2024-2025学年广东深圳南山区某校九年级（上）期中数学试题及答案

2024・2025学年广东省深圳市南山区育才教育集团九年级（上）期中数学试

卷

一.选择题（每小题3分，共24分）

1.（3分）一元二次方程f-3x=0的解是（）

A.xi=O,X2=-3B.x=-3

C.x=3D.xi=0,X2=3

2.（3分）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分.小刚将二维码

打印在面枳为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面枳，他在纸内随机掷点，经过大量

重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（）

A.8B.12C.0.4D.0.6

4.（3分）关于x的一元二次方程收+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是（）

A.左W-9B.kW-9且4W0

44

C."2-9D.kN-9且RWO

44

5.（3分）下列命题中，为真命题的是（）

A.三个角相等的四边形是矩形

B.对角线互相垂直相等的四边形是正方形

C.正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形

D.若一个四边形的对■角线相等，则顺次连接这个四边形四边中点所得的四边形一定是菱形

第1页（共28页）

6.（3分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价

促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售价的

月均下降率是x,则所列方程正确的是（）

A.16(1+x)2=23B.23(1-x)2=16

C.23-23(1-x)2=16D.23(1-Zv)=16

7.（3分）如图，在力时测得旗杉的影长是4米，8时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂

直，则旗杆的高度是（）米.

8.（3分）如图，在矩形月8CQ中，AB=2,BC=£是8C的中点，将△川?£沿直线翻折，点

B落在点尸处，连接C巴则Cb的长为（）

F

二、填空题（每小题3分，共15分）

9.（3分）已知且=3,那么三”•等于

b2b

10.（3分）一个不透明的口袋中有1个黄色球和2个红色球，这些球除颜色外其余均相同.从中随机摸出

一个球，记下颜色后放回，搅匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸出红球的概率

11.是（3--分--）--大--自--然--是--美---的-设-计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金、\

分割”的美.如图，点。为49的黄金分割点（AP>PB）,如果/夕的长]

度为2cm,那么“的长度为5.（结果保留根号）7

第2页（共28页）

12.（3分）如图，由点P（14,1）,力（a,0）,B（0,a）（0<QV14）确定的△氏8的面积为18,则a的

值为___________

13.（3分）如图，在△48。中，，48=4C=5,BC=8,。是8c边上一点，且BD=4B.E是48延长线上

一点，连接交力。于R若/ADE=/B,则"'的长度为.

三.解答题（共61分）

14.（8分）解下列方程：

（1）（x-3）2=4X（x-3）；(2)X2+8X-9=0.

15.（8分）某校在九年级随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”知识竞

赛.把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：90WxW100为网络安全意识

非常强，80WxV9（）为网络安全意识比较强，工<80为网络安全意识一般）.收集整理的数据制成了如卜.

统计图表：

甲组学生竞赛成绩统计图

图1

平均数中位数众数

甲组a8080

乙组.83bC

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根据以上信息回答下列问题：

(1)填空：a=,b=,c=；

(2)已知该校九年级有500人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？

(3)现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加全区比赛，用树状图或者列表法求摘取的两名同

学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率.

16.(7分)如图，平面直角坐标系中，△力8C的三个顶点坐标分别是4(1,7)、B(4,-3)、C(4,

-1).

(1)画出△48C关于x轴成粕对称的△/181C1；

(2)在第一象限内，画出△/归Ci以点。为位似中心并扩大到原来的3倍的△血82c2;

(3)写出点小、生的坐标.

17.(8分)公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经铛商统计了某

品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12

月份销售量的月增长率相同.

(1)求该品牌头盔销售量的月增长率：

(2)若此种头盔的进价为3()元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售最为5()()个，若

在此基础上售价每上涨I元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾

客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？

第4页(共28页)

18.（8分）如图，已知△48C中，。是8c边上一点，过点。分别作QE〃力。交力8于点£,作DF〃4B

交AC于点F,连接4）.

（1）下列条件：

①。是8C边的中点：

②力。是AABC的角平分线；

③点E与点”关「直线力。对称.

请从中选择一个能证明四边形力产是菱形的条件，并写出证明过程.

（2）若四边形4EQ/是菱形，且力E=4,CF=2,求8E的长.

19.（10分）【阅读理解】

若关于x的一元二次方程。/+法+°=0（〃W0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程通过计算发现,

任何一个，，快乐方程，，的判别式庐-4比一定为完全平方数.现规定F（a,b,c）/ac-b2为该“快

4a

乐方程”的“快乐数”.例如“快乐方程”f・3x-4=0的两根均为整数，其“快乐数”

f（1,-3,-4）=4不1不嚷〈二〈二?）-二晋，若有另一个“快乐方程”〃*2+”+r=0（户70）的“快

乐数”F（p,q,『）,且满足/,,尸（a,b,c）=c*F（p,q,r）,则称Z7（a,b,c）与尸（p,q,r）互

为“开心数”.

（I）“快乐方程”f-2x-3=0的“快乐数”为；

（2）若关于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m2-2m-3=0（m为整数，且1<m<6）是"快乐方程",

求〃?的值，并求该方程的“快乐数”：

（3）若关于x的一元二次方程x2-mx+m+1=0与A2-（〃+2）x+2n=0（〃?，n均为整数）都是“快乐方

程”，且其“快乐数”互为“开心数”，请直接写出“，〃的值.

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20.（12分）综合与实践

在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的

方法来确定正方形一边上的一个三等分点.

【操作探究】

“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：

第I步：如图1所示，先将正方形纸片力〃。。对折，使点力与点8重合，然后展开铺平，折痕为ER

第2步：将AC边沿CE翻折到GC的位置；

第3步：延长EG交力。于点从则点〃为力。边的三等分点.

证明过程如下：连接C",

•・•正方形48CQ沿CE折叠，

:・ND=/B=/CGH=90°,①,

又，：CH=CH,

•••△CG〃且△CO”,

:・GH=DH.

由题意可知E是的中点，设48=6（个单位），DH=x,则4E=8E=EG=3,

在Rt△力E”中，可列方程：（2）,（方程不要求化简）

解得：DH=@,即〃是力。边的三等分点.

“破浪”小组是这样操作的：

第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点4与点8重合，然后展开铺平，折痕为跖：

第2步：再将正方形纸片对折，使点8与点。重合，再展开铺平，折痕为4C,沿翻折得折痕。E交

.4C于点G；

第3步：过点G折置正方形纸片/6CO,使折痕MN〃力。.

【过程思考】

（1）“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是

①：'②：,③：:

（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为48边的三等分点，并证明你的结论；

【拓展提升】

如图3,在菱形/出CQ中，力8=5,BD=6,£是8。上的一个三等分点，记点。关于力E的对称点为。'，

射线E。’与菱形48C7）的边交于点R请宜接写出厂的长.

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AHDD

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2024・2025学年广东省深圳市南山区育才教育集团九年级（上）期中数学试

卷

参考答案与试题解析

一.选择题（每小题3分，共24分）

1.（3分）一元二次方程f-3x=0的解是（)

A.=0,X2=-3B.l-3

C.x=3D.巾=0，戈2=3

【分析】利用因式分解法解方程.

【解答】解：X（x-3）=0,

x=0或x-3=0,

所以内=0,X2=3.

故选：D.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分

解化为两个一次因式的枳的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程

的解，这样也就把原方程进行了降次，把解•元二次方程转化为解•元•次方程的问题了（数学转化思

想）.

2.（3分）近儿年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分.小刚将二维码

打卬在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量

重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（）

A.8B.12C.0.4D.0.6

【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可.

【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右,

据此可以估计黑色部分的面积为20X0.6=12.

故选：故

第8页（共28页）

【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式.

3.（3分）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据•，不能判定是菱形的是（)

【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定定理求解即可.

【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是

菱形，

故力不符合题意；

根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线由.相垂直，即可判定该平行四边形是菱形，

故4不符合题意；

一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形，

故C符合题意；

根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定

该平行四边形是菱形，

故。不符合题意；

故选：C.

【点评】此题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，熟记菱形的判定定理及平行四边形的性质定理是

解题的关键.

4.（3分）关于x的一元二次方程以+3x・1=0有实数根，则上的取值范围是（）

A.kW-幺B.Y-9且AKO

44

C.42-9D.42-9且RWO

44

【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于〃的不等式，解得即

可，同时还应注意二次项系数不能为0.

【解答】解：•・•关于x的一元二次方程依2+3、-1=。有实数根，

:.△=b2-4ac2（）,

即：9+4攵力0,

第9页（共28页）

:关于x的一元二次方程依2+3x-1=0中awo,

则k的取值范围是k2-a且4#().

4

故选：Q.

【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况.

5.(3分)下列命题中，为真命题的是()

A.三个角相等的四边形是矩形

B.对角线互相垂直相等的四边形是正方形

C.正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形

D.若一个四边形的对角线相等，则顺次连接这个四边形四边中点所得的四边形一定是菱形

【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定以及正五边形的性质得出答案即可.

【解答】解：力、根据四个角相等的四边形是矩形，故此命题是假命题，故此选项不符合题意；

B、根据对角线互相垂直、互相平分且相等的四边形是正方形，故此命题是假命题，故此选项不符合题意:

C、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此命题是假命题，故此选项不符合题意；

。、顺次连接对角线相等的四边形的中点所得的四边形是菱形，故此命题是真命题，故此选项符合题意:

故选：D.

【点评】此题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定以及正五边形的性质等知识，熟练掌握相关定理是

蟀题关键.

6.(3分)近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价

促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售价的

月均下降率是x,则所列方程正确的是()

A.16(1+x)2=23B.23(1-x)2=16

C.23-23(1-x)2=16D.23(1-Zv)=16

【分析】首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为23(I万元，5月

份的售价为23(1-X)(1-%)=23(1-%)2万元，据此根据5月份售价为16万元可列H方程，进而

可得出答案.

【解答】解：・・・3月份售价为23万元，月均下降率是x,5月份售价为16万元，

A23(1-x)2=16.

故选：故

第10页(共28页)

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是X表示出5月份的售价是

解答此题的关键.

7.（3分）如图，在力时测得旗柠的影长是4米，8时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂

直，则旗杆的高度是（）米.

A.5C.7D.8

【分析】利用等角的余角相等得到则可判断内△PC0sRgop。然后利用相似比可计

算出尸。.

【解答】解：如图，NCPD=90：0c=4/〃，QD=\6m,

A时

B时O

Q

YPQLCD,

・・・NPQC=9()°,

・•・NC+N"C=90°,

而NC+NO=90°,

:"QPC=/D,

・・・RqC0sRtZ\Qp。,

.PQJC

**QDW

即理」

16PQ

・・・P0=8,

即旗杆的高度为8"

第11页（共28页）

故选：D.

【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质.

8.（3分）如图，在矩形48c力中，AB=2,8c=2^1，E是8c的中点，将△/BE沿直线,4E翻折，点

B落在点尸处，连接。凡则。7的长为（）

525

【分析】根据题意可得8E=C£=扬，在根据勾股定理求出4E=5,由折叠可知

工/BEF，BE=EF,于是CE=EF,根据等腰三角形的三线合一性质得NCEG=N^EG=JNCEF，CG

22

=FG,因此N/EA+NCEG=L/BEF+LNCEF=90°，根据同角的余角相等得N，4£A=NECG,以此

22

可证明△44£SZ\EGC,根据相似三角形的性质可求出CG的长，据此即可求解.

【解答】解：如图，过点。作EGJ_C产于点G,

•・•四边形/8CQ为矩形,

・・・/3=90°,

,:AB=2,BC=2V21，石是8c的中点，

：,BE=CE=^8C=42i，

2

AJ^=7AB2+BE2=722+(V21)^=5'

根据折叠的性质可得，N4E8=N4E"=LNBEF，BE=EF,

2

:・CE=EF,

V^GICF,

・・・/。E6=/庄6=工/'£尸，CG=FG,

2

・・・N/1E8+NCEG=_1NBE"L/CEF=2(NSEb+NCE/：=90°,

222

第12页（共28页）

•：4ECG+/CEG=90°,

J/AEB=/ECG,

•：/B=/CGE=90°,

；・AABESAEGC,

.AE_BE即5二瓶

・•瓦记=CG，

・・.CG=雪，

5

：,CF=2CG=-^.

5

故选：B.

【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的

判定与性质，利用折叠的性质和等腰三角形的性质推理论证出/力网=NECG是解题关键.

二、填空题（每小题3分，共15分）

9.（3分）已知?=与，那么豆也等于

b2b~2~

【分析】根据和比性质，可得答案.

【解答】解：且=3,那么包"=」，

b2b2

故答案为：1.

2

【，点:评】本题考查了比例的性质，利用合比性质是解题关键.

10.（3分）一个不透明的口袋中有1个黄色球和2个红色球，这些球除颜色外其余均相同.从中随机摸出

一个球，记下颜色后放回，搅匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸出红球的概率是

9

【分析】黄色球用数字1表示，两个红色球分别用2和3表示，列表得出所有等可能结果，从中找到两

次摸出的球都是红球的结果数，利用概率公式计算可得.

【解答】解：黄色球用数字1表示，两个红色球分别用2和3表示，列表得：

123

1(1,1)(2,1)(3,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)

由上表可知，从袋子总随机摸出两个小球可能会出现9个等可能的结果，其中两球都是红色的结果有4

第13页（共28页）

所以两次摸出的球都是红球的概率是三，

9

故答案为：A.

9

【点评】本题考查了用列表法求概率，解题的关键是列表将所有等可能的结果全部列举出来并分清是否

为放回试验.

11.(3分)大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美.如图，点P为力8

的黄金分割点如果/尸的长度为2cm,那么8P的长度为_V5-1_cm.(结果保留根号)

【分析】设8P=xa〃，则48=(2+x)cm,由黄金分割的定义可得处解方程即可.

PBAP

【解答】解：设BP=xcm,则48=(2+x)cm,

•・•/)为48的黄金分割点(AP>PB),

.APAB

**PB

:.(2+x)x=22,

解得XL代-城X2--代-1(不合题意，舍去)，

故答案为：V5-1.

【点评】本题考查黄金分割，王确列式进行计算是解题关键.

12.(3分)如图，由点P(14,I),A(a,0),B(0,a)(0<a<14)确定的△幺8的面积为18,则a的

【分析】当0VaV14时，作PD_Lx轴于点。，由Q(14,1),A(a,0),B(0,a)就可以表示出△49户

的面积，建立关于。的方程求出其解即可.

第14页(共28页)

【解答】解：当0<〃<14时,

如图，作PO_Lx轴于点。，

■:P(14,1),A(a,0),B(0,a),

:,PD=\,00=14,OA=a,OB=a,

•••5乙两5=5梯形0"。。・5小。力8・5^。。=」又14(4+1)--i</2-Ax1X(14-67)=18,

222

解得：ai=3,。2=12；

【点评】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，点的坐标

的运用，解答时运用三角形和梯形的面积建立方程求解是关键.

13.（3分）如图，在中，,48=4C=5,4C=8,D是BC边上一点、,且BD=/18.£是44延长线上

一点，连接。交力C于尸，若NADE=NB,则EF的长度为一此叵

【分析】作出W_L8。于根据等腰三角形的性质以及等腰三角形三线合一的性质得出。M=l,CO=3,

利用勾股定理求得力。=/13,通过证得△/OEs△力以，求得。七=旦叵，通过证得△4）Fs△力CZ）,

3

求得0b=3叵_,从而求得EF=DE-力b=-1负国，.

515

【解答】解：作于M,

,：AB=AC=5,BC=8,

**,JJW^VAB2-AM2=3，

■:BD=AB=5,

第15页（共28页）

・QW=5-4=1,

；・4D=q§2+]2=CD=4-1=3,

\'AB=AC,

・・・N8=NC,

•・•/ADE=/B,

・•・UADE=/C,

，：BD=AB,

；・NBAD=NBDA,

•・•NBAD=NADE+NE,NBDA=NC+NDAC,

・•・/E=/DAC,

・•・AADEMDCA,

・DEADnnDEVTo

ACCD53

：.DE=^^-,

3

•：NADE=/C,NDAF=NCAD,

・•・△ADFS^ACD,

.DFADnnDFVlo

CDAC35

・・・。/=封叵，

5

：,EF=DE-DF=5VT3._=JMI3

3515

故答案为：西垣.

15

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，正确应用性质定

理是解题的关键.

三.解答题（共61分）

14.（8分）解下列方程：

第16页（共28页）

(1)(x-3)2=4X(x-3)；

(2)f+8x-9=().

【分析】(1)先移项，再利用因式分解法把方程转化为x・3=0或x・3・4x=0,然后解两个一次方程即

可：

(2)利用因式分解法把方程转化为户9=0或x-1=(),然后解两个一次方程即可.

【解答】解：(1)(x-3)2=4X(X・3)：

(x-3)2-4A-(X-3)=0,

(x-3)(x-3-4x)=0,

工・3=0或x・3・4x=0,

所以力=3,X2=-1;

(2)W+8x-9=0,

(x+9)(x-1)=0,

x+9=()或x-1=0,

所以xi=-9,X2=l.

【点评】本题考查了解一元二次方程■因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,

这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

15.(8分)某校在九年级随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”知识竞

赛.把甲、乙两组的成绩进行整理分析(满分100分，竞赛得分用x表示：90<xW100为网络安全意识

非常强，80WxV90为网络安全意识比较强，xV8()为网络安全意识一般).收集整理的数据制成了如下

统计图表：

平均数中位数众数

第17页(共28页)

甲组a8080

乙组83bc

根据以上信息回答下列问题：

（1）填空：4=83,b=85,c=70：

（2）已知该校九年级有50（）人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？

（3）现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加全区比赛，用树状图或者列表法求抽取的两名同

学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率.

【分析】（1）根据平均数的定义可求出根据中位数的定义可求出法根据众数的定义可求出c.

（2）根据用样本估计总体，用500乘以甲乙两组满分的人数所占的百分比，即可得出答案.

（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来目乙组的结果

数，再利用概率公式可得出答案.

【解答】解：（I）a=（1X7U-6X80+2X90+1XIOU）-r10=83.

将乙组学生竞赛成绩按从小到大的顺序排列，排在第5和第6位的成绩分别为80分和90分，

:・b=（80+90）4-2=85.

由图2可知，乙组的众数为70,

/.c=70.

故答案为：83；85：70.

（2）500X2+1+3+2=200（人）.

20

・•・估计九年级网络安全意识非常强的人数一共约为200人.

（3）由图1和图2可知，甲蛆满分人数为1人，记为乙组满分人数为2人，分别记为8,C,

画树状图如下：

开始

共有6种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有：AB,AC,

BA,CA,共4种，

・•・抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为'=2.

63

第18页（共28页）

【点评】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，熟练掌握相关知识点

是解答本题的关键.

16.(7分)如图，平面直角坐标系中，△48C的三个顶点坐标分别是4(1,・1)、8(4,・3)、C(4,

-1).

(1)画出△AB。关于x轴成相对称的△小81。；

(2)在第•象限内，画出△48C1以点。为位似中心并扩大到原来的3倍的△血比C2；

(3)写出点力2、比的坐标.

【分析】(1)分别作出三顶点关于X轴的对称点，再顺次连接即可得:

(2)根据位似性质找到力2,例，Q,分别连接起来即可得到答案；

(3)根据(2)图即可得加、Bi的坐标.

【解答】解：⑴如图，△由81。即为所求作；

(2)如图,△出历C2即为所求作；

(3)点力2(3,3),点历(12,9).

第19页(共28页)

y

【点评】本题考杳了位似变换，掌握位似变换的性质是解题的关键.

17.（8分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经管商统计了某

品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12

月份销售量的月增长率相同.

（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；

（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为50（）个，若

在此基础上售价每上涨I元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾

客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？

【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为》，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72

个列出方程求解即可；

（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润=（售价-进价）义销售量列出方程求解即可.

【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为X,

依题意，得50（1+x）2=72,

解得xi=0.2=20%,X2=-2.2（不合题意，舍去），

答：设该品牌头盔销售量的月增长率为20%；

（2）设该品牌头盔每个售价为y元，

依题意，得（y-30）[500-10（y-40）]=8000,

整理，得f-120y+3500=0,

解得yi=50,"=70,

因尽可能让顾客得到实惠，

第20页（共28页）

,所以,y=70不合题意，舍去.

所以y=50.

答：该品牌头盔每个售价应定为50元.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确记忆相关知识点是解题关键.

18.（8分）如图，己知△力4c中，。是8c边上一点，过点。分别作OE〃/。交4?于点瓦作DF〃4B

交IC于点R连接

（1）下列条件：

①。是8c边的中点；

②是△48c的角平分线；

③点E与点F关于直线AD对称.

请从中选择一个能证明四边形』厂是菱形的条件，并写出证明过程.

（2）若四功形力EQ产曷英形，H.AE=4,CF=2,求4E的长.

【分析】（1）证四边形4石。尸是平行四边形，N4OE=NO/F,再由条件②证/E=OE,或由条件③证

AE=AF,即可得出结论；

（2）由菱形的性质得力b=。/=OE=/E=2,再证△8OESA8C4,得些=胆，即可解决问题.

BACA

【解答】解：（1）选择条件②：

•••/。是△"C的角平分线，

:・/EAD=/FAD,

•：DE//AC,DF//AB,

；・四边形力/管£是平行四边形，NEAD=NFDA,

：.NFD/t=NE4D,

：,AF=DF,

・••平行四边形力厂QE是菱形；

选择条件③，

,:DE〃AC,DF"AB,

第21页（共28页）

・•・四边形力也忙是平行四边形，

•・•点E与点、F关于直线AD对称，

：.DE=DF,

・••平行四边形力^^是菱形；

（2）•・•四边形力FQ七是菱形，AE=4t

：.AE=AF=DE=4,

：.AC=AF+CF=6,

'CDE//AC,

:.△BDEs^BCA,

•・•■BE■_""*DE・，

BACA

即里-=_1,

BE+46

:.BE=8.

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、相似三角形的

判定与性质以及轴对称的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

19.（10分）【阅读理解】

若关于x的一元二次方程0，+法+。=0QW0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程通过计算发现,

任何一个，，快乐方程”的判别式庐・4面一定为完全平方数.现规定F（a,b,c）必曰;为该“快

4a

乐方程”的“快乐数”.例如“快乐方程”/-3x・4=0的两根均为整数，其“快乐数”

F（l,-3,-4）=1±一（£-）］二（二1一二蓍,若有另一个“快乐方程”夕小+”+/=0（pWO）的“快

乐数”F（p,q,r）,且满足/e/7（a,b,c）—c*F（p,q,r）,则称尸（〃，b,e）与尸（p,q,r）互

为“开心数”.

（1）“快乐方程”f-2x-3=0的“快乐数”为-4；

（2）若关于x的一元二次方程/-（2〃L1）升〃?2-2小-3=0（m为整数，且1＜小＜6）是“快乐方程”,

求〃?的值，并求该方程的“快乐数”：

（3）若关于x的一元二次方程x2-〃?》+〃】+1=0与x2-（n+2）x+2/?=0（相，〃均为整数）都是“快乐方

程”，且其“快乐数”互为“开心数”，请直接写出〃?，〃的值.

【分析】（1）按照快乐数公式即可求解；

（2）按照快乐数公式即可求解；

第22页（共28页）

(2)由x2-mxx+m+\=0,求出m的值,再由x2-(〃+2)x+2〃=(),求出F[1»-(n+2),2n]=-)—

分以=5、分两种情况分别求出〃的值.

2

【解答】解：(1)方程：--2.3=0的“快乐数?(1,-2,-3)二(二2)_:

4X1°

故答案为：-4：

(2)关于x的一元二次方程/-(2m-1)x+m2-2m-3=0,△=川-4ac=4〃z+13,

Vl<7«<6,即：17<4/w+13<37,

46+13=25或36,

.*./w=3,m=^-(舍去)，

4

方程变为：f-SxnO,

则产(1,・5，0)=一(-5)：=■空,

44

故其“快乐数”数是-至；

4

(3)x2-mx+m+1=(),

A=(-m)2-4(m+1)=(w-2)2-8,

设A=a2,

则(m-2+a)(m-2-a)=8,

(m-2+a)=4或2或-4或-2,

Cm-2-a)=2或4或-2或-4,

解得〃?=5或-1,

方程变为：f-5X+6=0或x2+x=O；

x2-(n+2)x+2〃=0,

A=(〃-2)2,

F[l.-(M+2),2〃]=.(n：)2.

当〃?=5时，2nX(-A)-6X[-112zlli]=0,

44

解得：〃=3或〃=3(不合题意)，

2

当〃?=-1时，2〃X(-I)-0=0,

解得〃=0,

故：〃=0或3.

第23页（共28页）

【点评】本题考查一元二次方程的整数根与有理根，解答本题的关键是熟练运用“快乐方程”的定义解

决问题.

20.（12分）综合与实践

在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的

方法来确定正方形一边上的一个三等分点.

【操作探究】

“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：

第1步：如图1所示，先将正方形纸片片8。。对折，使点力与点8重合，然后展开铺平，折痕为万尸；

第2步：将8C边沿CE翻折到GC的位置；

第3步：延长EG交4。于点从则点〃为力。边的三等分点.

证明过程如下：连接

正方形ABCD沿折登，

:・/D=NB=/CGH=90°,①CG=CB=

CD,

又,：CH=CH,

:.GH=DH.

由题意可知K是45的中点，设43=6（个单位），

D“=x,则力£=8E=EG=3,

在Rt△力E”中，可列方程：②（6・X）2+32=（X+3）

」（方程不要求化简）

解得：DH=（3）2,即“是彳。边的三等分点.

“破浪”小组是这样操作的：

第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，便点力与点8重合，然后展开铺平，折痕为ER

第2步：再将正方形纸片对折，使点8与点。重合，再展开铺平，折痕为4C,沿翻折得折痕OE交

4c于点G；

第3步：过点G折叠正方形纸片488,使折痕〃/1O.

【过程思考】

（1）“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是

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3）：CG=CB=CD,（2）：（6-x）2+32=（/3）2