8.6.3 平面与平面垂直 教学设计

平面与平面垂直（第1课时）教学任务分析教材地位分析平面与平面垂直选自《普通高中课程标准教科书·数学（必修2）》（人教版A版）第八章第六节的内容，共需2个课时，其中“二面角与二面角的平面角”“两个平面垂直及其判定定理”属于第1课时，“平面与平面垂直的性质定理”属于第2课时。平面与平面垂直是空间垂直关系的重点和难点内容，是转化和降维思想的重要体现。该内容位于第八章结尾，研究内容与方法与研究平面与平面平行类似，同时，本节的学习将进一步完善空间观念。教学内容分析本节课研究的是平面与平面之间的特殊关系——垂直，因此主要以教师引导和学生自主探究相结合。类似于定义直线与平面垂直的过程，首先给出二面角的概念，在引导学生思考二面角的度量问题，联系前面的学习经验，通过转化与降维的思想得到二面角的平面角的概念，进而实现以直线与直线垂直为基础定义平面与平面垂直。在此基础上，引导学生结合实例观察思考并小组讨论，归纳出面面垂直的必要条件，从而得到平面和平面垂直的判定。学情分析通过前面对的直线与平面平行、平面与平面平行、直线与直线垂直、直线与平面垂直等知识的学习，学生已经有了运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算来学习、研究立体几何的经验，掌握了平面化的方法，对线线、线面、面面之间的关系的转化也已经比较熟悉。因此采用启发引导、探究和小组讨论等多元结合的教学方法，通过具体情境引发学生主动的思考和探究，借助一系列问题引导学生发现和归纳，进而实现从具体到抽象的过渡，理解和掌握定义，直观感知定理。但本节课的抽象程度较高，故采用多媒体辅助教学，并注重借助长方体、引导学生正确作图来帮助直观感知。设计理念立体几何的学习抽象程度较高，对直观想象、逻辑推理和数学运算等方面的要求较高，其中位置关系的研究聚焦在“平行”和“垂直”上，这是学习立体几何的两个重点部分。而研究过程中，首先通过直观感知和操作确认来帮助学生由浅入深，有利于联系生活实际、激发学习兴趣，再进行推理论证、度量计算，从而实现由表及里、由定性到定量，深化对空间图形认识的过程，帮助学生逐步建立空间观念，体会数学源于生活，感悟数学的严谨性与逻辑性。在课堂活动、师生互动中渗透数学思想方法，在课堂例题中添加数学史的元素，以长方体为载体帮助学生理解，由浅入深、由表及里，打造趣味性与知识性的课堂。在学生的最近发展区中师生互动，采用学生自主探索、动手实践、合作交流的方式，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，注重概念的形成过程，让学生参与到课堂的学习中来，提高学生的学习热情。教学目标理解二面角和二面角的平面角的定义；掌握平面与平面垂直的判定定理；能应用判定定理证明一些简单的面面垂直问题。通过生活情境，直观感知平面与平面垂直的现象，通过具体操作体会平面角的作法，体会类比与转化思想；通过直观感知和操作确认讨论并抽象判定定理，提高直观想象、数学抽象、数学建模等能力。感受数学源于生活，激发学习兴趣，体会定义、定理的合理性与严谨性，从而感受数学与数学思想的魅力。教学重难点教学重点二面角与二面角的平面角的概念，平面与平面垂直的判定定理。教学难点二面角的平面角的概念理解，平面与平面垂直的判定定理的形成过程。教学过程情景导入，感悟新知【教师引入】师：前几节课我们学习了面面平行的判定和性质，我们一起来回顾所学内容。【学情预设】学生根据前面所学的知识，在教师引导下回顾面面平行的判定和性质及研究方法。师：其实生活中还有很多不平行，比如教室的门所在的平面与黑板所在的墙面之间（教师演示时打开门再关上门），再比如同学们手中的书，如果把书页看成面的话，同学们可以观察一下翻书时这些面之间的关系。（PPT呈现打开的书本和打开的门的图片）这里老师也将它们呈现在黑板上。问题1：这些平面之间平行吗？【学情预设】学生根据回顾的知识容易知道不平行。问题2：那么类比空间直线的位置关系，同学们“感觉”这些面之间位置关系是什么？【学情预设】学生已经熟悉空间直线的位置关系（平行、相交、异面），在前面一问的基础上能回答出关键词“相交”。师：在相交的关系中，比较特殊的是“垂直”，这就是我们本节课学习和研究的内容——平面与平面垂直。【设计意图】通过复习引导学生回顾平面与平面平行的相关知识和学习思路，为平面与平面垂直的学习铺垫。再结合生活情境演示并利用PPT直观展示图片，引出后面的探究活动，让学生体会空间位置关系的学习的连贯性、学习方法和思想的一致性。明确方向，引入二面角的概念平面角的概念师：两平面垂直怎么刻画呢？大家先回顾一下直线与平面垂直的定义。【学情预设】根据前面的学习，学生能很快回忆并作答。师：是的，在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线的垂直。所以，直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础。师：在定义直线与平面垂直时，在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况。同学们思考一下，能否类比平面角定义平面和平面所成角？【学情预设】通过类比的提出，学生能意识到需要引入角的概念，有了思考的方向，但不能精准回答，这里稍作停顿接着衔接即可。师：因此，我们引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直。教师利用多媒体展示并引入概念，学生接受新知，理解概念【设计意图】衔接已知，类比直线与平面垂直的定义思路、直线与直线垂直的的研究思路，帮助学生认识到引进二面角概念的必要性；通过多媒体课件演示，帮助学生更加直观地认识二面角，并将学生直观感知推向理性认知。二面角的平面角及其作法探究合作探究，获得概念师：现在大家再次观察教室的门，我们将门开大一些，大家观察门所在的面和黑板所在的墙面。（教师再次通过教室的门演示）问题1：大家觉得门与黑板所在的墙面所成的二面角是变大了还是变小了？【学情预设】学生通过直观感知，能够从感性角度作答。问题2：同学们是如何感知二面角的大小变化的？请大家利用桌上的对折过的白纸作为两个半平面（提前准备好的用具，教师适当演示），思考应该如何刻画这种角度的变化。【小组活动】学生以小组为单位，用对折过的白纸思考，合作探究并讨论。【学情预设】这里一些同学可能会暂时没有思考的方向，根据同学们的思考情况，教师适当提示“能否类比直线与平面所成角的定义来刻画二面角？”，根据小组讨论情况加以引导，使学生想到用直线与直线的夹角“降维”刻画二面角。小组派代表分享本组的探究成果，教师引导，给出二面角的平面角的概念。如图,在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和,则射线和构成的叫做二面角的平面角。【设计意图】通过学生合作探究，从直观感知到操作确认，初步获得二面角的平面角的概念和直观理解，进一步掌握平面化与转化降维的思想方法。深入理解，把握概念利用问题串，启发学生思考和探究，并回答，教师引导与总结问题1：二面角的平面角的变化范围是什么？问题2：的大小与点在上的位置有关吗?问题:3：为什么是作垂直于棱的射线和，可以作斜线吗？问题4：面和棱之间有什么关系？【设计意图】利用问题串，启发学生思考和探究，帮助学生深入理解定义的合理性与严谨性，精准把握概念，避免误区。利用方体，巩固概念如图，在正方体中，找出下列二面角的平面角：二面角二面角平面与平面【学情预设】根据二面角的平面角的概念，学生对于第一、二小问能比较容易得出，讲解重点放在第三小问。【设计意图】利用方体，帮助学生进一步明晰二面角的平面角的概念，以及如何寻找和求得二面角的平面角。直观感知，平面与平面垂直及其判定定理利用二面角定义垂直利用上述例题的方体，乘胜追击，继续追问。问题1：那么平面与平面的二面角的平面角是什么？问题2：这个角度是多少？【学情预设】根据二面角的平面角的学习与巩固，学生容易回答这个二面角的平面角的角度为直角。师：类似直线垂直的定义方式，一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。平面与垂直，记作⊥。板书演示，帮助同学们形成作图规范：师：画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直。【设计意图】利用上述方体模型，趁热打铁，运用追问引入平面和平面垂直的定义，并通过板书帮助同学们形成作图规范。直观感知，抽象定理合作讨论，感知定理。师：类似两平面的研究思路，在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个平面垂直的判定和性质，首先研究平面与平面垂直的判定。师：大家再次观察这个门，现在它所在的面与地面是什么关系？【学情预设】学生能够回答出两个面垂直。师：如果我现在打开这个门，它所在的面与地面依旧垂直吗？（教师演示门打开、关上的动态过程）【学情预设】学生能够发现并回答出两个面垂直。追问：这两个面垂直是由什么保证的？组织学生小组思考讨论，根据讨论情况适当引导学生发现变化中的不变量——门的轴与地面是垂直的。教师总结，并板书定理内容。【设计意图】例题巩固，应用定理利用课本例七，引导书写规范如图，在正方体中，求证：平面平面证明：是正方体平面又平面平面平面【设计意图】例题解析，给出此类证明题的解题步骤，规范书写，培养学生思维的严谨性，同时以分析法引导学生理解解决面面垂直问题的基本方法，能理解定理并运用定理。小结与作业师：通过这节课的学习，你有哪些收获？教师引导学生回顾、总结，并根据图1（呈现在PPT上）补充完善图2（呈现在PPT上），形成体系，为下节课的内容做铺垫，将问号处（下节课内容）留作思考题与作业一并布置。图1图2【设计意图】学完本节知识后，结合图解回顾帮学生建立自己的知识体系，将新知纳入到自己已有知识网络，有利于学生更好