第37讲直线的倾斜角与斜率直线的方程（精讲）高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

第37讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程(精讲)

题型目录一览

①直线的倾斜角与斜率

②直线的方程

③直线过定点的问题

⑥两直线的夹角公式

一、知识点梳理

17直线的倾斜角

若直线/与X轴相交，则以X轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与/重合所成的角称为直线/的倾斜角，

通常用a,B,y,…表示

(1)若直线与x轴平行(或重合)，则倾斜角为0

(2)倾斜角的取值范围ae[0,乃)

2.直线的斜率

设直线的倾斜角为a,则a的正切值旅为直线的斜率，记为人=tana

(1)当1=工时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的

2

(2)所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率

(3)斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广(与直线方程相联系)

(4)4越大,直线越陡峭

(5)倾斜角a与斜率A-的关系

当％=0时，直线平行于轴或与轴重合；

当A>0时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随4的增大而增大；

当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角A随的增大而减小；

3.过两点的直线斜率公式

已知直线上任意两点，A(xt,V1),B(X2，乃)则k=———

（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关.

（2）若用=七，则直线48的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90。

4.三点共线.

两直线48,/C的斜率相等-4B、C三点共线；反过来，48、。三点共线，则直线/8,力。的斜率相

等（斜率存在时）或斜率都不存在.

二、直线的方程

I.直线的截距

若直线/与坐标轴分别交于（a,0）,（0年），则称a,b分别为直线/的横截距，纵截距

（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与,距

离”相关）

（2）横纵截距均为0的宜线为过原点的非水平非竖直直线

2.直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式y-y,=k(x-Xx}不含垂直于x轴的直线

斜戳式y=kx+b不含垂直于X轴的直线

y-)\_

两点式不含直线x=芭（占。x2）和直线y=乂（必hy2）

y2-y\七一占

XJ1

戳距式—1—=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线

ah

Ax++C=0

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

(A2+B2w0)

【常用结论】

1.求曲线（或直线）方程的方法

在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：

（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点,

或者一点一斜率

（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条

件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）

2.线段中点坐标公式

x=

若点6的坐标分别为a,M),(吃，必)且线段64的中点M的坐标为(X，力，则-,此公式

州+72

2

为线段44的中点坐标公式.

3.两直线的夹角公式

若直线y=占X+。与直线y=内、+仇的夹角为。，则tana=

二、题型分类精讲

作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定

法

函数图象

根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可

法

【典例1】己知点题-1,2),世2,现尸(1,0),点0是线段钻上的动点.

(1)求直线，。的斜率的范围；

(2)求直线PQ的倾斜角的范围.

【答案】⑴(-co,-1］U［乃+oo)

⑵转］

【分析】(1)两点式求直线。4P8的斜率，数形结合判断直线尸。的斜率的范围即可；

(2)由(1)所得斜率范围，结合倾斜角范围确定直线P。的倾斜角的范围.

【详解】(1)如下图，&尸与三=一1,心=在0=6,

-1-12-1

则直线PQ的斜率范围为(F,-i］UbA,+8).

(2)令直线倾斜角为。［OH,而直线P4P4对应倾斜角分别为¥，［

43

则直线PQ的倾斜角范围为《，争.

【题型训练】

一、单选题

I.（2023・全国•高三专题练习）直线y=-Gx+3的倾斜角为（）

A.30B.60°C.120°D.150:

【答案】C

【分析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可.

【详解】直线y=-Gx+3的倾斜角为。，因为直线的斜率为〃=tana=-百，

0展a<180，所以。=120。.

故选：C.

2.（2023・全国•高三专题练习）如图，若直线4耳，4的斜率分别为人质能，则（）

A.k\<k\〈k?B.ky<k]<k2

C.A]<“2<k3D.A3vA2<*1

【答案】A

【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.

【详解】解析设直线乙4/的倾斜角分别为四，4，%，

贝IJ由图知0°</<々2<90°<%<180°,

所以tan%<0,tana2>tana、>0,

即K<0,&>ky>0.

故选：A

3.（2023・全国•高三专题练习）已知直线x+my-3=0的倾斜角为30",则实数〃，的值为（）

A._也B.--C.ID.—

32

【答案】A

【分析】根据斜率公式以及斜率的定义可得出关于机的等式，解之即可.

【详解】由题意可知，直线x+〃/-3=0的斜率为一=走，解得加=《.

m3

故选：A.

4.（2023秋泗川成都•高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）若直线J，=2x的倾斜角为。，则sin29=

（）

134

A.yB.-C.-D.1

【答案】C

【分析】根据斜率的定义得tan®=2,再利用二倍角公式及同角三角函数基本关系求解即可.

七八cbr、i.c八2sin<9cos2tan®4

【详解】由斜率的定义有tanJ=2,所以sm2e=-7^-------可=—rr—r=7>

sin*6?+cos'0tan'0+\5

故选：C.

5.（2023•全国•高三专题练习）函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值

范围为（）

八3兀1兀1『3H]

A.0.—R.0.-U—.n

L4」L[.4J

八「3兀、「兀3nl

C•匕丐D.15G

【答案】B

【分析】由导数求切线斜率不范围，利用斜率和倾斜角的关系，求倾斜角的取值范围.

【详解】设切线的倾斜角为。，则ae[0n）,・・・r（x）=/-=

・••切线的斜率左=tana2-1,则aw0,^U3n]

7町

故选：B

6.（2023秋・江西•高三校联考开学考试）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴

阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点尸（乂力是阴影部分

（包括边界）的动点，则三的最小值为（）

x-2

234

A.~~B.--C.--D.-1

【答案】C

【分析】转化为点尸卜,力与（2。连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解，

【详解】记力（2,。），贝必=质为直线"的斜率'

故当直线肝与半圆/+（）,—1『=1（》>0）相切时，得k最小,

此时设加^号二刈入N），故上品1=1,解得A=—。或左=0（舍去）,

4

即=---

g3

故选：C

二、多选题

7.（2023・全国•高三专题练习）下列说法是错误的为（）

A.直线的倾斜角越大，其斜率就越大

B.直线的斜率为tana,则其倾斜角为a

C.斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等

D.经过任意两个不同的点分不训）,。（》2，必）的直线都可以用方程（尸乂）（》2—）=（》-再）（必一乂）表

示.

【答案】ABC

【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，结合直线倾斜角的性质、直线两点式方程逐一判断即可.

【详解】当直线的倾斜角为直角时，该直线不存在斜率，故选项A不正确：

当直线的斜率为tan?=l,倾斜角为故选项B不正确；

44

当两条直线的斜率相等，显然这两条直线的倾斜角相等，故选项选项C不正确；

根据直线的两点式方程可知选项D正确，

故选：ABC

8.（2023・全国,高三专题练习）已知8<1,直线/的方程为x-孙+1=0,则直线，的倾斜角可能为（）

八cnc兀r6几

A.0B.—c.—D.—

【答案】CD

【分析】对8分类讨论结合斜率与倾斜角的关系即得.

【详解】当8<0时，则直线的斜率为〃=[<（）,所以直线的倾斜角可能为竺，

当3=0时，则直线的斜率不存在，所以直线的倾斜角为

当0<4<1时，则直线的斜率为所以直线的倾斜角范围为仔*]，不可能为。和弓.

BN7

故选：CD.

三、填空题

9.（2023秋•上海普陀福三曹杨二中校考开学考试）过P（-2,m）、0W，4）两点的直线的倾斜角为45，那么

m=.

【答案】1

【分析】根据给定条件，利用直线斜率的定义及坐标公式求解作答.

【详解】依题意，直线尸。的斜率4^=tan45°=l,又后=上二，则==1,解得加=1,

工Lm+2m+2

所以m=1.

故答案为：1

10.(2023•全国•高三专题练习)已知出线/：(2+a)x+(a-l)y-3o=0在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),

则其斜率的取值范围是.

【答案】八；或

【分析】先求出直线I所过的定点，再根据条件求解.

【详解】由直线/：(2+a)x+(a-1)»-3〃=0得：(x+y-3)a+2x-y=Qf

令：+'一3二°，解得x=l/=2,所以直线I过点力。,2),由题知，在x轴上的截距取值范围是(-3,3),

如图：

所以端点处直线的斜率分别为;W=-i，E=：,

1-31+32

所以或上<-1；故答案为：或％<-1.

22

题型二直线的方程

令策略方法求直线方程的两种方法

【典例1］根据条件写出下列直线的方程：

(1)斜率为2,在v轴上的截距是-5；

(2瓶斜角为150。,在x轴上的截距是2；

⑶伍斜角是直线尸-氐+1的倾斜角的一半,H过点(-62).

【答案】⑴y=2x—5或2x—y-5=0；

(2)产_冬+苧或x+同一2=0；

(3)尸底+5或Gx-y+5=0.

【分析】(D利用斜截式方程求解即可：

(2)先由倾斜角求出斜率〃，再设直线方程为》=丘+3将(2,0)代入求解即可；

(3)根据倾斜角的关系求出直线斜率，再将(-6,2)代入即可求解.

【详解】(1)因为直线斜率为2,在J'轴上的截距是-5,

所以由斜截式可得直线方程为》=2x-5或21、，-5=0.

（2）因为直线倾斜角为150。，所以该直线斜率为-正，

3

设直线方程为y=-且x+6,又因为在x轴上的截距是2,

3

所以将（2,0）代入尸-去+b解得直线方程为y=-gx+手■或x+舟-2=0.

（3）因为直线），=-氐+1的斜率为-右，

所以直线‘丫=-/丫+1的倾斜角为120。，

所以由题意得所求直线的倾斜角为60。，斜率为百，

设所求直线为y=3x+c,将（-6,2j代入可得c=5,

所以所求直线方程为y=&+5或x/ix-y+5=0.

【题型训练】

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）过点（1,2）且方向向量为（-1,2）的直线的方程为（）

A.2x+y-4=0B.x+y-3=0

C.x-2y+3=0D.x-2y+3=0

【答案】A

【分析】利用直线的点斜式方程进行求解即可.

【详解】由题意可知直线的斜率〃===-2,由点斜式方程得，

所求直线的方程为y-2=-2（x-1）,即2x+y-4=0.

故选:A

2.（2023・全国•高三专题练习）过点/（L4）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）

A.x-y+3=0B.x+y-5=0

C.4x-y=0或x+y-5=0D.4x-y=0或x-y+3=0

【答案】D

【分析】可以分截距都为零和截距不为零两种情况进行考虑，截距为零，直线过原点，求出方程即可，截

距部位零，利用截距式，设出方程求解即可；也可以设出方程，求出截距，进行计算即可.

【详解】解法一当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为N=4X,即4x-），=0；

当直线不过原点时，设直线方程为±-上~=1（。工0）,

a-a

i4

因为直线过点/（1，4）,所以上一£=1,

aa

解得以=-3,此时直线方程为x-y+3=0.

故选：D.

解法二易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.

设盲线方程为."4=A（X-1）（〃HO）.

4

贝ljx=o时，y=4-左，y=0时，x=l--,

k

4

由题意知1-7+4—4=0,

k

解得k=4或〃=1,即直线方程为y=4x或x-y+3=0.

故选：D.

3.（2023・全国•高三专题练习）已知直线了-2”』=0经过点仅「1）,则该直线在丁轴上的截距为（）

A.vB.」C.2D.-2

22

【答案】D

【分析】将点（2,T）代入方程得出，进而由工=0得出所求截距.

【详解】因为直线x-2y+/=0经过点所以2+2+f=0,解得！=-4,

所以直线方程为x—2y—4=0,令x=0,得产一2.

故选：D

4.（2023秋•宁夏吴忠•高三盐池高级中学校考阶段练习）若直线〃优+4=2过点4（2,2）,其中加，〃是正实

数，则上+士的最小值是（）

mn

9

A.3+V2B.3+242C.-D.5

乙

【答案】B

【分析】由点A在直线上可知用+〃=1,结合均值不等式即可求解.

【详解】因为直线总+，少=2过点4（2,2）,所以27M+2〃=2,

由川和〃都是正实数，所以〃7+〃=1,〃1>0,〃>0.

所以'+2=（_!-+2］（川+〃）=1+2+-^4-->3+2«,

mnn）mn

当2=迎时取等号，即〃「&一1，〃=2-应时取等号，

mn

所以2的最小值是3+2忘.

mn

故选:B.

二、填空题

5.(2023•高三课时练习)经过点(-3,1)和点(2,-2)的直线方程是.

【答案】3x+5y+4=0

【分析】根据两点式求得直线方程.

【详解】经过点(-3,1)和点(2,-2)的直线方程是：用=渭，

整理得3x+5y+4=0.

故答案为：3x+5y+4=0

6.(2023•高三课时练习)第二、四象限角平分线所在直线的方程是.

【答案】y二­x

【分析】根据倾斜角求斜率，再根据点斜式方程求解.

【详解】第二、四象限角平分线过点(。，0),其所在直线的倾斜角为学，则斜率〃=tan¥=-l,则直线方

程为y=T.

故答案为：y=-x

7.(2023・全国•高三专题练习)若过两点力卜见6),仅1,3⑼的直线的斜率为12,则直线的方程为.

［答案】12A-7-18=0

【分析】由两点斜率公式求小，由点斜式求直线方程.

【详解】因为直线经过两点/卜叽6)、8(1,3卅)且直线的斜率是⑵

所以】2="=,解得机=-2.

所以点A的坐标为(2,6),

所以直线的方程为厂6=12(x-2),化简可得您-尸18=0.

故答案为：12x-y-18=0.

8.(2023秋・江苏扬州・高三扬州市新华中学校考期末)求过点片2,3),并且在两轴上的截距相等的直线方

程.

【答案】3x-2y=0^x+y=5

【分析】当直线经过原点时，直线的方程直接求出；当直线不经过原点时，设直线的截距式为?+!=1(。二0),

把点P的坐标代入即可得出.

【详解】当直线经过原点时，直线的方程为y=|x,化为3x-2y=0,

当直线不经过原点时，设直线的截距式为土+^=1(。=0),

aa

24

把点气2,3)代入可得：一+二=1,解得。=5,

aa

所以直线的方程为：x+y=5,

综上所述，所求直线方程为3x-2歹=0或x+y=5.

故答案为：3x-2y=O^x+y=5.

9.(2023・全国,高三专题练习)已知416)、8(2,10)、(7(3,16)、0(4,21)中的三个点在直线/：y=h+机上，则

【答案】5

【分析】由3c=£切可得儿C,。在同一条直线上，利用点斜式可求得该直线，然后检验8不在该直线上,

即可得到直线/,即可求得答案

【详解】由题意可得3°=臂=5,3o==W=5,且直线力。,力。有公共点A,

所以HC,。在同一条直线上，

所以该直线为7-6=5。-1)即y=5x+l

由于4(2,10)不满足)，=5工+1,故直线/为y=5x+l,

所以4=5,加=1,所以K=5

故答案为：5

题型三直线过定点的问题

策略方法

合并参数是解决问题的关键点

【典例1】已知直线/的方程为：(2/»+l)x+(m+l)y-7m-4=0

(I)求证：不论〃，为何值，直线必过定点

(2)过点M引直线总使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求人的方程.

【答案】(1)证明见解析

(2)x+3y-6=0

【分析】(1)将直线方程改写成，心+1)+》+尸4=0形式，解方程组/"匚"[即可.

x+y—4=0

(2)设出直线乙的方程，分别令x=0、y=0求出相对于的y值、X值，结合三角形面积公式及基本不等式

即可求得结果.

【详解】(1)证明：由(2/w+l)x+(加+1),_7/_4=0可得：m(2x+y-7]+x+y-4=0f

*[2A:+y-7=0[x=3

令<"=><

x+^-4=0[y=1

所以直线/过定点M(3,l).

(2)由(1)知，直线《恒过定点M(3,l),

所以设直线/,的方程为y=A(x-3)+1(4<0),

令x=0,则y=l-3£：令y=0,则X=3—g,

k

所以S=；(1-343-那=3-9吐-》+62卜9吁£|+6=6,

当且仅当-%=?即时，三角形面积最小,

此时4的方程为x+3y-6=0.

【题型训练】

一、单选题

I.(2023•全国•高三专题练习)直线依+1=3%,当A变动时，所有亘线恒过定点坐标为()

A.(0,0)B.(0,1)C.(3,1)D,(2,1)

【答案】C

【分析】整理所得直线方程为々(x-3卜)，+1=0,根据题意，即可求得结果.

【详解】把直线方程整理为&(》-3)-)，+1=0,

犬一3=0K=3

令Jr+lo,故二1'所以直线恒过定点为(3，1)・

故选：C.

2.(2023・全国•高三专题练习)直线(。-1)工-(。+1)丁+2=0恒过定点()

A.(11)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(-1-1)

【答案】A

【分析】将直线变形为(x-J，)a-x->+2=0,由x-»=0且-x-‘+2=0,即可求出定点.

【详解】将(〃-1)%-(〃+1》+2=0变形为：(x-y)a-x-y+2=01x-y=0S.-x-y+2=0,解得

x=Ly=i,

所以直线恒过定点(1,1).故选：A

3.(2023・全国•高三专题练习)若幻一点三个数成等差数列，则直线y=h+〃必经过定点()

A.(1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(-1,-2)

【答案】A

【分析】根据等差数列定义可得k+6=-2,代入直线方程整理即可求得定点坐标.

【详解】力成等差数列，.》+5=-2,即胃-2-4,

"=履+6=依一2—%=人(工一1)一2,.•.直线y=+6恒过定点(1,~2).

故选：A.

4.(2023•全国•高三专题练习)直线(加+l)x+(〃?+l)y-7机-4=0恒过定点()

A.(-1,3)B.(3-1)C.(3,1)D.(1,3)

【答案】C

【分析】根据直线系方程求解即可.

［详解］将(2/n+l)x+。”+l)y—7，〃-4=0化为(2x+y-7)m+(x+y—4)=。,

―—2x+y-7=0,(x=3

联立义八，得r

x+y-4=0ly=1

即直线(2m+l)x+(冽+1R-7刑-4=0过定点(3,1).

故选：C

5.(2023・全国•高三专题练习)已知直线4：h-y=0过定点A,直线处-应+2%=0过定点B,乙与％

的交点为。，则忸4的最大值()

A.2瓜B.2后C.4D.2百

【答案】D

【分析】由动直线的方程可得动点A,B的坐标，并且可得两条直线互相垂直，由勾股定理可得|CA|2+|CB|2

的值，再由基本不等式可得|AC|+|BC|的最大值.

【详解】对于直线4：h-y=o过定点A(o,o),

对于直线4：x+。-五+2A=0,即X—75+k(2+y)=0,

则上:庭7可得x=及，y=-2,故定点B(加，・2)，

2+y=0

直线4：h-y=0与直线，2：x+处—五+2k=0中，

・.・kxl+(-l)x左=0,.•J1112,

•111与12的交点为C,

A|CA|2+|CB|2=|AB|2=2+4=6,

[二回2+同2「倒画鸟(|CA12+|CB|2)=3,

Xz

2

・・・|CA|+|CB|W2石，

当且仅当|CA|=|CB|=有时，|CA|+|CB|的最大值为26，

故选：D.

6.(2023・全国,高三专题练习)已知点4-1,0),8(2,0)与直线/:g-y+〃?=0(,〃6R),若在直线/上存在

点尸，使得|ai|=2p8|,则实数”的取值范围是()

A.r---731DB.f-8,---U-,-HX1

-JJLz

C.｝百,6]D.(-oo,-V3]kj|^V3,+a>)

【答案】A

【分析】设出P点坐标，由|"|=2|尸8|进行化简，结合二次函数的性质求得州的取值范围.

【详解】对于直线八，九x—j，+，”=0(，”wR),

即y=g+l),所以力(-1,0)在直线/上，

设尸|丁,〃?。+1)),其中"-1,

由IM=2阿|两边平方得陷f=4|尸部,

整理得-61+5=0,

〜,/-6/+5/2+2/+1-8（/+1）+12

由于，+1/0,所以〃[=_/N

7+1—

128,1

一百+百7其中有皿

11128।

根据二次函数的性质可知，当W=；」=2时，一询7+汨取得最大值'

且最大值为g,则〃/e0,",解得阳e•

故选：A

二、填空题

7.(2023•全国•高三专题练习)已知直线(3，”-”)x+(，〃+2〃)y-”=()则当也〃变化时,直线都通过定点一

【答案】(-1若3)

3.r+y=0

【分析】整理得，皿3x+y)+〃(-x+2y-l)=0,利用，,,即可计算求得定点.

-x+2y-\=0A

【详解】整理得，皿3%+y)+n(-x+2y-l)=0

1

3—ox=­a

令二；1『0=3。从而该直线必过定点T》

r=?

故答案为：(-1若3)

8.(2023・全国•高三专题练习)已知直线/：(2+a)x+(“-1)尸-3。=0在x轴上的截距的取值范围是(-3,3：1,

则其斜率的取值范围是.

【答案】吟或

【分析】先求出直线I所过的定点，再根据条件求解.

【详解】由直线/：(2+a)x+("l)»-3a=0得：(x+y-3)a+2x-y=0,

令［十］，-3：0,解得x=］,j,=2,所以直线I过点4（1,2）,由题知，在'轴上的截距取值范围是（-3,3）,

=U

如图：

所以端点处直线的斜率分别为=-1,言=:,

1-31+32

所以女>;或〃<-1;

故答案为：〃>3或〃<-1.

9.（2023・全国•高三专题练习）已知点P（-1#,。（2,2）,若直线/:》+，可+m=。与P。的延长线（有方向）相

交,则〃?的取值范围为.

【答案】卜3,一|）

【分析】先求出尸。的斜率，再利用数形结合思想，分情况讨论出直线的几种特殊情况，综合即可得到答案.

【详解】如下图所示，

由题知心。=了而=7

直线工+"沙+〃?=0过点M（0,-1）.

当用=0时，直线化为x=0,一定与P0相交，所以加工0,

当机H0时，k,=--考虑直线/的两个极限位置.

mt

①/经过。，即直线小则勺=马士4=3：

②/与直线产。平行，即直线a则勺=/殁=；,

因为直线/与尸。的延长线相交，

所以:解得所以〃小（_3,一'］.

3m23V37

故答案为：

10.（2023•全国•高三专题练习）已知点4（-11），设动直线x+〃y=0和动直线，次-尸4〃+2=0（〃£2交于

点尸，则伊力|的取值范围是.

【答案】［3-石,3+石］

【分析】由两动