数学13算法案例辗转相除法与更相减损术课件新人教A版必修

算法案例(第一学时)ks5u精品课件第1页第1页案例1辗转相除法与更相减损术ks5u精品课件第2页第2页1.回顾算法三种表述：自然语言程序框图程序语言（三种逻辑结构）（五种基本语句）ks5u精品课件第3页第3页2.思考：

小学学过求两个数最大公约数办法？先用两个公有质因数连续清除，始终除到所得商是互质数为止，然后把所有除数连乘起来.ks5u精品课件第4页第4页1、求两个正整数最大公约数（1）求25和35最大公约数（2）求49和63最大公约数25（1）5535749（2）77639因此，25和35最大公约数为5因此，49和63最大公约数为72、除了用这种办法外尚有无其它办法？算出8256和6105最大公约数.ks5u精品课件第5页第5页辗转相除法（欧几里得算法）观测用辗转相除法求8251和6105最大公约数过程第一步用两数中较大数除以较小数，求得商和余数

8251=6105×1+2146结论：8251和6105公约数就是6105和2146公约数，求8251和6105最大公约数，只要求出6105和2146公约数就能够了。第二步对6105和2146重复第一步做法

6105=2146×2+1813

同理6105和2146最大公约数也是2146和1813最大公约数。为什么呢？思考：从上述的过程你体会到了什么？ks5u精品课件第6页第6页完整过程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例2用辗转相除法求225和135最大公约数225=135×1+90135=90×1+4590=45×2显然37是148和37最大公约数，也就是8251和6105最大公约数显然45是90和45最大公约数，也就是225和135最大公约数思考1：从上面两个例子能够看出计算规律是什么？S1：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复S1，直到余数为0ks5u精品课件第7页第7页

辗转相除法是一个重复执行直到余数等于0停止环节，这事实上是一个循环结构。8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q＋r用程序框图表示出右边过程r=mMODnm=nn=rr=0?是否思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？ks5u精品课件第8页第8页1、辗转相除法（欧几里得算法）（1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定两个数，用较大数除以较小数。若余数不为零，则将余数和较小数构成新一对数，继续上面除法，直到大数被小数除尽，则这时较小数就是本来两个数最大公约数。ks5u精品课件第9页第9页（2）算法环节第一步：输入两个正整数m,n(m>n).第二步：计算m除以n所得余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r＝0,则m,n最大公约数等于m；不然转到第二步.第五步：输出最大公约数m.ks5u精品课件第10页第10页（3）程序框图（4）程序INPUT“m,n=“;m,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND开始输入m,nr=mMODnm=nr=0?是否n=r输出m结束ks5u精品课件第11页第11页《九章算术》——更相减损术算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大数减较小数，接着把所得差与较小数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得减数和差相等为止，则这个等数就是所求最大公约数。ks5u精品课件第12页第12页2、更相减损术（1）算理：所谓更相减损术，就是对于给定两个数，用较大数减去较小数，然后将差和较小数构成新一对数，再用较大数减去较小数，重复执行此环节直到差数和较小数相等，此时相等两数便为本来两个数最大公约数。ks5u精品课件第13页第13页（2）算法环节第一步：输入两个正整数a,b(a>b);第二步：若a不等于b,则执行第三步；不然转到第五步；第三步：把a-b差赋予r;第四步：假如b>r,那么把b赋给a,把r赋给b;不然把r赋给a，执行第二步；第五步：输出最大公约数b.ks5u精品课件第14页第14页（3）程序框图（4）程序INPUT“a,b=“;a,bWHILEa<>br=a-bIFb>rTHENa=bb=rELSEa=rENDIFWENDPRINTbEND开始输入a,ba≠b?是否输出b结束b=ra=br=a-br<b?a=r否是ks5u精品课件第15页第15页例3用更相减损术求98与63最大公约数解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减98－63＝35

63－35＝28

35－28＝7

28－7＝2121－7＝2114－7＝7因此，98和63最大公约数等于7用更相减损术求两个正数84与72最大公约数．练习：先约简，再求21与18最大公约数,然后乘以两次约简质因数4ks5u精品课件第16页第16页例3、求324、243、135这三个数最大公约数。思绪分析：求三个数最大公约数能够先求出两个数最大公约数，第三个数与前两个数最大公约数最大公约数即为所求。ks5u精品课件第17页第17页比较辗转相除法与更相减损术区别（1）都是求最大公约数办法，计算上辗