河北省唐山市2026年3月高三第一次模拟演练数学试卷（含答案）

河北省唐山市2026年3月高三第一次模拟演练数学试卷本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟。 2026.03注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，使用0.5毫米黑色字迹签字笔，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据1,2,3,6,12,24的中位数为A.8 B.6C.4.5 D.32.z表示复数z的共轭复数,若z=3+4i,则∣A.2-4i B.8-4iC.22-4i D.28-4i3.已知全集U及其两个非空真子集M,N,则u(M∪N)=A.∅ B.M∩NC.(uM)∩(CvN) D.(uM)∪(CvN)4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2=2,SA.11 B.9C.8 D.55.某学校组织同学们假期参加社区服务活动，4名同学被分配到甲、乙两个社区，每个社区至少一名同学，则不同的分配方案有A.6种 B.12种C.14种 D.28种6.若x为锐角，且2sinx−12A.0π6 B.C.π4π3 7.等轴双曲线C的左、右焦点分别为F₁，F₂，以F₁F₂为直径的圆O与双曲线C交于M，N，P，Q四点.设四边形MNPQ的面积为S₁，圆O的面积为S₂，O为坐标原点，则A.S1S2=C.S1S2=8.已知cosαcosβ=cosα-cosβ,M=cosα-cosβ,N=cosα+cosβ,则A.M的最小值为−12 B.C.N的最小值为0 D.N的最大值为3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知an=2n,A.{an}是等比数列 B.C.1an10.若函数y=g(x)与函数f(x)=xeˣ的图象关于y轴对称，则A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)+g(x)为偶函数C.f(x)与g(x)有相同的极值点 D.对任意的x∈R,都有f(x)+g(x)≥011.O为坐标原点，抛物线C:y2=4x的准线与x轴的交点为M，直线l与x轴交于点N,与抛物线C交于A,B两点,满足OA⊥OB,作OD⊥lA.N的横坐标是4 B.|NA|·|NB|≤|ON|²C.直线MD斜率的最大值为23 D.当直线MA与C相切时,|BN|=4|AN|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知f(x)=x|x-2|,若.f(x)=3,则x=.13.已知点A(1,1),B(5,3),若将AB绕点A逆时针旋转90°得到AC,，则点C的坐标为14.若一个棱长为22的正四面体可以绕其中心在一个封闭的圆锥形容器(容器壁厚度忽略不计)内任意转动，则此圆锥体积的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图,在三棱锥P-ABC中,BC=PB=PC=2,BC⊥AP,D是BC的中点.(1)证明：平面ABC(2)若AD=1,三棱锥P—ABC的体积为33,，求直线PC与平面16.(15分)已知椭圆C：x2a2－y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32,，其左顶点为A，上顶点为B，△(1)求C的方程;(2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形?若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由。17.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cos2(1)证明:a(2)若bc=18.(17分)函数f(1)若f(x)在(0,+∞)单调递减,求a的取值范围;(2)若曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处有相同的切线,(i)求a的值;(ji)若fx1=19.(17分)某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n(足够多)张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖(弃掉的奖券不能再抽取)，如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励.(1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率；(2)若甲先抽取了k(k∈N*，且k＜n)张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i(i∈N*，k＜i≤n)张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张.(ⅰ)若n=5，当k=2时，求甲获得最大金额奖励M的概率p；(ⅱ)当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若n=100，请估计p的最大值，并求此时k的值.(估值参考:当n≥100时，i=kn数学参考答案一.选择题(单选)：1~4.CBCA5~8.CBBD二.选择题(多选)：9.AC10.ABD11.AD三.填空题：12.313.(-1,5)14.83四.解答题：(若有其他解法，请参照给分)15.解:(1)证明:由于BC=PB=PC,D是BC的中点.得BC⊥PD.又BC⊥PA.且PD∩PA=P,……2分所以BC⊥平面APD,又BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面APD.……4分(2)由(1)知BC⊥平面APD,于是VP−即：V得:sin∠ADP=1,∠ADP=90°.所以PD⊥AD.……6分以D为原点，DA，DB，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),P(0,0,3),所以PA=10设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),则{m·PA→=0,m·PB→=0,又PC=0设PC与平面PAB所成的角为θ,则sinθ=∣所以PC与平面PAB所成角的正弦值为217.16.解:(1)由题意得得a=2b,椭圆C:x2所以A(-2b,0),B(0,b).……3分因为△AOB的面积是1，所以b则椭圆C的方程为：x24(2)由题可设直线l的方程为x-2y+t=0,M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)由{x−2y+t则：x1+所以x又因为A(-2,0),B(0,1),所以∣=x1===34若四边形ABNM为等腰梯形，则∣所以x1=0或x当x1=0时,M(0,-1),N(2,0),所以|AB|=|则四边形ABNM为平行四边形，不合题意；当x1=−2时,M(-2,0),则直线AB与直线MN重合，不合题意；综上所述，不存在这样的直线l使得以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形. 15分17.解:(1)证明:因为cos2A+cos2B=2cos2C,所以1−2sin2A整理得sin2A+sin2(2)由(1)得a2=2c2−cosA=2b2−c2整理得sinAcosA−33整理得sin2A因为A∈(0,π),所以A=2π18.解:1f'由已知得:f'(x)≤0,即:a≤x+1x所以当a≤2时,f(x)单调递减. 5分2ig'x=(ii)证明:当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(1)=0,因为g'x=lnx,,所以当x当x∈(1,+∞)时,g(x)单调递增,且g(1)=0. 8分当x₁∈(1,+∞)时,fx1＜0,当x1=1时，fx1=0,所以gx2当x1∈01,x当x1∈0fx−令mm'x=1−x2x因为m(1)=0,所以m(x)＜0,得f从而可得fx1因为fx1=gx因为x∈(1,+∞)时,g(x)单调递增x2,1x1∈综上，x119.解:(1)设抽到的第j张奖券的金额为(a;,j=1,2.设A:a₁=M,B:a₁＜M,C:甲获得最大金额奖励M.注意到PA=则PC=(2)仍设C：甲获得最大金额奖励M，若m=M,则P(C)=0,故只需考虑m＜M的情况.……6分设Di:抽到的第i(i∈N*,k＜i≤n)张奖券金额为M.……7分只有当m是前i-1张奖券中的最大金额，甲才会保留第i张奖券，则P则PC(i)若n=5,当k=2时,p=P(ii)由估值