第25章随机事件的概率复习讲义（教师版）

第25章随机事件的概率豆习讲义

一、知识点讲解：

1.概率初步的有关概念：

（1）必然事件是指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是100%；

（2）不可能事件是指一定不能发生的事件；

（3）随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。

2.计算简单事件发生的概率：

事件发生的结果数

公式：概率P二机会均等的所有结果数.

概率P的取值范围是：0WPW1

二、题型：

（一）判断事件的类型：

1.下列事件属必然事件的是（B）

/、打开电视机，正在直播N84篮球赛

8、早晨太阳一定从东方升起

C、掷两次硬币，一定有一次正面朝上

D、365人中一定有两人同一天出生

2.下列事件中属于随机事件的是（C）

A.今天是星期一，明天是星期二B.从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球

C.掷一枚质地均匀的硬币正面朝上D.抛出的篮球会下落

【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可解答.

解：A、今天是星期一，明天是星期二是必然事件，故本选项不符合题意；

B、从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球是不可能事件，故本选项不符合题意；

C、掷一枚质地均匀的硬币正面朝上是随机事件，故本选项符合题意；

D、抛出的篮球会下落是必然事件，故本选项不符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，解题的关键是熟掌握随机事件，必

然事件，不可能事件的定义，一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.

（二）、理解概率的意义

1.下列说法正确的是（D）

力、“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在下雨

8、“抛掷一枚均匀的硬币正面朝上的概率是表示每抛掷2次就有一次正面朝.上

2

C、”彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票肯定会中奖

。、“抛掷一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率是表示随着抛掷次数的增加，“朝上

6

的点数为2”这一事件发生的频率稳定在附近

分析：概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发

生.

解：A、”明天下雨的概率为80%”指的是明天下雨的可能性是80%,错误；

B、这是一个随机事件，抛一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，但事先无法预

料，错误；

C、这是一个随机事件，买这种彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，错误.

D、正确

故选D.

点评：正确理解概率的含义是解决本题的关键.

2.下列说法正确的是（A）

力、25人中至少有3人的出生月份相同

〃、任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次一定反面朝上

C、天气预报说明天降雨的概率为10%,则明天一定是晴天

〃、任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3的概率是,

2

分析：根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解。

解：力、25人中至少有3人的出生月份相同，原说法正确，故这个选项符合题意；

员任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次可能正面朝上，也反而

朝上，故这个选项不符合题意；

a天气预报说明天降雨的概率为10%,则明天一定是晴天，原说法错误，故这个选项不

符合题意；

〃、任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3有2种可能，其概率是原说法错误，

3

故这个选项不符合题意。

故选A

（二）求事件的概率：

（I）求简单随机事件的概率：

1.中国动车组二等座车厢座位编号采用3+2座位模式，即每排都有4B,C,D,尸五个

座位，其中4和尸是靠窗的座位，。和。是靠过道位子，8是三人座中间位子.某天，李

老师计划从南充坐动车前往成都出差学习，他在铁路12306平台上购买二等座动车票，若购

票时系统随机为每位乘客分配座位，则他的座位是靠窗的概率是.

【分析】直接由概率公式求解即可.

解：：动车上二等座车厢每排都有力，B,C,D,厂五个座位，其中力和厂是靠窗的座位，

・•・小刘的座位是靠窗的概率为1,

故答案为：

【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键.

2.有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6,若任意抛掷

一次骰子，朝上的面点数记为x,计算卜-4|,则其结果恰为2的概率是（C）

A.-B.-C.-D.-

6432

试题分析：先求出绝对值方程,-4|=2的解，即可解决问题.

V|x-4|=2,♦。=2或6.

.・.其结果恰为2的概率=2=?

63

考点：（1）列表法与树状图法；（2）绝对值；（3）概率的意义

3.有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片

5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一

定是轴对称图形的卡片的概率为___________;【答案】-

5

4.有六张分别印有等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片

（这些卡片除图案不同外，其余均相同）。现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一

张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为_______;【答案】工

2

5.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一

个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是

（C）

A.

解；画树状图得；

・・,共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号相同的有4种情况，

・・・两次摸出的小球的标号相同的概率是：-=故选C

164

6.已知关于x的方程¥_4x+m=0,如果从1、2、3、4、5、6六个数中任取一个数作为方程

的常数项〃7,那么所得方程有实数根的概率是.

【分析】根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，再用概率公式求出方程有实数根

的概率即可.

解：：方程f-4x+m=0有实数根，

A=Z）2-4ac=16-4m>0»解彳导：m<4,

六个数中符合条件的有：1、2、3、4,共4个；

._4_2

••々p有实数根）一w一]•

故答案为：I.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和概率的求法，解题的关键是熟练掌握当

时，方程有实根；否则，方程无实根.

7.一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，球上分别标有数字-2,0,1,4.随机摸出

一个小球记作〃?，然后放回，再随机摸出一个小球记作〃，则方程〃比2一2X+〃=0是关于x的

一元二次方程且此方程无解的概率为7-

一4~

【分析】先由一元二次方程解根的判别式求出〃〃?〉1,再列表将所有等可能的结果列举出来,

然后利用概率公式求解即可.

解：•・•一元二次方程〃?/一21+〃=0无实数根，

/.△<0,且〃?工0,

即（一2）2<0,且用工0,

.\mn>\,且机w0,

画树状图如下：

由此知，共有16种等可能结果，其中加〃>1且〃?工0的有4种结果，

所以方程〃?/一2%+〃=0是关于x的一元二次方程且此方程无解的概率为94=：1.

164

故答案为：~.

4

【点睛】本题考查了一元二次方程解根的判别式，列表法或树状图的知识，解题的关键是能

够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大.

8,有六张除数字外都相同的卡片，分别写有—1,0,1,2,3,4这六个数字，将它们背面朝

上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为则使关于x的方程*有解的概率

x+1x-3

是；【答案】-

-------3

解：(1+a)(x-3)=a(x+1),:.x=4a+3

x+1x-3

,.•工工一1且工工3

aw-1且。工0

使分式方程有解的。的值有4个

二.使关于x的方程有解的概率是H

x+\x-363

9.在四个完全相同的小球上分别写上1,2,3,4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内

搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x,放回袋中搅匀，然后再从袋中

取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y,则点尸(x,y)落在直线y=T+5上的蹴率是—

L

解：列表得：

1234

1(1,1)(1,2)(1,3)(I,4)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)

•・•共有16种等可能的结果，数字x、y满足y=-x+5的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),

，数字x、y满足y=-x+5的概率为：

4

10.一个袋中装有〃z个红球，〃个白球，6个黄球，每个球除颜色外其余都相同，任意摸出

一个球，摸到黄球的概率为，则〃?+〃的值为.

【分析】根据概率公式进行计算即可得.概率=所求情况数与总情况数之比.

解：・・・一共有(m+〃+6)个球，黄球有6个，摸到黄球的概率为g,

+〃+6=6+[=12,解得：〃？+〃=6,

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查了已知概率，求参数，解题的关键是掌握概率公式，概率=所求情况数

与总情况数之比.

11.如图的四个转盘中，C、D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在

阴影区域内的概率最大的转盘是（A）

360-903

解：如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：=

A.360-4：

360-1202

B.如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：

C.如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：y；

D.如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：

O

..3521

4832

3

・••指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是：4.

4

故选：A.

【点睛】本题考查儿何概率.

12.如图，点。为正方形的中心，点E、尸分别在正方形的边上，MZ£C；F=90°ZEOF=90°,

随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是__________;【答案】-

4

【分析】米粒落在图中阴影部分的概率就是阴影部分的面积同正方形总面积的比.

解：设正方形为力BCD,故点。作。q_L8C于点儿作。于点G,

•・・/£OG+NGOb=90°,/G0F+/F0H=9Q°,

・・・ZEOG=/HOF,

•：/OGE=/OHF=90°,OH=OG,

：.AOGE^AOHFCAAS\

:4OGE=S4OHF,

♦,•S阴影=S正方形OGBH=S正方形ABCD，

4

在正方形中，满足点E、尸分别在正方形的边上（此处采用极限思想），且NEQF=90°的

图形如图所示:

因此EOF的面积是正方形总面积%因此米粒落在图中阴影部分的概率是:.

13.如图，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣"，其中Z/15C-90°,AC-5cm,

柿=3皿，小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面，他击中阴影部分的概率是；【答案】-

25

解：VZABC=90°,AC=5cm,AB=3cm,

，由勾股定理得：BC=4cm,

：.S.ABC=-AB*BC=-X3X4=6(CM),

22

2

，S阳彤=SF方彬・4S/v48c=5?-4X6=1(c/H),

・・・小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面，他击中阴影部分的概率是工，

25

故答案为：

25

14.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白

色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率

是.

【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可.

解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1,则正方形的边长为2,

71

则黑色部分的面积s=9,则对应概率p=j：=9，

248

故答案为

O

【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本

题的关键.

(II)用列表法或树状图法求较复杂事件的概率：

1.初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分

参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并

根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：

(1)扇形统U图中“优秀”所对应扇形的圆心角为度,并将条形统计图补充完整.

(2)如果学校初三年级共有340名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生

有人.

(3)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选网名

同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两

名同学恰好是甲、丁的概率.

【分析】(1)由周角乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应的扇形的圆

心角度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即可；

（2）根据比赛成绩良好的占比乘以340即可求解；

（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案.

解：⑴360°X（1-40%-25%-15%）=72°；

故答案为：72；

全年级总人数为18・15%=120（人）,

“良好”的人数为120x40%=48（人），

将条形统计图补充完整，如图所示：

（2）参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有：340x40%=136（人）,

故答案为：136；

（3）画树状图，如图所示：

XK/Tx/TX/T\

乙内「甲丙「甲乙「甲乙丙

共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个，

21

：•产（选中的两名同学恰好是甲、丁）=五=%.

2.某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人

必须参加且只参加一类活动）：A.音乐社团；B.体育社团；C.美术社团；D.文学社团；

E.电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了

调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.

根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次调查一共随机抽取了名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注

明人数）；

（2）扇形统计图中圆心角度；

（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛,

请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率.

【分析】（1）用4类型社团的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；用总人数减

去4、B,。、上四个类型社团的人数得到。类型社团的人数，即可补全条形统计图；

（2）用360。乘以C类型社团的人数占比即可求出扇形统计图中。的度数；

（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲和乙两名同学的结果数,

最后依据概率计算公式求解即可.

解：（1）50+25%=200（人）,

C类型社团的人数为200-30-50-70-20=30（人）,

补全条形统计图如图，

故答案为：200；

（2）a=36（Tx盖=54。，故答案为:54;

（3）画树状图如下：

・・,共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，

21

・•・恰好选中甲、乙两名同学的概率为二二5.

【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率,

正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键.

3.“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了4书法，B绘画，C舞蹈，。跆

拳道四类兴趣班.为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问

卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图.请根据统计图信息回答下列问题.

（1）本次抽取调查学生共有人，估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人

数约为人.

（2）请将以上两•个•统计图补充完整.

（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从4B,C,。四类兴趣班中随机选取

一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率.

解：（1）本次抽取调查学生的总人数为18・30%=60（人），

估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为3000x2=300（人），

60

故答案为：60,300.24]21

211---]8

（2）喜欢书法的学生人数人60x35%=21（人），胪二『卡

喜欢舞蹈的学生所占百分比为3*100%=25%,

60----ABcD类型

喜欢跆拳道的学生所占百分比为於100%=10%缸3

则补全两个统计图如下：^21%/B）

（3）由题意，画树状图如下：咚，

由图可知，甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好

选择同一类的结果有4种，则两人恰好选择同一类的概率为q=2=，，

164

答：两人恰好选择同一类的概率为;.

4.为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行了“青年大学习，强国你我他“知识竞

赛活动.李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数），按成绩划分为48,

C,。四个等级，并制作了如下不完整的统计图表.

等级成绩x/分人数

A90<x<I0015

B80<.v<90a

C70<x<8018

Dx<707

⑴求表中”的值；

⑵若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为A等级的

学生共有多少人？

⑶若A等级的15名学生中有3人满分，设这3名学生分别为7；,7\,从其中随机抽取2人

参加市级决赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到（，%的概率.

【分析】（1）先用力等级人数除以其所占比例得出总人数，所占比例可以用扇形统计图中力

对应圆心如除以360。来计算，再用总人数减去其他组别1勺人数即可；

（2）用学校参赛学生数乘以被调查学生中A等级所占比例计算即可；

（3）利用树状图法或者列表法计算概率即可.

解：（1）抽取的学生人数为：15+翳90°=60（人），

.1.0=60-15-18-7=20,

（2）600x1=150（人）,

60

答：估计该校成绩为A等级的学生共有15（）人；

（3）画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中恰好抽到7],%的结果有2种，

・•・恰好抽至Ijq,《的概率为27=19

o3

答:恰好抽到(，4的概率为".

【点睛】本题考查统计表与扇形统计图的相关知识，列表法或画树状图求概率，掌握审清题

意读懂统计图表和会用利用树状图法或者列表法求概率是解题的关键.

5.为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学

生读书行动实施方案》，于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长''为主题的系列读书活

动.学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时

间数据，整理后得到下列不完整的图表：

类别4类B类C类。类

阅读时长z(小时)0</<1\<t<22<t<3t>3

频数8mn4

请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：

(1)此次调查共抽取了名学生，,〃=；

(2)扇形统计图中，8类所对应的扇形的圆心角是度；

(3)已知在。类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活

动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率.

解：(1)8至20%=40(名)，

=40x25%=10,

/«=40-8-10-4=18,

故答案为：40,18,10；

1Q

(2)360°x—=162°,

40

故答案为：162；

(3)画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8,

所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率京g.

6.某校的学生除了体育课要进行体育锻炼外，寒暑假期间还要自己抽时间进行体育锻炼，为

了了解同学们假期体育锻炼的情况，开学时体育老师随机抽取了部分同学进行调查，按锻炼

的时间分钟)分为以下四类：/类(0<x<15),〃类(15<x<30),。类(30<x<45),

〃类（x>45）,对调查结果进行整理并绘制了如图所示的不完整的折线统计图和扇形统计图,

请结合图中的信息解答卜.列各题：

形统计图中〃类所对

40%

度数为，并

计图;

现从4类中选出两名男

同学和三名茨鼠输烈葩五名同学中随眼螺用鱼熨翡2釉3恭耦画树状图或

列表的方法求出抽到的学生恰好是一男一女的概率。

解：（1）18。

（2）用力表示女生，8表示男生,画树状图如下:

3^

共有20种情况，其匕［男一女有12种情况。

故抽到学/生恰好是一男_女的概

率拿人人人人/A\

AABBAABBAABBAAABAAAB

7.在一个不透明的口袋里装有分别标有数字-2,-1,0,3的四个小球，除数字不同外，小

球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀。

（1）从中任取一球，将球上的数字记为。，求关于X的一元二次方程成。2ax+〃+2=0有实

数根的概率；

（2）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标记为x（不放回），再任取一球，将球上

的数字作为点的纵坐标，记为y,用树状图或列表法表示出点G,y）所有可能出现的结果，

并求点（x,y）落在第二象限内的概率。

解：（1）・・・一元二次方程以2_2以+4+2=0有实数根

A=4t7~—4a(a+2)=—St?>0,且aW0,

a<0

•・•数字-2,-1,0,3中，小于0的有-2,-1

・•・关于X的一元二次方程a/_2奴+4+2=。有实数根的概率为=2=_L

42

(2)画树状图如下：

共有12种等可能的结果：(-2,-1),(-2,0),(-2,3),(-1,-2),(-1,0),(-1,3),

(0,-2),(0,-1),(0,3),(3,—2),(3,-1),(3,0),

其中落在第二象限内的有；（-2,3）,（-1,3）,共2种结果,

・,•点（x,N）落在第二象限内的概率为2=工

126

【点评】本题考查列表法与树状图法、根的判别式，熟练掌握列表法与树状图法、根的判别

式以及概率公式是解答本题的关键。

8.袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球.

（1）先从袋中摸出1