3.2.2 函数的奇偶性 教学设计（表格式）

函数的奇偶性一．教学内容分析：本节课选自《人教A版高中数学必修第一册》第三章第二节第二小节，第三章的教学内容是函数的概念与性质，首先通过对典型丰富的实例的分析，归纳概括出函数的内涵并给出定义与表示，在给出概念和表示后就要对函数的性质进行研究学习，而本节课的教学内容函数的奇偶性正是函数的重要性质之一。本节课的教学是在完成了函数单调性内容教学后的一节课程，与函数单调性一样，奇偶性也是对函数几何特性的刻画，对函数图象的对称关系进行了刻画，将图象的对称性转化为代数关系，并用严格的符号语言进行表示；在研究方法上，本节课程从函数图象出发，抽象出函数奇偶性的定义，又由特殊到一般，并且通过类比，将奇函数与偶函数进行类比，培养学生类比学习的能力；同时，本节课程也为后续研究学习其他函数的性质打下基础。二．学习者分析本节课程的教学对象是高一年级学生，在本节课之前，学生已经对函数单调性进行了学习，掌握了研究函数单调性的基本方法，即通过列表描点连线的方式画出特定函数的图象，观察图象并进行自然语言的表达，之后对所列表格进行观察并给出数学语言的表达，再利用对自变量与对应函数值的变化关系进行过渡，最终得出单调性的定义，学生们已经熟悉了整个研究过程，为本节课通过函数图象研究函数奇偶性打下基础；除此之外，本节课中会用到类比思想，学生可能不太熟悉，需要教师给予适当的提示。三．教学目标与核心素养1理解函数奇偶性的定义，掌握函数奇偶性的符号语言2理解掌握奇函数和偶函数的图象特征3能够运用定义判断函数的奇偶性四．教学重难点分析教学重点：奇函数与偶函数的定义及其图象特征，判断函数的奇偶性教学难点：判断函数的奇偶性五．教学过程：教学环节教学内容与教师活动学生活动设计意图回顾引入上节课我们通过观察函数图象，研究自变量的大小关系与其对应函数值的大小关系得出了函数单调性的定义，并且学习了如何判断函数的单调性，那么今天这节课我们将要学习函数的另一个重要性质——函数的奇偶性首先，请大家观察中国结和纸风车的图片，说一说它们在图形上有什么特点？同学们发现中国结在图形上其实是一个轴对称图形，纸风车在图形上是一个中心对称图形，二者都具有对称性。对于函数来说，一些函数的图象其实也是具有对称性的，就比如说我们今天要学习的偶函数和奇函数。回顾函数单调性的基本内容思考中国结和纸风车的图片在图形上的特点并回答体会现实生活中的轴对称图形和中心对称图形，感受现实生活中的数学之美。回顾之前学习过的对称性知识，为接下来的讲解做好铺垫。偶函数讲解首先请同学们通过列表描点连线的方法画出函数f(x)=x²和函数g(x)=2-|x|的图象【提问】请大家观察这两个函数，它们在图象上有什么特征吗？这位同学发现了这两个函数的图象都是关于y轴对称的。【提问】两个函数在数量上又有什么特征呢？

同学们发现，当x=1时，对应的函数值f(1)=1,由于函数图象是关于y轴对称的，所以我们很容易发现(1,1)关于y轴的对称点是(-1,1)，也就是说当x=-1时,对应的函数值f(-1)=1=f(1);同理，当x=2时，对应的函数值f(2)=4(2,4)关于y轴的对称点是(-2,4)，即当x=-2时,对应的函数值f(-2)=4=f(2)；当x=3时，f(3)=9,(3,9)关于y轴的对称点是(-3,9)，即f(-3)=9=f(3)

（问）：从以上的分析中，从特殊到一般，我们又可以发现当两个自变量互为相反数时，它们对应的函数值具有怎样的数量特征呢？请同学们猜测一下同学们猜测，两个互为相反数的自变量时，它们对应的函数值是相等的

（问）这个数量特征用符号语言应该怎样表示呢？可以表示为对∀x∈R，-x∈R有f(-x)=f(x)这是我们猜测出来的等式关系，它到底对不对呢？我们需要进行证明，如何证明呢？∀x∈R，-x∈R有f(-x)=x²=f(x)。这也就证明了我们猜测的结论是正确的，这时我们称函数f(x)=x²为偶函数

同样，函数g(x)=2-|x|也有一样结论，请大家仿照以上过程，说明函数g(x)也是偶函数

【给出偶函数的严格定义】定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数注：从定义我们可以看出对∀x∈I，-x∈I和f(-x)=f(x)都成立，说明这是函数的整体性质【判断偶函数的方法】（提问）根据定义，同学们能不能总结出判断一个函数是否是偶函数需要的条件呢？

我们发现，在定义中“∀x∈I，都有-x∈I”等价描述是定义域关于原点对称，且有等式关系f(-x)=f(x)，所以可得出判断一个函数是否为偶函数的条件：（1）定义域关于原点对称（2）∀x∈I，f(-x)=f(x)画出函数f(x)=x²和g(x)=2-|x|的图象并观察函数图象的特征观察函数自变量与函数值的数量关系并猜测一般情况下当两个自变量互为相反数时，它们对应的函数值具有怎样的数量特征，体会从特殊到一般的过程，并将文字语言转化为符号语言学习如何通过定义判断一个函数是否是偶函数从函数图象出发，借助偶函数图象的对称性通过“数形结合”、“从特殊到一般”的思想帮助学生理清探究思路奇函数讲解刚才我们一起学习了偶函数，下面再给出大家两个函数f(x)=x和g(x)=1x，接着请同学们类比上述过程完成下列表格偶函数奇函数例子f(x)=x²f(x)=x图像特征关于y轴对称关于原点对称数量特征f(-3）=9=f(3)

f(-2）=4=f(2)

f(-1）=1=f(1)f(-3）=-3=-f(3)

f(-2）=-2=-f(2)

f(-1）=-1=-f(1)符号表示猜测：对∀x∈R，-x∈R有f(-x)=f(x)猜测：对∀x∈R，-x∈R有f(-x)=-f(x)证明对∀x∈R，有f(x)=(−x)2=x²=对∀x∈R，有f(-x)=-x=-f(x)定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数判断方法（1）定义域关于原点对称（2）∀x∈I，f(-x)=f(x)（1）定义域关于原点对称（2）∀x∈I，f(-x)=-f(x)在给出奇函数定义之后，注：从定义我们可以看出对∀x∈I，-x∈I和f(-x)=-f(x)都成立，说明这是函数的整体性质。问题：设函数f(x)为奇函数，且函数在x=0出有取值为f(0),求f(0)的值.由f(0)=f(-0)=-f(0)得2f(0)=0，所以f(0)=0运用类比的思想对奇函数进行探究将奇函数部分的内容交给学生自行探究，不仅有助于学生理解学习偶函数和奇函数，而且可以锻炼学生类比学习的能力利用定义判断函数的奇偶性例题：判断下列函数的奇偶性f(x)=2x2+11(3)f(x)=x解：（1）因为函数f(x)=2x2+11定义域为R，关于原点对称且f(-x)=2所以函数f(x)=2x请大家按照这个方法解答下面题（2）和题（3）(2)因为函数f(x)=x3+x定义域为R，关于原点对称，且f(-x)=(−x)3−x=-（所以函数f(x)=x3（3）因为函数f(x)=x定义域为[0,+∞),不关于原点对称，所以函数f(x)=x既不是偶函数也不是奇函数注：由题（3）我们可以看出并不是所有的函数都是偶函数或奇函数同学们自行解决题（2）和题（3）帮助学生对所学知识进行巩固总结异同点【提问】在学习了偶函数和奇函数之后，同学们能不能总结出二者之间的异同点呢？相同点：都是函数的整体性质定义域关于原点对称函数图像既有对称性不同点：偶函数图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称总结出偶函数和奇函数二者之间的异同点加深学生对偶函数和奇函数及其特征的理解利用偶函数和奇函数的图象特征解题将下列函数的图像补充完整f(x)=2x2+11(偶函数)(2)f(x)=x3+x(奇函数）根据对偶函数和奇函数图象特征