2026高考数学复习高效培优：不等式（选填题）解析版

专题02不等式（选填题）

i目录

i

i第一部分题型解码微观解剖，精细教学

包典例剖析&方法提炼色变式

।

i题型01基本不等式求最值

题型02一元二次不等式恒成立、能成立问题

I

题型03基本不等式的应用

题型04柯西不等式与权方和不等式

!

i第二部分强化实训I整合应用，模拟实战

i

＞第一部分题型解码

题型01基本不等式求最值

-典例剖析

【例1.1】（2025•安徽合肥•一模；（多选题）已知正数X，），满足x+y+孙=3,则下列结论正确的是（）

A.邛的最大值为1

B.工+了的最小值为4

c.斗彳的最大值为:

x+y2

D.」下+」7的最小值为1

x+1y+1

【答案】ACD

【详解】对于A,由正数羽），满足x+y+盯=3,可得x+y=3—xyN2而，解得0＜而W1,

则“41,当且仅当工=儿即x=y=l时等号成立，即外的最大值为1,故A正确；

/\2

对于B,由正数X，）'满足x+y+,D=3,可得x+y_3=—xyN—3，

解得x+”2或x+”-6（含去），当且仅当x=y=l时等号成立，即x+＞的最小值为2,故B错误:

3-x-yxy1,11

22

对于C,因x>o,y>。,则/+y?x+y£+2~21^72,

yxV7x

当且仅当X=y=i时等号成立，即37一，的最大值为;,故c正确；

x+y2

对于D,由x+y+用，=3可得(x+l)(y+l)=4,则-1T+」722m•一!—=1,

x+ly+\丫％+1y+1

当且仅当一二=々，即x=y=l时等号成立，即一三十一—的最小值为1,故D正确.

x+ly+\x+ly+\

故选：ACD.

【例1・2】(2025.陕西西安.模拟预测)(多选题)下列命题正确的有()

A.若0v〃<a,cv0,则

ab

B.若Ov〃vavl,则b“v/

C.若4人>0且a〃=a+〃+3,则的取值范围为［2,”)

D.若《。>。且。+〃=1,则一二工+‘尸的最大值是。

a-+ba+b~3

【答案】ABD

【详解】对于A,因为。<〃va,c<0,则即9〉,，所以£>£,故A正确;

abababbaab

对于B,因为Ovbvavl,易知y=〃'(x>0)单调递减，则

同时丁=/(/>0)单调递增，则所以夕<aJ故B正确；

对干C,由基本不等式可知a+包，

4

即(a+b)~一4(〃+〃)-12=(〃+。+2)(々+/;-6)20,则〃+/?26,

当且仅当。=h=3时取得等号，故C错误；

对于D,灵活运用“1〃，构造齐次式得：

〃(4+/?)।b(a+b)_〃2+2aZ?+Z/।ab_十1

2122

a+b(a+b)a(a+b)+b~a-i-ab+ba+ab+b~++\)

ba

易知2心=2,所以上式《1+二=。，当且仅当〃=%=?时取得等号，故D正确.

ba\ba2+132

故选:ABD

方法提煤

“1”的代换

ninmn

已知at+by=1（均为正数），求一+一（机〃,均为正数）的最值，或者0¥+勿=柩〃，求一+一

xyxy

的最值（以几xy均为正数）.

这个类型是考察最多的，很多时候还需要配凑，常数代换等，对代数结构的观察能力和代数运算能力要求

较高，需要重点突破.

【变式1・1】（2025•辽宁・三模）（多选题）已知。＞0力＞0,则下列结论正确的是（）

A.若〃则『+4//之3

4

B.若a+b=1,则G+振的最大值为Q

C.若a+b=2,则-，—+上—的最小值为1

a+1/7+!

D.若a+b=2,则，+不二的最大值为匕也

【答案】BCD

【详解】由题意得/+4/=（1-历2+4〃=5（/A]J+1N1，A项错误；

（xC+标）2=a+6+14ab=I+ijab＜\+a+b=2,所以，?+〃《血（当且仅当4=/?=g时取等号），B项正确;

a23b2(a+l)2-2(a+l)+l(b+l--23+1)+111八人11

-------1-------=------------------------------1-----------------------------五T+后T严+D+S+叫”1+街)N1,当且

a+1b+\。+1/?+!

仅当。=〃=1时取等号，c项正确;

11_a-_4-2a〃+2

又因为a+〃=222\fab=>0<ab<\

a2+•1从+i(ab)1+a1+/72+1(ab)2+4-lab+1

所以告+右=需泻,

设，=1-g/注0,1),

a+\+1(«/?-!)"+4

1+]=2r+4=2(f+2)=2<2=夜+1

贝1」/+1+/+1/+4Q+2)2-4什+2)+8f।2।8J4丘-42，

7+2~

当且仅当，+2=展=，=2&-2,即帅=3-2垃时取等号，

所以37+J二的最大值为也D项正确•故选:BCD・

«~+1b~+\2

【变式1-2](2025.江苏淮安.模拟预测)(多选题)若ayeR满足丁+4./-2.=1,则()

A.X2+4/<2B.一拽CW迪

33

c.x+2y<\D.x+2y>-2

【答案】ABD

【详解】对•于A,由（1一2），）220可得/+”224孙，因此f+4y2=2冲+1«=工+1,

可得/+”弋2,当且仅当x=2y时，等号成立，即A正确；

对于B,将表达式丁+4丫2-2孙=1化简可得（x-»+3y2=1,

将方程参数化可知不一cos。十■^■sin。,y--^^sin0>c［0,2TC］；

所以“=（：05夕+^^11夕=^"^"^$而（夕+q）='：1^$111（夕+0）,其中tan=\/5；

又TWsin（e+0）Wl,所以一¥«x=乎sin（夕+e）«乎，可得B正确；

对「c,由d+4）,2=1可得/+州。+4冷，=6叶+1,即（X+2疔=6冷+1-3x,+1,

因此（x+2）TW4,解得-2Wx+2y«2,当且仅当x=2y时，等号成立，即C错误，D正确.

故选：ABD

【变式1・3】（2025•湖南郴州•三模）（多选题）设正实数X）‘满足8"+），）=只>，+孙3,则（）

A.x+y>4B.x2y2>16

C.x2+y2>4^/2D.孙（x+y）K16

【答案】ACD

【详解】对于选项A：因为止实数MV满足8（工+），）=./），+切,3,

设“+y=，>0,碎=攵>0,则V+9=*+）,）2_2xy-r-Ik,

因为8（工+），）=/），+个3=孙卜2+），2）,

即8,=k（r-2k）,整理可得得2炉-心+必=0,

将其看为关于2的•元二次方程，则△=（-产）2-64120,解得后4,即x+”4,故A正确:

对于选项D：因为8（4+），）=切，［、尸），且f+丁之三立，xy>（）f

则8（x+），）="（/+）/”冷,.《手，当且仅当x=）,=2时，等号成立，所以162孙（x+y）,故D正确;

对卜选项B：因为X+），N2JE，则16NA>、（x+y）22町7^,当且仅当x=y=2时，等号成士,

则而W2,得fy256,当且仅当x=y=2时，等号成立，故B错误；

面+/丫/+力6+2/站a6+b6+3a4b2+3a2b4

对于选项C：因为

22~48

+力6+4〃353—3/及_3a2/(a叫2(/+2db+2aH+14)

~8-8~

因为〃>0力>(),则/+2〃%+2田+/>0,(6/-Z?)2>O,

可得(亨门号]

20,当且仅当。=〃时，等号成立,

12112yl

俨+叫2、3+叫

可得《±2j匕宜)

333

即？+),2之(山¥22、二2&，当且仅当％=y=2时，等号成立所以)+«之4人，故C正确;

2I2)

故选：ACD.

题型02—元二次不等式恒成立、能成立问题

典例剖析

【例2・1】(2025・天津•高考真题)若a/eR,对Vxc[-2,2],均有(2a+b*+辰_°7«。恒成立,则为+〃

的最小值为

【答案】-4

【详解】设l=2a+b,原题转化为求，的最小值，

原不等式可化为对任意的-2«x«2,Ar+(r-2«)x-«-l<0,

不妨代入彳二-3,得;f-g(f-2a)-a-lW0,得12-4,

当1=T时，原不等式可化为-为户一。一1工0,

即—2x+(ga+1)[+工0,

)1

观察可知，当[=0时，一(2%+1)~工0对一2WXW2•定成立，当且仅当X=-5取等号，

此时，&=0力=-4,说明f=T时，人均可取到，满足题意，

故1=勿+人的最小值为T.故答案为：-4

【例2・2】(25・26高三上.河南・月考)已知“WxeR,不等式x2+4>ox恒成立"为假命题，则实数。的取值

范围为.

【答案】(F,-4]U[4,+CO)

【详解】设P:"DxeR,不等式f+4>必恒成立”，其等价于VxeR,x2-dx+4>0恒成立，

若P为真命题，则△=(/—16<0,解得—4vav4.

又P为假命题，故。的取值范围是命题P为真时的补集,

即a<^或«>4.故答案为：(^,-4]11[4,田).

方法提嫌

1.一元二次不等式恒成立、能成立问题

不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R,对于

。>0

一元二次不等式4F十陵十。>()，它的解集为尺的条件为L,2)八；

卜二b~-4fz(?<0

a>0

一元二次不等式+它的解集为R的条件为《；

A=b--4fzc<0

一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为0的条件为L八.

△=〃--4ac<()

2.一元二次不等式恒成立问题的求解方法

(1)对丁•二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.

⑵解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，

谁就是参数.

①若ar2+〃x+c>0恒成立，则有a>。，且A<0；若67+辰+c<0恒成立，则有。<0,且Ac。.

②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).

3.给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略

解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的

范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求

解.

【变式2・1】(2025・四川•模拟预测)已知一元二次函数/("的定义域为R,若/(-2T)=f(x),/(-2)</(7),

且该二次函数的图象经过网2,加+4)、Q(〃4〃)不同两点，贝M的取值范围是()

A.(f-4)B.(f,-4)U(2,i)

C.(2,+oo)D.(f-4]U(2,”)

【答案】D

【详解】因为一元二次函数f(x)的定义域为R,且/(-2-力弓'(力，

所以函数/'(X)的图象关于直线x=T对称，设/(x)=a(x+iy+c,其中〃工0,

由f(-2)<〃-1)可得4+cvc,故。<(),根据题意得出

因为函数/（X）的图象经过尸（2庙+4）、Q（〃,4〃?）不同两点,

/⑵=9〃+c=+4

则，且有〃工2,

/(〃)=(〃+1)-a+c=4〃?

上述两个等式作差得+卜=/-4/〃+4=（,〃-2）&0,

因为avO,故9一（〃+1）2«0,即+

可得八十14—3或八十1A3,解得"V—4或〃上2,

综上所述，实数"的取值范围是（eT］U（2,位）.故选：D.

丫2I2*•X〉

【变式2・2】（2025・上海•模拟预测）已知:—（设。>0,bsR,若关于x的不等式

x--2xyx<0.

/2"）+如"）-6<0恰有一个整数解，则〃+〃的取值范围是,

【答案】（3,8］

【详解】作出函数“X）的图像，如图所示,

有41）=1,/（0）=/（2）=0,

当［/（X）］+硝"）一时，令」=『（》「即尸+皿一从〈0,

设4也为方程/+G-〃=o的两个根，且［J，

由于4〉0，则有，1+4=~a<0/也=-护，

2

当1工0时,r/2=-Z><0,则必有f1<0/2>0，

则7=/（吟=0必包含在不等式的解中，由图可知f（x）=0的解为x=0,2,

此时不等式的解中有2个整数，不符合题意，

当3=0时，。<04=0，由图象可知，当/=/*）<（）时，对应的工值唯一,

因为［/WT+4W的解恰有一个整数，所以这个整数为工=3,

则3-W4,当x=4时,%有最小值为/（4）=-8,即。有最大值为8,

当”=3时，〃3）=-3,此时L+q=—。=3,即a+b«3,8］；故答案为：（3,8］.

【变式2-31（24-25高三上•山东泰安•期中）已知sin（加+外+。20（力0）对任意工£[0,8卜恒成立，

贝iJcV+or+方＞0的解集为（）

B.U。，”)

/Z

D.(f-l)U(g,+8

C.

【答案】C

n77r

【详解】由x«0,8]得，

6，-6"

n八A

当xw[0,l]得，—x--6——,0sin马一

66

当xe[l,7]得,—x——€[0,7tl,sin-x--^0,

66(66)

n九、

当xw[7,8]得,^x-^en->~~sinWO.

13sin仁x-^(ax-+bx+c)>0(〃工0)对任意xe[0,8]恒成立,

回由or?+/?x+cN（）得，xe[l,7],

回1司7是方程以2+b.r+c=0的两根，且avO,

E<",故力=-&/,<?=7〃.

|x7=-

由c,d+o¥+/?>0得，lax1+ar-8t/>0»I'P7x2+x-8<0»

解得-^vxvl，故不等式的解集为,51）.故选：U

题型03基本不等式的应用

典例剖析

【例3-1]（2025•四川德阳三模）已知更数4=%+卯/2=%+羽（%，凶，电，/wR），若|zJ=«,Z2=i4,

那么A-,+A2-»+），2的取值范围是（）

A.[T4]B.[-2忘,2向C.[-2,2]D.[-上典

【答案】A

七岁丁+凡则

【详解】由题设，所以N+内一y+乃=2（玉一H）,

U+y=2

*+"2

而生铲_«x；+y；=2,当II.仅当％=-y=±l时取等号，则-24%-yW2,

所以％+.12-,+)'2=2(为-y)e[~4,4].故选：A

【例3-2］（24-25高三上.河南周口.期末）已知函数/（x）=a（；j+〃的图象过原点，且无限接近于直线）=3

但又不与该直线相交，当工之0时，函数g（x）=/（x）-3川有（）

A.最小值-3B.最大值-3C.最小值-2D.最大值-2

【答案】B

0

【详解】由题设.“0）=4+。=a+Z?=0,目.b=3,则a=-3

5>

所以/(%)=3—4第,贝Ux>0时.^(x)=3-3HA|-3r+,=3-3'-x-3t+,.

所以g(x)=3(l—《一3，)，令/=3；21，贝lJg(x)=/?Q)=3(l—l-OK3(l—2jL/)=—3,

tV

当且仅当，=1时取等号，故8（“最大值为-3.故选：B

方法提煤

（1）〃+力22"石g方＞0）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况

（2）ab＜:多用在求乘枳式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况

22

（3）a+b＞2abf本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等

式的适用范围4〃

（4）利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

【变式3・1】（2025•云南楚雄•模拟预测）（多选题）已知A（&yJ,B（&,%）是函数丁=2、图象上不同的两

点，则下列不等式能成立的有（）

A.脸（）%+丁2）＜%+9+1B.210g2（y+%）＜%+毛+2

c.唾2（）1+＞2）＞芭+W+1D.210g2（y+必）＞玉+9+2

【答案】ACD

【详解】由题意，不妨设e＜七.

.•・函数），=2、是R上的增函数，.•.0<2怎<2与，即0<X<%，

2收+2*2I------纪玄V+v型2

-->V2x'-2Vi=22，即匕上21>22>0.

22

••.尸1吗不是（0，y）上的增函数，.•.1叫*±&>1鸣2寸=文也，

22

即210g2（*+必）>内+9+2,故B•定不能成立，D一定成立.

取％=1,七=2,则X=2,%=4,此时logzGi+）'2）=log26€（2,3），x+七+1=4,

二•log2（y+%）<%+9+1，故A能成立.

,3

取％=-1,占=。，则y=5，丁2=1比时log2（y+）'2）=1鸣3€（°」），内+七+1=0，

•.』0g2（y+）’2）>玉+芍+1，故c能成立•故选：ACD

【变式3・2】（2025•河南郑州•一模）已知正方形A4CO的边长为2,E,〃分别为AQ,A8上的点，当△AEF

的周长为4时，△?1£：尸面积的最大值为.

【答案】12-8x/2

【详解】设AE=x，AF=y,（0<x<2,0<y<2）,则所=7^了，

因为△A£77的周长为4,所以x+y+正+）/=4，

因为x+y+Jx?+y2=4之2^/j^+,当且仅当4=）'时取等号,

故、质<)+c=4-2夜，则xy<24-16\/2，则△AEF面积满足xy<12-8及.

故△人石尸面积的最大值为12-8&.故答案为：12-8&.

CCAA

【变式3・3】（2025•江苏南通模拟预测）在VA8C中，若lan8=^——,则【anA+2tanB的最小值为______.

1+siiiA

【答案】x/3

【详解】tanB=一：一，若cosA<0,则lan8<0,此时A8均为钝角，不合要求，

1+sinA

故cosA>(),tanB>0,即A,B均为锐角，tanA+2taiiB>0,

cosA-sO+sid

2A.2Acos^-sin^,A

cos-sin1-tan-

八cosA22222)

tan8=-----------222__2

1A..AA.2A

1+sirtA-.AA.A1A

cos"—+2sin—cos—+sin-sin—+coscos—+sin-1+tan—

222222J222

r41-tany2tan搭+2(1-tan3一，AcAc

2tan—2tan------2tan—+2

故tanA+2tanZ?=-----------^―22

+2-A

2,2月1-tan2

1-tan-I+tan-1-lan-

2222

,A所鸿电,nA

令(an—=t，因为t=tallye(0,1),

2

2/—2f+2_(2/2)2z+4_-2(/-2)

则tanA+2tanB=2,

令〃=，-2e(—2,—1),则/=〃+2,

cr>~2ll--2w_2

tanA+2tan8=--------------y-2=——；----------------2=-2

］一(〃+2)--W-4W-3

3

其中〃十二工一2-2#,当且仅当-〃=--,即u=->/3时，等号成立,

uU

22

taa4+2tanB=----------------2>------------------2=J5广

故M+3+4-2X/3+4.故答案为：6

u

题型04柯西不等式与权方和不等式

典例剖析

【例4・1](25-26高三上•辽宁沈阳月考)柯西不等式(Caulhy-Schwarz"equality)是法国数学家柯西与德

国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2,当且仅当g时等号成立.根据柯西不等式，已知x>0,yeR,且

cd

/+孙―/+5y=3(),则万G+j30-3y的最大值为()

A.73B.x/6C.2瓜D.3及

【答案】C

【详解】由f+冷,一x+5y=30,得f一1一30+M，+5'=0,即(x+5)(x+y—6)=0,

由工>0,得x+y=6,则{2-x+yj30—3y=J2-x+Jl2+3x=J2-x+>/3•j4+x,

由工>0,2-x>0,得0<xW2,

由柯西不等式得(+百•"^尸<[12+(X/3)2].[(>/2^)2+(V4+7)2]=24,

因此yjl—x+•14+x<2>/6»当‘4；"=‘2"，即x=7时取等号，

V312

所以万7+J30-3），的最大值为26.故选：C

【例4・2]（25-26高三上•河北•期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很

广泛的应用，其表述如下：设“hx,），>0,则三十22鱼也，当且仅当且=2时，等号成立.根据权方和

xyx+yxy

40（2S、

不等式‘函数十）=J25……<4的最小值为（)

49169

A.1B.—C.D.25

25~25

【答案】B

【详解】因为0<x<一,所以0<4xv25,BP25-4x>0

4

故根据题意，/(力)+—2—二更+—"J二”

')x25-AxAx25-dx4x+25-4x25

当且仅当4;=/3丁，即x=?§5时等号成立，

4x25-4x7

49r25、4Q

所以函数/（力=一+葭二J0<X<T的最小值为黑•故选：B

A-ZD--I4，23

方法提嫌

1.常用柯西不等式：

二元形式：若华也£R（j=l,2）,（42+%2）面+疗后（她+生编2,当且仅当?二去时取等号

4%

三元形式：若q也£R（i=1,2,3）,（42+4；+喇伍：+〃；+〃;"（地+々也+她『，当且仅当消=工1=工1

〃[I）、”,

时取等号.

多元形式：若q,“£R（i=l,2,…,〃），则她尸，当且仅当4=屹（，=1,2,…时

/=1/=1；=1

取等号.

2.权方和不等式：

己知不和方方为正数，♦+*（*+/）,当且仅当五二区时，等号成立.

y月y+）’2,为

已知公林加小，〃为正数，工7+占丁2（：+?”，，当且仅当工=三时，等号成立.

y%（y+»）>>%

【变式4-1］（2025•安徽蚌埠•二模）柯西不等式（Cauchy-Schwa「zLnequality）是法国数学家柯西与德国数学

家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：

（"+〃）（不+1）2（ac+bd『,当且仅当ad=历时等号成立.已知a>0,b>0,直线），=与曲线

y=ln（x+〃）相切，则+出+表的最小值为

【答案】10

【详解】由y=ln（x+〃），所以炉=一工，设切点为（不，%），则匕=1，故%=1一人，

x+b%）十"

又％=，)'o=ln(占+。)，所以No=ln(.q+b)=0,』-2a=0,所以2。+〃=1,

114398『副2"

—+—+—+—=—+—

ab5a5b5a5b

当且仅当3=22=学，即4=2力=］时等号成立，所以K+占的最小值为10.

5a5b5a5b105ab\a~b'

故答案为：10

【变式4・2】（24-25高二上•陕西西安月考）已知匕>。，-+-=1,则〃必存的最小值为_____

ab

【答案】10

2I

【详解】叱+厂1,得"…续

.厂~7T2ab2(。+2b)

所以a+b=------------,------------,——1——

a+b-yja1+Z?2a+b-\la~+h~

_______2(a+2b)2(a+2b)

a+b—荷+b?嘿+君

当且仅当然=也即。=与，时，等号成立，故a+“行后的最小值为10.

故答案为：10.

【变式4・3】（24-25高三上•广东月考）权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已

，当且仅当工=三时，等号成立.若x为锐角，则一L+亘

知为正数,乜型>区区二

丫2sinxcosx

的最小值为.

【答案】8

1J27P3，(1+3)2+，

【详解】—+—=------T+--------T2----—r=8,

SinXCOSX/.2S/2/-22\o

(sin'xj12(cos'xj2(sinx+cos'xj2

当且仅当一二==-时，即X=f时，取等号.

sin*xcos*x6

故答案为：8

＞第二部分强化实训

1.12025高三•全国•专题练习）柯西不等式的三元形式如下：对实数和乙也也，有

（42+而+硝（6+力；+用2（她+她+岫）2，当且仅当日=合=光■等号成立，已知V+f+z?=14,请

你用柯西不等式，求出x+2），+3z的最大值是（）

A.14B.12C.10D.8

【答案】A

【详解】因为J+y2+z2=14,

根据题目中柯西不等式的三元形式可知（x2+y2+z2）02+22+32）“x+2y+3z『,

所以(x+2y+3z1414x14,x+2y+3z〈l4：

x=l

y=2时等号成立，所以xi2yI3z的最大值是14，故选：A

Iz=3

49

2.12025高三•全国•专题练习）已知》,y都在区间（―2,2）内，且肛=-1,贝ij函数"=的最小

4-x2*)-y

值是（）

-24D.工

AB.—

-I115

【答案】D

【详解】因为盯=一,所以），二一,，且（］"））,

X

4949x249X2-1+141

------+------=-------P------=------+=1+

所以〃=4-X2+9X2-1

4-x29-y24-x29X2-14-X2----9X2-1

j(36-9.r2+9.？-l)

36=l+±36

=1+-------------1---35l36-9x2+2

36-9,r29X2-19X-1

I4

3(2025四川自贡•一模)已知随机变量且它eM-2)=FCNa),则当0<x<a时，>」一的

xa-x

最小值为()

979

A.—B.3C.—D.一

234

【答案】D

【详解】由随机变量且。修工―2)=夕«之〃)，得一£上=1,解得。=4,

|4II4I4-v4M

由0cx<4,^-+-=-lx+(4-x)](-+-)=-(5+---+-)

x4-x4x4-x4x4-x

>%+2、归^工)=2,当且仅当上金二手，即工=:时取等号，

4Vx4-x4x4-x3

所以所求最小值为9/故选：D

4

4.12025・浙江•一模)已知实数。也。满足a+b+c=l,/+〃+c2=i,则*匚的取值范围是________

6T+1

..,,..I—>/22

【答案】—z—

4J

，"版1•0+c)2-(b2+c2)rn.ibea2-aw+1

【详解】bc=--------------^=/一〃，则f；=丁；=1一一—,

2a~+1er+\a~+\

又从+/N如互，得一[

23

设〃+l=fe1,2,由函数)，=4二在1,⑸上单调递减，在(&,2)上单调递增，

.J」X7

「11「厂-

则1+2©2V2H,由原式为♦二T7；,则所求范围为=2].

t31H---幺25

tL」

1-6■2

故什案为：一~—•

5.(2025•云南•模拟预测)已知函数/("=品/以〃>0),若人>0,对VxeR都有/(〃+x)