上海市普陀区2025-2026学年高三上学期质量调研测试（一模）数学试题（解析版）

普陀区2025学年第一学期高三数学质量调研考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本考试分试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一种不得分．一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分．1.已知集合，则___________．【答案】【解析】【分析】由交集运算即可求解.【详解】解不等式得，则，则.故答案为：.2.不等式的解集为___________．【答案】【解析】【分析】把分式不等式转化为二次不等式来求解即可.【详解】由不等式，所以解得，即不等式的解集为，故答案为：3.若复数是纯虚数，且，则的实部为___________．【答案】##0.5【解析】【分析】由纯虚数定义设，再根据复数的模及复数的概念即可求解.【详解】由复数是纯虚数，设，由，得，,所以的实部为.故答案为：.4.若，则的最小值是__________.【答案】5【解析】【分析】，利用基本不等式可得最值．【详解】∵，∴，当且仅当即时取等号，∴当时，取得最小值5.故答案为：5．5.设是等差数列的前项和，若，则该等差数列的公差为___________．【答案】2【解析】【分析】设出基本量，根据已知条件列方程组即可求解.【详解】设等差数列的公差为，由得，即，解得.故答案为：2.6.的展开式中含项的系数是___________．【答案】【解析】【分析】先写出二项展开式的通项，根据通项公式，即可写出展开式中含的项，进而可得结果.【详解】因为的展开式的通项公式为，所以展开式中含的项为，因此展开式中含项的系数为.故答案为：7.设，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件表示“两枚骰子向上的点数之和为”，若事件与事件相互独立，则的一个可取值为___________.【答案】3（或5、7、9、11其中之一）【解析】【分析】设第一次的点数为，第二次的点数为，进而依次讨论的情况即可得答案.【详解】设第一次的点数为，第二次的点数为，则两次抛掷两枚质地均匀的骰子的结果记为，其中，共种基本事件，故由题知，，当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，，事件与事件不独立；当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，，事件与事件相互独立；当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，事件与事件不独立；当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，事件与事件相互独立；当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，事件与事件不独立；当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，事件与事件相互独立；当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，事件与事件不独立；当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，，事件与事件相互独立；当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，，事件与事件不独立；当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，，事件与事件相互独立；当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，，事件与事件不独立；综上，的可能取值为故答案为：3（或5、7、9、11其中之一）8.在中，，，，为边上的一点，且，现将沿边折起，使得点至点的位置，且满足平面平面，如图所示，则直线与平面所成的角的正弦值为___________．【答案】【解析】【分析】由、、得到为等边三角形，取的中点，的中点，得到，从而得到，由平面平面得到平面，过作的平行线作为轴，以为原点，为轴，为轴，建系，写坐标，求出和平面的法向量，设直线与平面所成的角为，利用数量积求出即可得解.【详解】，，，为等边三角形，取的中点，的中点，连接，则，现将沿边折起，使得点至点的位置，则，平面平面，平面平面，，平面，过作的平行线作为轴，以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，为等边三角形，，，，，，，平面的法向量为，，设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成的角的正弦值.9.设，直线经过点，若向量，则点到直线的距离为___________．【答案】【解析】【分析】设出点的坐标，并求出点的坐标，再利用点到直线距离公式求解.【详解】由直线经过点，设，由向量，得，所以点到直线的距离.故答案为：10.某人工智能模型在自然语言处理中，使用位置编码表示词序，每个位置编码需用一个6维向量表示．若某位置编码可以写成（a，b，c，d，e，f）的形式，其中，则在仅考虑前3个位置的情况下，恰好取2个不同值的编码共有___________个．【答案】18【解析】【分析】先选出数值，再把它们分配到三个位置上，结合乘法计数原理可得答案.【详解】先从这3个数中选2个，有种选法；再分配2个数到3个位置，必有2个位置的数是相同的，选择出现1次的数：从选中的2个数中选1个，有种选法，选择出现1次的数的位置：有种选择；共有种编码.故答案为：1811.设是边长为1的正六边形所在平面上的一点，若点满足，则的最小值是___________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，由可得点的轨迹，再利用中点向量公式可得，并利用圆的性质求出最小值.【详解】以正六边形的中心为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，由，得轴交于点，交于点，由，得在以线段为直径的圆上，圆心为，半径为，因此，则，当且仅当是圆与线段的交点时取等号，所以的最小值是.故答案为：12.设，函数和的表达式分别为，若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】利用二次函数不等式恒大于等于零，通过判别式可求得参数范围，再利用分离参变量来求不等式恒成立的参数范围，最后可得充分条件是，接下来分析必要性，即对的补集范围进行分类讨论，利用二次不等式的最小值小于0，来分析此时的，从而找到矛盾，最后可得充要条件是.【详解】由恒成立可得：，解得，再由或，令，则，当时，，所以在和上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以当时，恒有，则，当时，，则，即可得，综上可得，当时，对任意实数，恒有，即满足题意，即这是充分条件.当，由，可知不等式的解集不为，此时对称轴为，必存在，满足，而此时，所以不满足；又当，可知不等式不恒成立，此时必存在，而在时，，不等式恒成立，即此时，所以不满足；当，由，可知不等式的解集不为，此时对称轴为，必存在，使得，而此时因为，，必有，所以不满足；当时，由，可知不等式的解集不为，此时对称轴为，必存在，使得，而此时因为，，必有，所以不满足；综上分析可得：是对任意的实数，都有成立的充要条件，故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分．13.下列函数中，周期为的奇函数是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的周期公式及奇函数的定义，结合诱导公式和二倍角公式逐项分析即可求解.【详解】对于A，根据图象可知，函数的定义域为R，，所以以为周期的偶函数，故A错误；对于B，，，函数的定义域为R，，所以以为周期的偶函数，故B错误；对于C，，，函数的定义域为R，，所以以为周期的奇函数，故C错误；对于D，，函数的定义域为关于原点对称，且，所以以为周期的奇函数，故D正确.故选：D14.已知直线和平面，且，，则下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】【分析】由空间线面、线线位置关系逐项判断即可.【详解】由，，可得，对于A，，，则直线可能相交、平行或异面，故错误；对于B，若，则或，故错误；对于C，因为，，所以，又，所以，正确；对于D，要证明，需垂直平面内两条相交直线，现在只有，条件不够，故错误；故选：C15.设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是（）A.的最大值是5 B.的最小值是5C.的最大值是7 D.的最小值是7【答案】D【解析】【分析】作出图象，根据图象利用两边之和、差与第三边的关系分析最大值与最小值即可得解.【详解】如图，由点是抛物线的焦点，故，由双曲线知，，故，右焦点，所以，又双曲线的渐近线方程为，所以直线与双曲线右支无交点，故，故AC错误；由双曲线的定义，，所以，即点运动到点，三点共线时，有最小值7，故B错误D正确.故选：D16.设，数列和满足，且，，现有如下两个命题：①若数列是等比数列，则数列是常数列：②设是数列的前项和，若取得最大值时，则能被7整除．则下列结论中正确的是（）A.①为真②为真 B.①为真②为假C.①为假②为真 D.①为假②为假【答案】A【解析】【分析】对于①：结合等比数列的定义，采用反证法证明；对于②分析的取值，可得的关系，得出，据此可求出的最大值时的，再根据二项式定理处理整除问题.【详解】假设为等比数列，而不为常数列，则中存在等于0的项，设项数最小的等于0的项为，其中，所以，则等比数列的公比为.又，得等比数列的公比为，与式矛盾，所以假设不成立，所以当为等比数列时，为常数列，故①为真命题；当时，，当时，，当时，，当时，.综上所述，或或（上述四种情形每种中或1）.又由题意可知，所以，所以，而，故，所以取得最大值时为，此时，，故，根据二项式定理可知，故除以7余数为1，所以可以被7整除，故②为真命题.故选：A.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形是该圆柱底面圆周上异于两点的点．（1）设平面平面，求证：；（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）由平面，结合线面平行的性质定理即可求解；（2）由线面垂直得到是二面角的平面角，进而可求解.【小问1详解】由已知得，又平面，在平面外，则平面，又平面平面平面则.【小问2详解】设的边上的高为，则，当三棱锥的体积最大时，，即为的中点，又平面在平面上，所以又，为平面内两条相交直线，所以平面，又在平面内，所以，则是二面角的平面角，在直角三角形中，，则，即所求的二面角的余弦值为.18.在中，内角所对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）设，，函数的表达式为，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二倍角正弦公式和正弦定理得，结合得，结合角的范围即可求解；（2）先求得，然后利用整体法，结合正切函数性质列不等式求解即可.【小问1详解】由已知条件得，由正弦定理得，又，则，因为，所以.【小问2详解】由得，，又，则，又，则，要在区间上恰有3次使得函数的值能取遍内的所有值，则，即，则所求的的取值范围是.19.人工智能生成内容（AIGC）是引领未来的新兴战略性产业．根据国家工信部发布的《人工智能产业发展年报（2025）》及国家统计局相关数据显示，中国AIGC产业已形成完整产业链结构，截至2025年10月，产业链核心层企业分布及核心市场规模分别如表一、表二所示．表一表二产业链层级企业数量（家）年份市场规模（亿元）第一层基2202212003第二层模型框架159020231848.520242600.6第三层应用189020253500.4（1）根据表二所提供的数据，请判断“2021-2025年我国AIGC市场规模年增长率持续提高”这一说法是否正确，并基于你对整体变化趋势的分析，试选用平均增长率模型预测2026年我国AIGC的市场规模（结果精确到1亿元）；（2）赫希曼指数（HHI）是衡量产业集中程度的综合指标，计算公式为，其中为第个层级的企业数量，为企业总数．请根据表一所提供的数据，计算我国AIGC产业链的HHI指数（结果保留整数），并参照“为竞争型，为低集中寡占型，为高集中寡占型”的标准，判断其产业分布结构类型；（3）为制定产业支持政策，现计划从表一所提供的AIGC核心企业中随机抽取4家进行深度调研，求抽到的这4家企业中来自第二层和第三层的企业总数之和不少于2家的概率（结果精确到0.001）．【答案】（1）该说法不正确；5062亿元（2）3351；目前我国AIGC产业分布结构为高集中寡占型（3）0.880【解析】【分析】（1）先计算出2021-2025年市场规模逐年增长率，指出五年内的变化趋势，即可得出说法不正确的结论；再求出五年的平均增长率，即可依据此模型预测2026年我国AIGC的市场规模；（2）由表一中的数据以及赫希曼指数的计算公式，求出我国AIGC产业链的赫希曼指数为，即可判断其产业分布结构类型；（3）先求出抽到的这4家企业全来自第一层的概率和来自第一层的有3家，来自第二或第三层的有1家的概率，用即可得解.【小问1详解】2021-2025年市场规模逐年增长率分别为：，由此可看出：2021-2023年增长率加快，2023-2025年市场规模增长逐年放缓，所以“2021-2025年我国AIGC市场规模年增长率持续提高”这一说法不正确；五年的平均增长率为，则按照该模型预测2026年我国AIGC市场规模约亿元.（说明：若按照最后一年增长规模估计，亿元；若按照最后两年增长规模估计，亿元）【小问2详解】由表一中的数据以及赫希曼指数的计算公式得，我国AIGC产业链的赫希曼指数为：所以目前我国AIGC产业分布结构为高集中寡占型；【小问3详解】抽到的这4家企业全来自第一层的概率为：；抽到的这4家企业中来自第一层的有3家，来自第二或第三层的有1家的概率为：；则抽到的这4家企业中来自第二层和第三层的企业总数之和不少于2家的概率为：.20.设是不全为零的实数，椭圆分别为的左、右两个焦点，直线与交于两点，为坐标原点．（1）若，且四边形为矩形，求的离心率；（2）若，且的周长的最大值为12，求的方程；（3）若，直线与的斜率之积为为上的一点，且，直线与椭圆交于点，且，求的值以及的面积的值．【答案】（1）（2）（3），【解析】【分析】（1）求出，根据题意得到，从而求出离心率；（2）根据，再由题意可求出，即可求出方程；（3）设，根据题目信息求出，将点代入椭圆方程并化简得到，根据点均在上以及得到，解方程即可求出；根据题目信息及求出的可得，求出的长及原点到直线的距离，利用三角形面积公式即可求出答案.【小问1详解】由，得，，将代入椭圆方程得，解得，则，又四边形是矩形，则，即离心率.【小问2详解】由得，，即轴，则，当且仅当过右焦点时等号成立，即的周长的最大值为，即，即，则方程为【小问3详解】设，由得，点，又，则，因为点在上，所以则，又点均在上，则，由得，即，则，又，即.由得，，又，即直线，由得，，则，则由得，，即，即，化简整理得，，则，又原点到直线的距离为，则则.21.设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质．（1）若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由；（2）设，若函数具有性