数学教师的三项基本功

数学教师“三项基本功”郑毓信（）第1页第1页简介1965年毕业于江苏师范学院（现苏州大学）数学系；曾在中学长期任教；现为南京大学哲学系专家、博士生导师。1992年起享受政府特殊津贴。主要研究领域：数学哲学；科学哲学；数学教育与科学教育。已出版著作28部，发表论文300多篇。第2页第2页引入：一个长期思考数学教师是否应当含有自己特殊基本功？数学教师三项基本功：（1）善于举例；（2）善于提问；（3）善于比较与优化。第3页第3页早期相关工作郑毓信，“数学教师三项基本功”，《人民教育》，第18、19、20期连载，并已被收入“《人民教育》创刊60周年系列丛书”。第4页第4页一个普遍性提议面对任一新主张或时髦潮流，我们都应冷静地思考：什么是这一主张或标语主要内涵？这一主张或标语能为我们提供什么新启示和教益，尤其是，含有如何现实意义？什么是其固有不足或也许消极后果？第5页第5页相应基本结识“三项基本功”集中反应了数学与数学教学（教育）特殊性。“三项基本功”不应被理解成单纯技能；恰恰相反，就只有联系深层次教学思想和教育思想进行分析思考我们才干真正理解它们内涵和意义。第6页第6页一、“善于举例”与数学教学从“什么是数学”谈起？一个基本论点：“数学：模式科学”（mathematics：thescienceofpatterns）数学所反应并不是某一特定事物或现象量性特性，而是一类事物或现象在量方面共同性质。

第7页第7页进一步分析数学基本特性：抽象性。“善于举例”两个详细涵义：（1）如何能为抽象数学概念举出适当实例？（2）如何能够帮助学生由详细实例抽象出相应数学概念？第8页第8页学习心理学研究相关结论“概念定义”与“概念意象”必要区别。概念意象多元性：它“由所有相关实例、反例、事实和关系构成。”（维纳与赫什科威兹，1980）第9页第9页（1）什么是“适当例子”？原则之一：相对于学生可接受性；原则之二：典型性，也即能为相应数学抽象提供必要基础。这方面一个基本事实：举例并非一件易事。第10页第10页[例]“范例教学法”（R.Davis)为了帮助学生掌握负数概念，尤其是有理数运算（如4-10=?），教师采用了一个装有豆子口袋，再在桌上摆上一些豆子。教师先在口袋中装入4棵豆子，同时在黑板上记下“4”这样一个数字；然后，教师从口袋中拿出10棵豆子，这时黑板上就出现了“4-10”这样一个计算式。教师接着提问道：（1）现在口袋里豆子与一开始相比是变多了还是变少了？（2）少了多少？……第11页第11页相关分析豆子、口袋以及相关动作对于学生来说显然都是十分熟悉。一个好“认知基础”应当含有这样性质：它能“自动地”指明相关概念基本性质或相关运算法则。这也就是指，借助于所说实例学生能够顺利地作出相应发觉。比如，学生在此显然就可借助所说实例顺利地实行4-10、5–8等运算，而不必依赖于对相应法则机械记忆。第12页第12页（2）如何帮助学生由实例抽象出相应数学概念？这方面关键之一：去情境；更为进一步分析:数学抽象建构性质；相关理论：“变式理论”（“概念变式”）。关键思想：如何通过适当改变帮助学生掌握相关概念本质。第13页第13页[例1]正方形结识教师：“什么是正方形？”学生：“方方正正就是正方形。”教师：“什么是方方正正？”学生：“就是四边相等。”教师在黑板上画出菱形，问：“这个图形是否是正方形？”学生：“不是，由于它不正。”第14页第14页教师又在黑板上画一个矩形，问：“这是否正方形？”学生：“不是！由于这个图形不方。”……这样诸多回答，教师将学生回答得正确结论都写在黑板上，回答不正确不写，最后加以补充总结，抽象出正方形定义。写在黑板上。第15页第15页“概念变式”主要内容：（1）“原则变式”与“非原则变式”： 我们在教学中不应局限于平时经惯用到一些实例，而应故意识地引入一些“非原则变式”，从而就可预防学生将相关实例一些非本质特性误认为概念本质特性。第16页第16页（2）“概念变式”与“非概念变式”： “非概念变式”大体地就相称于“反例”，这也就是指，除去“正例”以外，我们在教学中还应给出若干“反例”，这样，通过两者对照就可帮助学生更加好地掌握概念本质。第17页第17页[例2]“结识分数”引入：“分蛋糕”。教师并通过简短讨论引出了这样一个结论：“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它1/2。问题：如何以“变式理论”（概念变式）为指导去设计教学从而帮助学生较好掌握分数本质？第18页第18页（1）分割对象显然未必一定要是蛋糕，而也能够是纸片或别什么东西；另外，对于所分割对象外形也不应作任何限制：它们既能够是圆形，也能够是方形或任何其它形状。（2）对分割办法也可作出一定改变，如就长方形纸片分割而言，能够横着折，也能够竖着折，还可钭着折；另外，除去各个“正例”以外，我们显然也应引入一定“反例”，如按照中位线分割梯形等第19页第19页（3）作为进一步抽象，我们显然又应由1/2逐步扩展到1/3，1/4，……乃至2/3，3/4，……。从而，假如仍然集中于“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它1/2”这一叙述，我们就能够说，除去分割对象与办法以外，我们也应对“平均分成两份”中“两份”以及所说“每份”作出适当改变。第20页第20页（4）这事实上也可被当作“非原则变式”一个实例，即分派对象也能够是2个蛋糕、3个蛋糕，而未必一定要是1个蛋糕——容易看出，这一改变事实上也就意味着我们已经将分析着眼点由“（平均）分派”这一实际活动转移到了部分与整体之间关系，后者并就意味着对于分数本质更为进一步结识。第21页第21页新主要发展：由“变式理论”到“多元表征理论”老式研究：主要集中于如何能够通过适当举例帮助学生较好掌握概念本质（单一表征）。新结识：愈加强调概念内在表征（概念意象）多元性，以及各方面必要互补与思维灵活性第22页第22页回顾：心理学研究相关结论“概念定义”与“概念意象”必要区别。概念意象多元性：它“由所有相关实例、反例、事实和关系构成。”（维纳与赫什科威兹，1980）第23页第23页一些相关提法布鲁纳（1964）三种意象形式：动作、图像，和符号；Lesh&Laudan（1983）“五个维度”：实物操作，图像，日常语言，符号语言、现实情景。

第24页第24页第25页第25页从教学角度看更为普通思考：如何处理好形式与非形式之间关系？我们既应高度注重由实例向严格定义必要过渡，同时又应适当地“淡化形式”，并应高度注重结识活动复杂性（多元性）与整合性。第26页第26页一些详细教学提议（1）视觉形象与符号表征必要互补：当前应当加强环节：“教师用手势阐明自己表征；或者教师使用空间表征，比如代数学习中箭头阐明自己表征；教师并故意识地促使学生建构和利用表征；教师要求学生以手臂、手指或身体移动等呈现表征肌体运动；……”（普雷斯梅杰，）第27页第27页

（2）日常语言与数学语言必要互补教师在教学中不应停留于严格数学语言，而应注意使用日常语言对相关内容作出必要解释。这事实上也就是比方与类比何以在数学教学中同样含有广泛应用主要原因，教师并应要求学生用自己语言说出对数学概念理解，甚至是感受。关键：我们既应对学生非正规解释持接受与理解态度，同时又应注意维护数学正式意义。

第28页第28页（3）操作性结识与结构性结识必要互补当前应当加强环节：活动内化；由操作性结识向结构性结识必要过渡。相关叙述：“对概念教学，课改以后更为强调概念生成，这是正确。但不能忽略对概念本身分析，这可是基本功。”（陈永明，）第29页第29页更为普通分析概念教学不同步骤：生成、分析与组织。陈永明：“为了了解一个概念，普通说，一是正反举例；二是扣住定义关键词语；三是注意特殊情况；四是与相关概念进行比较，找出概念区分和联络。”第30页第30页相关理论从“变式理论”到“变异理论”（植佩敏、马飞龙，“怎样促进学生学习——变易理论与中国式教学”，《人民教育》，第8期）注意概念不同定义；转变概念表征形式（图形变式与语言变式）；认识概念多元性质，分析概念与其它概念之间联络（包含相同点与不同点）……第31页第31页转向“问题处理”数学活动两个基本形式：（1）概念生成、分析与组织；（2）问题处理提出与处理。第32页第32页相关叙述“要求学习者……处理问题时，必须通过提供相关案例……向学习者提供他们不具备经验……通过在学习环境中展示相关案例，……向学习者提供了一系列经验和他们也许已经建构与这些经验相关知识，以便与当前问题进行对比”（乔纳森）第33页第33页进一步分析“例题”在数学教学中应用；两种不同数学传统：（1）不同典范：古希腊《几何原本》与中国《九章算术》。（2）不同范式：“公理—演绎”与“问题—算法”。第34页第34页相关经验李成良（）：“我提倡‘一题一课，一课多题’——一节数学课做一道题目，以一道题为例子解说、改变、延伸、拓展，通过师生互动、探讨、尝试、修正，最后真正学到是诸多题知识。”第35页第35页案例两则我们应当如何去看待所谓“植树问题”，尤其是，它发挥终归是一个案例作用、还是规律详细表达？“找次品问题”与特殊化办法。第36页第36页相关叙述 梅森（1982）：由随意特殊化去理解问题；由系统特殊化为普通化提供基础；由巧妙特殊化对普通性结论进行检查。第37页第37页参考材料[1]郑毓信，“‘植树问题’教学之我见”，《小学数学（人教版）》，第4期[2]郑毓信，“‘找次品问题’与数学思维”，《小学教学》，年第7期第38页第38页一些相关提法“变式理论”中“过程变式”。“双基教学”必要发展：

基本技能，不应求全，而应求变； 基础知识，不应求全，而应求联。第39页第39页二、“善于提问”与数学教学1.“问题”对于数学教学特殊主要性。（1）从”双中心教学”谈起。中国数学教学一项优秀老式：“教师试图取得一个平衡，教学也就变得既以学生为中心又以教师为中心。”（马飞龙，“什么是好教学？”，《人民教育》，第8期）第40页第40页国际上相关研究“那些自诩为绝对真理提议，无论认为教学应当完全‘以学生为中心’，还是认为教学应当完全‘由教师主导’，都得不到研究支持，因此不应当遵循。采用何种教学办法应当依据详细情况来决定。”（美国《数学征询委员会最后汇报》）第41页第41页进一步思考在教学中如何才干真正做到既尊重学生在学习活动中主体作用，同时又能充足发挥教师主导作用？第42页第42页问题主要性（1）“河南省濮阳市第四中学教学改革纪实”（《人民教育》，第6期）：“老师和学生都应以问题为中心进行双向互动，实现双主体双互动。”实现“双主体”关键：问题引领。第43页第43页教材中相应做法“由‘情境串’引出‘问题串’。选取密切联系学生生活、生动有趣素材，构成情境串，引起出一系列问题，形成问题串，将整个单元内容串联在一些。”（山东版）“《新数学读本》主要是通过知识问题化和问题知识化设置，促使学生完毕对数学知识、数学思维、办法积极建构。”（杭州版）第44页第44页问题主要性（2）“问题”对于数学特殊主要性：（1）“问题”在很大程度上能够被当作数学研究活动实际出发点。 数学发展基本模式：问题—问题处理—新研究问题—……。（2）每个数学分支都有自己基本问题，相应理论也是围绕这些问题得到建立。第45页第45页问题主要性（3）：聚焦数学教学一个特殊研究视角：语文教学反照下数学教学。语文教学一个有效手段：通过朗读创设出好学习情境，也即要求学生“带着感情去读，读出感情来！”什么是数学教学中调动学生好奇心、上进心有效手段？第46页第46页

数学教学一个有效手段教师在教学中应当善于提出既有一定挑战性、同时又与学生认知水平相适应问题，从而就能较好调动学生好奇心，促使他们积极地去进行学习，进一步地去进行思考。第47页第47页东西方数学教学思想比较

（张奠宙）（1）“情境设计”与中国启发性“导入”；中国数学课堂中有许多独特导入方式，除了现实“情境呈现”之外，还包括“假想模似”、“悬念设置”、“故事陈说”、“旧课复习”、“提问诱导”、“习题评点”、“铺垫搭桥”、“比较剖析”等手段。第48页第48页相关结论从学生日常生活情境出发进行数学教学，只能是启发性“导入”一个加强和补充，不能取消或代替“导入”教学环节设置。“导入价值和实行办法是要思考问题”（）第49页第49页[例1]“异分母分数加减法”教学（吴正宪）教师出示了这样3道题：1/4+7/12=？1/4+5/6=？1/4–1/7=？请同窗们试做。学生做完订正后，老师又提了这样几种问题： 问题1：3道题同窗们都把异分母转化为同分母分数，转化时要注意什么？ 问题2：转化目的是什么？ 问题3：通过计算，你认为异分母分数加减法计算办法是什么？ 问题4：在计算时要注意什么问题？第50页第50页[例2]“百分数意义”教学

（黄爱华）教学中教师首先要求学生自由地提出各种与百分数直接相关问题；但与“放任自流”不同，教师经过对学生所提出问题进行梳理归纳出了以下几个题： 问题1：百分数有什么好处？ 问题2：什么是百分数意义？ 问题3：在什么情况下用百分数？ 问题4：百分数与分数比较有什么不同？第51页第51页聚焦数学教学之二：努力提升课堂提问水准课堂提问主要性：较好处理教学“预设性”与“生成性”关键所在，尤其是，如何能够围绕关键问题去进行教学，尤其是，使之真正成为学生自己问题；同时又能依据学生情况作出必要调整？第52页第52页中国数学教学又一特色背景：“大班教学”现实。现实中问题：问题多而不精。方向：努力增强问题“启发性”。第53页第53页“启发性”基本涵义既有一定启示意义，即是有助于增进学生发展；但又非对于学生硬性规范，而是含有一定开放性或自由度，也即能给学生独立思考留下充足空间。第54页第54页[例]韦达定理教学两种不同提问方式和教学设计：（1）先列表让学生填充，然后问：你认为根与系数有什么关系？（2）直接问：什么是一元二次方程主要成份？在一元二次方程根与系数可能存在什么样关系？怎样去作出发觉？又应怎样去证实？第55页第55页[例]韦达定理教学方程X1X2X1+X2X1X2X2–X-12=0X2–6X+5=0X2–2X-35=0第56页第56页2.转向教学“教师工作是通过向学生问他们应当自己问自己问题来对学习和问题处理进行指导。这是参与性，不是批示性；其基础不是要寻找正确答案，而是针对专业问题处理者当初会向自己提出那些问题。”（巴拉布与达菲）第57页第57页一些相关提法像数学家那样去提出问题、分析问题、处理问题；“帮助学生学会数学地思维”。第58页第58页什么是一堂好数学课？超越知识达到更高水平。数学教学所应发挥主要作用：给人以智慧！智性教学。第59页第59页插入：教师三个境界仅仅停留于知识层面：教师匠；能够表达数学思维：智者；无形文化熏陶：大师！第60页第60页聚焦“问题处理” （1）波利亚奉献：波利亚：“问题处理”当代研究主要奠基者。代表性著作：《如何解题》；《数学发觉》；《数学与猜想》。主要工作：“数学启发法”（解题策略）研究实质：“一些定型问题和提议”。第61页第61页解题过程四个环节：（1）弄清问题；（2）拟定计划；（3）实现计划；（4）回顾。（1）“弄清问题”。未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否也许？要拟定未知数，条件是否充足？或者它是否不充足？或者是多出？或者是矛盾？第62页第62页（2）对于波利亚“超越”背景：20世纪80年代改革运动：“问题处理”实践中问题：为何学了“数学启发法”学生还是不会解题？结识主要发展：对于“解题活动”与“解题策略”正确理解。一些不应被忽略环节：元认知发展；观（信）念主要性。第63页第63页一项比较研究：聚焦“元认知”不成功解题者往往采用“盲目干”作法，即是不加思考地采用某一办法或解题路径，或总是在各种也许“解题路径”之间徘徊，而对自己在干什么、尤其是为何要这样干始终缺乏明确结识；另外，在沿着某一解题路径走下去时，又往往不能对自己当前处境作出清醒评估并由此而作出必要调整，却只是“一股劲地往前走”，直至最后陷入了僵局而一无所措。第64页第64页“好解题者”在采用某一办法或解题路径前能对各种也许性进行仔细考虑；在整个解题过程中也能始终作到“心中有数”，即清楚地知道自己在干什么和为何要这样干；他们并能对当前处境作出清醒自我评估，从而就能够及时作出必要调整；即使出现了错误他们也不会容易地抛弃已有工作，而是力图从中吸取有益成份；最后，在成功地处理了问题以后，他们又能自觉地对所已进行工作作出回顾，尤其是进一步地思考是否还存在更为有效解题路径第65页第65页相应教学办法元认知：对于本身所从事结识活动自我意识、自我评估与及时调整。元认知与教师适当提问：什么？为何？如何？更高目的：帮助学生养成相应提问习惯。第66页第66页（3）求得解答，继续迈进，“问题处理”这一数学教育改革运动又一主要启示或教训。聚焦数学思维：提出问题主要性。

第67页第67页数学家们总是不满足于一些详细结果或结论取得，而是希望能够取得更为进一步理解，后者不但直接造成了对于严格逻辑证实寻求，也促使数学家积极地去从事进一步研究，如在这些看上去并无联系事实背后是否隐藏着某种普遍理论？这些事实能否被纳入某个统一数学结构？等等；数学家们也总是希望能达到更大简朴性和精致性，如是否存在更为简朴证实？能否对相应表述方式（包括符号等）作出改进？等等。第68页第68页提出问题详细策略普通化。求变（加大难度）。反向思维（focusbackward）第69页第69页[例1]“找次品问题”原先问题：假如243个螺丝钉中有一个次品较轻，用天平至少称几次能确保将把它找出来？普通化：假如n个螺丝钉中有一个次品较轻，用天平至少称几次能确保将把它找出来？第70页第70页求变（1）假如事先只知道“次品重量不同”，而不是“次品较轻”，结果有什么不同？（2）假如事先知道有两个次品，而不是只有一个次品较轻，结果有什么不同？……第71页第71页[例2]钱币问题（反向思维）原题：试计算出3个5角硬币与4个1元硬币总面值。问题1：如何用5角硬币与1元硬币合成5元5角？问题2：能否完全用5角硬币合成5元5角？问题3：能否完全用1元硬币合成5元5角？问题4：假如用5角与1元硬币合成5元5角，如何搭配能够使得所使用硬币数目至少？……第72页第72页（4）进一步分析数学教育一个主要目的：努力提升学生提出问题能力。创造性集中表现。对于中国学生特殊意义。第73页第73页应当注意纠正一些现象（1）简朴模仿；（2）将“创新”等同于“标新立异”。基本立场：正如处理问题能力，提出问题能力也有一个后天学习和不断提升过程，教师更应在这方面发挥主要示范与引导作用。第74页第74页[例]“提问与“从众”（祝家林）（1）相关信息：故事书每套12元，连环画每套15元，科学书每套18元。 原题：买5套故事书和2套连环画，一共要付多少钱？ 解答：12×5+15×2=60+30=90（元）（2）教师：谁还能再提一个问题？买3套故事书和5套连环画，一共要付多少钱？买4套故事书和3套连环画，一共要付多少钱？买2套故事书和6套连环画，一共要付多少钱？

第75页第75页一个新视角：“提出问题”与帮助学生学会学习对应提问策略：（1）为何？（2）同与不同？（3）回头看。第76页第76页三、“善于优化”与数学教学1.“优化”对于数学学习特殊主要性。数学学习主要是一个文化继承过程，尤其是，我们即应清楚地看到数学思维与相应“情感、态度与价值”后天取得性。学生思维发展过程主要形式：“同化”与“顺应”？第77页第77页语文教学与数学教学对照“假如说语文教学是一个以情感带动知识学习‘情知教学’，那么，数学教学就主要是‘以知贻情’”，即是希望经过数学学习“帮助学生养成一个新精神；一个新认识方式；一个新追求；一个不同美感；一个深层次高兴：由智力满足带来高兴；一个新情感：超越世俗平和；一个新性格：善于独立思考，不怕失败，勇于坚持……。”第78页第78页参考材料郑毓信、王宪昌、蔡仲，《数学文化学》，四川教育出版社，郑毓信，“数学文化价值何在、何为？”，《人民教育》，第6期第79页第79页相关理论分析数学发展两个不同方向：“水平方向”上发展，与“垂直方向”上发展。“数学学习不是一个连续过程，它必须重新组织、重新认识，有时甚至要与以前知识和思考模式真正决裂。”（M.Artique，）第80页第80页插入：一些值得思考问题“学生积极探究”作为一个教学办法是否有其一定不足或合用范围？我们应当如何看待所谓“过程教学”？第81页第81页结论应当明确必定“优化”对于数学学习特殊主要性，反对放任自流。详细涵义：（1）显性层面：办法改进；结论推广；更加好表述办法引入；……（2）隐性层面，观念更新，新品格养成；……第82页第82页[例]学生“规律性错误”有理数乘除法教学中经常能够看到一个现象：尽管两个问题含有完全相同数学结构，学生却采取了不同运算去进行求解：（1）某种奶酪售价为每千克28元，5千克这么奶酪售价是多少？（2）某种奶酪售价为每千克27.5元，0.92千克这么奶酪售价是多少？第83页第83页分析大多数学生正是通过先前学习逐步形成了关于乘除运算一些观念，尤其是，由于学生在开始学习乘除法时所接触到都是自然数，因此就很容易形成下列观念：“乘法总是使数变大，除法则总是使数变小。”第84页第84页相关结论这正是数学教学中所说“优化”一个主要涵义：我们应当帮助学生及时纠正各种不恰当或错误观念，包括对知识与认知结构等作出必要调整与发展。第85页第85页2.教学中如何实现“优化”？关键：应使“优化”成为学生自觉行为，而不应成为外部强制规范。一些常见提法：“教师不要太聪明”；“道法自然”；“不着痕迹引导”；……。最为主要一些环节：（1）多元化；（2）比较；（3）反思。第86页第86页进一步分析（1）不应为了“多元化”而多元化，尤其是，并非越多越好！多元化应当被当作优化、尤其是比较一个必要前提。比较直接效果：诱发反思与总结，从而能够自觉地实现优化。第87页第87页[例1]“问题处理”教学（解题策略：画图）问题：动物车展，第一天卖了65辆车，第二天销量增长了1/5，问：第二天卖了多少？教学重点：画图策略第88页第88页相关思考 在这一内容教学中我们应该怎样去实现学生间主动互动？尤其是，我们在课堂上是否应该充分展示各种不同画法，如直接画65个小圈，画5个圈去代表65辆车，等等？第89页第89页也许解答数学教学中互动应当真正增进思维（包括办法等）优化。教学中常态：学生对于其它办法往往视而不见，主线不予关怀，更不用说与自己办法进行必要比较。第90页第90页回顾：教学中关键第一，加强比较；第二，通过比较诱发反思与总结，从而使得优化成为学生自觉行为。第91页第91页[例2]“‘估算’教学实录”（吴正宪）

引入（1）：“青青和妈妈一起到超市购物，一共买了五种商品，价格分别为48元、16元、23元、69元、31元。妈妈带了200元钱，不知够不够？”。引入（2）：“曹冲称象：六次称石头所得出重量分别为328、346、307、377、398和352斤。大象大约重多少？”第92页第92页教学实录：教师以上述实例为背景并经过实际估算和交流总结清楚地展示了估算方法多样性。几个不同估算方法：生1采取了所谓“小估”、即是往小里估方法300×6=1800；生2采取了‘大估’、也即往大里估方法：400×6=2400：也有学生（生3）坚持认为准确计算要比估算好。第93页第93页教学实录师：“我们继续研究，准确值是2108公斤。同窗们，看着这个准确计算结果，再看看同窗们估结果：2400，2100，2080，1800……此时此刻，你想对刚刚自己估算结果作一点评价或思考吗？”第94页第94页生1：“我估是1800。我觉得我估得太少了，那些数当中有一个是398，我把它估成300了，与实际结果差就远些了，现在我觉得应当估成400就更加好了，我估少了。”师：“你很善于思考，其实你估结果已经能够了，但是你还能在与别人比较中发觉问题，进行调整，老师为你这种精神而感动。”第95页第95页师：“‘大估’在哪呢？你一定由感而发，说说看。”生：“我感觉我估大了。我把307这样数当作400了，估得有些远了。假如缩小一点，也许就估得准一点。我很佩服‘凑调估’，人家在估算中还能调整调整，这样估比较靠近准确值。”师：“其实你已经很不错了，你不但积极地反思自己结果离得远了点，更让我感动是你还在反思中发自内心地去欣赏别人，发觉同窗们好办法，这样学习进步会更快。”第96页第96页师：“好了，同窗们，你们做出了较好自我评价。那么，用精算那两个同窗你们算对了吗？”生3：“我觉得这些数相加确实不是较好算，再说求大象体重，没有必要精算。我那样一个数一个数算太麻烦了，太慢了。这时用估算还是比我办法好。”师：“你发觉这里就问你大象大约重多少不需要精算，估算就得了呗，是吧？（生1点头）感谢你！”第97页第97页普通性教学办法教师在必要时能够通过适当举例与提问增进学生总结与反思。“三项基本功”辩证关系：优化是目的；适当举例与提问则是实现这一目的有效手段。第98页第98页进一步分析（2）时代所赋予教育主要任务：努力培养学生创新精神（与实践能力）。应有结识：创新≠标新立异！创新与优化关系：创新合理性！第99页第99页相关思考：当前一个缺失两种不同思考方式：即兴型思考与长时间思考。当前教学中一个常见问题：集中于即兴型思考能力培养。应该培养学生长时间思考。第100页第100页相关叙述“我认为思考问题态度有两种：一个是花费较短时间即席思考型；一个是较长时间长期思考型。所谓思考能人，大约就是指能够依据思考对象自由自在地分别使用这两种类型思考态度人。但是，现在……教育环境不是一个充足培养长期思考型环境。……没有长期思考型训练人，是不会深刻地思考问题。……无论如何训练即席型思考，也不会掌握前面谈过智慧深度。”（广中平佑）第101页第101页进一步分析（3）另一应当预防倾向：强制统一；恰恰相反，教学中应当允许一定“路径差”与“时间差”，同时又应坚持“优化”这样一个目的。回顾：“教师不要太聪明”；“道法自然”；“不着痕迹引导”……。教学工作艺术性主要表达。第102页第102页一个相关论题：学习活动中“再创造”数学教学一个基本原则（弗洛登特尔）：“再创造原则”。关键：“再”。并非历史简朴重现，而应是“历史重构（建）”。什么是数学教育中所说“历史重建”主要涵义？一个也许提法：数学史“办法论重建”与“文化重建”。第103页第103页数学史“办法论重建”所谓“办法论重建”，即是指如何能够使得相关内容真正成为能够理解、能够学到手和能够加以推广利用，从而将数学课真正“教活、教懂、教深”。第104页第104页‘教活’：教师应当通过自己教学活动向学生呈现‘活生生’数学研究工作，而不是死数学知识；‘教懂’：教师应当帮助学生真正理解相关教学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；‘教深’，教师在教学中不但应使学生掌握详细数学知识，并且也应帮助学生领略内在思维办法。第105页第105页数学史“文化重建”我们应当跳出“内史”，并从“文化史”、也即数学与整体性文化关系这一角度去呈现数学历史；并且，我们又不但应当清楚地指明数学对于个人发展乃至整体性社会进步积极意义，也应清楚地看到其不足，乃至也许消极影响。第106页第106页弗洛登特尔数学教学原则“再创造原则”（“指导下再创造”）；“数学现实原则”；“数学化原则”；“严谨性原则”。第107页第107页插入：现实中又一问题中间环节“缺失”：（1）从“教育目的”到“教学办法”；（2）从“宏观文化研究”到“课堂文化”。第108页第108页参考材料郑毓信数学教育论丛（江苏教育出版社）（1）《开放小学数学教学》，（2）《数学思维与小学数学》，（3）《数学教师三项基本功》，郑毓信，《数学教育新论：走向专业成长》，人民教育出版社，第109页第109页