2026届高三数学二轮复习：数列中的最值、范围问题

微专题11数列中的最值、范围问题

高考定位近几年高考试题中，与数列有关的最值范围问题既有解答题，也有选择、填空题，难度中

档或偏上.

【真题体验】

1.(2024・上海卷)等比数列｛的｝的首项f/i>0,公比夕>1,记/产斤)忱)，可⑶,ai\U[an,即i]｝,若对任意

正整数小/〃是闭区间，则q的取值范围是.

答案[2,+°°)

解析显然等比数列｛〃｝递增，不妨设

若x,[0,ai\y则x-ye[0,ai-a\],

若x,y^[an>an+\],则x-y[0,。”+1一。〃],

若[anyflw+1],yW[a\ts],

则x-y[an-a2,an+\~ai]y

:对任意正整数〃，/〃都是闭区间，

••an-ai^an+\-ant如图，

------------%+1—a1

-111j_

002^a\an~a2%+1-4”

又ai>0,・卬?-2/i+q20,

即q〃2(夕―2)+120,对任意正整数不上式都成立，则必有422.

2.(2021•浙江卷)已知数列(〃〃)的前〃项和为S〃,671=4,且4S〃+i=3S“-9(〃£N*).

(1)求数列｛如｝的通项公式;

(2)设数列｛仇｝满足3力〃+(M-4)必尸05£?4*),记｛5｝的前〃项和为7k若对任意〃£N*恒成立，

求实数2的取值范围.

解⑴因为4S”+尸35厂9,

所以当〃与2时，4S后3s〃.「9,

两式相减可得4。,+尸3a〃，即皿二.

«n4

当n=\时,4s2=4(-：+@2)=一子9,

解得〃2=W，所以生4

164

所以数列伍”｝是首项为-专

公比为:的等比数列，

4

n-1n+1

grpi9v/3\3

所以。，尸7x⑴=­.

(2)因为3'+(〃-4)0尸0,

所以加二(〃-4>0.

所以L,=-3X：-2XQ)2-1XQ)3+0X(1+…+(〃-4>Gy,①

所以*-3X(沪2X(沪1X(沪0X(沪F(N-5).(沪5-4)《广,②

①-②得…:©2©3…啖…(「

__oo

%n

-(n-4).(/-3J\+l

-41-1

/3\n+1

二一〃七)，

©n+1

因为“对任意〃WN*恒成立,

所以-4〃・(3*|忘25-4>6)“恒成立,

所以(2+3)〃-4/120.

记/5)=(2+3)〃-42(〃£N"),

2+320,

所以解得-3W2W1.

/⑴20,

所以2的取值范围是1-3,11.

【热点突破】

热点一求数列和式的最值、范围

例1(2025・长沙调研)已知数列｛〃〃｝是首项等于白的等比数歹J,公比q£N*,S〃是它的前"项和，满足

16

54=552.

(1)求数列(小｝的通项公式；

(2)设孤=logs(oX)且1),求数列｛及｝的前〃项和〃的最值.

解(1)公比4仁1<,・・・54=552,9£1,

・a(l-q4)_5a(l-(72)

I•1一1，解得＜7=2.

1-q1-q

/.«„=-X2/r,=2/r5.

(2)bn=logaan=(n-5)\oga2f

数列｛瓦｝的前〃项和刀尸”-47-5)]og“2=i-0-^-jlog«2,

当a>\时，(7；)min=7>T5=-101oga2,无最大值；

当031时，(A)max=C=A=T01oga2,无最小值.

规律方法求数列和式最值、范I制的基本方法

⑴利用不等式组型即+：(〃22)确定和式的最大值;

利用不等式组打会…(心2)确定和式的最小值.

⑵利用和式的单调性(要先判断其单调性).

(3)把数列的和式看作函数求其最值、值域.

训练1(2025・连云港调研)记数列优〃｝的前〃项和为S小对任意〃£N*,有S〃=〃(4〃+〃-1).

(1)证明:｛□｝是等差数列;

(2)若当且仅当n=7时,S〃取得最大值,求a\的取值范围.

⑴证明因为S“=〃z+〃(〃-1),①

所以当〃时，

-

Sn-1=(n-1)an-1+(w1)(n2),②

①一②可得an=naf-(n-1)ani+2n-2,

得(IF)m=-(〃-l)a］」+2(〃T)

得an-an-i=-2t故｛z｝为等差数列.

⑵解若当且仅当〃=7时取得最大值，

则有窗能得居北

则｛"之触得WB,

故0的取值范围为(12,14).

热点二求〃的最值或范围

例2巳知数列｛〃〃｝是递增的等比数列.设其公比为9,前〃项和为Sn,且满足3+45=34,8是〃2与。4的

等比中项.

(1)求数列｛〃〃｝的通项公式；

⑵若为』s,7〃是仍〃｝的前〃项和,求使"2〃+|>-100成立的最大正整数n的值.

解(1)因为8是S与44的等比中项，

所以4244=82=64,

则由题意得当％34,即当二34,

(Q2a4—64,—64,

解限给或c

因为数列｛m｝是递增的等比数列，

所以产4即m=2,q=2、

曲=%q=32,

所以〃产0/1=2X2〃|二2".

⑵由⑴得bn=fvan=nX2",

则T尸岳+历+83+…+b〃=lX242X22+3X2?+••叶〃X2”,①

24=1X22+2X23+3X2,+…+〃X2田，②

由①-②得-乙=2"22+23+…+2FX2叫

n_O71+1

即Tn=nX2>,+[-——=(n-l)2n+1+2,

1-2

所以7W・2"1=(〃T)2/1+2-〃2*=2-2〃+L

由7；rn-2,,+,>-100,

得2-2n+I>-100,

即2〃<51,由于25=32<51,26=64>51,

所以〃<5,即使7；厂〃•2日>-100成立的最大正整数"的值为5.

规律方法求〃的值或最值，一股涉及数列的项或和的最值与范围,通常化归为解关于〃的不等式,

或根据数列的单调性求解.

训练2(2025・丹东段测)记S”为等差数列｛〃”｝的前n项和,4s后硒什叶1,斯WO,〃£N*.

(1)求｛〃〃｝的通项公式；

⑵若仇二篇求使儿取得最大值时〃的值•

解(1)因为｛01｝为等差数列，且4s产a@t+i+l,a”WO,〃£N*,

所以当〃22时,有4S“=斯皿+1,

两式相减，得4an=an(a,t+1~an-1)=2dan(d为等差数列｛｝的公差)，解得d=2.

当n=\时,有4s1=042+1,

即4〃1=0。2+1,4。1=ai(ai+2)+L

解得671=1.

所以an=ai+(n-l)d=l+2(n-\)=2n~\.

⑵由⑴知。尸2〃T,

所以S=("27)〜2,

所以加=箫=品.

当周取得最大值时，有

(bn^bn+lf

44

n>(n-l)

2如一1i22〃-3'

屋>("1)4

｛22M—1"22n+l'

整理得，T对,[;，：'解得[nj2+真

Un42(几+1)。卜21+企，

所以l+&〈〃W2+&.

又因为〃三N*,解得“3,

所以历最大，且历片,所以当仇取得最大值时,n=3.

热点三求数列不等式中参数的取值范围

例3(2025・重庆质检)已知数列｛〃〃｝的前n项和为S〃,满足2S〃+「S尸2,〃日.

⑴求伍〃｝的通项公式；

(2)若数列｛瓦｝,｛6｝满足瓦二-21og2“r,c,尸处上，｛ca｝的前几项和为T,若不等式对一，切正整

ann

数〃恒成立,求2的取值范围.

解(1)由2S〃+「S尸2,

令〃=1,得252-51=2,

即2(a2+a\)-a\=2,

又6/1=1,得42今

2s+i-S=2,

又由zin

2Sn-Sn_1=2(几22),

可得2Sn+1~2Sn=Sn~Sn-1,

则有2an+\=ani即。计1二夕”,

又42=%1,符合上式，

所以£N*),

所以数列｛〃”｝是以1为首项为公比的等比数列，故a〃=G)"T(〃£N*).

/1\一1

(2)由(1)得历尸-210g2。〃二一210g2(耳)=2n-2t

如+22n-2+2-

Cn=——=—^r=n-2"

斯⑨f

]2n

所以Ttl=\X2+2X2+-+nX2,®

2Tn=lX22+2X23+•••+(«-1)X2"+"X2n+I,@

②-①得

7；,=-1X2'-（22+23+…+2"）+〃X

=2-生1二二^〃X2向

1-2

=2+（〃T）2"+i,

所以4-2=（丁1）2口

又不等式7；厂对一切正整数〃恒成立，即不等式57）2便对一切正整数〃恒成立，

所以2<2（1—孑），

又九£N*,2（1-；）20,

所以K0,即2的取值范围是（-8,0].

易错提醒求数列不等式中参数的取值范围问题要看清楚是恒成立,还是有解问题,若恒

成立,则加）min》M；若加）NM有解,则加）max2M.

训练3已知数列（〃〃｝中,an=I+,J=（吐（））.

K+2（71—1）

⑴若k=-7,求数列｛〃〃｝中的最大项和最小项的值；

（2）若对任意的〃仁N”,都有成立,求k的取值范围.

解⑴力尸"总干

又上-7,・・・4〃=1+^3

结合函数/U）=l琮5的单调性，

可知1>41>。2>43>44,U5>a6>Cll>…>4〃>1.

・,•数列｛4〃｝中的最大项为45=2,最小项为04=0.

⑵吁1+品于1+合

已知对任意的:都有成立，

结合函数的单调性，

x~—

可知5〈芋<6,即-1（）<攵<-8.

即2的取值范围是（-10,-8）.

【精准强化练】

一、单选题

1.（2025•哈尔滨模拟）设等差数列｛〃〃｝的前〃项和为Sn,若出+幻<0,59>0,则S〃的最大值为（）

A.54B.55C.SsDS

答案B

解析由S9=9〃5>0,得〃5>0,

又。5+〃6=〃4+。7<0,

则〃6<0,所以公差d=〃6-。5<0,

故当〃W5时,Z>0,

当〃26时，。〃<0,

所以当〃二5时,S〃最大.

2.（2025•兰州调研）已知数列｛%｝为等比数列,s=512,公比q=\,则数列｛〃“｝的前〃项积〃最大

时，«=（）

A.4B.5C.6D.7

答案B

解析因为6/I=512,公比4=：,

则由512（茨）券

所以当1W//W5时,

当〃26时,0<〃〃<1,

又〃是数列｛小｝的前〃项积，则当〃=5时，7；取得最大值，故选B.

3.（2025・丽水模拟）已知等比数列出｝的首项为mf且0<w<l,anX）f〃WN*,S“为数列｛m｝的前〃项

和，7；为数列｛&｝的前〃项的积，若S3=7m,7；中仅有A最小，则实数机的取值范围是（）

A.（M）B,（8;16]C,[l,8]DR*）

答案A

解析设数列伍〃｝的公比/

因为0<m<1,4〃>0,所以夕>0,

2

S?,=m+niq+niq=7nif

解得q=2,

因为7；中仅有北最小，所以0<〃4<1,。5>1,

则0<mq3<1,mq4>1,得0<8/n<1,16m>1,

所以白

16o

4.若数列伍〃｝的前〃项积d=1-于,则〃〃的最大值与最小值之和为（）

157

A--B.-C.2D.-

373

答案C

解析•数列｛。〃｝的前〃项积br=

当n=\时，0=*

当〃22时,篇曰-3〃-1),

_bn__2n-7——2

Cln=---=--5-----=----=1+----,

bn-il-^(n-l)2n-92n-9

当n=l时也适合上式，.,・“尸1+」不.

2n-9

当时，数列｛〃“｝单调递减，且an<1;

当时，数列｛〃〃｝单调递减，且

故4“的最大值为675=3,最小值为674=-1,

・・・小的最大值与最小值之和为2,故选C.

5.(2025・安庆调研)已知数歹I」｛如｝的前n项和为S”,且*+“尸1,设历尸膏,若数列｛5｝是递增数列，则

关的取值范围是()

A.L，2)B.(2,+8)

C.(-g,3)D.(3,+S)

答案C

解析当n=｛时,Si+ai=2ai=L

解得Ql=|,

当时，由Sn+an=1,

两式相减得2a厂加户0,所以工」，

«n-l2

即数列｛雨｝是以淮首项J为公比的等比数列，可得。，苫，

所以力产巴4=5-2)

an

因为数列｛d｝是递增数列，

所以bn^>bn对于任意的〃£N*恒成立，

即5+lT>2"'i>5T>2〃,

即2<〃+2对于任意的〃£N*恒成立.

因为当〃=1时,"+2取得最小值3,所以卜3,

即2的取值范围是(-8,3).故选C.

6.(2025Z20名校联盟二联)定义在(0,+8)的增函数共幻满足大¥)桃，)=/(盯)-1,且共2尸0/〃〃尸〃-1.已

知数列｛〃〃｝的前〃项和为S%则使得S〃<2025成立的n的最大值是()

A.8B.9C.10D.11

答案B

解析法一Z/Wt/ly)可(肛)-1,

可令/U)=log“Ll,

又|2)=(),则loga2T=0,

〃=2,.*./Cr)=Iog2X_1.

•.,J(a7)=log24/H=n-｝,

**•4〃=2”,

・・・S〃，(—")=2〃+I_2V2025,

1—2

：.2^'<2027.

V2,0=l024,211=2()48,

••(〃+1)max=10,•»/Zmax=9.

法二•••/OOt/Cy)三人町‘)-11.

由H2)=O=1T,.,・〃i=2;

令x=y=2y

・M2)H2)=A4)T,

/.y(4)=1=2-1,/.。2=4;

令x=2,产4,

・・・J2)t/(4)书8)T,

.../(8)二2二3一1,.・・。3=8;

/•a\=2],672=22,…,々〃二2〃，

・・・S”’(i-2〃)=2〃+i_2<2025,

1-2

A2n+I<2027.

V2,0=l024,21)=2048,

:♦(〃+l)max=10,；•"max=9.故选B.

7.(2025•滨州联测)设数列｛词的前〃项和为Sn,以=3,且(〃+1)(S〃+LS〃尸(〃+2)而若存在[KN;使得

2s〃十14W加〃成立，则左的最小值是()

A.4V3+1B.-C.-D.8

52

答案D

解析由已知得(〃+1)。〃+1=(〃+2)〃“，

所以第二弋，

n+2n+1

所以数列｛碧｝是常数列.

又。2二3,所以二：^7二1,

即

所以数列｛m｝是以2为首项，1为公差的等差数列，故S尸宁

由存在〃£N*,使得2s〃+14WN〃成立可知，

存在〃右N*,使得/+3〃+14WA（〃+l）成立，即女》（"

min

设t=n+1,f22,f£N*,〃=L1,

从而11!1^=（1）2+3（£-1）+143+.].

n+1tt

记财=吟+1,

由对勾函数性质可知,yw在。2通）上单调递减，在（2国,+8）上单调递增，

又，》2,，£N"3）=3+4+l=8,/（4）=4+3+l=8,

所以桂宁1的最小值是8,所以女28,

即攵的最小值为8.故选D.

8.（2025・开封质检）如果数列（〃〃｝对任意的〃£N*均有。计2+小>2所|恒成立,那么称数列｛〃“）为“知-

数列”，下列数列是“加-数列”的是（）

A.Q“=2〃TB.Q〃=-3"

C.an=nX2"D.a产川X6)

答案C

角星析若an=2n-1,贝1Jan+2+an~2an+1=2n+3+2n~1-2(2/?+1)=0,

即“计2+4〃=2。〃“，不满足条件，不是“M-数列”；

n

若an=-3f则加2+a厂2m+产一(3叫3"-2乂3向)=-4乂3'<0,

即加2+为〈2%+1,不满足条件，不是“M-数列”；

若an=nX2n,则。〃+2+m-2。”+产5+2)X2〃+2+〃X2”-2(〃+l)X2"+J(〃+4)X2”>0,

即a^an>2an+it满足条件，则是“%数列”;

222

若atl=nXG),则an+2+at-2an+1=(/?+2)X+/X0-2(〃+1)X

二(3nx"A九2一(九+1)2

=(户『

当n=l,2,3时,an+2+an<2an+ii不满足条件，不是“M-数列”.故选C.

二、多选题

9.（2025.杭州模拟）设等比数列｛〃"的公比为q,其前”项和为S,前〃项积为T〃,并满足条件”>1,

4202442025>1,小山二<0,下列结论正确的是（）

a2025T

A.52024<52025

B.4202442026<l

C.723是数歹ij｛〃｝中的最大值

D.数列｛〃｝无最大值

答案ABC

解析根据题意，等比数列｛。〃｝的公比为小

若4202442025>I,

则（4同2023）（〃同2024）=⑷）2（0⑷）”,

又由a\>\,必有C]>0,

则数列m〃｝各项均为正值，

若。2024-1<0

a2025-1，

即（。2024T）（42025-1）<0,

必有02024>1,0<U2025<1,

则必有0<^<1,依次分析选项：

对于A,数列｛4〃卜各项均为正值，则S2025-S2024=02025>0,

必有S2024Vs2025,故A正确；

对于B,a2024a2026=谖025<1，故B正确；

对于C,根据>672>*•*>672024>1>t72025>>**>0,

所以72024是数列｛〃｝中的最大项，故C正确，D错误.

10.（2025・西宁二模）已知数列｛3”乙〃｝的前〃项和为〃-3〃,则（）

A.an=2n+]

B.数列｛a1｝的前n项和为2n2+n

C.数列｛。厂10｝的前〃项和的最小值为T6

D.数列f—）的前〃项和小于：

lanan+1J6

答案ACD

解析因为｛3门。力的前〃项和为〃,3〃，

所以有3%|+3%2+32。3+…+3”-”后〃-3〃，

显然ai=3,

显然当〃£N*时，有3%I+3%2+3%3+…+3"%〃」=（〃-1>3"I

两个式子相减，得

n,1[

3'门afi=n-3-（n-\）-3,

化简，得an=2n+1,

显然671=3适合该通项公式，因此A正确；

因为an+\-an=2,

所以数列｛m｝为等差数列，

于是数列｛〃〃｝的前〃项和为0+2；1"=〃2+2〃,所以B不正确;

令历尸。〃-10=2〃-9,

由儿20=〃24.5,从第五项起，该数列每一项为正数，

因此数列｛。厂10｝的前〃项和的最小值为

历+/?2+〃3+匕4=-7+(-5)+(-3)+(-1)=-16,

因此C正确；

«n«n+i-(2n+1)(2n+3)-2(zn+lZn+s))

所以数列的前〃项和为

“一+」+…+____

2135572n+l2n+3/2\32n+3/6'

因此D正确，故选ACD.

11.(2025・广州调研)已知M=1,皿=上*为20).下列选项中正确的有()

ann+1

A.存在尢使存在正整数N,使〃，N时,恒成立

B.存在九使不存在正整数N,使时,为+i<z恒成立

C.存在九使存在正整数N,使〃2N时,如+>〃〃恒成立

D.存在九使不存在正整数N,使时,小十恒成立

答案BCD

解析若在0,则皿二三<0,昨1,

则｛〃,，｝正负交替，B,D选项正确；

若A>0,令皿=生二上>1,即皿〉1时，即如+»々“时,

ann+1an

即Xn2-2n>n+1成立，即A,；：】成立,

显然存在正整数N,使〃2N时,的+】>小.

A选项错误,C选项正确.

三、填空题

12.(2025・南昌调研)己知在数列｛z｝中，。।=2,产竺%],设数歹ij｛aan+1｝的前〃项和为Sn,若不等式

n+2lt

(〃+8»》&对\/〃£>1*恒成立,则k的最小值为.

答案

解析由题意知(〃+2)。〃+1=5+l)a

则数列｛(〃+1)如｝是首项为(1+1)X2=4的常数列，〃“=*,

n+l

・4V416

..a，】On+1=--X-—―-

n+ln+2(n+l)(n+2)

=16X(—---------Y

\n+ln+27

ll_l...J____

4+45++n+ln+27n+2*

8n8

〃

J+8(n+2)(+8)n+—n+10

・・・〃>0,・,・〃+二28,

n

当且仅当〃二竺，即〃=4时取等号,

n

;・日则攵的最小值为:

13.(2025・武汉调研)已知数列｛〃〃｝,｛c〃｝满足m=l,而+尸2而+1,c〃历设数列｛尉的前〃项和

为丁〃,若存在m使得〃吟对任意的〃。郸成立,则正整数加的最小值为——

答案5

解析因为数列｛〃”｝,｛C〃｝满足41=1,

。〃+1=2。〃+1,Cn=——工~,

(2n+l)(2n+3)

则小卜|+1=2(。〃+1),且4l+l=2,

所以数列｛小+1｝是首项和公比都为2的等比数列，

所以a»+l=2-2n』2",则an=2n~1,

因为Cn=--------------->0,

(2n+l)(2n+3)'

则数列｛〃｝单调递增，

所以数列｛乙｝最小项的值为力二G*

若存在加使得〃一对任意的〃&N*都成立，则上二羡<白,

m

am2-l15

所以2dl>15,解得m>4,

所以正整数，〃的最小值为5.

3

14.(2025•福州质检)若X=\是函数於)=。“+a4-4rtX-W2X+］的极值点，数列｛。〃｝满足<71=1,42=3,设

%=log34〃+l,记3表示不超过X的最大整数.设S尸［若诺竿+•..+2：25］,若不等式SB/对V〃£N*

%与b2b3bnbn+i

恒成立,则实数f的最大值为.

答案1012

解析八#=44〃+1/-3。村2-(7〃+2,

八1)=4。〃+|-3“厂。?+2=0,

即4〃+2-。〃+1=3(〃”+|一

・・・数列｛3+「〃〃｝是首项为2,公比为3的等比数列，

。〃+1-。〃=2X3"一\则。〃+1=(“〃+1-。〃)+(。厂。〃1)+3〃I-。〃-2)+•,叶(42一。I)+〃1

=2X37门+2X3〃-2+…+2X30+1=3",

bn=｝0g3an+1=10g33z-M.

.2025,2025,,2025

..-----+-----+■*H--------

如匕2b2b3bnbn+1

=2()25X——I---FH—―-1

L1X22x3n(n+l)J

=2025Xf1——4----+,,,+-------

\223nn+1/

2025n

二k

又产红包在〃£N”上单调递增，

•n+l

则当〃=1时,S〃取最小值S1=［等卜1()12,即()12.所以，的最大值为1()12.

四、解答题

15.(2025•石家庄质检)己知各项为正的数列｛〃〃｝的首项为2,及=6,。“+处+「2成+1=”“+1。「磷”膜叶2.

(1)求数列｛m｝的通项公式；

(2)设数列｛m｝的前〃项和为S〃,求数列｛&+«“-28｝前〃项和的最小值.

解(1