第06讲立体几何初步（8.4空间点、直线、平面之间的位置关系+8.5空间直线、平面的平行）（解析版）

第06讲立体几何初步

目录

高频考点1：截面问题

高频考点2：位置关系

直线与直线、平面的位置

高频考点3：线面平行

①证明线面平行

②补全线面平行的条件

③线面平行的性质

④线面平行求线段长

高频考点4：面面平行

①证明面面平行

②补全面面平行的条件

③面面平行性质

高频考点5：画出交线问题

高频考点1：截面问题

1.（2022•江西南昌•高二期中（理））用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几

何体不可能是（）

A.圆锥B.圆柱

C.三棱维D.正方体

【答案】B

用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰三角形，所以A满足条件；

用一个平面去截•个圆柱时，截面的形状可能是矩形，可能是圆，可能是椭圆，不可能是一个三角形，所

以B不满足条件；

用一个平面去截一个三棱锥时，截面的形状是一个三角形，所以C满足条件；

用一个平面去截一个正方体时，截面的形状可以是一个三角形，所以D满足条件.

故选：B.

2.（2022•云南师大附中模拟预测（理））已知正方形A8CO的边长为2后，将二ABC沿对角线4C折起，

使得一面角8-AC-。的大小为90.若三棱锥小-AC。的四个顶点都在球O的球面上，G为4?边的中点，

E,尸分别为线段3G,。。上的动点（不包括端点），且BE=6CF,当三棱锥石-ACF的体积最大时,

过点尸作球。的截面，则截面面积的最小值为（）

38

A.2>/2^B.27rC.-7rD.

【答案】D

因为正方形A8CO的边长为2&，所以AC=4.

如图，由于平面48。_1_平面47。，平面人ACO平面4co=AC,乂G为AC边的中点，则有BG_LAC,所

以BG_L平面ACO.设b=x（0<%<&）,则=所以三棱锥E-Ab的体积V=；5AA门-EG=

-X-AC>CF>sinZACF^EG=-x-x4x^—（2->/2x）=-（>/2x-x2）,当工=正时.，V取得最大值.由于

3232232

GA=GB=GC=GD,则球。的球心即为G,且球。的半径R=2.又在△Gb中，由余弦定理，得

GF=QGC?+CF?-2GC・bcosZACF=也,根据球的性质可知，当G尸垂直于截面时，截面圆的面积最

小，设其半径为r,所以r=jRJGF2=卜｛.=J1,见截面面积的最小值为|联

故选:D.

3.（2022•全国•高一单元测试）在长方体人8。。一48£口中，A8=4、BC=3,M、N分别为棱A8、

明的中点，点/在对角线AG上，且=3,过点/、N、尸作一个截面,该截面的形状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】C

如图所示，延长MN、A4,使MNcA/i=T,连接PQ、PT,

•••A8=4、BC=3、A0=3,

/.AG=5、C|P=2,

・「M、N分别为棱A3、Bq的中点，

BM=B、T=2,

：.A]=6,

--Fn-=7L7=I,又4、P、G三点共线，

T,P、R三点共线，A在截面上，

延长NM、A.A,使NMC/\A=K,连接AK,使〃KCAO=Q,

・・・。在截面上，

连接QM、KM,

AQ〃AR，且AQ=gA"

/.AK=-AA：.AKHBN旦AK=BN,

2if

又“为A3中点，A、B、M三点共线，

M、N、K三点共线，

一•截面为五边形"SNMQ,

故选：C.

4.(2022•福建省厦门集美中学模拟预测)在正方体ABC。-A8CA中，棱长为3,E为棱8与上靠近4

的三等分点，则平面AE0截正方体A8CD-A&G。的截面面积为()

A.2VFTB.4X/TTC.2722D.4疝

【答案】c

延长AE，A4交于点尸，连接A尸交8c于点G,如图,

-/而AFD.面A。。A=AD.,而AF。「面8。。声=EG

ADJ/GE，又＜AD、=3叵,GE=叵

.•.四边形AEG。是梯形，且为平面A£R截正方体ABCO-AQCA的截面.

又gG=AE=屈,在等腰梯形AEGR中，过G作G"1AR,

：.GH=JDG-DH=Vil

:.S=g（AD、+EG）.GH=30亚=2厄.

故选：C.

5.（2022・河南郑州♦三模（理））用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是（）

①等边三角形②直角梯形③菱形④五边形

A.®®®B.①®@C.①③④D.②③④

【答案】C

解：如图，用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是等边三角形，菱形，五边形，

故选：C

6.（2022•河南•南阳中学三模（文））如图，在棱长为2的正方体AACO-AqCR中，点P是棱AB上

的动点，过A，G，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面

)

A.23+乎C.5+延

B.

22

【答案】D

解：如图所示，过点。作PQ//AG,交4c于点Q,则四边形PQGA就是过点A，G，P的截面，设PB=BQ=x,

(0<x<2),

则台体咏7G的体岭2x（2+#

解之得x=g,

所以PQ=¥，AP=GQ=^7^=g，AG=2x^,

所以截面的周长为，2+2夜+也=5+工血.

222

故选:D

高频考点2：位置关系

直线与直线、平面的位置

1.（2022•山东潍坊-模拟预测）学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图.某小组得到了如图

所示表面展开图，则在正方体中，AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线中，异面直线有（）

DB

A.1对B.3对C.5对D.2对

【答案】B

作出正方体的图形如下图所示：

则与。。、AB与GH、E/与G”是异面直线，共3对.

故选:B.

2.（2022•北京市第一六六中学高一期中）已知三条直线。，b,c满足：。与方平行，”与。异面，则〃与

c（）

A.一定异面B.一定相交C.不可能平行D.不可能相交

【答案】C

已知三条直线。，b,c满足：。与人平行，。与c异面，则。与c可能相交，也可能异面，不可能平行.

若力与c平行，又•.〃与〃平行，根据平行公理，可得。与。平行，这与。与。异面矛盾.

故选：C.

3.（2022•黑龙江•鸡西市第四中学高一期中）若平面a4，直线。ua,直线〃u4，那么直线

的位置关系是（）

A.垂直B.平行C.异面D.不相交

【答案】D

因为平面a〃仇直线aua,直线bup,

所以直线a,〃异面或平行，所以直线a,〃不可能相交.

故选:D

4.（2022•北京东城•三模）如图，在正方体ABCO-ABCR中，E,尸分别为CC-0cl的中点,

则下列直线中与直线跖相交的是（）

A.直线A产B.直线A"C.直线GRD.直线AA

【答案】A

连接则EF//CR,EF=gcD\,

由AR"BC，AD\=BC,可得四边形AQCB为平行四边形，

A.B//CD,,A\B=CD、,

所以即四边形EFBA为梯形，

故直线A尸与直线的相交，

直线a2与直线班:为异面直线，百线G。与直线的为异面直线，直线AA与直线跖为异面直线.

故选：A.

5.（2022•山西•怀仁市第一中学校云东校区高二阶段练习（文））如图，在下列四个正方体中，A,B为

正方体的两个顶点，M,N,Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线A8与平面MNQ不平行的是

（）

B

【答案】A

对于A,连接8C,交MN于点、0,连接Q2,

若AB〃平面MNQ,ABu平面48C,平面ABC。平面MNQ=OQ,/.AB//。。,

又。为AC中点，为BC中点，显然不成立，假设错误，

即直线A6与平面MVQ不平行；

对于B,连接C。，

•・,八九。分别为所在棱中点，「.加。47。，乂48〃0，〃。/丛8,

MQu平面MNQ,/W(z平面MNQ,A"〃平•面MNQ；

对干C,连接CQ,

•••/乩。分别为所在棱中点，，〃。〃8,又AB//CD,：.MQ〃AB,

MQu平面MNQ,A8a平面MNQ,：.AB//平面MNQ；

对「D，连接CD,

QMQ分别为所在棱中点，.•.NQ//C。，又ABMCD,：.NQHAB,

YMQU平面MNQ,ABQ平面MNQ,.二AB〃平面MNQ.

故选：A.

6.（2022•全国-高一课时练习）若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两

个平面的位置关系是（）

A.一定平行B.一定相交

C.平行或相交D.以上判断都不对

【答案】C

一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，若这两条直线相交且这两条直线平行于另一

个平面，则可得这两个平面平行；

若这两条直线平行，则这两个平面可能相交也可能平行；

故选：C.

7.（2022•福建省德化第一中学高一阶段练习）如果直线。〃平面。，Pea,那么过点P且平行于直线。

的直线（）

A.只有一条，不在平面。内B.有无数条，不一定在平面。内

C.只有一条，且在平面。内D.有无数条，一定在平面a内

【答案】C

过“与P作一平面夕，由于尸e夕

故可设平面。与平面夕的交线为人且尸£人，

由平面的公理2可知两平面的交线b是唯一的，

因为直线。〃平面。，所以a//人

即过点尸和已知直线a平行的直线有且只有一条，且在平面a内

故选：c.

8.（2022•全国-高一单元测试）棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关

系是（）

A.平行B.相交C.平行或相交D.不相交

【答案】A

因为棱柱的侧棱是互相平行的，所以由直线与平面平行的判定定理可知，侧楂所在的直线与不含这条侧棱

的侧面所在的平面平行.

故选:A

高频考点3：线面平行

①证明线面平行

1.（2022•黑龙江•哈尔滨市第六中学校高一期中）如图，在正方体ABC。-ABC。中，E为。。的中

点，”为CQ的中点.

G

F

UFC

AB

（1）求证：平面

（1）证明：连接3D交AC于点，7,则。为8D的中点,

Ci

1

因为E为。。的中点，则8R//OE,

ER（X平面AEC,OEu平面AEC,因此，BDJ!平面AEC.

2.（2022•福建三明•高一期中）如图所示，在正方体人8C。-4用GQ中，E为。。中点.

⑴求证：3。"平面AEC；

(2)若正方体棱长为2,求三棱锥R-AEC的体积.

⑴证明：连接8。交AC于。，连接OE,所以0E是.的中位线,

所以OE//BR,

又。Eu面4EC,3,仁面4EC,所以8。“平面4EC；

(2)解：正方体ABC。—A4G2中，仞J•平面OCCQ,

所以%TEc=%/Ec=：S*cAO=gx；xeExC/)=：x；xlx2x2=：；

3.(2022•河南•模拟预测(文))如图，在四棱柱A8CQ-44GA中，四边形ABC。是正方形，E,

F,G分别是棱8用，BG,CG的中点.

(1)证明：平面AEF"平面AQQ；

【答案】

证明：连接EG,BC「

因为E,G分别是棱叫，CG的中点，所以£G〃MG，EG=B©.

因为AR〃用G，AD=B£,所以EG〃AQ,EG=AtD,,

所以四边形EG"凡是平行四边形，则AG〃A卢.

因为"Gu平面ARG,平面ARG,所以八七〃平面A"G.

因为E，〃分别是棱8片，4G的中点，所以EF〃B&.

因为4R〃BG，所以E尸〃4R.

因为ARu平面4RG,律a平面ARG,所以瓦1〃平面ARG.

因为£Fu平面AE产，4,Eu平面A?尸，且A£c£F=E,

所以平面AEF#平面A。。.

4.(2022•北京•清华附中朝阳学校高一阶段练习)如图，在四棱锥尸-A8CO中，9J_平面A8CO,底

面A8CO为正方形，尸为对角线AC与8。的交点，E为棱。。的中点.

(1)证明：EF//平面PBC；

【答案】

证明：因为底面A8CD为正方形，尸为对角线AC与8。的交点,

所以r为AC的中点，

又E为棱P。的中点，

可得EF//PC,

乂上尸仁平面P4C,"Cu平面P8C,

可得所〃平面P8C：

②补全线面平行的条件

1.（2022•全国•高三专题练习）如图，已知人。，平面ABC,EC_L平面ABC,AB=AC=AD=^BCt

设P是直线跖上的点，当点?在何位置时，直线。P//平面43C?请说明理由

【答案】点尸是M的中点，理由见解析.

解：当点夕是晅的中点时，O/V/平面A8C.

理由如下：如下图，取6c的中点O,连接AO、OP、PD,则OP/R/ECJELOFUIEC,

2

因为ADJL平面ABC,EC_L平面A8C,所以AQ//EC.

又=所以OP//AO目OP=/W，

所以四边形4OPQ是平行四边形，所以QP//4O，

因为AOu平面ABC,OPu平面A8C,所以DP//平面48c.

所以当点。是跖的中点时，OP//平面ABC.

2.（2022•北京东城•高三专题练习）如图所示，在三棱柱ABC-AHG中，平面ACC;A，平面ABC,

AA.1ACfAA,=AB=BC=2tQ,。分别为AC,4G的中点，且/班。=30。.

,41D10

7P：7'

（I）在棱AA上是否存在点M,使得平面DBG?若存在，请找出点”的位置；若不存在，请说

明理由；

【答案】（I）存在，当点M与点A重合时平面DBC”

（I）存在，当点“与点A重合时AM//平面D8G，

证明如下：

/】DiCi

连接〃A,Q。，A分别为AC,AG的中点，

：.D\C、HDA,且AG=£>a,可得四边形〃CQA为平行四边形，

则“A//CQ,

••・G力U平面DBC],。/<£平面DBC},

〃平面DBG,即〃平面Dg；

3.（2022•湖北•高一阶段练习）如图，在四棱锥尸-A8C。中，四边形ABC。是平行四边形，点E,F,

G分别为线段BC,PB,AO的中点.

⑴证明：a71平面尸GC；

⑵在线段B力上找一点“，使得/万・平面PGC,并说明理曰.

【答案】（1）证明见解析；

（2）”为8。的三等分点（靠近点8）,理由见解析.

（1）£、/分别是8C,3。中点，则"V/PC,而PCu平面PG。，KRX平面PGC,

所以EF〃平面PGC.

⑵连接AE,与8。相交于〃，则〃为8。的三等分点（靠近点B）,即为所求.

平行四边形A6c。中，因&G分别是AC、AO中点，则人G//CE,AG=CE,

即四边形AKCG是平行四边形，于是得AE//CG,令CGcBO=M,则BH=HM=MD，

而AE<Z平面PCG,CGu平面PCG,因此，AE〃平面PCG,由（1）知£/7/平面PCG,又AEcEF=E,

AE.£/（=平面A£〃，

于是得平面其石E〃平面PCG,又FHu平面AEF,

所以"7〃平面PCG,且”为8。的三等分点（靠近点B）.

4.（2022•湖南•长沙一中高三阶段练习）如图、三棱柱A8C-A耳G的侧棱垂直于底面ABC,ABC

是边长为2的正三角形，M-3,点。在线段A8上且4。=2。8,点K是线段8c上的动点.

（1）当冬为多少时，直线OE//平面ACGA?

r.C,

【答案】⑴

当点上是线段4G上靠近点用的三等分点时，DE"平面ACCM

过点。作DF//44交44于点尸，过点F作EF//A£交BC于点、E,连接。石

B

•.EFHAG，EFa平面ACGA

.•.所〃平面ACGA

-FD//A.A,尸。二面ACGA

.•.田//平面AC£A

乂•，瓦'c月D=尸，则平面鼻力〃平面ACCIA

OEu平面上夕。

.•.。6//平面从。。人.

BE」F二BD二1

国一瓦一丽一5

・・・当第=g时，OE〃平面4CGA.

③线面平行的性质

1.(2022•黑龙江双鸭山•高一期中)如图，在直三棱柱44C-A4G中，M为线段上3片的点.

(1)记平面ACM与平面A/C的交线为/,证明：/〃AC；

(2)在答题卡原图画出交线/并写出作图过程.

【答案】⑴证明见解析；

(2)见解析；

⑴

易得ACAG，AG2平面ACM,4Cu平面ACM,则ACl平面4cM,

又A©u平面44G，平面4cMi平面A4G=/,则/〃AG；

(2)

如图，延长AB］交AM的延长线于E,延长GA］交CM的延长线于b，连接E/7,

易得EcAM,FeCM,4M,CMu平面ACM,则E/e平面ACM,同理可得七,尸£平面4片6,

则直线EF即为平面ACM与平面AMG的交线/.

2.(2022•广东•广州市第五中学高一阶段练习)如图，在四棱锥P-A8C。中，底面A8CQ是菱形，N,M.Q

分别为P8,PD,PC的中点.

(1)求证：QN〃平面厚£>；

(2)记平面CWN与底面/WC。的交线为/,试判断直线/与平面阳。的位置关系，并证明.

【答案】(1)证明见解析：(2)直线〃/面句?/).证明见解析.

(1)因为MQ分别为相，PC的中点，所以QN//BC,

因为底面48CQ是菱形，所以BC//AD,所以QN///W,

因为QN(Z平面尸4。，ADu平面尸AO，

所以QN〃平面抬。，

(2)直线/与平面PHD平行，证明如下：

因为N,M分别为-PD的中点,

所以MN//HI),

因为M/V<Z面ABC。，BDu面ABCD，所以MN〃面ABC。，

因为平面CMN与底面A8CO的交线为/,MNu面CMN,

由线面平行的性质定理可得MNHi,

因为MN"BD,所以AQ///,

因为3Ou面尸8Q,/0面PBZ),

所以直线〃/面/沏).

3.（2022・全国・高二课时练习）在如图所示的一块木料中，棱平行于平面AB'C'D.

（1）要经过平面ABC'。内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？

（2）所画的线与平面A8CO是什么位置关系？并证明你的结论.

【答案】（1）答案见解析；（2）M〃平面A8CO,理由见解析.

（1）如图在平面AEC。内，过点尸作直线石尸，使所〃夕0，分别交棱Ab,CD'于点、E,尸，连接班:,

。尸，则BE,CF,就是应画的线.

作图如下：

（2）所〃平面ABCZ）.理由如下:

因为8c〃平面AECTA

又因为平面B'CCBcA'B'CD=B'C,

所以AC〃9C,因为EF//9C,所以加7/5。，

又因为平面ABCQ,8。（=平面48。。，

所以£7"/平面A8CD

4.（2022•云南保山♦高一期中）如图所示，尸为平行四边形A3C3所在平面外一点，M,N分别为A8,

PC的中点，平面平面。8C=/.

（1）求证4C/

（2）MN与平面PA。是否平行？试证明你的结论.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

试题分析：证明线线平行的方法；1，向量法，2.垂直于同一平面的两条直线平行，3平行于同一直线的两

条直线平行•，4一个平面与另外两个平行平面相交，那么两条交线也平行.线面平行，，1平面外的一条直线与

平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行，2若一条直线与一个平面同时平行于另一个平面且这

条直线不属于这个平面，则这条直线与这个平面平行，3若一条直线与两平行平面中的一个平行，则这条直

线与另一个平面平行，4.最好用的还是向量法.

试题解析：⑴证明因为BCIIAD,AD评面PAD,

BC评面PAD,所以BCII平面PAD.

又平面PADc平面PBC=I,BCu平面PBC,所以BCHI.

(2)解MNII平面PAD.证明如下：

如图所示，取PD中点E,连结AE,EN.

又二飞为PC的中点，EN：gcD

又；AM弓6

/.AM?EN

即四边形AMNE为平行四边形.

/.AEIIMN,又MNU平面PAD,AEu平面PAD

.；・MN〃平面PAD.

5.(2022•山西福一阶段练习)如图，在三棱锥丫一ABC中，△必3为等边三角形，AC±BCAAC=BC=2t

O,M,。分别为AB,AV,BC的中点，BM,VO交于点尸.

(1)证明：A3_L平面VOC；

(2)在线段8M上是否存在一点E,使DE#平面VOC?若存在,请指出点E的位置；若不存在，请说明

理由.

【答案】(1)证明见解析

⑵存在，点E是线段8M上靠近8的三等分点

⑴证明：

■「AC=BC,。是A3的中点，

/.AB1OC,

又是等边三角形，O是人B的中点，

AB1OC,

乂丁OCQOV=O,OC,OVu平面VOC,

平面VOC；

⑵假设线段8M上存在一点E使。E"平面VOC,连接CF,

V

「DEu平面BMC平面AMUQ平面VOC=CF.

/.DEI/CF,

・•,o是3c的中点，

・•.E是BF的中点,

又尸是等边三角形V48的重心，

二BF=2FM、BM=3BE,

・••点七是线段8M上靠近8的三等分点.

6.(2022•四川省南充高级中学高三阶段练习(文))如图，在四棱锥尸-A6CD中，PC±®A5CD,AB±ADf

AB//CDfAB=2AD=2CD,

(1)求证：AC1PB；

(2)试问：线段尸3上是否存在点E,使得9〃面AEC,若存在,求出点石的位置；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，点E在线段M上，靠近点P的三等分点

(1)「PC_L面A8CQ,ACu面4BCO,

PC1AC,

取A3的中点忆连接CF,因为44_LA£>,ABHCD,AB=2AD=2CD,

所以4F=CQ,故四边形4。(才为正方形，所以CELAB,Z4CF=45°,又CF=BF,所以NFC8=45。，从

而4C_L8C,

又RCcPC=C,

・•・ACJ■面P8C,又依u面P8C,AC1PB；

⑵存在点E,在线段/Z上，靠近点/）的三等分点，即BE=2".

证明如下：连接3D交AC于。，再连接E。，

BOBA0

•「AB//CD,^DOC-△BOA,—=----=2,

DODC

又需2,

:.EO//PD、EOu面以C,PD(Z面EAC,

④线面平行求线段长

1.（2022•山东淄博•高一期中）如图所示，正四棱锥P-ABC。的各棱长均为13,M为期上的点,

且尸M:M4=5:8.

p

(1)在线段3。上是否存在一点M,使直线MN平面P3C?如果存在,求出&V:N£＞的值,如果不存在,

请说明理由；

(2)假设存在满足条件(1)的N点，求线段的长.

【答案】⑴存在,BN:ND=5:812)7

⑴存在,3MM)=5:8；理由如下:

连接AN并延长，交BC于E,连接庄.

因为正方形ABC。中，AD//BC,所以不^■二二二9

NAND8

又因为萼■二!，所以MN//PE；

MA8

庄u平面P8C,MNa平面P8C，所以MV//平面P8C.

⑵由（1）得8£:4。=5:8,所以3E二，；

8

△P3E中，PE2=PB2+BE2-2PBBEcos60°

（65丫6518281

=13-+——-2xl3x—x-=---,

I8J8264

91

所以PE二；

8

因为用N//PE,所以MN:PE=8:13

O1Q

所以MN=—x—=7.

813

2.(2022•全国•高二课时练习)如图，E是棱长为1正方体ABCO-ABGR的棱上的一点，且BR〃

平面MCE,求线段C£的长.

【答案喈

连接8G，交瓦C于点。，连接E。，则。为BG的中点.

BDJ/平面B[CE,BD]u平面BCE,平面BD£c平面B[CE=EO,

EOHBD,,又o为4G中点，为GA中点，，£E=g,

则在用△C0E中，CE=Qcc；+CE==y--

3.（2022•全国•高二课时练习）如图所示，直线a〃平面夕，点A在。另一侧，点B,C,Deat线段

AB,AC,4。分别交。于点E,F,G.若30=4,CF=4,A尸=5,求EG的长.

70

【答案】y

因为所以点A与直线a可以确定•个平面，即平面/WZ）.

因为a//。，且a1平面A8D=EG,BOu平面A8。，

ApFG

所以a//EG,即Q//EG,所以工二不

ACBD

AFBD5x4_20

于是

EG=AC~~5+4~~9

4.(2022•黑龙江•牡丹江市第三高级中学高三阶段练习(文))如图所示，四边形为空间四边

形A8C。的一个截面，若截面为平行四边形.

(1)求证：AB［平面EFGH；

(2)若AB=4,CD=6,求四边形及6〃周长的取值范围.

【答案】⑴证明见解析⑵(8,12)

(I)/四边形EFGH为平行四边形，

/.£FIIHG.

〃Gu平面ABD,EFU平面ABD,

/.EFII平面A8O.

又二£7七平面ABC,平面平面ABC=AB,

：.EFWAB,又•「A8U平面EFGH、平面EFGH,

：.ABW平面EFGH.

⑵设律=x(0<x<4),

CFx

EFWAB,FGWCD,：.—

CB4

FGBFBC-CF3

则nil——=——=--------FG=6——x.

6BCBC2

••・四边形EPG”为平行四边形,

3

.,・四边形EFGH的周长/=2(x+6--x)=12-x.

2

又,.,0<A<4,/.8</<12,

即四边形E/P”周长的取值范围是(8,12).

高频考点4：面面平行

①证明面面平行

1.（2022嚏国•高二课时练习）两个全等的正方形A8CD和/所在平面相交于AB,MEAC,NwFB

且AM=QV,过点M作M”J_钻于点求证：平面MN”〃平面8CE.

【答案】证明见解析

证明：因为正方形ABCO中BCVAB,

所以MH//BC,则把="，

ACAB

因为BCu平面8CE,所以A/”〃平面8C£

因为8P、=AC,AM=FN,所以毁=空，

BFAC

FNAH

所以一=—，而以NHHAFHBE,

BFAB

因为座u平面BCE,则M7〃平面BCE

因为平面MV”，NHu平面MNH,MHcNH=H，

所以平面MNHH平面BCE

2.（2022•新疆•乌苏市第一中学高一期中）如图，在正方体八8。。-ABCR中，E，尸,HG分

别是棱AB,A。，C。，夕。的中点.求证：平面AE尸平面”GBD.

【答案】证明见解析

连接，

因为E,F,G,〃分别是棱AM,A!iy,EC,C。的中点，所以17/877,HG//B'U,所以EF//HG,

又EFu平面AEF，"GN平面AE尸，所以“G〃平面AE/L

连接ACBD=O,连接4。交所于M,交GH;N,交

则A'M=C'N='40',所以MN=4A'C',又AO=，AC,AC=AC,AC//AC,

222

所以四边形AQNM是平行四边形，所以AM//ON,又4Wu平面A".ONu平面AM,所XQN〃平面

AEF,

又ONu平面BGHD,HGu平面BGHD,HGcON=N,所以平面AM//平面8G”。.

3.(2022•宁夏•吴忠中学高一期中)如图，长方体ABC。-A8GA的底面是边长为4的正方形，高为2,

邑凡G分别是BCCD.Cq的中点.

(1)求三棱锥C-a灯的体积;

(2)求证：平面EI'Gff平面.

【答案】⑴:

(1)5C£F=1CECF=1X2X2=2,GC_L平面480),

GC=-x2xl=-.

(2)连接BD、BC.,

.•.£尸分别为8。.。。中点，「."〃8。，

.BB\〃DD\,BB}=DD},/.四边形BDD’B、为平行四边形，二BDHBQ、,EFUBXDX,

又8Qu平面A8Q,所0平面A8Q,.•.所〃平面A8Q；

同理可得：EG〃平面AB】R,

又EGEF=E,七6,七尸匚平面石尸6,，平面£：尸6〃平面48目.

4.(2022•四川•模拟预测(文))如图，在直棱柱ABC-A8c中，点。，E,产分别为4及A区,8C

的中点，线段C。与线段A尸交于点G.

(1)求证：平面AGE〃平面/C。；

(2)若AC=8C=CG=2,AC_L8C,求三棱锥A-\Cfi的体积.

【答案】(1)证明过程见解析；(2)；

(1)证明：连接。E,因为在三棱柱ABC-A耳G中，D、“分别为4A,A科的中点，所以QEIICC,,且Q氏

CG，则四边形。EC。是平行四边形，

故EQIIDC,

又CDu平面B《D,EC,0平面B£D,

所以EGII平面BQ,

因为在三棱柱ABC-A4G中，D、£分别为A8,4月的中点，

所以其£||4。，HB,E=AD,四i力形隹£4。星平行四功形，

所以E4IIDB「

又Dgu平面4C。，E4(z平面gC。，

所以E4II平面8c。，

又EAu平面AGE,E0U平面ACg,EAcEC1=E,

所以平面AGE||平面8。。；

⑵连接AG,因为AC=4C=CG=2,AC_L3C

所以S»AGA=不,AG=—x2x2=2,

过点G作G〃L4c于点H,连接。片则G”J_平面ACGA，

因为。，产是A8,BC的中点，

所以OF」AC,KDFWAC,

2

,DGDFI“ice后

所ur以i7^7=:77=：7，其中CQ=；；4C=J2,

GCAC22

所以CG=^,因为△CG”是等腰直角三角形，

3

9

所以G”=(,

4

故三棱锥A-AGG的体积为,

②补全面面平行的条件

1.(2022•河南•濮阳一高高一阶段练习(文))如图，己知P是平行四边形ABC。所在平面外一点，M、

N分别是A3、QC的三等分点(M靠近8,N靠近C);

(1)求证：M/Y〃平面PAO.

(2)在P8上确定一点Q,使平面MNQ//平面Q4O.

【答案】(1)证明见解析⑵证明见解析

(1)证明：过点N作NE//C。，交.PDf点、E,连接AE,

2

因为N为PC的三等分点，可得Nf=§a>,

又因为加为AB的三等分点，可得AM=：A3,

因为A3//CO且A8=CZ),所以AM//NE且

所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN//AE,

又由平面RAD,AEu平面24。，所以MV//平面八4”

(2)证明：取PB取一点Q,使得8Q=geP,即点。为阳上靠近点B的三等点,

在△RW中，因为“，。分别为4脱08的三等分点，可得丝=黑，所以％2〃PA,

ABBP

因为MQ(Z平面R4O,P4u平面240，所以MQ〃平面0AO；

又由(1)知M/V〃平面F4O，且MNcMQ=M,MN,MQu平面MNQ,

所以平面MNQ〃平面

即当点Q为尸4,靠近点B的三等点时，能使得平面MNQH平面PAD.

2.(2022•全国•高三专题练习)如图所示，四边形A3CO是平行四边形，03_L平面A4C。，MAIPB9

依=2M4.在线段依上是否存在一点尸，使平面4厂。平面P/WO?若存在，请确定点尸的位置；若

不存在，请说明理由.

【答案】存在，点产是P8的中点，证明见解析

当点尸是P8的中点时，平面AFCII平面PMO,

证明如下：如图连接4。与AC交于点。，连接产。,

••・四边形A3CQ是平行四边形,

..。是8。的中点，..0尸11PD.

又。”:平面PMQ,POu平面尸MD,

OFII平面PMD.

又AMIIPB且PB=2M4.

PFIIMA且PF=MA,

.••四边形APPM是平行四边形，•••APIIPM.

又ARC平面PMO,PMu平面PMD,

/.AFW平面PMD.

又A尸八。尸=尸，A/u平面A/C,。/u平面A尸C,

二平面AFCW平面PMD.

3.（2022•全国•高三专题练习）在如图所示的五面体4BCD斯中，A4OF是正三角形，四边形ABC。

为菱形，ZABC=^-t故|平面ABC。，AB=2EF=2,点M为BC中点,在直线8上是否存在一

点G,使得平面EMG〃平面BDF,请说明理由

【答案】存在且G为CD中点，理由见解析.

连接4C交87）于点O,连接OM,OF,取CO的中点G,连接GM,GE,

因为律〃平面A8CZ）,EFu平面ABEF,平面A8E/S平面A8CQ=A8,所以EF//A8,

因为OM〃A3〃£ROM=3AB=EF,所以四边形OME”是平行川边形，

所以OF//EM,因为EMa平面RDF,OFu平面BDF,所以£M〃平面BDF.

因为点G与点M分别为。。与8c的中点，所以GM//BD,

因为GA/<z平面BDF，u平面BDF,所以GMH平面BDF,

而GMc£M=A7，平面EMG//平面BDF.

所以存在且6为。。中点，使平面EMG〃平面4。厂.

4.（2022•江苏•高一课时练习）如图所示，在正方体A8CO-A4G。中，0为底面48CD的中心，P是

。。的中点，设Q是CG上的点，问：当点。在什么位置时，平面。出。〃平面PAO?

【答案】当。为CG的中点时，证明见解析•.

当。为CG的中点时，平面R8Q"平面心O.

连接PQ,因为。为CG的中点，P为RQ的中点,所以PQ〃DC.

又DC//AB,所以PQ//AB且PQ=,

所以四边形A8QP为平行四边形，所以Q从™.

又EAu平面PAO,Q4（z平面PAO,

所以3Q〃平面尸AO.连接BO,则OeBO,

又。为OB的中点，〃为的中点，

所以尸O〃R〃.POu平面。AO,cz平面PAO,

所以RA〃平面PAO.

乂RBcBQ=B,所以平面RBQ〃平面PAO.

5.（2022•江西•赣州市赣县第三中学高一阶段练习）如图，在多面体A8CDE中，为等边三角形,

ADHBC,BClABfBC=2AD,点F为边EB的中点.

(1)求证：4/〃平面。EC.

(2)在4C上找一点G使得平面APG〃平面。CE,并证明.

【答案】⑴证明见解析(2)点G为8c的中点.证明见解析

(1)取EC中点M,连接产DM,

/ADI/BCIIFM,AD=-BC=MF,

2

孙加是平行四边形，AF//DM,

八厂二平面OEC,/)Mu平面OEC,A/7//平面OEC.

(2)点G为8c的中点.

证：连接产G,AG,

因为G、尸分别是BC,3E的中点，所以GF//CE,

又G/a平面。CE,CEu平面。CE,所以G/〃平面OCE,

又因为45/