2025年天津市高起专数学（文科）真题试卷及答案

2025年天津市高起专数学（文科）练习题试卷及答案一、选择题（每题4分，共40分）

1.已知函数f(x)=x²2x+1，则f(x)的最小值为（）

A.0

B.1

C.1

D.2

答案：A

解析：f(x)=(x1)²，当x=1时，f(x)取得最小值0。

2.已知a、b为实数，且a+b=3，a²+b²=17，则ab的值为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：C

解析：由(a+b)²=a²+2ab+b²，得9=17+2ab，解得ab=4。

3.已知函数f(x)=|x2|，则f(x)在区间（0，+∞）上的单调性为（）

A.单调递增

B.单调递减

C.先递减后递增

D.先递增后递减

答案：A

解析：在区间（0，+∞）上，x>2，所以f(x)=x2，此时函数单调递增。

4.已知函数g(x)=x²4x+3，求g(x)的单调增区间（）

A.（∞，1）

B.（1，+∞）

C.（∞，2）

D.（2，+∞）

答案：B

解析：g(x)=(x2)²1，对称轴为x=2，开口向上，所以单调增区间为（2，+∞）。

5.已知a、b、c为等差数列，且a+b+c=12，a²+b²+c²=46，则等差数列的公差为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：由等差数列的性质，b=(a+c)/2，所以a+b+c=3b=12，解得b=4。又因为a²+b²+c²=(a+b+c)²2(ab+bc+ac)，所以46=12²2(ab+bc+ac)，解得ab+bc+ac=19。由等差数列的性质，ab+bc+ac=3b²2d²，解得d=2。

6.已知函数h(x)=x³3x，求h(x)的单调增区间（）

A.（∞，0）

B.（0，+∞）

C.（∞，1）

D.（1，+∞）

答案：D

解析：h'(x)=3x²3，令h'(x)>0，解得x>1或x<1。所以h(x)的单调增区间为（1，+∞）。

7.若直线y=kx+1与曲线y=x²2x+3相切，则实数k的值为（）

A.0

B.1

C.1

D.2

答案：C

解析：设切点为(x₀，y₀)，则y₀=x₀²2x₀+3，切线斜率k=2x₀2。由切点在直线上，得y₀=kx₀+1，所以x₀²2x₀+3=(2x₀2)x₀+1，解得x₀=1，所以k=1。

8.已知函数p(x)=x²+kx+1在区间（∞，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（）

A.k≤0

B.k≥0

C.k<2

D.k>2

答案：A

解析：p'(x)=2x+k，要使p(x)在区间（∞，+∞）上单调递增，则p'(x)>0，解得k≤0。

9.已知三角形ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=3，C=120°，则边c的长度为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：D

解析：由余弦定理，c²=a²+b²2abcosC，所以c²=4²+3²243cos120°=16+9+24=49，解得c=5。

10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=SnSn1（n≥2），若a1=1，则数列{an}的通项公式为（）

A.an=2^(n1)

B.an=n

C.an=n1

D.an=2n

答案：A

解析：由题意得an=SnSn1，所以Sn=an+Sn1。又因为a1=1，所以S1=a1=1。对于n≥2，Sn1=an1+Sn2，所以Sn=an+an1+Sn2。所以an=SnSn1=an+an1(an1+Sn2)=anSn2。因此，{an}是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为an=2^(n1)。

二、填空题（每题4分，共40分）

11.已知函数f(x)=x²4x+3，求f(x)在x=2时的切线方程。

答案：y1=0

解析：f'(x)=2x4，f(2)=1，f'(2)=0，所以切线方程为y1=0。

12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=12，a4=5，求等差数列的公差d。

答案：2

解析：由S3=(a1+a2+a3)=12，a4=a1+3d=5，解得a1=2，d=2。

13.已知函数g(x)=x²2ax+a²+1（a>0），求g(x)的最小值。

答案：1

解析：g(x)=(xa)²+1，当x=a时，g(x)取得最小值1。

14.已知数列{an}的通项公式为an=n²n+1，求证数列{an}是递增数列。

答案：证明：an+1an=(n+1)²(n+1)+1(n²n+1)=2n，因为n>0，所以an+1an>0，所以数列{an}是递增数列。

15.已知三角形ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=4，C=60°，求三角形ABC的面积。

答案：10

解析：由海伦公式，S=√[p(pa)(pb)(pc)]，其中p=(a+b+c)/2，所以S=√[10(105)(104)(10c)]=10。

三、解答题（每题20分，共40分）

16.已知函数f(x)=x²+2x+3，求f(x)的单调区间。

解：f'(x)=2x+2，令f'(x)>0，解得x>1，所以f(x)的单调增区间为（1，+∞）。令f'(x)<0，解得x<1，所以f(x)的单调减区间为（∞，1）。

17.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=SnSn1（n≥2），若a1=1，求证数列{an}是等比数列。

解：由题意得an=SnSn1，所以Sn=an+S