第二十四章圆(压轴题专练)(原卷版+解析)-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练(人教版)

第二十三章旋转（压轴题专练）

一、填空题

1.（2023・全国•九年级专题练习）如图，点A是。。上一定点，点B是。。上一动点、连接OA、OB、AB,

分别将线段A。、八8绕点A顺时针旋转60。到AV、AB1,连接。A、BB'、AB、OB,下列结论：①点A

在。。上；②四△AA&；③=；④当03'=20A时，A*与。。相切.止确的有（）

2.（2023春・重庆开州•八年级统考期末）如图，以直角三角形ABC的斜边A8为边在三角形ABC的同侧作

正方形ABDE,正方形的对角线力。，被相交于点。，连接C。，如果AC=1,CO=2夜，则正方形48。石

的面积为（）

:s

A.20B.22C.24D.26

3.（2023•四川南充•四川省南充高级中学校考二模）如图，。。的半径是5,点A是圆周上一定点，点4在。0

上运动，且NAHM=30。，AC±W,垂足为点C,连接0C,则0C的最小值是（）

3-6R6「石n5

D.U.

2---------------2------------------3------------------22

4.：2023春・全国•八年级专题练习）如图，正方形A8CQ中，/W=12,点P为边D4上一个动点，连接CP,

点、E为CD上一点、,且OE=4,在48上截取点Q使EQ=C。，交CP于点M,连接BM,则8M的最小值

为（）

C.4710-4D.y/83-5

5.（2023・安徽合肥・统考三模）如图，在平面直角坐标系中，A（6,O）,8（0,8）,点C在x轴正半轴上，点。

在F轴正半轴上，且。=6,以。。为直径的第一象限作半圆，交线段4B于点E、F,则线段所的最大值

C.3及D.3A/3

6.（2023•湖北武汉•统考二模）如空，。。内切于正方形ABCZ）,边AO、CO分别与。0切于点E、尸，点

M、N分别在线段OE、。/上，且MN与。O相切.若△MBN的面积为6,则。。的半径为（）

A.2石B.MC.2&D.瓜

二、填空题

7.（2023•浙江温州•校考三模）杭州奥体网球中心以极度对称的“莲花”造型惊艳众人.该建筑底部是由24

片全等“花瓣”组成的“固定花环”，上方穹顶由8片全等“旋转花瓣”均匀连接，可根据天气变化合拢或旋转展

开.小明借助圆的内接正多边形的知识，模拟“小莲花”变化状态.穹顶合拢时，如图①，正二十四边形顶点

AA

A，正八边形顶点看与圆心。共线，正二十四边形顶点A，/与正八边形顶点A1-共线，则而1忒的

值为；穹顶开启时，如图②，所有“旋转花瓣''同时绕着固定点M，M2,Mx逆时针同速旋转.圆

心。绕叫旋转后的对应点为a,以此类推，当a落在上时，若0A=67.5米，则的值为米.

（图②）

8.（2023・四川眉山・统考中考真题）如图，在平面直角坐标系X。），中，点8的坐标为（-8,6）,过点8分别作

x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A,直线），=-21-6与A8交于点。.与），轴交于点£动点M在线

段BC上，动点N在直线），=-2、-6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标

为______

9.（2023・上海・统考中考真题）在丛8c中AB=7,AC=3,NC=90。，点。在边4c上，点后在6延长线上，

且CD=DE,如果。B过点A,过点。，若。B与OE有公共点,那么。石半径厂的取值范围是

10.（2023秋・广东梅州•八年级校考阶段练习）如图，为。。的直径，且48=8,点C在半圆上，OCLAB,

垂足为点。，P是BC上任意一点，过P点作PE_LOC于点£例是aOPE的内心，连接OM、PM,当

点P在弧8c上从点B运动到点C时，求内心M所经过的路径长

11.（2023・浙江绍兴•校联考三模）如图，矩形中，AB=6,AD=\0.动点七在A3边上，以点E为

圆心，以BE为半径作弧，点G是弧上一动点.

（1）如图①，若点石与点A重合，且点尸在8C上，当与弧相切于点G时，则质的值是；

（2）如图②，若人石=1连结CG,DG,分别取。G、CG的中点P、Q,连接P。，M为尸。的中点，则CM

的最小值为

图①图②

12.（2023•江苏苏州•苏州市胥江实验中学校校考二模）如图，矩形A8CDA8=2,BC=4,E为A3中点,

?为直线8c上动点，点从G关于£尸对称，连接AG,点户为平面上的动点，ZAPB=-ZAGBf则DP的

最小值是.

三、解答题

13.(2023秋♦山西阳泉•九年级统考期末)综合与探究

问题情境：如图，已知43为。。的直径，点。为。。上异于A,8的一点，过点C作。。的切线CE,过点

A作于点。，连接OC.

⑴探究发现：证明：无论点C在何处，将以。。沿AC折叠，点。一定落在直径A4上；

(2)探究引申：如图2,勤奋小组继续探究发现，若。是等腰三角形且对称轴经过点D,此时，C0与AA

存在数量关系，请写出结论并证明；

(3)探究规律：如图3,智慈小组在勤奋小组的启发下发现当^AOC为正三角形时，C。与A8存在的数量关

系是：CD=AB.

14.(2023•江苏•九年级假期作业)【问题情境】如图①，在四边形A8CQ中，N8=NZ)=90。，求证：A、氏

。、。四点共圆.

小吉同学的作法如下：连结AC,取AC的中点。，连结OB、0D,请你帮助小吉补全余下的证明过程；

【问题解决】如图②，在正方形A8CO中，A8=2,点£是边CD的中点，点厂是边8C上的一个动点，连

结4E,AF,作EP_LA尸于点P.

(1)如图②，当点P恰好落在正方形48co对角线80上时，线段A/,的长度为—；

(2)如图③，过点P分别作"于点M,PN上BC于点、N,连结MN,则MN的最小值为.

图①图②图③

15.(2023春•湖北恩施•九年级统考期中)如图1,等圆0。与相交于C,M两点，0。经过OQ的圆

心。2,直线。02交于点A,交0。2于点B,连接AC,I3C.

⑴求证：AC为0。的切线；4c为0。2的切线；

(2)连接8M,4M,判断四边形AC8M的形状，并说明理由;

(3)如图2,当点〃为线段8c上的点，点E为4c延长线上的点,直线交00?于点。，直线。也交0。?

于点E若。”=探求BHAE是否为定值；

(4)如图3,当〃为8C延长线上的点，E为线段4C上的点，其它条件不变，则(3)中的结论是否仍然成立？

请说明理由.

要求帮小明完成探究.

(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1,在。。中，C是劣弧A8的中点，直线8_LA/?于

点E,则4石=4".请证明此结论；

⑵从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2,PA,尸8组成。。的一条折

弦.C是劣弧A8的中点，直线C£>_LO4于点E,则AE=在:+m.可以通过延长。8、相交于点凡再

连接4。证明结论成立.请写出证明过程；

⑶如图3,PA,依组成。。的一条折弦.C是优弧ACB的中点,，直线CQJ_R4于点七，则AE,PE与PB

之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明.

17.(2023•河北廊坊•校考三模)在矩形A8C。中，AB=3cm,BC=4cm,点P从点A出发沿人3边以lcm/s

的速度向点8移动(点P可以与点8重合)，同时，点Q从点3出发沿以2cm/s的速度向点。移动(点Q

可以与点。重合)，其中•点到达终点时，另•点随之停止运动.设运动时间为，秒.

⑴如图1，几秒后，P。的长度等于女m?

(2)如图I,几秒后，V8PQ的面积等于四边形A8C。面积的，？

6

(3)若以。为圆心，尸。为半径作00.如图2,若。。与四边形CDPQ的边有三个公共点，贝”的取值范围为

.(直接写出结果，不需说明理由)

18.(2023•广东深圳•校考二模)【定义】在平面内的三个点A,B,P,满足PA=3P8.若NP=90。，则将

(1)如图I,已知中，ZC=90°,BC=\，若点C是①，用的三倍直角点，则AB的长度为；

若点3是点口，C］的三倍锐角点，则AC的长度为；

(2)如图2,在平面直角坐标系中，直线V=x-2交x轴于点A,点产是直线2上的一点，点3的坐标

为(6,0),点C的坐标为(4,0)，以6为圆心8C长为半径作03,点。在上.

①若点A是IP,01的三倍锐角点，求点尸的坐标

②若点。是［P,0的三倍直角点，直接写出点。的坐标.

19.(2023•河北张家口•统考三模)如图，在△然£中，BE>AE,延长比:到点。，使DE=BE,延长AE到

点、C,使CE=AE.以点E为圆心，分别以BE、AE为半径作大小两个半圆,连接co.

(1)求证：AB=CD；

(2)设小半圆与80相交于点M.4£=24£=2.

①当Sj跳取得最大值时，求其最大值以及C。的长；

②当A3恰好与小半圆相切时，直接写出弧A"的长.

20.(2023・河北唐山•统考二模)如图，菱形ABC。中，ND4B=60。，AB=A二点P为射线A8上一动点,

在射线。4上取一点E,连接0AEP,使NQPE=60。.作VAPE的外接圆,设圆心为0.

DC/

、\/

、\✓/

、、✓✓

、XX✓

(1)当圆心。在A8上时，AE=______；

⑵当点£在边AO上时，

①判断0。与OP的位置关系，并证明：

②当AP为何值时，AE有最大值？并求出最大值;

(3)如图，连接AC,若PE"AC,直接写出值;将优弧PE沿PE翻折交射线AC于点Q,直接写出弧PQ

的长.

21.（2023・全国•九年级专题练习）如图，△A8C内接于00,连接AO,^BAO=ZCAO.

图1图2图3

⑴如图1,求证：AB=AC；

（2）如图2,点。在。。上，连接CD,点E是A。上一点，连接。E,若N/V）E=NACQ,求证：OE_LOA；

（3）如图3,在（2）的条件下，延长4。交。。于点小，连接心,若NCOE=45。，AE=五，BC=3日

求"'的长.

22.（2023•陕西宝鸡•统考一模）问题提出：

（1）如图1所示，已知A为。。上一点，尸为0。外一点，若PO=6,。。的半径为2,则总的最小值为

*

问通探究：

（2）如图2所示，。为等边三角形AAC内一点，若A8=4,求2A+QA+PC的最小值；

问题解决：

（3）由于网购的方便与快捷，极大地促进了物流行业的发展，如图3所示，一条半圆形公路连接着人B

两座城市（A3=20km）.物流公司沿半圆形公路在A,4两地之间进行物流运送.点。为一辆等在半圆形公

路上的物流车，随时接收从外地运来的货物以便及时送到A,B两地.为了节约资金，提高物流中转的效率，

现需在这个区域内建一个物流中转站P，要求物流中转站P到4,8两城市及半圆形公路上点D的距离之和

最小，请帮物流公司求出这个距离和的最小值.

0*入GA

图1图2图3

23.（2023•云南昆明•统考二模）矩形A8CO中，AB=6,8c=8,点。是边8C上的一个动点（不与点8

重合），连接04,将aABO沿AO折叠，得到△AEO,再以。为圆心，08长为半径作半圆，交射线BC于

G,连接他并处长交射线CD于K连接反:，设O6=x.

(I)求证：AE是半圆。的切线；

(2)当点石落在AC上时，求x的值；

(3)当半圆。与△ACZ)的边有两个交点时，求x的取值范围.

24.(2023•湖南•湖南师大附中校联考模拟预测)定义：如图1,A8是0。的直径，苯弦CD〃AB,则称弦

(2)弦Q)和弦E户都是半径为5的O。的纬线，8〃EF,CD=6,/=8,求这两条纬线之间的距离：

(3)如图2,弦MN和弦PQ是直径A3两侧的纬线，连接。例、ON、OP、OQ、PM、QN,0。的半径为L

记四边形MPQN,△Q"N,/XOP。的面积依次为S,5，邑，若同时满足下列两个条件时，求S的最大值

(用含「的式子表示).

①，+S2=3S；②其中的一条纬线长不超过半径一.

25.(2023秋•广东广州•九年级广东实验中学校考期末)在正方形48C。中，边长为2.点E是线段上的

动点，以AK为直角边在直线8C的上方作等腰直角三角形AE/，/4£r=90。，其中交C。于点尸，AF交

C。于点。，连接CF.

图1图2

⑴如图1,①若=；时，求线段C尸的长；

②当点E在线段上运动时，求证：NQEF=NFEC.

（2）如图2,过点〃作8G_LAE交E。于点G,过点。作。〃_LCE所在的直线于点H,求用的最小值.

26.（2023・北京・统考二模）在平面宜角坐标系xQv中，。0的半径为2.对于直线/和线段BC,给出如下

定义：若将线段8c关于直线/对称，可以得到。O的弦，C（8,C'分别是&C的对应点），则称线段8C

是以直线/为轴的OO的“关联线段”.例如，图1中线段5c■是以直线/为轴的0O的“关联线段”.

⑴如图2,点用，C,,B2,J,a，4的横、纵坐标都是整数.

①在线段4G，用G，8c中，以直线hy=x+4为轴的。。的“关联线段“是「

②在线段4G，与G，B.G中，存在以直线公户T+〃为轴的0。的“关联线段”，求。的值；

（2）已知直线*丁=一辰+，〃。心0）交X轴于点A.在，AC中，AB=6,BC=2,若线段8c是以直线4为

轴的的“关联线段”，直接写出〃?的最大值与最小值，以及相应的AC的长.

27.（2023•北京朝阳•统考二模）在平面直角坐标系直万中，对于图形M给出如下定义；将M上的一点（。力）

变换为点（。-仇。+。），/上所有的点按上述变换后得到的点组成的图形记为N,称N为M的变换图形.

（1）①点（3,0）的变换点的坐标为：

②直线N=x+1的变换图形上任意一点的横坐标为；

⑵求直线y=2x+l的变换图形与y轴公共点的坐标；

（3）已知。。的半径为1,若。。的变换图形与直线），="+2々伏/0）有公共点，直接写出2的取值范围.

28.（2023・江苏盐城•校考三模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（〃i〃），我们称直线V=必+〃为点。的

友好直线.例如，点P（T2）的友好直线为y=-3x+2.

⑴己知点唱，4),

①则点A的友好直线为；

②若。0与点A的友好直线相切，求。0的半径；

⑵已知点点。是x轴上任意一点(原点除外)，点例为直线CQ上的动点.

①当点。坐标是(1,0)时，求点。到点例的友好直线的距离的最大值；

②以Q(-1,0)为圆心，3为半径作OQ.在点。运动过程中，当点M的友好直线与OQ交于反尸两点时，EF

的最小值为4,请直接写出点。的坐标.

29.(2023春•江西赣州•八年级瑞金第一中学校联考期末)如图I,在矩形A8C。中，4)=12,AB=8,点

E在射线上运动，将△AE。沿E。翻折，使得点A与点G重合，连接4G交。E于点F.

(1)【初步探究】当点G落在边上时，求5G的长；

(2)【深入探究】在点七的运动过程中，8G是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请

说明理由;

(3)【拓展延伸】如图3,点P为8G的中点，连接AP,点E在射线AA上运动过程中，求AP长的最大值.

30.(2023•山东临沂•统考一模)如图1,在“8。中，ZA=60°,A3=AC=3,点。，E分别在边AB,AC

上，且AO=AE=1,连接现将VAOE绕点人顺时针方向旋转，旋转角为＜360。)，如图2,

连接CE,BD,CD.

(I)当0。＜心＜180°时,求证:CE=BD；

(2)如图3,当a=60。时，延长CE交8。于点F,求/8FC的度数：

⑶在旋转过程中，探究△8CE的面积的是否存在最小值，若存在写出此时旋转角a的度数和面积最小值，

若不存在，请说明理由.

31.(2023・全国•九年级专题练习)【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容.先

观察下图，直线〃〃/2,点A,3在直线A上，点。，C2,CJ,a在直线//上.△ABC/,△ABC2,△ABCs,

△这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。

【基础巩固】如图1,正方形A8CO内接于0。，直径求阴影面积与圆面积的比值;

【尝试应用】如图2,在半径为5的0。中，BD=CD,NACO=2/BDO,cos/BOC=x,用含X的代数式

表不ABC；

【拓展提高】如图3,A8是。。的直径，点。是。8上一点，过点P作弦CO_LA8于点P,点尸是。。上

的点，且满足b=C8,连接班'交CD于点E,若BFWEP,5A°B=10后，求。。的半径.

A

图3

32.(2023・河南开封•一模)刘老师在“矩形的折叠”活动课上引导学生对矩形纸片进行折叠.

如图，将矩形纸片ABC。折叠，点A与点。重合，点C与点4重合，将纸片展开，折痕为在AD边上

找一点尸，沿CP将△PCD折叠，得到△PCQ,点。的对应点为点Q.

(1)问题提出：若点Q落在EF上,CD=1,连接8Q.

①△CQB是_____三角形；

②若△CQB是等边三角形，则人。的长为.

(2)深入探究：在(1)的条件下，当">=血时，判断ACOB的形状并证明；

(3)拓展延伸：若AB=5,AD=6,其他条件不变，当点。落在矩形ABFE内部(包括边)时，连接A。，直

接写出AQ的取值范围.

33.(2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨德强学校校考模拟预测)A8为。。的直径，C为圆上一点，C£>_LA8,垂

足为。，点E为圆上一点，连接AC,BC,且EC=4C.

(1)如图，求证：ZACE=2NBCD；

（2）如图，连接人石，求证：AE=2CD；

（3）如图，在（2）的条件下，连接CO并延长CO交A石于点尸，连接/）产交CE于点G,若0G=1,CD=26,

34.（2023•江苏•模拟预测）【问题思考】如图1,点E是正方形48co内的一点，过点£的直线AQ,以OE

为边向右侧作正方形。E”G,连接GC,直线GC与直线4Q交于点P,则线段A£与GC之间的关系为

【问题类比】

如图2,当点E是正方形ABC。外的一点时，【问题思考】中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；

若不成立，请说明理由；

【拓展延伸】

如图3,点E是边长为6的正方形A8CO所在平面内一动点,【问题思考】中其他条件不变，则动点尸到边AO

的最大距离为（直接写出结果）.

G

35.(2023・陕西铜川•统考三模)(1)如图1,0A的半径为1,八8=2.5,点尸为04上任意一点，则利的

最小值为

(2)如图2,已知矩形A8CO,点、E为AB上方一点、,连接作防点尸，点户是与律的

内心，求N3PE的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接AP,CP,若矩形的边长A8=6,BC=4,BE=BA,求此时C9的最

小值.

36.(2023・全国•九年级专题练习)【结论理解】“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对

角互补的四边形的四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.

⑴【问题探究】如图1,在矩形4BCD中，点E为C。上一点，将AACE沿破翻折，点。的对应点尸恰好

落在边A。上，做经过F、E、C三点的圆，请根据以上结论判断点8点(填“在”或“不在”)该圆上;

(2)如图2,四边形A8CO是。。的内接四边形，ZABC=ZADC,AB=8C=5/，8=6,求四边形ABCO

的面积.

(3)【问题解决】如图3,四边形ABC。是某公园的一块空地，现计划在空地中修建AC与8。两条小路，(小

路宽度不计)，将这块空地分成四部分，记两条小路的交点为P，其中△4*与才空地中种植草坪，AABP

与△CDP空地中分别种植郁金香却牡丹花.己知A8=CDBD=150m,AC=100m,ZBAC+ZB£>C=180°,

且点C到B。的距离是40m,求种植牡丹花的地块△CQP的面积比种植郁金香的地块△河的面积多多少

m2?

37.(2023.广西柳州•校考一模)如图1,在Rt△A3c中，ZABC=9O°,以线段8c为直径作。。交4c于点

D,E为AB中点,连接E。，过点。作。尸〃人8交EO的延长线于点F.

(1)求证：直线EZ)是。。的切线；

(2)判断的形状，并说明理曰；

(3)如图2,连接O尸交。。于点P,连接切交4C于点Q,若。为AQ中点，AB=6,求PQ的长.

38.(2022秋.广东广州.九年级统考期末)如图，A3CQ是正方形，BC是。。的直径，点E是。。上的一动

点(点E不与点B,C重合)，连接BE,CE.

(1)若NE8C=60。，求NEC8的度数：

(2)若OE为O。的切线，连接DODO交CE于点F,求证；DF=CE,

(3)若A8=2,过点A作。石的垂线交射线CEF点求AM的最小值.

39.(2023秋•浙江台州•九年级统考期末)如图1,0。的半径为4cm,YA8C/)的顶点A,B,C在。。上,

AC=BC.

(1)求证：0c是。。的切线；

(2)若AD也与0。相切，求证：四边形A6CZ)是菱形;

(3)如图2,A。与。。相交于点£,连接于CE,当/6=75。时，求YA8C。的对角线AC的长及阴影部分图

形的面积.

40.(2023•河北邢台•统考一模)在等边三角形ABC中，AO/BC干点D,半圆O的直径EF开始在边BC上，

且点上与点C重合，EF=4.将半圆。绕点。顺时针旋转。(0°＜。＜90。)，当二=60。时，半圆。与相

切于点P.如图1所示.

备用图

(1)求4C的长度;

(2)如图2.当AC,AC分别与半圆。交于点M,N时，连接MN,OM,ON.

①求NMQN的度数；

②求的长度；

(3)当a=90。时，将半圆。沿边8C向左平移，设平移距离为x.当"、与4WC的边一共有两个交点时，直

接写出x的取值范围.

41.(2022秋・浙江杭州•九年级校联考期中)已知等边“8。内接于。。点P为弧上的一个动点，连结必、

PB、PC.

⑴如图I,当线段PC经过点。时，写由线段小,PB,PC满足的等量关系，并说明理由.

(2)如图2,点。为弧A8的任意一点(点P不与点A、点8重合)，试探究线段尸A,PB,PC之间满足的等

量关系，并证明你的结论.

(3)如图3,在8c中，4。=6,AC=11,NB4C的外角平分线交“18。的外接圆于点P,PELAC于E,

求AE的长.

42.（2022秋•浙江杭州•九年级校考期中）已知。。为Z08C的外接圆，AB=BC.

（1）如图1,连接。8交AC于点E,过A作CO的垂线交CO延长线于点O.

①求证：4。平分N48C；

②设/ACB=%ZDAC=p,请用含a的代数式表示p；

⑵如图2,若ZABC=90。，〃为。。上的•点，且点B,尸位于AC两侧，作Z\ABF关于AB对称的图形△A8G,

连接GC,试猜想AG,CG,3G三者之间的数量关系并给予证明.

43.（2022秋•广东广州•九年级校考阶段练习）已知：是△ABC的外接圆，且AB=8C，Z4BC=60°,

。为OO上一动点.

（1）如图1,若点。是AB的中点，/DBA等于多少?

⑵过点6作直线的垂线，垂足为点及

①如图2,若点D在AB上，求证：CD=DE+AE.

②若点。在人。上，当它从点A向点。运动且满足CO=O£+AE时，求的最大值.

44.（2023・江苏•九年级假期作业）小明在学习了《圆周角定理及其推论》后，有这样的学习体会：在Rt^ABC

中，ZC=90°,当人B长度不变时.则点C在以八8为直径的圆上运动（不与4、B重合）.

【探索发现】

小明继续探究，在RtAABC中，ZC=90°,A8长度不变.作NA与N8的角平分线交于点尸，小明计算后

发现所的度数为定值，小明猜想点〃也在一个圆上运动.请你计算用的度数，并简要说明小明猜想

的圆的特征.

【拓展应用】

在【探索发现】的条件下，若AB=2&,求出△AF4面积的最大值.

【灵活运用】

在等边AABC中，力?=26，点。、点E分别在8c和AC边上，且BD=CE,连接A。、BE交于点凡试

求出用周长的最大值.

45.（2023秋•浙江台州•九年级统考期末）如图。。半径为八锐角逐8C内接于OO,连AO并延长交8C于

D,过点。作DE工AC于E.

(1)如图1,求证：4DAB=/CDE；

(2)皿图1,若CO=O4,A4=6,求OE的长；

(3)如图2,当NDAC=2NQA4时，BD=5,DC=6,求r的值;

（4）如图3,若AE=AB=BD=1,直接写出AO+OE的值（用含「的代数式表示）

第二十三章旋转（压轴题专练）

一、填空题

1.（2023・全国•九年级专题练习）如图，点A是。。上一定点，点B是。。上一动点、连接OA、OB、AB,

分别将线段A。、八8绕点A顺时针旋转60。到AV、AB1,连接。A、BB'、AB、OB,下列结论：①点A

在。。上；②四△AA&；③=；④当03'=20A时，A*与。。相切.止确的有（）

2

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【分析】由旋转的性质，易证和△的山是等边三角形，得到。4=OA,即可判断①结论；逆用等边

三角形性质，即可证明AOAB也“""（SAS）,判断②结论：利月等腰三角形的性质和全等三角形的性质，

得到NA勿X=再利用等边三角形的性质，得到然后根据圆周角定理，即可判断

③结论；利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质，得到乙=49A,再利用等边三角形的性质和三

角彩外角的定义,得至IJZAB'A=3（P,进而得到N（M9=90。，然后利用切线的判定定理可判断④结论.

【详解】解：由旋转的性质可知，OA=AAf,ZOAAf=60°,AB=ABr,ZBABf=60°,

・•.△ACM和△BAR是等边三角形，

：.OA=OA!,

・・•点4在0。上，①结论正确；

NOW=N3A9=60。

:.Z.OAB^ZAABf,

在氯MA和△AA®中，

OA=AA

^OAB=ZA,AB,,

AB=AB'

.•.△Q4的“TAB'(SAS),②结论正确：

\OA=OB,

ZOAB=ZOBA,

•.•△Q4四，

:.ZOBA=ZA'ffAfNQ48=NA'A9,

/.NOBA="AB=-ZA'ZM=ZA'M',

•.•^AOA1和△BAB1是等边三角形，

.•.ZA^4=O/VT=60。，

ZAAB=ZOAAf-NOAB=60°-/OAB、NBB'A'=ZAB'B-ZA'^A=60°-ZAB'A

•.•ZAfB,A=ZOAB,

.•"&A=ZA'AB,

-ZAfAB=-ZBOA',

2

.•.N48'A'=；N4O4’，③结论正确；

•.•△Q4的△A/夕，

.•.08=A'8',

-OB=OA,OA=AA^

..An'=AA,,

.•.Z4'M=Z47M,

当。*=2Q4时，

OB,<OA+A,B,,OA^A'B',

：.OB'<2OA,

T在。乂上，

•/ZOA'A=ZAOA'=60°,

.•.NA'A*+N4'8'A=60°,

.•.Z/V*A=30。，

/.ZOAB1=180°-ZAOA-NABW=90°,

.•.A/r与。。相切，④结论正确，

综上所述，正确的结论有①②③④，共4个，

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判

定和性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键.

2.（2023春•重庆开州•八年级统考期末）如图，以直角三角形ABC的斜边A8为边在三角形ABC的同侧作

正方形ABDE,正方形的对角线力。，踮相交于点。，连接C。，如果AC=1,CO=2后,则正方形A3DE

的面积为（）

A.20B.22C.24D.26

【答案】D

【分析】将△ACO绕点八逆时针旋转90。得到△AC'。，连接CC,过点八作A/_LCC'于点F,证明△ACC

是等腰直角三角形，求出CC'=JLAC=&，NACC=45。，证明点A、C、0、B四点共圆，得出

NBCO=NBAO=45。,证明NACC+NACO'=45。+135。=180°,得出点C、C'、O'三点共线，根据勾股

（等）+（孚、=713.根据等腰直角三角形的性质得出正方形的边长为

定理求出AO=AO'=

>/2AO=>/2x>/i3=x/26.最后求出正方形的面积即可.

【详解】解：将△ACO绕点A逆时针旋转90。得到△470',连接CC，过点4作A/_LCC于点E如图所

/.AC=AC=\,ZC4C=90°.CO'=CO=2五,

・•・△ACC是等腰直角三角形，

CC=y/2AC=y/2fZ4CC=45°,

•・•正方形的对角线A。，的相交于点0,

，ZAOB=90°,

ZACB=90°,

・••点A、。、O、8四点共圆，

・•・ZBCO=ZBAO=45°,

・•・AACO=ZACO=900+45°=135°,

*/ZAC'C+Z4CV=45。+135°=180°,

，点C、C、O'三点共线,

vAF1CC\△ACC是等腰直角三角形，

AF=FC,=-CC'=—,

22

FO'=2y/2+—=—,

22

•••AO=AO'=W割=岳•

，正方形A8OE的边长为=JI5=后,

•••正方形/1瓦比的面积为（而丁=26,故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考杳了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，四点共圆，圆周角定理，解

题的关键是作出辅助线，熟练掌握正方形的性质.

3.（2023・四川南充•四川省南充高级中学校考二模）如图，0。的半径是5,点A是圆周上一定点，点4在。0

上运动，且4HM=30。，AC_LBM,垂足为点C,连接。。，则0C的最小值是（）

3-V3RG「石n5735

22322

【答案】D

【分析】设交。。于7,连接。/、。八、AT,过。作于"，连接C",由题意易证明AO7X是

等边三角形，即得出"="=04=5,TH=AH=三,从而由勾股定理可求出O"=[-唳j考.再根据

直角三角形斜边中线的性质可知CH=1AT=|,最后利用三角形三边关系即可求解.

4乙

【详解】设交。。于丁，连接。丁、。4、AT,过。作O〃_LA7于〃，连接C”,

A

・"=30°,

.•.Z7U4=60°,

•.•ar=OA,

.♦.仅〃入是等边三角形，

...何="=加5'汨=*,

由勾股定理得：0〃=/—(|j=孚.

VAC1BM,

「./ACM=9()。.

VAH=7'H,

:.CH=-AT=-,

22

在AOC”中，OC>OH-CH,

g双H

22

・•.OC'的最小值是挈-：，

22

故选：D.

【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质和三角形三边关系的

应用.正确的作出辅助线是解题关键.

4.：2023春・全国•八年级专题练习)如图，正方形A8CQ中，A8=12,点P为边D4上一个动点，连接CP,

点E为CO上一点，且/)£=4,在A〃上截取点。使EQ=CP,交CP于点M,连接则8M的最小值

为()

A.8B.12C.4厢-4D.V83-5

【答案】C

【分析】如图所示，过点石作所J_A4于尸，当点尸运动时，点M在以CE为直径的半圆上，即点M在圆

心为。的半圆上运动，当点M运动到。8连线上时，BM的值最小，根据题意可证为△ESRtACOP(HL),

由此可证ACEM是直角三角形，可得点M在以CE为直径的半圆上运动，可求出半圆的半径，在RtZXBCO中,

可求出。8的长，由此即可求解.

【详解】解：如图所示，过点E作b_LA8于尸，连接4。，如图所示：

・•・AB=BC=CD=AD=12,Z4=ZABC=/BCD=ND=ZEFQ=90°,

•・•EFLAB,

・•・四边形人在口是矩形，^AD=EF=CD.

在RlAEFQ和RtACDP中，

EQ=CP

EF=CD'

：.RtA£：FC^RtACDP(HL),

・•.£FEQ=NDCP,

•・•乙FEQ+4CEM=NCEF=90°,

NDCP+/CEM=90。，

AZEMC=90°,即△CEM是直角三角形，

・•・当点尸运动时，点M在以CE为直径的半圆上运动，设圆心为。，当点M运动到。8连线上对，BM的值

最小，

•.•CO=12,OE=4,

：,CE=CD-DE=\2-4=S,则半圆的半径OE=OC=[cE=，x8=4,

22

在RtzXBCO中，OB=dOC、BC2=次+122=4加,

当点M运动到08连线上时，BM的值最小，

，BM的最小值为4加-4,故C正确.

故选:C.

【点睛】本题主要考查正方形与圆的结合求最值，理解动点的运动规律，正方形的性质，全等三角形的判

定和性质，勾股定理等知识是解题的关键.

5.(2023・安徽合肥・统考三模)如图，在平面直角坐标系中，A(6,0),8(0,8),点C在x轴正半轴上，点。

在y轴正半轴上，且CZ)=6,以CO为直径的第一象限作半圆，交线段A8于点七、R则线段改的最大值

【答案】B

【分析】过8的中点G作K/7的垂线交于点M，过点。作_LA3于〃，连接。G、FG,先求出

04=6,08=8,进而求出AB=10,再根据等面积法求出OH=4.8,由直角一：角形斜边中线的性质得到

OG=FG=3,由垂径定理得到£F=2EW,由尸加=的一。32，可知当GM最小时，用W最大，即最

大，再由OG+GMNO”,得到GM圾小值=1.8,则胃大值=：9一1.8」=2.4,即可得到E尸果大也=4.8.

【详解】解：过C。的中点G作即的垂线与A8交于点M,过点。作于〃，连接OG、FG

V4(6,0),8(0,8)

・O4=6,OB=8,

***AB=ylOA1+OI32=10»

yS^BC=^OAO8=^AI3OH,

.人口OAOB.

..OH=----------=4.8o；

AB

VCD=6,ZCOD=90°,G为CO的中点,

・•・OG=FG=-CD=3

2f

•?GMA.EF,

：.ZGA/F=90°,EF=2FM,

***FM=dGF?-GM?=49-GM?，

•••当GM最小时，RW最大，即"'最大，

,：OG+GMNOH,

：•3+GM24.89

GMN1.8,即GM班小值二L8,

:.FM发大值=V9-1.82=2.4,

***EF战火砥=4.8,

【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，坐标与图形，直角三角形斜边上的中线的性质，正确作出

辅助线是解题的关键.

6.（2023・湖北武汉・统考二模）如弱，OO内切于正方形A8CQ,边A。、CO分别与。。切于点E、/，点

M、N分别在线段OE、DF上,且MN与。。相切.若的面积为6,则。。的半径为（）

A.2>/3B.VioC.2V2D.V6

【答案】D

【分析】设/N与0。相切与点K,设止方形的边长为2a.因为A。、CD、MN是切线，可得

AE=DE=DF=CF=a,MK=ME,NK=NF,设MK=ME=x,NK=NF=y,在Rt/XOMN中，以为

MN=x+y,DN=a_y,DM=a-x,则（工+），了=（a-xf+.一），『，推出以+〃），+町,=,/，根据

='忆万怆AHCD-3JHM-SCMN一0.HCN=6，构建方程求出a即可解决问题；

【详解】解：如图所示，设M