第5章 平面向量（理科）

第五章平面向量

第一节平面向量的线性运算及其坐标表示

题型59向量的概念及共线向量

1.（2016北京理4）设是向量,则“向=|叱是山+母=|。一可”的（）.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

1.D解析因为.+耳=.一耳<=>|°+邛=）一耳200.〃=0,

所以由此可知，二W”是“|°+耳=|。一力卜的既不充分也不必要条件.故选D.

题型60平面向量的线性表示

1.（2013浙江理17）设巧通2为单位向量，非零向量）=.g+ye2，x，）'eR，若当心a的夹

角为四，则LU的最大值等于________.

6\b\

2.（2014浙江理8）记max{x,y}=«'，min{x,y}'，设力为平面向

y,x<y[x,x<y

量，则（）.

A.min{|a+U，|4-矶,，min{同，四}

min{,+/，J〃一/?|}..min{|a|,邮

c-max|p/+/?|\|d-^|2|„|t/|2+时

D.max{,+/?「Ja一Z?「卜.]a「+时

题型61向量共线的应用

1.（2013江苏10）设。，E分别是AABC的边AB,BC上的点，AD=-AB,

2

2—•—•—-

BE=-BC,若。七'=4八8+4AC（4，4为实数），则4+4的值为

2.（2015全国2理13）设向量火力不平行，向量及+b与。+28平行，则实数

4=.

2.解析根据向量平行的条件，因为向量而+〃与%平行,

k=-

2

所以及+~=女（。+26）,则有・,所以义二1.

2=12

2

3.（2017全国3理12）在矩形ABC。中，AB=\,AD=2,动点P在以点。为圆心且

与80相切的圆上.若AP=2AB+〃4。，则4+〃的最大值为（）.

A.3B.2\5C.亚D.2

3.解析解法一：由题意，作出图像，如图所示.设⑺与0c切于点E,联结CE.以点

A为坐标原点，AO为*轴正半轴，45为V轴正半轴建立直角坐标系，则点C坐标为

（2,1）.因为|CQ|=1,|8C|=2.所以80=炉方=石.因为由）切CC于点£.所以

CE工BD.所以CE是RlZXBCO斜边3。上的

高.即需二吗啰叫一

11|町|西G5

即UC的半径为也.因为点。在OC上.所以点P的轨迹方程为（x-2）2+（），-1）2=:.

53

r2石c

/=2+—^—cost/

设点〃的坐标为（工,九）,可以设出点尸坐标满足的参数方程

-2石•Q

>'o=1+—s,n^

而A尸=5,%),AB=(0,1),AD=(2,0).

因为AP=/A8+=2(0,1)+〃(2.0)=(2/z,2)，

所以〃=-Ap=1+—cos^,2=y0=1+^^sin3.

255

两式相力口得义+〃=1+^^sine+1+-y-cos^=2+

sin(6+e)=

2+sin(9+/)W3(其中sine=t，cos(p=^^-)»

当且仅当e=5+2E-8，AwZ时，4+〃取得最大值为3.故选A.

解法二：如图所示,考虑向量线性分解的等系数和线，可得％+〃的最大值为3.

2.（2017浙江理15）己知向量”,力满足同=1,网=2,贝一回的最小值

是，最大值是.

解析解法一：如图所示，|。+同和|。-可是以向狗为邻边的平行四边形的两条对角线，则

卜+4十卜-邦=2（同%时）=10,4是以。为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等

的平行四边形AOBO,平行四边形ECO4.所以|a+b|+|a-q=kB|+|AC|.

易知当A，〃，C二点共线时，最小,此时kM+"C|=|BC|=4；

当AO_LBC时，|AM+|AC|最大，此时|A8|+|Aq=2|A8|=2石.

解法二：

（,+4+,一.）-=|a+Z>|2+|〃_邛+2,+制〃_闿=

2（|@.+时）+2也」+力+2同IJcosDJa。+/-2|4|Jcose

10+2j5+4cos。V5-4cos6>=10+2V25-16cos26>（8是向量〃，力的夹角）.

所以当cos?e=i时、|〃+4+|。一6|取得最小值4：当cos?e=。时,|«+Z>|+|«-A|取得

最大值2逐.

11.（2014新课标1理15）已知A及C是圆。上的三点，若4O=；（AB+AC）,则

AB与AC的夹角为.

12.（2015全国1理7）设。为△48C所在平面内一点，AC=3C力，则（）.

1414

A.AD=一一AB+-ACB.AD=-AB——AC

3333

41411

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB——AC

3333

所以CZ5=gBC=；（Ae-A8）,

12.解析由题可得BC=AC-A8,

所以4Q=4C+CO=AC+^[AC-

AIi]=-AC一一AB.故选A.

）33

13.（2015北京理13）在△44C中，点、M,N满足八M=2MC,BN=NC.

若MN=B+丁4C,piijx=：y=.

13.解析在△ABC中，点M满足AM=2MC,点N满足BN=NC,

则A/N=MC+CN=,AC+‘C8=,AC+L（A8-AC）=LA8-LAC,

3232、726

cU11

因此x=一,y=一一.

2-6

ULD.L1UDULUIUIB1

14.（2016四川理10）在平而内，定点A,B,C,D满足DA\=DBDCDA

uiauuiiuuuuuuuLKu.uniuuuuuuuiiir2

•DB=DB.DC=DC.DA=-2,动点尸M满足4P=1,PM=MC,则BM

的最大值是（）.

434937+6637+2月

A.1B.C.D.

4444

uunnura।uuur

I4.B解析由已知易得44。。=44力8=/8。。=120"，|。A=DB=\DC=2.

以。为原点，直线D4为X轴建立平面直角坐标系，则A（2,0），^（-1,-73）,

C(-h>/3).

uir、，)

设P(x,y),由已知PA=1,得(zx-2)+<=1.

UUUUUU1uuirx+1丁+3百、

又PM=PC,所以M,所以8M=F、-2-'

\/

(x+l)~+(y+3>/^)

4

2

它表示圆(x-2)+V=1上的点"，y)与点(一1,一3向距离平方的:,

15.（2017江苏12）如图所示，在同一个平面内，向量。4，OB,OC的模分别为1,

1,x/2,04与OC的夹角为a,且tana=7,。8与0C的夹角为45。.若

OC=mOA+nOB（利,〃tR）,则〃z+n=

0C0A=inOA0A+nOB0A

15.解析解法一：由题意(*)

OCOB=mOAOB+nOBOB

而由tana=7,得sina=」=,cosa=—,=,

5x/25V2

OA-OB=1x1xcosa+-=costzcos--sinasin—=——.

I4y445

—=in--n①

将（*）式化简为《55

1=——m+n②

5

式①加式②，得"?+〃=3.故填3.

解法二（坐标法）：如图所示，以所在的直线为x轴，过OIL垂直于的直线为y轴

建立平面直角坐标系，由题意结合解法一可得A（l,0）,CB,由

OC=mOA+nOB〃7（l,0）+即，;4$,解得

———fl

m=—

:,故/〃+〃=3.故填3.

〃=­

解法三（解三角形）：由lana=7,可得sina=逑，cos«=—,如图所示，根据

1010

722万

----n+——in=72

〃cos45°+〃?cosa=血即210

向量的分解，易得,即

nsin45°-/«sina=（3.鸣〃=0

210

5n+J〃=1O57

解得机所以，〃+〃=3.

5n-7ni=0

16.(2018全国in卷理科16)已知点M(-1,1)和抛物线C：)F=4X,过。的焦点且斜率为

女的直线与。交于A，B两点.若N4V仍=90。，则％=.

解析设直线的方程为J=&(%T)，A(A，yJ,fi(x,,y2),M4=(5+1,»-1),

MB=(.0+1，K-1).联立‘：“(，一",得公/一(29+4)X+公=0,%+兑=2.：4,

y2=4x、'k~

=1.①

由NAA»=90。，得

MA・MB=(内+1)(占+1)+(yT)(%-1)=%内+(X+&)+)'”'2一(凹+%)+2.(*)

,

因为y=A(xT)，所以y+为=k(x+x2)-2k,>v2=k，[3三一(8+£)+1].②

将①②代入(*)式，并化简得解得々=2.

17.(2018全国I卷理科6)在△ABC中,八。为BC边上的中线，E为八。的中点，则仍=

13

A.-AB--ACB.-AB--AC

4444

13

C.-AB+-ACD.-AB-i--AC

4444

17.解析如图所示，

E3=-8E=-g（班+〃O）=；A3—=—（（从0-48）=（48—1从（7.古攵选A.

A

题型63平面向量的坐标运算

1.（2014福建理8）在下列向量组中，可以把向量。二（3,2）表示出来的是（）.

A.e)=(0,0),e2=(1,2)B.e(=(-l,2),e2=(5,-2)

Cq=（3,5）,e2=（6,10）D.q=（2,-3）,e2=（-2,3）

2.（2014湖南理16）在平面直角坐标系中，O为原点，A（T,0）,8（0,J5）,

C（3,0）,动点。满足CO=1,则|。4+。8+。。|的最大值是.

3.（2014陕西理13）设向量a=（sin2acos。）,力=（cos6U）,若a〃b,

则tan6=.

4.（2014陕西理18）在直角坐标系xQy中，已知点A（1,1）8（2,3）,C（3,2）,点P（x,y）

在△ABC三边惘成的区域（含边界）上.

（1）若A4IIPC=0,求〔OP卜

（2）设02="7/48+〃4。（，”,〃£口），用X,y表示〃2-〃，并求用一〃的最大值.

5.(2015年江苏6)已知向量〃=(2,1),力=(1,-2),若〃以-泌=(9,一8)(wvzeR),

则加一〃的值为.

5.解析由题意〃以+〃/>=〃?(2,1)+〃(1,-2)=(2/"+〃,/〃-2〃)=(9,—8)，

2m+〃=9in=2〃

从而，解得《,故tn—〃-3

m-In--8〃=5

评注也可以将，〃一〃用2〃?+〃与〃?一2〃线性表示，如:

13

m-n=—(2m+n)H"一("?-2n)--3.

55

6.（2017江苏13）在平面直角坐标系工Qy中，点A（-12,0）,8（0,6）,点P在圆

O:X2+/=50±.若PA-P&,20,则点夕的横坐标的取值范围是

6.解析不妨设则X；+£=50,且易知/w[-5夜,5夜].

因为向.丽=4户•8尸=（%+12yo）•（如%-6）=

*+12%+），；-6），0=50+12.%-6%,20，故2%-%+5,,0.

所以点尸（%,），0）在圆0：/+>?2=5（）匕且在直线2x—），+5=0的左.上方（含直线）.

X2+/=50

n联*/--上Ju.《»彳号X|=-5,=1,如图所示，结合图形知玉5夜,1].

2x-），+5=0

故填

评注也可以理解为点夕在圆片+y；+12xo-6），o=2O的内部来解决，与解析中的方法一

致.

7.（2018天津8）如图，在平面四边形A8CQ中，AB上BC,

ADLCD,NBAD=120。,A3=A£>=l.若点E为边CZ）

ULUUIU

上的动点，则AE-8E的最小值为（）.

21325.

⑹正⑻5©记（D）3

7.解析建立如图所示的平面直角坐标系，则

,0小加考。

（2）2

点E在。。上，则OE=4OC(0K/lWl),设E=(x,)，),

则X+孚y=4冬a，

XH-------=------/

即22.

31

据此可得：七，且：

A'=(争争-得''

由数量积的坐标运算法则可得，

一3

整理可得：AEBE=^(422-2/I+2)(0<2<I),

结合二次函数的性质可知，当a=■!■时，AE5E取得最小值

416

故选A.

题型64向量共线（平行）的坐标表示

1.（2018全国皿卷理科13）已知向量昕（1,2）,力=（2,-2）,c=（l,x）.若。〃（〃+5）,

则石.

1.解析加+力=（2,4）+（2,-2）=（4,2）.又。〃（24+）），则祝=2,得2=L

第二节平面向量的数量积

题型65平面向量的数量积

1.（2013湖北理6）已知点A（—1,1）,8（1,2）,C（-2,-l）,力（3,4）,则向量A8在

CO方向上的投影为（）.

人372口3而c3夜「3后

A.--------B.---------C.----------D・------------

2222

2.（2013福建理7）在四边形/SCO中，4C=（1,2）,8。=（-4,2）,则该四边形的面积

为（）.

A.V5B.2V5C.5D.10

3.（2013安徽理9）在平面直角坐标系中，。是坐标原点，两定点4B满足

O^=\OI3\=OAOB=2,则点集｛P|0P=20A+〃08Pli+|“W1,九所表

示的区域的面积是（）.

A.272B.273C.4cD.4c

4.（2013辽宁理3）已知点A（l,3）,3（4-1）,则与向量AB同方向的单位向量为

（）.

5.（2013湖南理6）已知。2是单位向量，。力=0.若向量c满足上一。—4=1,则卜|的取

值范围是（）.

A.[⑸%&+1]B.[72-1,,V2+2]

C.D.[1,,岳2]

6.（2013重庆理10）在平面上,AB^,LAB2,O用=|。叫=1,AP=ABX+AB2.

若OP<"!■,贝IJ|OA的取值范围是（）.

21

A-（0-TB.

C.惇回口.停Ji]

7.（2013浙江理7）设△ABC,凡是边A6上一定点，满足e8=；AB,且对于边A8上

任一点、P,恒有PBPd.兄B七（丁，则（）.

A.ZABC=90氏N8AC=90C.AB=ACD.AC=BC

12.（2013全国新课标卷理13）已知正方形A8CQ的边长为2,E为CD的中点,则

AEBD=.

8.（2013山东理15）已知向量A8与AC的夹角为120,且,q=3,卜。=2,若

AP=/IA8+AC,且AP_L8C,则实数2的值为.

9.（2014安徽理10）在平面直角坐标系xOy中，已知向量〃，同=网=1,

a•力=0,点Q满足OQ=&（a+方）.曲线C={p|oP=acose+〃sine。，<9<2兀},

区域〃</?）.若c‘、a为两段分离的曲线，则（）.

A.l<r</C<3B.1<r<3,,7?C.r„1<7?<3D.l<r<3</C

10.（2014辽宁理5）设a,Ac是非零向量，己知命题p：若：a•5=0,bc=0,WJ

ac=0；命题q：若aHb,bile,则〃〃c,则下列命题中真命题是（）.

A.p7qB.pAqC.A（—z/）D.〃v（F）

11.（2014四川理7）平面向量a=（l,2）,b=（4,2）,c=〃za+方（〃zwR）,且c与。的

夹角等于c与力的夹角，则〃?=（）.

A.-2B.-1C.1D.2

12.（2014重庆理4）已知向量°=（4,3）,b=（l,4）,c=（2J），且（2a-3A）_Lc,则实数

k=（）.

13.（2014北京理10）已知向量0,力满足同=1,6=（2,1）,且加+b=0（/leR）,

则风二.

14.（2014湖北理II）设向量a=（3,3）,/>=（1,-1）,若（a+劝）J_（a-孙则实数

2=.

1

在6c中，内角A5,C的对边a,A,c,且a>c.已知6A=2,cosB=-,

3

〃=3.求：

（I）a和c的值；

（2）COS（B-C）的值.

15.（2015安徽理8）Z\ABC是边长为2的等边三角形，己知向量Q,6满足人8=2”，

AC=2。+力，则下列结论正确的是（）.

A.|/»|=1B.aA-bC.a»h=1D.（4a—/»）±BC

15.解析解法一：对于选项A,因为AC=AZ?+6C=2a+b,故Bd=b,所以

网=2,选项A错误：对于选项B,因为AMa,BC1/b,所以〃与力不垂直，选项B

错误；对于选项C,因为“S=lx2xcosl20=-1,选项C错误：对于选项D,因为

（4a+b\BC-（4a+b\b=^a-b+1£>|2-4x（-l）+4-0.选项D正确.故选D.

解法二：对于选项D,过点A作八。1BC于点O,则点。为的中点，

所以（4a+b）・BC=（AB+AC）^C=2AD-BC=0.故选D.

16.（2015福建理9）.已知A8_L4d,|A8卜;卜心卜’,若点P是△ABC所在平面

AB4AC

内一点，且AP=LT+——，则P8・PC的最大值等于（）.

\AB\AC

A.13B.15C.19D.21

16.解析以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则

C（o,r）,AP=（LO）+4（O,I）=（1,4）,即P（l,4）,所以=—,

PC=（-l,r-4）,因此尸8・PC=l—；—4/+16=17—（；+4”.由题可得/＞0,所以

y+4r...2^4r=4,所以尸的最大值等于13,当;=3，即/=；时，等号成

立.故选A.

17.（2015全国1理5）已知必（天）,坊）是双曲线上的一点，片，尸?是。

的两个焦点，若5・历乙＜0,则用的取值范围是（）.

17.解析由题可得用一百.0）,玛（也,0）,且即*=2+2），：，

所以=卜百一%,-%）,（百一/，一%）=片+$-3=3），：-1＜0,

解得一曰＜九＜*・故选A・

18.（2015山东理4）已知菱形ABCO的边长为a,ZABC=60,则3O・CO=（）.

18.解析解法一：如图所示，在菱形A8CO中，ZABC=60,各边长均为

CD=BA,BD=BA+BC,所以3£>・C。=(BA+卜8A=

BA2+BC>BA=|Z?A|2+15C||BA|cosZABC=a2+a2cos60=1«2.故选D.

解法二：由题可求得［8£>|=J5a,5。与C。的夹角为30,所以8。・。。=

\BDCDcos30=-a2.故选D.

2

19.（2015陕西理7）对任意向量a,。，卜列关系式中小恒成立的是（）.

A・•矶诽|B.k一年|同一网

C.（a+力）2=|a+b『D.（a+b）（a-b）=a2-h~

19.解析解法,|同_|闻0,一4J,（同一问）2=

，一Zr"时,，同2—2同.同+时=a»...闷JW，矛盾，B不正确.故选B.

解法二：从几何上考虑.如图所示，由三角形两边之差小于第三边得，

M-例＜|。一.，B不正确.故选B.

20.（2015四川理7）设四边形A38为平行四边形，卜@=6,卜4=4.若点M,N满

足3M=3/C,DN=2NC,则AM-MW=（).

A.20B.15C.9D.6

3—1^1.

20.解析AM=AB+-AD,NM=CM-CN=一一AD+-AB,

443

；(448+3AD)x,(448—3AO)=g：)

所以AM・NM=16A89AO=

表(16x36-9x16)=9.故选C.

21.（2015重庆理6）若非零向量a,。满足同=半M|,且（a-0）JL（3a+犯则。

与〃的夹角为（）.

兀c兀-3元c

A.—B.—C.—D.7T

424

21.解析设。与b的夹角为夕，根据题知3-㈤■!_（3。+2㈤，得

（«-b）»（3a+2b）=0,

所以3，一。山-2时=0,3,一同网8sg=2时=0,在由同=平网，

得1同~—2f忸/cose_2|b『二0，cos^=»即。=:.故选A.

22.（2015年湖北理11）.已知向量OA_L48,|。4|=3,则OAO6=.

22.解析因为。4JLA反所以04X3=0即。小（08-。4）=0,

。408=042=|例2=32=9，故填9.

23.（2015天津理14）在等腰梯形ABC。中，已知AB〃£）C,AB=2,BC=1,

NA8c=60，动点E和/分别在线段8c和。C上，且=

DF=—DC,

92

则AE•AF的最小值为.

23.解析因为。“=」-£>c，DC=-AB^

9A2

CF=DF-DC=—DC-DC=—]^DC=—]^-AB,

9/192182

AE=AI3+BE=AI3+ABC,

——•——.—1—9/i1+9J

AF=AB+BC+CF=AB+BC+-----AB=------AB+BC,

182182

AE・AF=(人B+/13C)•AB+BC=

1+9/1

ABBC=

182J

1+92..X+94〜1me

---------x4+A+-------------x2xlxcos!20=

18218A

AIE...2』UT

94+22+189221818

当且仅当2=2,即％=2时，A厂的最小值为”.

9/12318

24.（2015浙江理15）己知q,0是空间单位向量，e^e2=^,若空间向量8满足

bei=2,方电二g且对于任意工,了£R，

M-(W+ye2)\..\b-(x^+%e?)|=1%£R),

则/='>0=--------'网=

24.解析由已知可得，NAQB=60。，OF=2yOE=~.如图所示,

2

空间向量方在6，0确定的平面内的射影是oc,则OC=布,

设OA=%,08=%,则8C=%,8E=5,08=|哼,

5%

在△08。中，由余弦定理得与2+=7,

(22

解得义=1,%=2.科=Mj+f=2拒.

25.（2015年广东理16）在平面直角坐标系工0），中，已知向量，〃=（坐,一42}

2

H=(sinx,cosx)

(1)若小JL〃，求tanx的值:

⑵若血与〃的夹角为色，求其的值.

3

25.n=（sinx,cosx）,且机J_〃，

fV2㈤

所以m・〃=•（sinx,cosx）=—sinx--cosx=0，所以sinx=cosx.

2'2,22

sinx,

所以tanx=-------=1.

cosx

（2）由（1）依题知

又因为“H:汁所以T哈即、

如■'（1UIN（JiC

26.（2016全国丙理3）已知向量84=Q,5C=，则NABC=

（）.

A.30B.45C.60D.120

26.A解析由cos48C=产;水且.又（）v4叱V兀,所以48。=：.故选A.

网W°26

27.（2016全国甲理3）已知向量〃=（1,/〃），〃=（3,一2）,且力）_1,），则加=

（）.

A.-8B.-6C.6D.8

27.D解析因为。+6=（4,m-2）,且（4+解16,所以（4+b〉b=12-2（加-2）=0,

解得，〃=8.故选D.

28.（2016山东理8）已知非零向量机，〃满足4卜〃|=3词，C0S〈B〃）=；.若

nL（tm+n）,则实数f的值为（）.

99

A.4B.-4C.-D.——

44

2

28.B解析因为小〃=|m|-|/i|cos<m,n>=—n由〃1(〃〃+〃)，

4

所以〃•(/m+〃)=/g〃+〃2=0,即((+1=0,所以r=—4.故选B.

29.(2016天津理7)已知△A8C是边长为1的等边三角形，点/),E分别是边48,

8c的中点，连接。后并延长到点尸，使得DE=2EF,则＞4“.3C的值为().

51111

A.一一B.-C.-D.一

8848

29.B解析由题意作图，如图所示.则AF-BC=(AE+Efj-8C=

%CBC=：8s6。4故选B.

30.(2016全国乙理13)设向量a=(〃7,l),方二(1,2),且|。十耳2=|。『+忸『，则

30.-2解析因为|。+力『=(〃+〃)-二/+必+为》=|。『++勿》=|。『+时，故

2ttb=0,即a)=0,所以=("?,1).(1,2)=〃z+2=0，得〃!=—2.

31.(2016上海理12)在平面直角坐标系中，已知A(l,0),P是曲线

)，=仄了上一个动点，则8P・84的取值范围是.

31,[0,l+V2]解析),二川_,表示单位圆的上半圆(包括端点)，

不妨设P(cosa,sina),ae[0,n],=B尸二(cosa,sina+1)

8P8A=cosa+sina+l=&sin[a+：)+le[o,l+&].

32.(2016江苏13)如图所示，在△ABC中，。是BC的中点，£厂是AO上两个三等

分点，BACA=4,BFCF=-\,则的值是

A

7

32.-解析解法一（基底法）：令DC=a,DF=b,则OB=-a,DE=2b,

8

DA=3b,则8A=“+3b,CA=-a+3b,BE=a+2b,CE=-a+2b,

BF=a+b,CF=-a+h,故8ACA=—/+9/=4,BFCF=-f=-1,因

>13,25山nr«cl2AL24X5137

此a”=——,b=-.故BE,CE=-a~+4b~=------------=—.

88888

解法二（建系法）：可以考虑以。为原点，3C所在直线为柒轴，BC的中垂线为y轴建立

如图所示的平面直角坐标系，不妨设C（a,O）,尸①c），则砌一々,0），E（2b,2c），

A（3//,3c）.

则BA=（3/?+a,3c）,C4=|3/?-«,3c）,BE=（2b+ci,2c）,CE=（2b-a,2c）,

BF=（b+a,c）,CF=（b-a,c）,由题意6Ad=昉+9/-k=4,

BFCF=b2+c2-a2=-\,因此b2+c2=-.^

88

r»Lf342、4x5137

BE•CE=4b'+4c'—a~=-----------=—.

888

评注特别地，可以假定n4J."C,建立特殊的直角坐标系.这类问题以前也遇到过,

比如下面一题.

在平面四边形ABCD中，点E,尸分别是边AD,BC的中点，且4A=1,

EF=y/2,CD=y/3.若4O6C=15,则AC•8D=.

C

D

解析解法一（配凑）：由题意得EF=E4+A8+B尸，=ED+D（j+cF,

从而2EF=AB+OC,平方整理得AB0C=2.

(或2•=EC+E8=EZ)+OC+E4+A8=A8+OC〉.

故ACAQ=(AO+OC)(BC+CO)=人。3C+AOCO+OC8C+OCCQ

=ADBC+DC^-AD+BC+CD)=ADBC+DC^A=13.

解法二(建系)：建立如图所示的平面直角坐标系，

inn\G+1b\

不妨设/)(〃?,〃)，C(a,b),从而8(1,0),E\—,F——.

(m-a)~+(??-b)2=3①

即通过《(〃?-a-1)2+(〃-=8②.求解

ni(a-\)+bn=15③

AC-BD=(«,/?)(///-1,n)=ma-a+bn,

①_②得G〃_Q)2_(m_Q_1)2=5,即〃?_q=_2④，

而③即为ma一加+fol=15©,

⑤+④得〃以一〃+物?二13,即AC8O=13.

可见，强制建系均根结底转•匕为恰当的代数(强烈的目标意识)处理，而合理的建系会

对运算起到简化作用.

33.(2016浙江理15)己知向量a,h,\a\=\,\b\=2,若对任意单位向量e,均有

瓜,则°电的最大值是.

33.—解析由题意可得|(a+))e圈a+M瓜,

由于e为任意的单位向量，有k+qw|(G+3-e|wB①

22

a+h+2ab^6t士g.当c与〃平行时，①式第一个小于等于号可取等号.

当|(a+b).e|=|a.e|+|/re|=时，有。方二g.取a与方的夹角余弦值;的a与白，6与

a+b平行时，上述等号都成立，a)可取到g.

34.(2017天津理13)在A/1BC中，N4=60,A8=3,4c=2.若8。=2QC,

AE^AAC-AB(AGR),W.ADAE--4,则4的值为.

34.解析解法一：如图所示，以向量A8,AC为平面向量的基底，则依题意可得

4B-AC=|AB||AC|cos60=3x2x；=3.又因为8O=2OC,

则AO=A8+8O=A8+-8C=A8+-AC-A8=-AC+-A8,

33、f33

则-4=4DAE='AC2_1A8，+「4—2]AC.A8=U>1—5,解得a=3.

33133j311

c

D

AB

解法二：以点A为坐标原点，以所在的直线为x轴，建立直角坐标系（如图所示）.依题

意易得A（0,0）,8（3,0）,C（1,V3）,48二（3,0）,BC=[-2,⑹,AC=（1,73）.

2（5

则可得AO=A8+8O=A4+wBC=,AE=AAC-AB=^-3f>/3Ay

3133J

5113

于是有-4=AO.AE=5（2-3）+22=7；l-5,解得a二丁.

35.（2017北京理6）设雁，〃为非零向量，则“存在负数4,使得/»=北。”是"m〃v0”的

（）.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

35.解析若三为式。，使小一方2,即两向量方向相反，夹角为180，则，小〃<0.若

加•〃<（）,也可能夹角为（90,180],方向并不一定相反，故不一定存在.故选A.

36.（2017全国1理13）13.已知向量a,5的夹角为60，同=2,同=1,则

\a+2b\=.

22223

36.解析\a+2Z>|=（a+2ft）=|a|+2•|a|•\2h\■cos60+（2网『=2+2x2x2xl+2=

4+4+