第16讲 三角形的概念及性质（练习）（原卷版）-2024年中考数学一轮复习讲义

第16讲三角形的概念及性质

录

题型01三角形的稳定性

题型02画三角形的高、中线、角平分线

题型03等面积法求三角形的高

题型04利用网格求三角形的面积

题型05与垂心性质有关的计算

题型06根据三角形的中线求长度

题型07根据三角形的中线求面积

题型08与重心性质有关的计算

题型09应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围

题型10应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子

题型11三角形内角和定理的证明

题型12应用三角形内角和定理求角度

题型13三角形内角和与平行线的综合应用

题型14三角形内角和与角平分线的综合应用

题型15三角形折叠中的角度问题

题型16应用三角形内角和定理解决三角板问题

题型17应用三角形内角和定理探究角的数量关系

题型18三角形内角和定理与新定义问题综合

题型19应用三角形外角的性质求角度

题型20三角形的外角性质与角平分线的综合

题型21三角形的外角性质与平行线的综合

题型22应用三角形的外角性质解决折叠问题

题型23三角形内角和定理与外角和定理综合

真题实战练

题型过关练

题型01三角形的稳定性

I.（2020.山西・校联考模拟预测）下列图形中，没有利用三角形的稳定性的是（）

A木鼠Ml豳

A.人字楞B.木条C.拉闸门D.自行车三脚架

2.（2021・吉林长春・统考二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木

条的数量至少为（）

题型02画三角形的高、中线、角平分线

3.（2023・吉林长春•校联考二模）图①、图②、图③均是4X4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为

格点，小正方形的边长为I,在给定的网格中，按照要求作图（保留作图痕迹）.

（I）在图①中作AABC的中线BD.

（2）在图②中作△ABC的高BE.

（3）在图③中作△ABC的角平分线8F.

4.（2021・吉林・三模）图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ABC为格点三角形.请仅

用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，不写作法

(1)在图①中，画出△ABC中AB边上的中线CM；

(2)在图②中，画出△4BC中AC边上的高BN,并直接写出△ABC的面积.

题型03等面积法求三角形的高

5.在RtZiABC中，LACB=90°,AC=8,BC=6,AB=10,贝必B边上的高的长度是（）.

A.5B.5.6C.4.8D.4.6

6.(2022・陕西西安•校考三模)如图，△48。的顶点在正方形网格的格点上，若每个小正方形的边长为1,

则BC边上的高为.

7.(2023上•陕西延安•八年级校联考阶段练习)如图，△/1BC在平面直角坐标系中，4B,。三点在方格线

的交点上.

(1)请在图中作出△4BC中48边上的高.

的外接圆半径，则，84c的度数为（

C.60°D.75°

11.（2020•浙江杭州•九年级期末）如图,H、。分别为△A8C的州心、外心,Z.BAC=45°,若AABC外接圆

的半径为2,则AH=（）

A.2V3B.2V2C.4D.V3+1

题型06根据三角形的中线求长度

12.（2022•陕西西安・高新一中校考模拟预测）如图，ZiABC中，A8=IO,AC=8,点。是8c边上的中点,

连接AZZ若△AC。的周长为20,则AA8O的周长是（）

A.16B.18C.20D.22

13.（2023•安徽•校联考一模）已知：△48C中，4。是中线，点E在AD上，且CE=CD,/.BAD=/.ACE.则

号的值为（）

AC

A

3f

r娟TD.

22

14.（202（）♦浙江•模拟预测）在4718C中，/18边上的中线C'O=3,AB=6,BC+AC=8,则4八8。的面枳为（）

A.6B.7C.8D.9

15.（2023・陕西渭南•统考一模）如图，40是的中线，若48=6,AC=5,则△力8。与△ACD的周长

之差为__________

16.（2022•安徽合肥•统考一模）如图，^ABC中，AD是中线，点正在4。上，且CE=CD=1,ZBAD=NACE,

则AC的长为

题型07根据三角形的中线求面积

17.（2023•辽宁葫芦岛•统考二模）在Rt△713。中，4c=90。，分别以点B,C为圆心，大于长为半径画

弧，交于E,F两点，连接EF,交BC于点D,连接4D./ID=V13,CD=2,则△力BD的面积是（）

A

A.2B.3C.V13D.等

18.（2023•陕西西安・统考三模）如图，在中，48=4C=5,BC=6,4。_LBC,4c边上中线8E交40于

点0,则ABCE的面积为（）

19.（2023・陕西榆林•校考二模）妇图，AD,BE分别为△48。的中线和高线，△48。的面积为5,AC=4,

则BE的长为（）

20.（2023•浙江宁波•模拟预测）幻图，已知的面积为10cm2,BP为乙ABC的角平分线,AP垂直BP于

点P,则aPHC的面积为（）

A.6cm2B.5cm2C.4cm2D.3cm2

题型08与重心性质有关的计算

21.（2023・陕西西安・统考三模）在△4BC中，点。为△71BC的重心，连接力。并延长交8C边于点D,若有=

；BC,贝必ABC为（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

22.（2023•陕西西安・西安市铁一中学校考模拟预测）在等腰AABC中，AB=AC,。、£1分别是8C,4c的中

点，点P是线段40上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）

23.（2023・陕西榆林・统考二模）如图，点G为的重心，连接CG,4G并延长分别交A8,BC于点E,

F,连接EF,若4C=3.4,则石厂的长度为（）

A.1.7B.1.8C.2.2D,3.4

24.（2023・上海松江・统考二模）妇图，点G是△48C的重心，四边形4EGD与△48C面积的比值是（）

A.|B.

CZD-1

题型09应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围

25.（2023・福建福州,校考二模）已知三角形两边长分别为3和5,则第三边的长可能是（）

A.2B.6C.8D.9

26.（2023・河北廊坊•校考三模）如图，AB=3,AD=2,BC=1,CD=5,则线段80的长度可能是（）

A.3.5B.4C.4.5D.5

27.（2023•浙江杭州•校考二模）如图,在RtZiABC中BCJ.AC,CD1AB,AB=5,CD=3,则AC的长的

取值范围是（）

A.AC<5B.AC>3C.3<AC<5D.3<AC<5

28.（2023•河北沧州・统考三模）有四根长度分别为2,4,5,x■为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾

顺次相接都能围成一个三角形，则围成的三角形的周长（）

A.最小值是8B.最小值是9C.最大值是13D.最大值是14

题型10应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子

29.（2023•山东德州・统考二模）已知a,b,c是三角形的三条边，则匕一。-川+匕+力一可的化简结果为

（）

A.0B.2a4-2bC.2bD.2a+2b-2c

30.（2023•河北沧州•统考模拟预测）若448c三条边长为a,b,c化简:\a-b-c\-\a+c-b\=.

31.（2022上・湖北咸宁•八年级校考阶段练习）已知小〃，c是三角形的三边长，化简：\a-b-c\-V\b-c-V

Q|+|c-Q-b\=.

题型11三角形内角和定理的证明

32.（2023・河北衡水•校联考二模）定理：三角形的内角和是180。.

已知：MED、乙C、乙。是△CEO的三个内角.

求证：4C+4D+乙CEO=180°.

有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②④表示/BEC；③上述证明得到的结论，只有在锐

角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形.其中正确的是（）

C.②④D.①③

33.（2023•河北沧州・统考二模）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容.下列回

=◎（两直线平行，内错角相等），

Z-B=▲（X）.

vZ.ACB+/.ACE+乙ECD=180。（平角定义），

/4++乙ACB=180。（等量代换）.

A.@代表4BB.◎代表乙4CDC.▲代表/EC。D.※代表两直线平行，同位角相等

34.（2023•河南郑州•统考二模）下面是小颖同学要借助尢刻度的直尺和圆规作怪I，来证明三角形内角和等

于180。这一命题，请你帮她补充完整.

命题：三角形的三个内角的和等于180。.

己知：如图，AABC.

求证：N/+/8+NO180。.

证明：如图1,延长84到。，以为边，在其右侧尺规

作NDAE=NB,

•：ZDAE=ZB.

请你帮她完成作图（只保留作图痕迹，不写作法）,

并完善证明过程.

题型12应用三角形内角和定理求角度

35.（2022•黑龙江哈尔滨・哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）在△48C中，乙4=35。，48=55。，BC=5,

则边的长是（）

A.-------B.5cos55°C.5tan55°D.5sin55°

cos55

36.（2023•河北沧州•模拟预测）在ZkABC中，数据如图所示,若N1比48小2。，则42比NC（）

C.大4。D.小4。

37.（2022•黑龙江哈尔滨•校考模拟预测）如图，在△48。中，A3=AC=CD,Z.BAC=40°,则的度数

为

38.（2022•福建福州•校考模拟预测）在△4BC中,=1:2:3,则.

题型13三角形内角和与平行线的综合应用

39.（2023•湖北黄冈•三模）如图为两直线八m与△ABC相交的情形,其中2、m分别与BC、48平行.根据图

中标示的角度，则的度数为（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

40.（2023•河南安阳・统考二模）妇图，在△?1"中，4。是NB4C的平分线，过点C的射线CE与.4。平行，若

48=60°,LACB=30°,则乙4CE的度数为（）

41.（2021•宁夏银川・统考一模）如图，力C是平行四边形4BCD的对角线，点E在AC上“。=HE=BE,LD=

102°,贝I」484。的大小是（）

D

C.28°D.30°

题型14三角形内角和与角平分线的综合应用

42.（2022・江苏无锡•校考一模）如青,BE、CF都是△ABC的角平分线,3.Z.BDC=110°,则〃=

43.（2020・浙江绍兴•模拟预测）中，/I。是“AC的角平分线，4E是△力BC的高.

（1）如图1,若48=40。，4c=60。，请说明ND4E的度数；

（2）如图2（ZBV乙C）,试说明N04E、乙B、4c的数量关系.

44.（2022•浙江温州・统考一模）如图,△ABC的角平分线BD,CE交于点F,AB=AC.

A

（1）求证：△480三

（2）当乙4=40。时，求乙8尸。的度数.

题型15三角形折叠中的角度问题

45.（2023•河南商丘・统考三模）如图，Rt4/BC中，ZC=90°,4力=20。，点。为AB的中点，点P为AC

上一个动点，将△力PD沿。。折叠得到△<?々），点A的对应点为点Q，当PQ_L45时，4WP的度数为.

46.（2023・山东洵泽・统考二模）如图，将团A8CD沿对角线8。折叠，点/落在点E处，Z1=56°,4ABe=70°,

则/2的度数为.

47.（2023•浙江湖州•统考一模）幻图，在Rt△力BC中，4c=90。，BC=5,AC=12,D为AC边上一点,

沿8。将三角形进行折叠，使点/落在点E处，记BE与AC边的交点为F,若DE1AC,则C/的长为.

E

c

48.（2022•江西赣州・统考二模）如图，在△ABC中，z<?=90°,4B=30。，点尸是边A8上一点，点。是边AC上

一点，将ZiABC沿PD折叠，使点A落在边BC上的A处，若4PlMC,则/PDA的度数为______.

题型16应用三角形内角和定理解决三角板问题

49.（2023•河南南阳・统考二模）将一块含30。角的三角板和一把对边平行的直尺按如图所示的方式放置，若

△1=70。，则N2的度数为（）

C.80°D.85°

5（）.（2023・广东汕头・汕头市金禧中学校考一模）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若乙1=35。，则42

B.45°C.35°D.30°

51.（2023•北京通州・统考一模）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则的度数为（）

A.75°B.60°C.105°D.120°

52.（2023・湖北恩施・统考二模）将一副直角三角板按如图所示位置摆放（ND=NEC尸=90。），点。在直角边

BD上,点尸在直角边力。上，若乙”E=160°,则NBCE=.

题型17应用三角形内角和定理探究角的数量关系

53.（2021・广东清远•校考一模）幻图，点。是锐知乙4OB内一点，DE104于点E,点尸是线段OE的一个

动点，点G是射线08的一个动点，连接DF、FG、GD,当△。/访的周长最小时，乙厂DG与4力OB的数量关系

式是.

54.（2023•陕西榆林•校考模拟预洌）（1）问题解决:如图1,△48C中，5。、5。分别是乙4BC和乙4cB的平

分线，0为BO、C。交点，若/4=62。，求/BOC的度数；（写出求解过程）

AAA

图1图2图3

（2）拓展与探究

①如图L△48C中，BO、C。分别是N力BC和44cB的平分线，。为BO、C。交点，则与41的关系是.

（请直接写出你的结论）

②加图2,B0、。。分别是乙48c和N4CB的两个夕卜角NC80和4的平分线，0为BO、CO交点,则N80C与

的关系是；（请直接写出你的结论）

③如图3,B。、。。分别是△A8C的一个内角和一个夕卜角41CE的平分线，。为B。、。。交点，则/8。。与

的关系是..（请直接写出你的结论）

55.（2018呐蒙古鄂尔多斯・统考一模）在AABC中，A8=AC,点。是直线8。上的一点（不与B,C重合）,

以A。为一边在A。的右侧作△AOE,使A决AE,NDAE=/BAC,连接CE,设N8AC=a,/BCE”

（I）如图①，当点。在线段8C上，如果a=60。，0=120。；

如图②，当点。在线段0C上,如果0=90。,6=90°;

如图③，当点。在线段BC上，如果a,/?之间有什么样的关系？请直接写出.

（2）如图④，当点。在射线8c上，（1）中结论是否成立？请说明理由；

（3）如图⑤，当点O在射线C8上，且在线段8C外，（1）中结论是否成立？若不成立，请直接写出你认为正

确的结论.

题型18三角形内角和定理与新定义问题综合

56.（2021•江苏南京•统考二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不

在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形.关于凹四边形48。。（如图），以下结论:

&z.BCD=Z,A++ZD：

②若为8==则ACIB。；

③若乙BCD=2乙4,则8c=CD：

④存在凹四边形ABC。，^AB=CD,AD=BC.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①@③C.①②④D.①③④

57.（2023・广东阳江•统考三模）定义：△48C中，乙A+2/B=90。，则称△4BC为倍余三角形.

A

B

DG

图2备用图

（1）卜.列说法正确的是

①倍余二角形一定是钝角二角形:

②等腰三角形不可能是倍余三角形.

(2)如图1,△48C内接于O。，点。在直径8c上（不与8,C重合），满足AB=AD,求证：△4CD为倍余三角

形;

⑶在（2）的条件下,

①如图I,连接4。，若△4。。也为倍余三角形，求乙C的度数;

②如图2,过点。作DE18C交4c于点E,若△4BC面积为△4QE面积的7.5倍，求三的值.

BC

58.(2022•江苏扬州・统考二模)定义：三角形•个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所

成的锐角称为该三角形第三个内角的“好角

(1)如图1,NE是AABC中NA的“好角”,若〃=%则乙E=_______；(用含a的代数式表示)

(2)如图2,四边形ABCD内接于O0,点D是优弧AC8的中点，直径BF1弦AC,BF、CD的延长线于点G,

延长BC到点E.求证：N8GC是△A8C中NBA。的“好角”.

(3)如图3,△48。内接于。。，NBGC是AABC中NA的“好角”，BG过圆心。交O。于点立。。的直径为

8,&=45°,求产G.

59.(2021・河南信阳・统考一模)定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所

成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.

(1)如图I,NE是△ABC中NA的遥望角，若NA=a,请用含a的代数式表示NE.

(2)如图2,四边形ABCO内接于<30,AD=BD,四边形ABC。的外角平分线。尸交。0于点F,连接B/

并延长交CO的延长线于点£.求证：N8EC是△A/3C中N84C的遥望角.

60.(2020•江西南昌•模拟预测)定义：有一组邻角相等，对角线相等，且对边不相等的凸四边形叫做“等邻

对角四边形”,如图1,在四边形4BCD中,LABC=LDCB,AC=DB,AB>CD,四边形ABCD即为“等邻对

角四边形

A

D

B

图1

概念理解

（1）①如图2,在等边△ABC中，BC=6,点。，上分别在力C,48上，CD=2,当BE的长为时,

四边形E8CD为“等邻对角四边形”.

②如图3,在△力中，点E,。在4C上，点〃在48上，BF=CE,四边形F8C0为“等邻对角四边形”，若

Z.BDC=110°,则48FC的度数为.

性质探究

（2）根据图1及其条件，探究乙B/C与NCDB的数量关系.

问题解决

（3）如图4,在“等邻对角四边形"BCD中,AB>CD.^ABC=LDCB,AB=3,AD=1,40与BC的延长线相

交于点£若OE=8,求CO的长，并指出的度数是否可以等于90。，不必说明理由.

题型19应用三角形外角的性质求角度

61.（2023•海南薛州・海南华侨中学校联考模拟预测）如图，等腰宜.角三角形的直角顶点A落在矩形纸

片的一边上，若41=70。，则42的度数为（）

B

A.155°B.145°C.120°D.105°

62.（2023•浙江温州•校联考三模）如图，在平行四边形力BCD中，E为8c上一点，连结AE,AC,已知AE=CE,

=记乙4C8=a,则用a的代数式表示/AC。的度数为（）

A.2aB.90°—2aC.3aD.1800-4a

63.（2023・辽宁阜新・阜新实验中学校考一模）如图，在△力BC中，AB=AC,E是8c边上一点，将△ABE沿

AE翻折，点B落到点D的位置，4D边与BC边交于点尸，如果＜E="=。那么2BAC的度数为.

64.（2023•河南新乡•校联考二模）如图，乙4+乙1=40。，CD1AE,则匕2的度数为

题型20三角形的外角性质与角平分线的综合

65.（2020•浙江绍兴•模拟预测）如图，已知△力8c的高4D,角立分线力E,ZF=26°,Z.ACD=60°,则

BECD

66.（2020.浙江杭州•模拟预测）问题情景:

如图1,AB//CD,乙4=30°,4C=42°,求Z/1EC的度数.

小明的思路：

图1图2图3图4

（1）初步尝试：按小明的思路，求出图1中N4EC的度数.

（2）问题拓展：在（1）的基础上作如图2,4P平分NB/E,PC平分NDCE,AP与CP交于点P,直接写出求

出/APC的度数，不需要理由.

（3）问题迁移1：如图3,AB//CD,当E在直线力8上方时，若/ERB=a,乙ECD=0,和乙EC。的平

分线交于点P1，请猜想乙E与4Pi的数量关系，并说明需要理由；

（4）问题迁移2：如图4,AB//CD,当点E在直线48的上方时，乙EAB的角平分线的反向延长线和乙ECD的

补角的角平分线交于点M,直接说出猜想4M与NE的数量关系，不需要理由.

题型21三角形的外角性质与平行线的综合

67.（2023•河南南阳•统考一模）幻图所示，Z/1OB的一边OB为平面镜，^AOB=40°,一束光线（与水平线

力。平行）从点C射入经平面镜上的点。后，反射光线落在OA上的点E处，则上4ED的度数是（）

B

68.（2021•浙江杭州・统考一模）如图，直角三角形ABC的顶点A在直线加上,分别度量:①NLZ2,ZC；

②N2,Z3,ZB；③N3,Z4,ZC；®Z1,Z2,N3,可判断直线小与直线〃是否平行的是（）

69.（2023•陕西榆林・校考三模）如图，AB||CD.zD=40°,zF=26°,则NB的度数为（）

70.（2023・河南周口•校联考三模）空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众

喜爱.彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，如图所示，

题型22应用三角形的外角性质解决折叠问题

71.（2023•广东广州•校联考一模）如图，在中,Z.BAC=900,ZC=40°,点。为BC上一点，把△480

沿4。折叠到△AB'。，点B的对应点B'恰好落在边8c上，则N&4夕的度数为（）

71.（2022•海南省直辖县级单位•统考二模）如图，在△ABC中，点。在BC上，KAD=BD=CD,AE^BC

边上的高，若沿AE所在直线折叠，点C恰好落在点。处，若力8二百，则△AOC的周长等于（）

A.1B.gC.2D.3

73.（2023•浙江台州•统考一模）如图，中，N/1比乙8大70。，点。为上一点，将△48C沿直线CD折

叠，使点A的对应点4落在边8。上，则乙4OC=

题型23三角形内角和定理与外角和定理综告

74.（2021.福建•校联考一模）如图，其中的△A8E和△4OC是由A46C分别沿着直线AB,AC折叠得到的,

与。。相交于点/,若N84C=140。，则N£/C=°.

D,

I

75.（2022下•江苏南京•九年级统考期中）如图，在扇形4。8中，。为历上的点，连接并延长与。8的延

长线交于点C,若CD=OA,£.0=75°,则44的度数为（）

A.35°B,52.5°C.70°D.72°

76.（2022上•重庆•九年级重庆八中校考期末）如图，在团力BCD中，Z-DAM=19%DE1BC于E,DE交AC

于点尸，M为人尸的中点，连接若4尸=2。0,则乙COM的大小为（）.

A.112°B,108°C.104°D.98°

77.（2018•青海・中考真题）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中NE=90°,乙C=90。,

A.1B.5C.7D.9

2.（2023•浙江宁波•统考中考真题）如图，以钝角三角形/8C的最长边BC为边向外作矩形8C0E,连结4E,A0,

设A4E£）,△48E,△力。。的面积分别为5,51，52，若要求出S—Si—52的值，只需知道（）

A.的面积B.△4CO的面积C.△ABC的面积D.矩形BCDE的面积

3.（2023•浙江嘉兴•统考中考真题）如图，点P是△4BC的重心，点。是边AC的中点，PE||4C交于点E,

DFIIBC交EP于点尸，若四边形CDFE的面积为6,则△力8c的面积为（）

A.12B.14C.18D.24

4.（2023.山东.统考中考真题）在A/IBC中，BC=3,AC=4,下列说法错误的是（）

A.1<AB<7B・S4ABC—6

C.△ABC内切圆的半径r<1D.当A8=虫时，△/BC是直角三角形

5.（2022•浙江杭州•统考中考真题）如图,C7）_L48于点。，已知NABC是钝角，则（）

A.线段CO是ZiA8c的AC边上的高线B.线段CO是△/WC的44边上的高线

C.线段AO是AABC的BC边上的高线D.线段A。是“灰?的AC边上的高线

6.（2023・山西・统考中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光

心0的光线相交于点P,点F为焦点.若乙1=155。,乙2=30。，则乙3的度数为（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

7.（2023・广东深圳•统考中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，ZOEF=120°,OE与地面平行，4180=

50°,则〃CB=()

A.70°B.65°C.60°D.50°

8.（2023・四川宜宾♦统考中考真题）如图，ABWCD,且乙4=40。，匕0=24。，则/£等于（）

A.40°B.32°C.24°D.16°

9.（2023・湖北宜昌•统考中考真题）如图，小颖按如下方式操作直尺和含30。角的三角尺，依次画出了直线小

b,c.如果乙1=70°,则匕2的度数为（）.

b

A.11U°B.70uC.4UUD.3（T

10.（2023•甘肃兰州•统考中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法.如《淮南

子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉.日直入，又树一

表干东方，因西方之表，以参望口方入北康.则定东方两表之中与西方之表，则