+2

>27+1—2422+1

N4s+8Z+N14炉+82+3

2y]2k+l2d2k+1

72ksi不(Z+l)+1

―2、2k+1—2，

，〃=Z+1时，不等式也成立.

由(1)(2)知，对一切大于1的自然数几不等式都成立.

感悟提升1.利用数学归纳法可以探索与正整数〃有关的未知问题、存在性问题，

其基本模式是“归纳一猜想一证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推

理论证结论的正确性.

2.“归纳一猜想一证明”的基本步骤是“试脸—归纳—猜想—证明”.高中阶段

与数列结合的问题是最常见的问题.

训练3已知数列｛〃｝的前〃项和S”满足：£尸华十工一1,且小>0,

ZCln

(1)求。I,42,43,并猜想｛〃〃｝的通项公式；

(2)证明(1)中的猜想.

⑴解当〃=1时，由已知得41=4+5—1,

4C<I

即济+2〃i—2=0.

a\—*\/5—l(«i>0).

当n=2时，由已知得tzi+a2=y+~—1,

ZQ2

将s=,一l代入并整理得■+2S。2—2=0.

/.S=小—#(42>0).

同理可得。3=由一小.

猜想为=山〃+172〃-1(〃£N*).

(2)证明①由(1)知，当〃=1,2,3时，通项公式成立.

②假设当〃=Z(Z23,Z£N*)时，通项公式成立，即徽=、2k+l—、2k—l.

由于ak+\=Sk+\—Sk

cik+l1_gk_y

2a22aJ

将汝=、2k+1—、2攵-1代入上式,整理得

加卜1+2yj2k+lazi_2=0,

以+1=、2k+3—、2k+1,

即〃=%+1时通项公式成立.

根据①②可知，对所有1—[2〃-1成立.

■分层训练,巩固提升

A级基础巩固

1”对数函数是非奇非偶函数,«Y)=lQg2kl是对数函数，因此火T)=log2Kl是非奇

非偶函数”，以上推理.()

A.结论正确B.大前提错误

C.小前提错误D.推理形式错误

答案C

解析本命题的小前提是次此=1/2因是对数函数，但是这个小前提是错误的，因

为火X)-Iog2国不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y—log«x(a>0且avM)

的才是对数函数.

2.观察(『y=2x,，y=4P(cosx)'=-sinx,由归纳推理得：若定义在R上的函

数7U)满足式一x)二/(x)，记以此为共幻的导函数，则g(—不)=()

A<x)B—fix)

C.g(x)D.—g(x)

答案D

解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(—x)=-g(x).

3.观察一列算式:1®1,1®2,2®1,1®3,2®2,3®1,1®4,2®3,3®2,4-L・••,

则式子3a5是第()

A.22项B.23项C.24项D.25项

答案C

解析两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4

个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3③5是和为8的第3项，

所以为第24项.

4.《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的

深刻而又朴素的认识，是中华文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思

想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“一”当作数字力”，把阴爻当

作数字“0”,则八卦代表的数表示如下:

卦名符号表示的二进制数表示的十进制数

坤0000

震0011

坎0102

兑SMS0113

以此类推,则六十四卦中的“屯”卦，符号表示的十进制数是（）

A.18B.17C.16D.15

答案B

解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号表示二进制数的

010001,转化为十进制数的计算为lX20+0X2i+0X22+0X23+lX24+0X25

=17.

5.设x,y,z为正实数，Z?=y+Lc=z+,，则。，b,c三个数（）

yZX

A.至少有一个不大于2B渚叼、于2

C.至少有一个不小于2D.都大于2

答案C

解析假设b,c都小于2,则〃+b+cV6,而。+/?+c=x+,+y+,+z+'=

yzx

Q+0+（y+；）+（z+：J，2+2+2=6（当且仅当x=y=z=l,等号成立），与a+b

+cV6矛盾，,〃，b,c都小于2错误.b,。三个数至少有一个不小于2.

6.用数学归纳法证明不等式者+出+…+品;>"的过程中,由〃=左递推到

〃=攵+1时，不等式左边（）

A.增加了2a+［）

B.增加^2k+\+2k+2

c.增加了2（&+1）-一层口

D.增加了2女+1+2%+2-ITT

答案D

解析当〃=%时，申+出+・・・+*》行，①

当〃="+1时‘左边=:+］）+1+*+1）+2+…（％+）+（左+1）

=^rr+ri^+…+而卜rrr+2A+〔+2k+2,②

②一①得，不等式左边增加了九长+壮?一£.

4KI乙乙KI1A.II

7.（2022♦江西重点高中联考）将连续正偶数有规律地排列如下：

2

4,6,8

1（）,12,14,16,18

20,22,24,26,28,30,32

则第15行第14列出现的数字是.

答案420

解析根据题意可知，第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，第

4行有7个数，……，第14行有2X14—1=27个数，

设第n行的第一个数为〃〃，则。1=2,改=2+2,43=2+2+6,“4=2+2+6+10,

=2+2+6+10+14,....,

故415=2+2+6+10+14+…+54=2+MX=39%

设第15行的数构成数列｛仇｝,则｛仇｝是首项为394,公差为2的等差数列，

所以44=394+（14-1）X2=420,

故第15行第14列出现的数字是420.

8.已知/1）=士，工20,若力（幻=/&）,加心）=。（笛），〃£N*,则力O23（x）的表

1I人

达式为.

答案及O23（x）=［+2023x

解析力。）=］二,

X

1+xx

欠a)=；7~J=r?

1十l+x

1+2Yx

力⑴=i.x=后'

।十l+2x

X

/1+iW=AfiiM)=

1+(〃+l)V

Y

归纳可得力O23(X)=.ion?Qr-

92

9.若Po(xo,yo)在椭圆亲+g=l(a>b>())外，过Po作椭圆的两条切线，切点为Pi,

Pl,则切点弦P尸2所在的直线方程是等+泮=1,那么对于双曲线，则有如下命

题:

72

若P(xo,a)在双曲线,一方=l(Q>0,QO)外，过Po作双曲线的两条切线，切点

为Pi,Pl，则切点弦产俨2所在直线的方程是

xox_W

答案~b2

2

类比椭圆的切点弦方程可得双曲线3Txoxvoy

解析的切点弦方程为

b21a2b21.

10.若4,b,C•是不全相等的正数，求证：

b-\-cc~\-a

1g—+lg-^—+lg-^->lga+lgZ?+lgc.

证明Vo,仇c£(0,+°°),

由于a,仇c是不全相等的正数，

・・・上述三个不等式中等号不能同时成立,

〃+/7b+c

**2*2*2>abc>0成立.

上式两边同时取常用对数，得

(〃+/?/?+(?

>lgabc,

a-\-b,Z?+c,

・・・lg~^—+lg-^-Tlg^->lg〃+lg力+lgc.

11.已知r>O(i=l,2,3,…，〃)，我们知道(XI+X2)G+!)24成立.

\A1A2/

(1)求证：(XI+X2+X3)(§+±++)29；

(2)同理我们也可以证明出(x—心)8+3+5+5)216.由上述几个不等

式，请你猜测一个与川+。+…+工〃和;+；+…+；(〃22,〃£N*)有关的不等式,

AlX2Xn

并用数学归纳法证明.

(1)证明法一(XI+K+x3)(++[+±)23/9(当且仅当XI=

人1人2人5Y人1人2人3

X2=X3时，等号成立).

法二(加+也+*)(5+2+5)

=3+管+勒管+£)+e+5)

23+2+2+2=9(当且仅当第=也=/3时，等号成立).

(2)解猜想：(xi+x2d---Fx,»)f77+T；H----〃£N").

“11人2Azi/

证明如下：

①当〃=2时，由已知得猜想成立；

②假设当〃=左/22,AcN)时，猜想成立，

即(月+x2H---^^/++士^----

\A1X2XkJ

则当〃=左+1时，

(xi+xzH-----ku+必+I)(5+!H------J)=(xi+x2d------------ku)(!+[d-----F；)+

AlA2AKAjt+1AlA2Ajt

(XI+x2d---Fx*)」-+

Xk+\

如七十9…+加

2F+(xi+x2-l-----FXA)-+XA+1-f'r+'zH-----*-口+1

Xk+\\A1X2XkJ

/v、/v