正弦定理+-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

正弦定理1、什么是解三角形？2、余弦定理及其推论？已知三角形几个元素求其他元素的过程适用于已知两边及其夹角或已知三边的情形【思考】如果已知两角和一边，又该如何解这个三角形？正弦定理1、正弦定理经常与余弦定理、三角函数等知识进行结合。综合考察三角函数和解三角形问题。2、解三角形是高考必考的内容。总体难度适中，入手比较容易，但在解决具体问题时，经常会出现‘会而不对，对而不全’的情况。如：公式记忆不准；公式变形转化不当，导致求解复杂，运算错误；忽视三角形中的隐含条件；求边角时忽视其范围等。1、了解并体会正弦定理的证明过程；2、理解并熟练掌握正弦定理的具体内容；3、能够用正弦定理解决简单的解三角形。学习目标：重难点：1、了解并体会正弦定理的证明过程；2、理解并熟练掌握正弦定理的具体内容；该问题可转化为：在△ABC中，已知A、B、a，求b根据以往经验，我们可以先从直角三角形入手：【思考】以上形式，对于锐角三角形和钝角三角形是否依然成立？整理变形可得：【问题】已知三角形两角和一边，解这个三角形？在Rt△ABC中可得到边角关系：将以上两个式子联立：我们分锐角三角形和钝角三角形两种情况，分别进行研究；【思考】数量积运算出现的是角的余弦，而问题中涉及的是角的正弦。如何才能实现转化？而在向量运算中，数量积运算和角度和长度有关，因此我们仍然需要借助数量积进行研究。思路：可以通过构造角之间的互余关系（出直角），利用诱导公式，把边与角的余弦关系转化为正弦关系分类讨论与

的夹角为与的夹角为ACBi1、过点A作与垂直的单位向量因为所以由分配律，得：即：当△ABC为锐角三角形时，如图所示：可知：ACBj化简得：整理得：2、过点C作与垂直的单位向量经同样处理可得：结合上述两式可得：当△ABC是钝角三角形时，以A是钝角为例；如图所示则与的夹角为，与

的夹角为ACBk过点A做与垂直的单位向量

，依照锐角的过程，同样可得：ACB由三角函数定义，可知：无论A为什么角，点B的坐标始终为如图，以△ABC的顶点A为原点，边AC所在直线为x轴，建立直角坐标系。E（O）xy过点B做BE⊥AC，垂足为E则可知：三角形的AC边上的高BE=csinA于是有：S△ABC=

AC·BE=bcsinA（ccosA，csinA）由此可得：S△ABC=casinBS△ABC=absinC联合1、3两个式子可得：根据向量法可知，最后可证得：任意三角形面积公式S△ABC=bcsinAB思路：由于这一形式在直角三角形中成立，因此，对于锐角三角形和钝角三角形，只需做高，便可得到直角三角形，然后利用锐角三角函数即可证得ACDabc当△ABC是锐角三角形时，如图过B作BD⊥AC，垂足为D根据锐角三角函数的定义，得BD=csinA，BD=asinC进而有：csinA=asinC由向量法可知，最后可证得：划归转化正弦定理（lawofsines）：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：适用条件：任意三角形；用于解决：1）已知两边和其中一边的对角，解三角形；2）已知两角和任一边，解三角形；形式统一结构对称1、设△ABC的外接圆半径为R，则有2、a：b：c=sinA：sinB：sinC3、若A>B>C,则a>b>c且sinA>sinB>sinC边化角角化边定性来看，就是前面提到的大边对大角【例7】在△ABC中，已知A=15°，B=45°，c=3+√3，解这个三角形。思路：本题属于已知两角和任一边，解三角形的问题。因此首先需要先求出c所对的角度，然后利用正弦定理进行解决。具体过程：见课本【例8】在△ABC中，已知B=3