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文档简介

6.3.1平面向量基本定理OABC我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.力的分解是向量分解的物理模型，分解过程逆用了平行四边形法则.

力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力𝑭分解为多组大小、方向不同的分力.

平移

一般地，对给定不共线的向量e1，e2，任意一个向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式．问题2：当a是零向量时，a可以表示成λ1e1+λ2e2的形式吗？为什么？问题1：当a是与e1或e2共线的非零向量时，a也可以表示成λ1e1+λ2e2的形式吗？

可以，

此时λ2=0或λ1=0

一般地，对给定不共线的向量e1，e2，任意一个向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式．问题3：根据上述问题，我们知道平面内任何一个向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式，那这种表示形式是唯一的吗？OAB

问题3：平面内任何一个向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式，这种表示形式是唯一的吗？表示形式是唯一的若a=μ1e1+μ2e2，则λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2．得（λ1－μ1）e1+（λ2－μ2）e2=0．则λ1－μ1，λ2－μ2全为0，即λ1=μ1，λ2=μ2．假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0，则

．由此可得e1，e2共线，与已知e1，e2不共线矛盾．结论：有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2成立.

一般地，对给定不共线的向量e1，e2，任意一个向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式．问题4：如果e1，e2共线可以吗？如果e1，e2共线，此时λ1e1+λ2e2与e1，e2共线，当向量a与它们不共线时，则无法表示.结论：只有e1，e2不共线，才可以用来表示平面内的任意向量.

平面向量基本定理

基底由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示，这为我们研究问题带来了极大的方便.

ACD方法技巧：

考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.

解：因为，例2

如图，

，

不共线，且

＝t

（t∈R），用

，表示

．．所以你有什么发现？A，B，P三点共线，则系数和等于1．分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示．例3

如图，CD是△ABC的中线，且CD＝

AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形．CADB可选

为基底，表示

，

．证明

，从而证得△ABC是直角三角形．证明：如图，设

＝a，

＝b，则

＝a＋b，

＝a－b．．因为CD＝

AB，所以CD＝DA．因为a2＝CD2，b2＝DA2，所以

．因此CA⊥CB．结论成立．例3

如图，CD是△ABC的中线，且CD＝

AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形．注意：向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段（或直线）是否垂直的重要方法之一.

AC

B

＝－a＋b＋

a＝b－

a，

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