第二节 用样本估计总体

第二节用样本估计总体

明确

目标1.会用统计图表对总体进行估计，会求〃个数据的第P百分位数.

2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度

课

前基落实

曲教材再回首

1.百分位数

⑴定义:一般地,一组数据的第P百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有

的数据小于或等于这个直且至少有(100-〃)％的数据大于或等于这个值.

⑵四分位数:第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数这三个分位数把一组由小

到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.

2.众数、中位数、平均数

⑴众数:一组数据中............的那个数据，叫做这组数据的众数.

⑵中位数:把〃个数据按大小顺序排列，处于位置的一个数据(或最中间两个

数据的平均数)叫做这组数据的中位数.

⑶平均数:把称为nM2,…心这〃个数的平均数.

3.标准差与方差

设一组数据MX2,X3,…用的平均数为元则这组数据的标准差和方差分别是

kJ1%分)2+(&分产+...+&-司2],

^2=-[(XI-X)2+(X2-%)2+---+Cr-x)2].

nw

4.比例分配的分层随机抽样所获得样本的均值与方差

利用比例分配的分层俩层）随机抽样获得的样本中，第一层的样本量为川，均值为自,

方差为S*第二层的样本量为心均值为&方差为名则总的样本均值

%=，总的样本方差$2=

曲典题细发掘

1.（人A必修②P⑻Ti）为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量.

若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查彳导到其日用电量的平均数为5.5

kW.h,则可以推测全市居民用户日用电量的平均数（）

A.一定为5.5kWhB.高于5.5kWh

C.低于5.5kW-hD约为5.5kWh

2.（AA必修②P216T3改编）［多选］在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5,方

差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1,方差是0.4，下列说法正确的有（）

A.平均来说甲队比乙队防守技术好

B.乙队比甲队的防守技术更稳定

C.每轮比赛甲队的失球数一定比乙队少

D.乙队可能有一半的场次不失球

3.（人B必修②P70T2改编）计算数据1234567,8,9,10的40%分位数为.

4.（苏教必修②P27E。改编）已知数据川眼,…川o的平均数为2,方差为3,那么数据

2^+320+3,・・・,2巾。+3的平均数和方差分别为.

课

堂题点精研

题点一样本数字特征的估计

mi]

⑴（2024新课标II卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,

得到各块稻田的亩产量（单位:kg）并整理下表：

[900,[950,[1000,[1050,[1100,[1150,

亩产量

950)1000)1050)1100)1150)1200]

频数61218302410

根据表中数据，下列结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至I000kg之间

⑵（2023♦新课标1卷）[多园有一组样本数据mX2,・・・,X6，其中》是最小值，工6是最大值，则

（）

A.A-2,X3,.V4,X5的平均数等于孙X2,…的平均数

B.MX3,X4,X5的中位数等于Xl,X2,—,X6的中位数

C.X2,X3,X4,X5的标准差不小于孙孙…国的标准差

D.X2,X3,X4,X5的极差不大于X\,X2,--,X（＞的极差

I谨记结论I

⑴若川心…阳的平均数为五那么nix\+a,mx2+a,•-,mxn+a的平均数为niX+a.

⑵数据与数据…田'=*+〃的方差相等，即数据经过平移后方差不变.

⑶若XI,X2,…，尤的方差为『，那么ax\+b,ax2+b,­,ax„+b的方差为crs~.

I思维建模I

计算一组数据的第p百分位数的步骤

第一步:按从小到大排列原始数据.

第二步:计算i=〃xp%.

第三步:若，.不是整数而大于i的比邻整数为j,则第P百分位数为第J项数据;若/是整数，则第p百分位

数为第，•项与第（，+1）项数据的平均数.

［即时训练］

1.（2025・广州模拟）［多选］已知样本数据7,3,531。区则这组数据的（）

A.众数为3B.平均数为6.5

C上四分位数为8D.方差为g

2.学校为了解学生身高（单位:cm）情况,采用分层随机抽样的方法从4000名学生（男、

女生人数之比为3:2）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175,方

差为184,女生平均身高为160,方差为179,用样本估计总体厕该学校学生身高的方差

为.

题点二频率分布直方图中的数字特征

［例2］为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验将200只小鼠

随机分成A,B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液4组小鼠给服乙离子

溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法

测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下频率分布直方图.

a3o频率/组距

a20

615

a10

Q05

01.52.53.54.55.56.57.5百分比

记C为事件"乙离子残留在体内的百分比不高于5.5"根据直方图得到P(C)的估计

值为0.30.

⑴求乙离子残留百分比直方图中a.b的值；

⑵求甲离子残留百分匕出勺第75百分位数；

⑶估计乙离子残留百分比的平均数.(同一组数据用该组区间的中点值为代表)

I思维建模I用频率分布直方图估计样本的数字特征

⑴平均数芨二X船£仕表示第i个小矩形底边中点的横坐标表示第/个小矩形的面积).

;=1

⑵方差:声£Jxj-x)2^,

j=l

⑶众数:最高小矩形底边中点的横坐标.

⑷中位数:把频率分布直方图划分为左、右两个面积相等的部分时，分界线与横轴交点的横坐

标.

⑸百分位数:类比中位数,百分位数所在垂直于大轴的直线把频率分布直方图划分为左、右两

个部分，左边所有矩形的面积和为〃％.中位数是第50百分位数.

求解公式:已知频率分布直方图的组距为d.

①找出百分位数所在的矩形区间卜力）；

瑞处之前的频率之和

②第〃百分位数~区间口,匕）的频率-,

［即时训练］

3.随着时代不断地进步,人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材,

其中体脂率是一个很重要的衡量标准.根据一般的成人标准，女性体脂率的正常范围

是20%至25%,男性的正常范围是15%至18%.这一范围适用于大多数成年人,可以帮

助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进

行一次抽样调查统计触取了I000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布叁方

图如图.

⑴求〃；

⑵如果女性体脂率为25%至30%属〃偏胖〃，体脂率超过30%属"过胖"，那么全市

女性"偏胖"，"过胖"各约有多少人？

⑶小王说：〃我的体脂率是调查所得数据的中位数小张说："我的体脂率是调查所

得数据的平均数那么谁的体脂率更低?

题点三总体离散程度的估计

[例3]（2023•全国乙卷）某厂为匕啜甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进

行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用

甲工艺处理,另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺

处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为丽W=l,2,…,10）,试验结果如下：

试验序号i12345678910

伸缩率厮545533551522575544541568596548

伸缩率V536527543530560533522550576536

记ZE-W=1,2,…/O）,Z1,Z2,…,Z10的样本平均数为Z样本方差为$2.

⑴求疗

⑵判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是

否有显著提高（如果2'2册,则认为甲工艺处理后的像胶产品的伸缩率较乙工艺处

理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高）.

I思维建模I总体离散程度的估计

标准差（方差）反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差（方差）越大,数据的寓散程

度越大;标准差（方差）越小，数据的离散程度越小.

［即时训练］

4.为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标,从两厂各随机选取了10个轮

胎，将每个轮胎的宽度（单位:mm）记录下来并绘制出如下的折线图.

甲厂轮胎宽度乙厂轮胎宽度

198197

197196

196195

195194

194193

193192

192191

191190

11,11234567891012345678910

⑴分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数;

⑵若轮胎的宽度在［194,196］内厕称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别提供

的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水

平及其波动情况，判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好?

第二节用样本估计总体

课前•"四基〃落实

［教材再回首］

1.⑴〃%

2.⑴出现次数最多⑵最中间⑶Q-+铀

4.」一五+/^为

nr+n2n1+n2

表回+已为2］+甘£+(为了月

/ii+n27ii+n2

［典题细发掘］

1.选D由样本的数字特征与总体的数字特征的关系，可知全市居民用户日用电量的

平均数约为5.5kWh.

2.AB

3.解析将数据从小到大徘列后可得123,4,5,6,7,8910,因为10x40%=4,所以这组数据

的40%分位数是等=4.5.

答案：4.5

4.7,12

课堂•题点精研

题点一

［例1］(1)C(2)BD

⑴根据频数分布表可知,6+12+18=36<50,所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A

错误；

亩产量不低于1100kg的频数为24+10=34,所以低于1100kg的稻田占比为

啥=66%,故B错误；

稻田亩产量的极差最大约为1200-900=300,最小约为1150-950=200,故C正确；

由频数分布表可得/00决稻田亩产量的平均值为+x(6x925+12x975+18x1

025+30x1075+24x1125+10x1175)=1067,故D错误.

⑵取X1=1,X2=X3=X4=X5=2,X6=9厕X2IX3,X4,X5的平均数等于2,标准差为0,小用,…阳的平

均数等于3,标准差为手，故A、C均不正确;根据中位数的定义，将科孙…阳按从小到

•3

大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数而于力是最小值陷是最大值

故笛心…阳的中位数是将心心用小按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平

均数，与X2用田出的中位数相等，故B正确;根据极差的定义，知《2冈四小的极差不大于

x\,X2,—,X6的极差，故D正确.故选BD.

［即时训练］

1.选ACD首先，我们把数据从小到大排列相到3,357,8,10,观察得数据3出现的次

数最多，所以众数为3,故A正确;平均数为3+3+：7+8+1。=?=自故B错误;因为一共有6

个数据，且6x75%=4.5,所以上四分位数为第5个数，故上四分位数为8,故C正确;方差

为4(3-6)2+(3-6)2+(5-6尸+(7-6尸+(8-6)2+(10-6)2］=-(9+9+1+1+4+16)/x40=g故D正确.

6663

2.解析:根据题意，由于男、女生人数之比为3:2,则样本中男女生人数之比为3:2,其

中，男生平均身高为175,方差为184,女生平均身高为160,方差为179,

则样本的平均飘=|x175+|x160=169,样本的方差

?=|x［l84+(175-169)2］+^X［179+(160-169fl=236,用样本估计总体，则该学校学生身高

的方差为236.

答案：236

题点二

［例2］解:⑴由已知得0.30=0.05+6+0.15,解得6=0.10,所以0=1-0.20-0.15-0.30=0.35.

⑵根据频率分布百方图,易知甲离子残留百分比的第75百分位数在区间［4.5,5⑸，设

为%则0.15+0.20+0.30+(x-4.5)x0.20=0.75,解得户5.0,所以甲离子残留百分比的第75

百分位数为5.0.

⑶乙离子残留百分比的平均数的估计值为

3x0.05+4x0.10+5x0.15+6x0.35+7x0.20+8x0.15=6.0.

［即时训练］

3.解:⑴由频率分布直方图可得5x2a+5x0.03+5x0.07+5x6〃+5x24=L所以67=0.01.

⑵由频率分布直方图可得样本中女性"偏胖"的解为5x0.06=0.3,

样本中女性〃过胖〃的频率为5x0.02=0.1,

所以全市女性"偏胖”的人数约为

1000000x03=300000,

全市女性"过胖”的人数约为

1000000x0.1=10000().

⑶调查所得数据的平均数为

12.5X0.1+17.5x0.15+22.5x0.35+27.5x0.3+32.5x0.1=23.25,即小张的体脂率为23.25%.

设调查所得数据的中位数为A;

因为0.1+0.15=0.25<0.5,0.1+0.15+0.35=0.6>0.5,

所以20<r<25,

所以0.25+(片20)x0.07=0.5,

所以门含-23.57,即小王的体脂率为23.57%.

所以小张的体脂率更低.

题点三

m3］解:⑴由题意，求出的值如表所示，

试验

\2345678910

序号i

21968-8151119182012

则5、~x(9+6+8-8+15+11+1